Diqqat!
Qo'shimchalar mavjud
555-sonli maxsus bo'limdagi materiallar.
Juda "juda emas ..." bo'lganlar uchun
Va "juda ..." bo'lganlar uchun)
Arifmetik progressiya - bu har bir raqam oldingisidan bir xil miqdorda katta (yoki kamroq) bo'lgan raqamlar qatoridir.
Bu mavzu ko'pincha murakkab va tushunarsiz ko'rinadi. Harflarning indekslari, progressiyaning n-chi hadi, progressiyaning farqi - bularning barchasi qandaydir chalkash, ha... Keling, arifmetik progressiyaning ma'nosini aniqlaylik va hamma narsa darhol yaxshilanadi.)
Arifmetik progressiya haqida tushuncha.
Arifmetik progressiya juda oddiy va tushunarli tushunchadir. Hech qanday shubhangiz bormi? Bekorga.) O'zingiz ko'ring.
Men tugallanmagan raqamlar qatorini yozaman:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Bu seriyani uzaytira olasizmi? Beshdan keyin qanday raqamlar keladi? Hamma... uh... qisqasi, har bir kishi keyin 6, 7, 8, 9 va hokazo raqamlar kelishini tushunadi.
Keling, vazifani murakkablashtiramiz. Men sizga tugallanmagan raqamlar qatorini beraman:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Siz naqshni ushlashingiz, seriyani kengaytirishingiz va nom berishingiz mumkin yettinchi qator raqami?
Agar siz bu raqam 20 ekanligini tushungan bo'lsangiz, tabriklaymiz! Siz nafaqat his qildingiz arifmetik progressiyaning asosiy nuqtalari; lekin ularni biznesda ham muvaffaqiyatli ishlatgan! Agar siz buni tushunmagan bo'lsangiz, o'qing.
Endi sezgilardan matematikaga asosiy fikrlarni tarjima qilaylik.)
Birinchi asosiy nuqta.
Arifmetik progressiya raqamlar qatori bilan bog'liq. Bu birinchi navbatda chalkash. Biz tenglamalarni yechishga, grafiklar chizishga va shunga o‘rganib qolganmiz... Lekin bu yerda biz qatorni kengaytiramiz, qatorlar sonini topamiz...
Hammasi joyida; shu bo'ladi. Faqat progressiyalar matematikaning yangi bo'limi bilan birinchi tanishuvdir. Bo'lim "Seriya" deb nomlanadi va maxsus raqamlar va ifodalar qatori bilan ishlaydi. Bunga ko'nik.)
Ikkinchi asosiy nuqta.
Arifmetik progressiyada har qanday son oldingisidan farq qiladi bir xil miqdorda.
Birinchi misolda bu farq bitta. Qaysi raqamni olsangiz, oldingisidan bitta ko'p. Ikkinchisida - uchta. Har qanday raqam oldingisidan uchtaga ko'p. Aslida, aynan shu daqiqa bizga naqshni tushunish va keyingi raqamlarni hisoblash imkoniyatini beradi.
Uchinchi asosiy nuqta.
Bu lahza hayratlanarli emas, ha... Lekin bu juda, juda muhim. Mana u: Har bir progressiya soni o'z o'rnida. Birinchi raqam bor, yettinchi bor, qirq beshinchi bor va hokazo. Agar siz ularni tasodifiy aralashtirsangiz, naqsh yo'qoladi. Arifmetik progressiya ham yo'qoladi. Qolgan narsa shunchaki raqamlar qatori.
Hamma gap shunda.
Albatta, yangi mavzuda yangi atamalar va belgilar paydo bo'ladi. Siz ularni bilishingiz kerak. Aks holda siz vazifani tushunolmaysiz. Masalan, siz shunday qaror qabul qilishingiz kerak bo'ladi:
Arifmetik progressiyaning (a n) dastlabki oltita hadini yozing, agar a 2 = 5, d = -2,5.
Ilhomlantiruvchi?) Harflar, ba'zi indekslar ... Va vazifa, aytmoqchi, oddiyroq bo'lishi mumkin emas. Siz faqat atamalar va belgilarning ma'nosini tushunishingiz kerak. Endi biz bu masalani o'zlashtiramiz va vazifaga qaytamiz.
Shartlar va belgilar.
Arifmetik progressiya har bir raqam oldingisidan farq qiladigan raqamlar qatoridir bir xil miqdorda.
Bu miqdor deyiladi . Keling, ushbu kontseptsiyani batafsil ko'rib chiqaylik.
Arifmetik progressiya farqi.
Arifmetik progressiya farqi har qanday progressiya sonining miqdori Ko'proq oldingi.
Bir muhim nuqta. Iltimos, so'zga e'tibor bering "Ko'proq". Matematik jihatdan bu har bir progressiya soni ekanligini anglatadi qo'shish orqali arifmetik progressiyaning oldingi songa farqi.
Hisoblash uchun, aytaylik ikkinchi seriya raqamlari, kerak birinchi raqam qo'shish arifmetik progressiyaning aynan shu farqi. Hisoblash uchun beshinchi- farq kerak qo'shish Kimga to'rtinchidan, yaxshi va boshqalar.
Arifmetik progressiya farqi balkim ijobiy, keyin seriyadagi har bir raqam haqiqiy bo'lib chiqadi oldingisidan ko'proq. Bu progressiya deyiladi ortib boradi. Masalan:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Bu erda har bir raqam olinadi qo'shish orqali ijobiy raqam, oldingisiga +5.
Farqi bo'lishi mumkin salbiy, keyin seriyadagi har bir raqam bo'ladi oldingisidan kamroq. Ushbu rivojlanish deyiladi (siz bunga ishonmaysiz!) kamaymoqda.
Masalan:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Bu erda har bir raqam ham olinadi qo'shish orqali oldingisiga, lekin allaqachon salbiy raqam, -5.
Aytgancha, progressiya bilan ishlashda uning tabiatini darhol aniqlash juda foydali - u ortib bormoqda yoki kamaymoqda. Bu qaror qabul qilishda, xatolaringizni aniqlashda va juda kech bo'lmasdan ularni tuzatishda ko'p yordam beradi.
Arifmetik progressiya farqi odatda harf bilan belgilanadi d.
Qanday topish mumkin d? Juda oddiy. Seriyadagi istalgan raqamdan ayirish kerak oldingi raqam. Ayirmoq. Aytgancha, ayirish natijasi "farq" deb ataladi.)
Keling, masalan, aniqlaymiz d arifmetik progressiyani oshirish uchun:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Biz seriyadagi istalgan raqamni olamiz, masalan, 11. Biz undan ayirib tashlaymiz oldingi raqam bular. 8:
Bu to'g'ri javob. Bu arifmetik progressiya uchun farq uchga teng.
Siz olishingiz mumkin har qanday progressiya soni, chunki Muayyan rivojlanish uchun d-har doim bir xil. Hech bo'lmaganda qatorning boshida, hech bo'lmaganda o'rtada, hech bo'lmaganda har qanday joyda. Siz faqat birinchi raqamni qabul qila olmaysiz. Shunchaki, birinchi raqam oldingisi yo'q.)
Aytgancha, buni bilish d=3, bu progressiyaning ettinchi raqamini topish juda oddiy. Beshinchi raqamga 3 qo'shamiz - oltinchini olamiz, u 17 bo'ladi. Oltinchi raqamga uchta qo'shamiz, ettinchi raqamni olamiz - yigirma.
Keling, aniqlaymiz d kamayib boruvchi arifmetik progressiya uchun:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Shuni eslatib o'tamanki, belgilardan qat'i nazar, aniqlash uchun d istalgan raqamdan kerak oldingisini olib tashlang. Har qanday progressiya raqamini tanlang, masalan -7. Uning oldingi raqami -2. Keyin:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Arifmetik progressiyaning farqi har qanday son bo'lishi mumkin: butun, kasr, irratsional, har qanday son.
Boshqa atamalar va belgilar.
Seriyadagi har bir raqam chaqiriladi arifmetik progressiyaning a'zosi.
Taraqqiyotning har bir a'zosi o'z raqamiga ega. Raqamlar qat'iy tartibda, hech qanday hiyla-nayranglarsiz. Birinchi, ikkinchi, uchinchi, to'rtinchi va boshqalar. Masalan, progressiyadagi 2, 5, 8, 11, 14, ... ikkita birinchi had, besh ikkinchi, o'n bir to'rtinchi, yaxshi, tushundingiz...) Iltimos, aniq tushuning - raqamlarning o'zi mutlaqo har qanday bo'lishi mumkin, butun, kasr, salbiy, har qanday, lekin raqamlarni raqamlash- qat'iy tartibda!
Progressiyani umumiy shaklda qanday yozish kerak? Hammasi joyida! Seriyadagi har bir raqam harf sifatida yoziladi. Arifmetik progressiyani belgilash uchun odatda harf ishlatiladi a. A'zo raqami pastki o'ngdagi indeks bilan ko'rsatilgan. Biz atamalarni vergul (yoki nuqta-vergul) bilan ajratamiz, masalan:
a 1, 2, 3, 4, 5, .....
a 1- bu birinchi raqam, a 3- uchinchi va boshqalar. Qiziqarli hech narsa. Ushbu seriyani qisqacha quyidagicha yozish mumkin: (a n).
Rivojlanishlar sodir bo'ladi chekli va cheksiz.
Yakuniy progressiya a'zolarining cheklangan soniga ega. Besh, o'ttiz sakkiz, nima bo'lishidan qat'iy nazar. Lekin bu chekli raqam.
Cheksiz progressiya - siz taxmin qilganingizdek, cheksiz sonli a'zolarga ega.)
Yakuniy progressni shunday qator orqali yozishingiz mumkin, barcha shartlar va oxirida nuqta:
a 1, 2, 3, 4, 5.
Yoki shunga o'xshash, agar a'zolar ko'p bo'lsa:
a 1, a 2, ... a 14, a 15.
Qisqa yozuvda qo'shimcha ravishda a'zolar sonini ko'rsatishingiz kerak bo'ladi. Misol uchun (yigirma a'zo uchun) quyidagicha:
(a n), n = 20
Cheksiz progressiyani ushbu darsdagi misollardagi kabi qator oxiridagi ellips bilan tanib olish mumkin.
Endi siz vazifalarni hal qilishingiz mumkin. Vazifalar oddiy, faqat arifmetik progressiyaning ma'nosini tushunish uchun.
Arifmetik progressiya bo'yicha topshiriqlarga misollar.
Keling, yuqorida berilgan vazifani batafsil ko'rib chiqaylik:
1. Arifmetik progressiyaning (a n) birinchi oltita hadini yozing, agar a 2 = 5, d = -2,5.
Vazifani tushunarli tilga tarjima qilamiz. Cheksiz arifmetik progressiya berilgan. Ushbu progressiyaning ikkinchi soni ma'lum: a 2 = 5. Progressiv farq ma'lum: d = -2,5. Bu progressiyaning birinchi, uchinchi, to‘rtinchi, beshinchi va oltinchi hadlarini topishimiz kerak.
Aniqlik uchun men muammoning shartlariga ko'ra bir qator yozaman. Birinchi olti atama, ikkinchi muddat beshdan iborat:
1, 5, 3, 4, 5, 6,....
a 3 = a 2 + d
Ifodaga almashtiring a 2 = 5 Va d = -2,5. Minus haqida unutmang!
a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Uchinchi muddat ikkinchisidan kichikroq bo'lib chiqdi. Hammasi mantiqiy. Agar raqam avvalgisidan katta bo'lsa salbiy qiymat, ya'ni raqamning o'zi avvalgisidan kamroq bo'ladi. Rivojlanish pasayib bormoqda. Xo'sh, buni hisobga olamiz.) Biz seriyamizning to'rtinchi qismini hisoblaymiz:
a 4 = a 3 + d
a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
a 5 = a 4 + d
a 5=0+(-2,5)= - 2,5
a 6 = a 5 + d
a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Shunday qilib, uchinchidan oltinchigacha bo'lgan muddatlar hisoblab chiqilgan. Natijada quyidagi seriyalar paydo bo'ladi:
a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....
Birinchi atamani topish qoladi a 1 taniqli ikkinchisiga ko'ra. Bu boshqa yo'nalishdagi qadam, chapga.) Demak, arifmetik progressiyaning farqi d ga qo'shilmasligi kerak a 2, A olib ketish:
a 1 = a 2 - d
a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Bo'ldi shu. Topshiriq javobi:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
O'tib, shuni ta'kidlamoqchimanki, biz bu vazifani hal qildik takrorlanuvchi yo'l. Bu dahshatli so'z faqat progressiya a'zosini qidirishni anglatadi oldingi (qo'shni) raqamga ko'ra. Quyida progressiya bilan ishlashning boshqa usullarini ko‘rib chiqamiz.
Ushbu oddiy vazifadan bitta muhim xulosa chiqarish mumkin.
Eslab qoling:
Agar biz arifmetik progressiyaning kamida bitta hadini va ayirmasini bilsak, bu progressiyaning istalgan hadini topishimiz mumkin.
Esingizdami? Ushbu oddiy xulosa ushbu mavzu bo'yicha maktab kursining ko'pgina muammolarini hal qilishga imkon beradi. Barcha vazifalar uchta asosiy parametr atrofida aylanadi: arifmetik progressiyaning a'zosi, progressiyaning ayirmasi, progressiyaning a'zosi soni. Hammasi.
Albatta, oldingi barcha algebra bekor qilinmaydi.) Progressiyaga tengsizliklar, tenglamalar va boshqa narsalar biriktirilgan. Lekin taraqqiyotning o'ziga ko'ra- hamma narsa uchta parametr atrofida aylanadi.
Misol tariqasida, ushbu mavzu bo'yicha ba'zi mashhur vazifalarni ko'rib chiqaylik.
2. Agar n=5, d = 0,4 va a 1 = 3,6 bo‘lsa, chekli arifmetik progressiyani ketma-ket yozing.
Bu erda hamma narsa oddiy. Hammasi allaqachon berilgan. Arifmetik progressiyaning a'zolari qanday sanalishini, ularni sanash va yozishni eslab qolishingiz kerak. Vazifa sharoitida so'zlarni o'tkazib yubormaslik tavsiya etiladi: "yakuniy" va " n=5". Yuzing to'liq ko'karmaguncha sanab o'tirmaslik uchun.) Bu progressiyada faqat 5 (besh) a'zo bor:
a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4
a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4
a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Javobni yozish qoladi:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Boshqa vazifa:
3. 7 soni arifmetik progressiyaning (a n) a’zosi bo‘ladimi yoki yo‘qligini aniqlang, agar a 1 = 4,1; d = 1,2.
Hmm... Kim biladi? Biror narsani qanday aniqlash mumkin?
How-how... Progressiyani ketma-ketlik shaklida yozing va u erda ettita bo'ladimi yoki yo'qligini ko'ring! Biz hisoblaymiz:
a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3
a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5
a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Endi biz yetti yoshda ekanligimiz aniq ko'rinib turibdi sirg'alib o'tdi 6,5 dan 7,7 gacha! Yetti raqam bizning raqamlar qatorimizga kirmadi va shuning uchun ettitasi berilgan progressiyaning a'zosi bo'lmaydi.
Javob: yo'q.
Va bu erda GIA ning haqiqiy versiyasiga asoslangan muammo:
4. Arifmetik progressiyaning bir necha ketma-ket hadlari yoziladi:
...; 15; X; 9; 6; ...
Mana, oxiri va boshisiz yozilgan seriya. A'zolar raqamlari yo'q, farq yo'q d. Hammasi joyida; shu bo'ladi. Muammoni hal qilish uchun arifmetik progressiyaning ma'nosini tushunish kifoya. Keling, nima mumkinligini ko'rib chiqaylik bilmoq bu seriyadanmi? Uchta asosiy parametr nima?
A'zolar raqamlari? Bu erda bitta raqam yo'q.
Ammo uchta raqam bor va - diqqat! - so'z "mos keluvchi" holatda. Bu raqamlar qat'iy tartibda, bo'shliqlarsiz ekanligini anglatadi. Bu qatorda ikkitasi bormi? qo'shni ma'lum raqamlar? Ha bor! Bular 9 va 6. Demak, arifmetik progressiyaning ayirmasini hisoblashimiz mumkin! Oltidan ayirish oldingi raqam, ya'ni. to'qqiz:
Faqat arzimas narsalar qoldi. X uchun oldingi raqam qaysi bo'ladi? O'n besh. Bu shuni anglatadiki, X ni oddiy qo'shish orqali osongina topish mumkin. Arifmetik progressiyaning farqini 15 ga qo'shing:
Ana xolos. Javob: x=12
Quyidagi muammolarni o'zimiz hal qilamiz. Eslatma: bu muammolar formulalarga asoslanmagan. Faqat arifmetik progressiyaning ma'nosini tushunish uchun.) Biz shunchaki bir qator raqamlar va harflarni yozamiz, qaraymiz va aniqlaymiz.
5. a 5 = -3 bo'lsa, arifmetik progressiyaning birinchi musbat hadini toping; d = 1,1.
6. Ma'lumki, 5,5 soni arifmetik progressiyaning (a n) a'zosi bo'lib, bu erda a 1 = 1,6; d = 1,3. Ushbu a'zoning n sonini aniqlang.
7. Ma'lumki, arifmetik progressiyada a 2 = 4; a 5 = 15,1. 3 ni toping.
8. Arifmetik progressiyaning bir necha ketma-ket hadlari yoziladi:
...; 15,6; X; 3.4; ...
X harfi bilan ko'rsatilgan progressiyaning hadini toping.
9. Poyezd stansiyadan tezlikni bir tekisda daqiqasiga 30 metrga oshirib harakatlana boshladi. Besh daqiqadan so'ng poezdning tezligi qanday bo'ladi? Javobingizni km/soatda bering.
10. Ma'lumki, arifmetik progressiyada a 2 = 5; a 6 = -5. 1 ni toping.
Javoblar (tartibsiz): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.
Hammasi chiqdimi? Ajoyib! Keyingi darslarda arifmetik progressiyani yuqori darajada o‘zlashtirishingiz mumkin.
Hammasi amalga oshmadimi? Hammasi joyida. 555-sonli maxsus bo'limda bu muammolarning barchasi bo'lak-bo'lak saralangan.) Va, albatta, oddiy amaliy texnika tasvirlangan bo'lib, bunday vazifalarni hal qilishni darhol aniq, aniq, bir qarashda ta'kidlaydi!
Aytgancha, poezddagi jumboqda odamlar tez-tez qoqilib ketadigan ikkita muammo bor. Ulardan biri faqat progressivlik nuqtai nazaridan, ikkinchisi esa matematika va fizikadagi har qanday muammolar uchun umumiydir. Bu o'lchamlarning biridan ikkinchisiga tarjimasi. Bu muammolarni qanday hal qilish kerakligini ko'rsatadi.
Bu darsda arifmetik progressiyaning elementar ma'nosi va uning asosiy parametrlarini ko'rib chiqdik. Bu mavzu bo'yicha deyarli barcha muammolarni hal qilish uchun etarli. Qo'shish d raqamlarga, ketma-ket yozing, hamma narsa hal qilinadi.
Barmoq eritmasi, bu darsdagi misollarda bo'lgani kabi, qatorning juda qisqa qismlari uchun yaxshi ishlaydi. Agar seriya uzunroq bo'lsa, hisob-kitoblar yanada murakkablashadi. Masalan, agar savolda 9-muammoda biz almashtiramiz "besh daqiqa" yoqilgan "o'ttiz besh daqiqa" muammo sezilarli darajada yomonlashadi.)
Bundan tashqari, mohiyatiga ko'ra oddiy, ammo hisob-kitoblar nuqtai nazaridan bema'ni vazifalar mavjud, masalan:
Arifmetik progressiya (a n) berilgan. a 1 =3 va d=1/6 bo'lsa, 121 ni toping.
Xo'sh, biz 1/6 ni ko'p marta qo'shamizmi?! O'zingizni o'ldirishingiz mumkin!?
Siz mumkin.) Agar siz bunday vazifalarni bir daqiqada hal qilishingiz mumkin bo'lgan oddiy formulani bilmasangiz. Ushbu formula keyingi darsda bo'ladi. Va bu muammo o'sha erda hal qilinadi. Bir daqiqada.)
Agar sizga bu sayt yoqsa...
Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)
Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. Keling, o'rganamiz - qiziqish bilan!)
Funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.
Birinchi daraja
Arifmetik progressiya. Misollar bilan batafsil nazariya (2019)
Raqamlar ketma-ketligi
Shunday qilib, keling, o'tiramiz va bir nechta raqamlarni yozishni boshlaymiz. Masalan:
Siz har qanday raqamlarni yozishingiz mumkin va ular xohlaganingizcha ko'p bo'lishi mumkin (bizning holatlarimizda ular bor). Qancha son yozmaylik, qaysi biri birinchi, qaysi biri ikkinchi va shunga o'xshash oxirgisigacha, ya'ni ularni raqamlashimiz mumkin. Bu raqamlar ketma-ketligiga misol:
Raqamlar ketma-ketligi
Masalan, bizning ketma-ketligimiz uchun:
Belgilangan raqam ketma-ketlikda faqat bitta raqamga xosdir. Boshqacha qilib aytganda, ketma-ketlikda uchta ikkinchi raqam yo'q. Ikkinchi raqam (chi raqam kabi) har doim bir xil bo'ladi.
Raqamli raqam ketma-ketlikning uchinchi hadi deb ataladi.
Biz odatda butun ketma-ketlikni qandaydir harf bilan chaqiramiz (masalan,) va bu ketma-ketlikning har bir a'zosi indeksi shu a'zoning soniga teng bo'lgan bir xil harf: .
Bizning holatda: 
Aytaylik, bizda qo'shni sonlar orasidagi farq bir xil va teng bo'lgan raqamlar ketma-ketligi mavjud.
Masalan: 
va hokazo.
Bu sonlar ketma-ketligi arifmetik progressiya deyiladi.
"Progressiya" atamasi Rim muallifi Boethius tomonidan VI asrda kiritilgan va kengroq ma'noda cheksiz sonli ketma-ketlik sifatida tushunilgan. "Arifmetika" nomi qadimgi yunonlar tomonidan o'rganilgan uzluksiz nisbatlar nazariyasidan ko'chirildi.
Bu raqamlar ketma-ketligi bo'lib, uning har bir a'zosi bir xil raqamga qo'shilgan oldingisiga teng. Bu raqam arifmetik progressiyaning farqi deb ataladi va belgilanadi.
Qaysi raqamlar ketma-ketligi arifmetik progressiya ekanligini va qaysi biri emasligini aniqlashga harakat qiling:
a)
b)
c)
d)
Tushundim? Keling, javoblarimizni taqqoslaylik:
Bu arifmetik progressiya - b, c.
Emas arifmetik progressiya - a, d.
Keling, berilgan progressiyaga () qaytaylik va uning uchinchi hadining qiymatini topishga harakat qilaylik. Mavjud ikki uni topish usuli.
1. Usul
Progressiya raqamini oldingi qiymatga progressiyaning uchinchi qismiga yetguncha qo'shishimiz mumkin. Xulosa qilish uchun ko'p narsa yo'qligi yaxshi - faqat uchta qiymat:
Demak, tasvirlangan arifmetik progressiyaning uchinchi hadi ga teng.
2. Usul
Agar progressiyaning uchinchi hadining qiymatini topish kerak bo'lsa-chi? Yig'ish bir soatdan ko'proq vaqtni oladi va raqamlarni qo'shishda xato qilmasligimiz haqiqat emas.
Albatta, matematiklar arifmetik progressiyaning farqini oldingi qiymatga qo‘shish shart bo‘lmagan usulni o‘ylab topishgan. Chizilgan rasmni diqqat bilan ko'rib chiqing ... Albatta, siz allaqachon ma'lum bir naqshni payqadingiz, xususan:
Masalan, ushbu arifmetik progressiyaning uchinchi hadining qiymati nimadan iboratligini ko'rib chiqamiz: 
Boshqa so'zlar bilan aytganda:
Berilgan arifmetik progressiyaning a'zosining qiymatini shu tarzda o'zingiz topishga harakat qiling.
Siz hisoblab chiqdingizmi? Qaydlaringizni javob bilan solishtiring:
Iltimos, e'tibor bering, biz oldingi qiymatga arifmetik progressiya shartlarini ketma-ket qo'shganimizda, oldingi usulda bo'lgani kabi, xuddi shunday raqamni oldingiz.
Keling, ushbu formulani "shaxsiylashtirishga" harakat qilaylik - keling, uni umumiy shaklga keltiramiz va olamiz:
|
Arifmetik progressiya tenglamasi. |
Arifmetik progressiyalar ortishi yoki kamayishi mumkin.
Ortib bormoqda- shartlarning har bir keyingi qiymati oldingisidan katta bo'lgan progressiyalar.
Masalan:
Pastga- shartlarning har bir keyingi qiymati oldingisidan kichik bo'lgan progressiyalar.
Masalan:
Olingan formuladan arifmetik progressiyaning o'sish va kamayuvchi hadlaridagi hadlarni hisoblashda foydalaniladi.
Keling, buni amalda tekshirib ko'ramiz.
Bizga quyidagi raqamlardan iborat arifmetik progressiya berilgan: Keling, uni hisoblash uchun formulamizdan foydalansak, bu arifmetik progressiyaning soni qancha bo'lishini tekshirib ko'raylik:
O'shandan beri:
Shunday qilib, formulaning arifmetik progressiyaning ham kamayishi, ham ortishi bilan ishlashiga amin bo'ldik.
Ushbu arifmetik progressiyaning uchinchi va uchinchi hadlarini o'zingiz topishga harakat qiling.
Keling, natijalarni taqqoslaylik:
Arifmetik progressiya xossasi
Keling, masalani murakkablashtiramiz - arifmetik progressiyaning xossasini olamiz.
Aytaylik, bizga quyidagi shart berilgan:
- arifmetik progressiya, qiymatini toping.
Oson, siz bilgan formula bo'yicha aytasiz va hisoblashni boshlaysiz:
Keling, ah, keyin:
Mutlaqo to'g'ri. Ma'lum bo'lishicha, biz avval topamiz, keyin uni birinchi raqamga qo'shamiz va biz izlayotgan narsamizni olamiz. Agar progressiya kichik qiymatlar bilan ifodalangan bo'lsa, unda bu erda hech qanday murakkab narsa yo'q, lekin agar bizga shartlarda raqamlar berilsa nima bo'ladi? Qabul qiling, hisob-kitoblarda xato qilish ehtimoli bor.
Endi o'ylab ko'ring, har qanday formuladan foydalanib, bu muammoni bir bosqichda hal qilish mumkinmi? Albatta, ha, va biz buni hozir chiqarishga harakat qilamiz.
Arifmetik progressiyaning zaruriy atamasini shunday belgilaymizki, uni topish formulasi bizga ma'lum - bu biz boshida olingan formuladir:
, Keyin:
- progressiyaning oldingi muddati:
- progressiyaning keyingi muddati:
Progressiyaning oldingi va keyingi shartlarini umumlashtiramiz:
Ma’lum bo‘lishicha, progressiyaning oldingi va keyingi hadlarining yig‘indisi ular orasida joylashgan progressiya hadining qo‘sh qiymatidir. Boshqacha qilib aytganda, oldingi va ketma-ket qiymatlari ma'lum bo'lgan progressiya hadining qiymatini topish uchun ularni qo'shish va bo'lish kerak.
To'g'ri, bizda bir xil raqam bor. Keling, materialni himoya qilaylik. Rivojlanish qiymatini o'zingiz hisoblang, bu unchalik qiyin emas.
Juda qoyil! Siz taraqqiyot haqida deyarli hamma narsani bilasiz! Afsonaga ko'ra, barcha davrlarning eng buyuk matematiklaridan biri, "matematiklar qiroli" Karl Gauss tomonidan osonlikcha aniqlangan bitta formulani topish qoladi ...
Karl Gauss 9 yoshga to'lganida, o'qituvchi boshqa sinflardagi o'quvchilarning ishini tekshirish bilan mashg'ul bo'lib, sinfda quyidagi vazifani berdi: "Barcha natural sonlar yig'indisini (boshqa manbalarga ko'ra) inklyuzivgacha hisoblang". Bir daqiqadan so'ng uning shogirdlaridan biri (bu Karl Gauss edi) topshiriqga to'g'ri javob berganida, o'qituvchining hayratda qolganini tasavvur qiling-a, biroq jasur sinfdoshlarining ko'pchiligi uzoq hisob-kitoblardan so'ng noto'g'ri natija olishdi ...
Yosh Karl Gauss siz ham osongina sezishingiz mumkin bo'lgan ma'lum bir naqshni payqadi.
Aytaylik, bizda --chi hadlardan iborat arifmetik progressiya bor: Arifmetik progressiyaning bu hadlarining yig‘indisini topishimiz kerak. Albatta, biz barcha qiymatlarni qo'lda yig'ishimiz mumkin, lekin agar vazifa Gauss izlayotgandek, uning shartlari yig'indisini topishni talab qilsa-chi?
Keling, bizga berilgan taraqqiyotni tasvirlaylik. Belgilangan raqamlarni diqqat bilan ko'rib chiqing va ular bilan turli matematik operatsiyalarni bajarishga harakat qiling. 
Siz sinab ko'rdingizmi? Nimani sezdingiz? To'g'ri! Ularning summalari teng
Endi ayting-chi, bizga berilgan progressiyada jami nechta shunday juftlik bor? Albatta, barcha raqamlarning to'liq yarmi, ya'ni.
Arifmetik progressiyaning ikkita hadining yig'indisi teng va o'xshash juftliklar teng ekanligiga asoslanib, biz umumiy yig'indiga teng ekanligini olamiz:
.
Shunday qilib, har qanday arifmetik progressiyaning birinchi hadlari yig'indisi formulasi:
Ba'zi masalalarda biz th atamani bilmaymiz, lekin progressiyaning farqini bilamiz. Yig'indi formulasiga th hadning formulasini qo'yishga harakat qiling.
Nima oldingiz?
Juda qoyil! Endi Karl Gaussga berilgan masalaga qaytaylik: th dan boshlanadigan sonlar yig'indisi va th dan boshlanadigan sonlar yig'indisi nimaga teng ekanligini o'zingiz hisoblang.
Qancha oldingiz?
Gauss hadlar yig'indisi teng, va hadlar yig'indisi ekanligini aniqladi. Siz shunday qaror qildingizmi?
Darhaqiqat, arifmetik progressiyaning hadlari yig‘indisi formulasini qadimgi yunon olimi Diofant 3-asrda isbotlagan va shu vaqt davomida zukkolar arifmetik progressiyaning xususiyatlaridan to‘liq foydalanishgan.
Masalan, Qadimgi Misr va o‘sha davrdagi eng yirik qurilish loyihasi – piramida qurilishini tasavvur qiling... Rasmda uning bir tomoni ko‘rsatilgan. 
Bu yerda taraqqiyot qayerda, deysizmi? Ehtiyotkorlik bilan qarang va piramida devorining har bir qatoridagi qum bloklari sonidagi naqshni toping. 
Nega arifmetik progressiya emas? Agar poydevorga blokli g'isht qo'yilsa, bitta devorni qurish uchun qancha blok kerakligini hisoblang. Umid qilamanki, siz barmog'ingizni monitor bo'ylab harakatlantirganda hisoblamaysiz, oxirgi formulani va arifmetik progressiya haqida aytgan hamma narsani eslaysizmi?
Bu holda progressiya quyidagicha ko'rinadi: .
Arifmetik progressiya farqi.
Arifmetik progressiyaning hadlar soni.
Keling, ma'lumotlarimizni oxirgi formulalarga almashtiramiz (bloklar sonini 2 usulda hisoblang).
1-usul.
2-usul.
Va endi siz monitorda hisoblashingiz mumkin: olingan qiymatlarni bizning piramidamizdagi bloklar soni bilan solishtiring. Tushundim? Yaxshi, siz arifmetik progressiyaning n-chi hadlari yig‘indisini o‘zlashtirdingiz.
Albatta, siz poydevordagi bloklardan piramida qura olmaysiz, lekin nimadan? Ushbu shart bilan devor qurish uchun qancha qum g'ishtlari kerakligini hisoblashga harakat qiling.
Siz boshqardingizmi?
To'g'ri javob bloklar:
Trening
Vazifalar:
- Masha yoz uchun formaga tushmoqda. Har kuni u chayqalishlar sonini ko'paytiradi. Agar Masha birinchi mashg'ulotda chayqalsa, haftada necha marta chayqaladi?
- Tarkibidagi barcha toq raqamlarning yig'indisi nimaga teng.
- Jurnallarni saqlashda loggerlar ularni har bir yuqori qatlamda oldingisidan bittadan kamroq jurnalni o'z ichiga oladigan tarzda to'playdi. Agar toshning poydevori loglar bo'lsa, bitta devorda nechta log bor?
Javoblar:
- Arifmetik progressiyaning parametrlarini aniqlaylik. Ushbu holatda
(hafta = kunlar).Javob: Ikki hafta ichida Masha kuniga bir marta squats qilish kerak.
- Birinchi toq raqam, oxirgi raqam.
Arifmetik progressiya farqi.
Toq sonlar soni yarmiga teng, ammo arifmetik progressiyaning uchinchi hadini topish formulasi yordamida bu faktni tekshiramiz:Raqamlar toq raqamlarni o'z ichiga oladi.
Mavjud ma'lumotlarni formulaga almashtiramiz:Javob: Tarkibidagi barcha toq sonlarning yig'indisi teng.
- Piramidalar haqidagi muammoni eslaylik. Bizning holatlarimiz uchun a , chunki har bir yuqori qatlam bitta logga qisqartiriladi, keyin jami qatlamlar to'plami mavjud, ya'ni.
Keling, ma'lumotlarni formulaga almashtiramiz:Javob: Duvarcılıkda loglar mavjud.
Keling, xulosa qilaylik
- - qo'shni sonlar orasidagi farq bir xil va teng bo'lgan sonlar ketma-ketligi. U ortishi yoki kamayishi mumkin.
- Formulani topish Arifmetik progressiyaning uchinchi hadi - formula bilan yoziladi, bu erda progressiyadagi sonlar soni.
- Arifmetik progressiya a'zolarining xossasi- - bu yerda progressiyadagi sonlar soni.
- Arifmetik progressiyaning hadlari yig'indisi ikki shaklda topish mumkin:
, bu yerda qiymatlar soni.
ARIFMETIK PROGRESSIYA. O'RTACHA DARAJASI
Raqamlar ketma-ketligi
Keling, o'tirib, bir nechta raqamlarni yozishni boshlaylik. Masalan:
Siz har qanday raqamlarni yozishingiz mumkin va ular xohlagancha ko'p bo'lishi mumkin. Lekin biz har doim qaysi biri birinchi, qaysi biri ikkinchi va boshqalarni aytishimiz mumkin, ya'ni ularni raqamlashimiz mumkin. Bu raqamlar ketma-ketligiga misol.
Raqamlar ketma-ketligi raqamlar to'plami bo'lib, ularning har biriga o'ziga xos raqam berilishi mumkin.
Boshqacha qilib aytganda, har bir raqam ma'lum bir natural son va noyob raqam bilan bog'lanishi mumkin. Va biz bu raqamni ushbu to'plamdagi boshqa raqamga tayinlamaymiz.
Raqamli raqam ketma-ketlikning th a'zosi deyiladi.
Biz odatda butun ketma-ketlikni qandaydir harf bilan chaqiramiz (masalan,) va bu ketma-ketlikning har bir a'zosi indeksi shu a'zoning soniga teng bo'lgan bir xil harf: .
Agar ketma-ketlikning uchinchi hadi qandaydir formula bilan aniqlansa, bu juda qulay. Masalan, formula
ketma-ketlikni belgilaydi:
Va formula quyidagi ketma-ketlikdir:
Masalan, arifmetik progressiya ketma-ketlikdir (bu erda birinchi had teng, farq esa). Yoki (, farq).
n-sonli formula
Formulani takroriy deb ataymiz, unda 1-sonni bilish uchun oldingi yoki bir nechta oldingilarini bilishingiz kerak:
Masalan, ushbu formuladan foydalanib, progressiyaning uchinchi hadini topish uchun oldingi to'qqiztasini hisoblashimiz kerak bo'ladi. Masalan, ruxsat bering. Keyin:
Xo'sh, formula nima ekanligi aniqmi?
Har bir qatorda biz qo'shamiz, ba'zi bir raqamga ko'paytiramiz. Qaysi biri? Juda oddiy: bu joriy a'zoning soni minus:
Hozir ancha qulayroq, to'g'rimi? Biz tekshiramiz:
O'zingiz qaror qiling:
Arifmetik progressiyada n-hashning formulasini toping va yuzinchi hadni toping.
Yechim:
Birinchi atama teng. Farqi nimada? Mana nima:
(Shuning uchun u farq deb ataladi, chunki u progressiyaning ketma-ket hadlari ayirmasiga teng).
Shunday qilib, formula:
U holda yuzinchi had quyidagilarga teng bo'ladi:
dan gacha bo'lgan barcha natural sonlarning yig'indisi nechaga teng?
Afsonaga ko'ra, buyuk matematik Karl Gauss 9 yoshli bolaligida bu miqdorni bir necha daqiqada hisoblab chiqdi. U birinchi va oxirgi sonlar yig‘indisi teng ekanligini, ikkinchi va oxirgi sonlar yig‘indisi bir xil, oxiridan uchinchi va uchinchi sonlar yig‘indisi bir xil ekanligini va hokazo. Bunday juftliklar jami nechta? To'g'ri, barcha raqamlarning yarmi soni, ya'ni. Shunday qilib,
Har qanday arifmetik progressiyaning birinchi hadlari yig'indisining umumiy formulasi quyidagicha bo'ladi:
Misol:
Barcha ikki xonali koʻpaytmalar yigʻindisini toping.
Yechim:
Birinchi bunday raqam bu. Har bir keyingi raqam oldingi raqamga qo'shish orqali olinadi. Shunday qilib, bizni qiziqtirgan raqamlar birinchi had va ayirma bilan arifmetik progressiya hosil qiladi.
Ushbu progressiyaning 3-sonining formulasi:
Agar ularning barchasi ikki xonali bo'lishi kerak bo'lsa, progressiyada nechta atama bor?
Juda oson: .
Progressiyaning oxirgi muddati teng bo'ladi. Keyin summa:
Javob: .
Endi o'zingiz qaror qiling:
- Har kuni sportchi oldingi kunga qaraganda ko'proq metr yuguradi. Agar birinchi kuni km m yugurgan bo'lsa, u haftada jami necha kilometr yuguradi?
- Velosipedchi har kuni oldingi kunga qaraganda ko'proq kilometr masofani bosib o'tadi. Birinchi kuni u km yo'l bosib o'tdi. Bir kilometrni bosib o'tish uchun u necha kun yurishi kerak? Sayohatining oxirgi kunida u necha kilometr yuradi?
- Do'kondagi muzlatgichning narxi har yili bir xil miqdorda pasayadi. Agar sotuvga rublga qo'yilgan bo'lsa, olti yildan so'ng u rublga sotilgan bo'lsa, muzlatgich narxi har yili qanchaga tushganini aniqlang.
Javoblar:
- Bu erda eng muhim narsa arifmetik progressiyani tanib olish va uning parametrlarini aniqlashdir. Bunday holda, (hafta = kun). Ushbu progressiyaning birinchi shartlari yig'indisini aniqlashingiz kerak:
.
Javob: - Bu erda berilgan: , topilishi kerak.
Shubhasiz, oldingi muammodagi kabi bir xil yig'indi formulasidan foydalanishingiz kerak:
.
Qiymatlarni almashtiring:Ildiz aniq mos kelmaydi, shuning uchun javob.
Oxirgi kun davomida bosib o‘tgan yo‘lni 1-son formulasi yordamida hisoblaymiz:
(km).
Javob: - Berilgan: . Toping: .
Bu oddiyroq bo'lishi mumkin emas:
(rub).
Javob:
ARIFMETIK PROGRESSIYA. ASOSIY NARSALAR HAQIDA QISQA
Bu qo'shni raqamlar orasidagi farq bir xil va teng bo'lgan raqamlar ketma-ketligi.
Arifmetik progressiya ortishi () va kamayishi () bo'lishi mumkin.
Masalan:
Arifmetik progressiyaning n-chi hadini topish formulasi
formula bilan yoziladi, bu erda progressiyadagi sonlar soni.
Arifmetik progressiya a'zolarining xossasi
Bu progressiyaning qo‘shni shartlari ma’lum bo‘lsa, uning hadini osongina topish imkonini beradi – progressiyadagi sonlar soni qayerda.
Arifmetik progressiyaning hadlari yig‘indisi
Miqdorni topishning ikki yo'li mavjud:
Qaerda qiymatlar soni.
Qaerda qiymatlar soni.
Formulaning asosiy mohiyati nimadan iborat?
Ushbu formula sizga topishga imkon beradi har qanday RAQAMI BO'YICHA" n" .
Albatta, siz birinchi atamani ham bilishingiz kerak a 1 va rivojlanish farqi d, yaxshi, bu parametrlarsiz siz ma'lum bir progressiyani yozib bo'lmaydi.
Ushbu formulani yodlash (yoki beshikda saqlash) etarli emas. Siz uning mohiyatini tushunishingiz va formulani turli masalalarda qo'llashingiz kerak. Va shuningdek, to'g'ri vaqtda unutmaslik uchun, ha ...) Qanday qilib unutmang- bilmayman. Va bu erda qanday eslash kerak Agar kerak bo'lsa, men sizga albatta maslahat beraman. Darsni oxirigacha yakunlaganlar uchun.)
Shunday qilib, arifmetik progressiyaning n-chi hadi formulasini ko‘rib chiqamiz.
Umuman formula nima? Aytgancha, agar o'qimagan bo'lsangiz, ko'rib chiqing. U erda hamma narsa oddiy. Bu nima ekanligini aniqlash uchun qoladi n-chi davr.
Umuman olganda progressni raqamlar qatori sifatida yozish mumkin:
a 1, 2, 3, 4, 5, .....
a 1- arifmetik progressiyaning birinchi hadini bildiradi; a 3- uchinchi a'zo, a 4- to'rtinchisi va boshqalar. Agar bizni beshinchi muddat qiziqtirsa, deylik, biz bilan ishlaymiz a 5, agar bir yuz yigirmanchi - s a 120.
Uni umumiy ma'noda qanday aniqlash mumkin? har qanday arifmetik progressiyaning hadi, bilan har qanday raqam? Juda oddiy! Mana bunday:
a n
Bu shunday arifmetik progressiyaning n-chi hadi. N harfi bir vaqtning o'zida barcha a'zo raqamlarini yashiradi: 1, 2, 3, 4 va hokazo.
Va bunday rekord bizga nima beradi? O'ylab ko'ring, ular raqam o'rniga xat yozishdi ...
Bu belgi bizga arifmetik progressiya bilan ishlash uchun kuchli vosita beradi. Belgilanishdan foydalanish a n, biz tezda topamiz har qanday a'zosi har qanday arifmetik progressiya. Va boshqa bir qator progressiv muammolarni hal qiling. Keyinchalik o'zingiz ko'rasiz.
Arifmetik progressiyaning n-chi hadi formulasida:
| a n = a 1 + (n-1)d |
a 1- arifmetik progressiyaning birinchi hadi;
n- a'zo raqami.
Formula har qanday progressiyaning asosiy parametrlarini bog'laydi: a n; a 1; d Va n. Barcha progressiv muammolar ushbu parametrlar atrofida aylanadi.
n-sonli formuladan muayyan progressiyani yozish uchun ham foydalanish mumkin. Masalan, muammo progressiyaning shart bilan ko'rsatilganligini aytishi mumkin:
a n = 5 + (n-1) 2.
Bunday muammo boshi berk ko'cha bo'lishi mumkin... Bunda ketma-ketlik ham, farq ham yo'q... Lekin shartni formula bilan solishtirsak, bu progressiyada ekanligini tushunish oson. a 1 =5 va d=2.
Va bundan ham battar bo'lishi mumkin!) Xuddi shu shartni olsak: a n = 5 + (n-1) 2, Ha, qavslarni oching va shunga o'xshashlarni keltiring? Biz yangi formulani olamiz:
a n = 3 + 2n.
Bu Faqat umumiy emas, balki ma'lum bir rivojlanish uchun. Bu yerda tuzoq yashiringan. Ba'zi odamlar birinchi atama uchta deb o'ylashadi. Garchi haqiqatda birinchi muddat beshta bo'lsa-da ... Bir oz pastroqda biz bunday o'zgartirilgan formula bilan ishlaymiz.
Progressiya muammolarida yana bir belgi bor - a n+1. Bu, siz taxmin qilganingizdek, progressiyaning "n plus birinchi" atamasi. Uning ma'nosi sodda va zararsizdir.) Bu soni n sonidan bittaga katta bo'lgan progressiyaning a'zosi. Misol uchun, agar biron bir muammoni hal qilsak a n keyin beshinchi muddat a n+1 oltinchi a'zo bo'ladi. Va hokazo.
Ko'pincha belgilash a n+1 takrorlanish formulalarida topilgan. Bu qo'rqinchli so'zdan qo'rqmang!) Bu shunchaki arifmetik progressiya a'zosini ifodalash usuli. oldingi orqali. Aytaylik, bizga takrorlanuvchi formuladan foydalanib, bu shaklda arifmetik progressiya berilgan:
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
To'rtinchi - uchinchi orqali, beshinchi - to'rtinchi orqali va hokazo. Aytaylik, yigirmanchi muddatni darhol qanday hisoblashimiz mumkin? a 20? Ammo hech qanday yo'l yo'q!) 19-sonni aniqlamagunimizcha, biz 20-sonni hisoblay olmaymiz. Bu takrorlanuvchi formula va n-sonli formula o'rtasidagi asosiy farqdir. Takroriy faqat orqali ishlaydi oldingi had va n-sonning formulasi orqali birinchi va imkon beradi to'g'ridan-to'g'ri uning raqami bo'yicha istalgan a'zoni toping. Raqamlarning butun seriyasini tartibda hisoblamasdan.
Arifmetik progressiyada takrorlanuvchi formulani oddiy formulaga aylantirish oson. Ketma-ket keluvchi shartlarni sanang, farqni hisoblang d, agar kerak bo'lsa, birinchi atamani toping a 1, formulani odatdagi shaklda yozing va u bilan ishlang. Bunday vazifalar Davlat Fanlar Akademiyasida tez-tez uchrab turadi.
Arifmetik progressiyaning n-chi hadi formulasini qo‘llash.
Birinchidan, formulaning bevosita qo'llanilishini ko'rib chiqaylik. Oldingi dars oxirida muammo bor edi:
Arifmetik progressiya (a n) berilgan. a 1 =3 va d=1/6 bo'lsa, 121 ni toping.
Bu muammoni hech qanday formulalarsiz, oddiygina arifmetik progressiyaning ma'nosiga asoslanib hal qilish mumkin. Qo'shing va qo'shing ... Bir yoki ikki soat.)
Va formulaga ko'ra, eritma bir daqiqadan kamroq vaqtni oladi. Vaqtingiz mumkin.) Keling, qaror qilaylik.
Shartlar formuladan foydalanish uchun barcha ma'lumotlarni taqdim etadi: a 1 =3, d=1/6. Nima teng ekanligini aniqlash uchun qoladi n. Hammasi joyida! Biz topishimiz kerak a 121. Shunday qilib, biz yozamiz:
Iltimos, diqqat qiling! Indeks o'rniga n aniq raqam paydo bo'ldi: 121. Bu juda mantiqiy.) Bizni arifmetik progressiyaning a'zosi qiziqtiradi. soni bir yuz yigirma bir. Bu bizniki bo'ladi n. Bu ma'no n= 121 ni qavs ichida formulaga almashtiramiz. Biz barcha raqamlarni formulaga almashtiramiz va hisoblaymiz:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
Bo'ldi shu. Xuddi shunday tez besh yuz o'ninchi hadni, ming va uchinchini esa istalgan birini topish mumkin edi. Biz o'rniga qo'yamiz n harf indeksidagi kerakli raqam " a" va qavs ichida va biz hisoblaymiz.
Sizga bir narsani eslatib o'taman: bu formula sizga topishga imkon beradi har qanday arifmetik progressiya atamasi RAQAMI BO'YICHA" n" .
Keling, muammoni yanada ayyorroq tarzda hal qilaylik. Keling, quyidagi muammoga duch kelamiz:
Arifmetik progressiyaning (a n) birinchi hadini toping, agar a 17 =-2; d=-0,5.
Agar sizda biron bir qiyinchilik bo'lsa, men sizga birinchi qadamni aytaman. Arifmetik progressiyaning n-chi hadi formulasini yozing! Ha ha. Qo'llaringiz bilan to'g'ridan-to'g'ri daftaringizga yozing:
| a n = a 1 + (n-1)d |
Va endi, formulaning harflariga qarab, bizda qanday ma'lumotlar borligini va nima etishmayotganini tushunamiz? Mavjud d=-0,5, o'n yettinchi a'zo bor... Shunaqami? Agar shunday deb o'ylasangiz, muammoni hal qilmaysiz, ha...
Bizda hali raqam bor n! Holatda a 17 = -2 yashirin ikkita parametr. Bu ham o'n ettinchi hadning qiymati (-2) va uning soni (17). Bular. n=17. Bu "arzimas narsa" ko'pincha boshdan o'tib ketadi va usiz (bosh emas, "arzimas narsa"siz!) muammoni hal qilib bo'lmaydi. Garchi... va boshsiz ham.)
Endi biz ahmoqona ma'lumotlarimizni formulaga almashtirishimiz mumkin:
a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
Oh Ha, a 17-2 ekanligini bilamiz. Mayli, almashtiramiz:
-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
Hammasi shu. Formuladan arifmetik progressiyaning birinchi hadini ifodalash va uni hisoblash qoladi. Javob quyidagicha bo'ladi: a 1 = 6.
Bu usul - formulani yozish va oddiygina ma'lum ma'lumotlarni almashtirish - oddiy vazifalarni bajarishda katta yordam beradi. Albatta, siz formuladan o'zgaruvchini ifodalay olishingiz kerak, lekin nima qilish kerak!? Bu mahoratsiz matematikani umuman o‘rganib bo‘lmaydi...
Yana bir mashhur jumboq:
Arifmetik progressiyaning (a n) ayirmasini toping, agar a 1 =2; a 15 = 12.
Biz nima qilyapmiz? Siz hayron qolasiz, biz formulani yozyapmiz!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Keling, bilganimizni ko'rib chiqaylik: a 1 =2; a 15 =12; va (Men ayniqsa ta'kidlayman!) n=15. Buni formulaga almashtiring:
12=2 + (15-1)d
Biz arifmetika qilamiz.)
12=2 + 14k
d=10/14 = 5/7
Bu to'g'ri javob.
Shunday qilib, vazifalar a n, a 1 Va d qaror qildi. Qolgan narsa raqamni qanday topishni o'rganishdir:
99 soni arifmetik progressiyaning a'zosi (a n), bu erda a 1 =12; d=3. Ushbu a'zoning raqamini toping.
Bizga ma'lum bo'lgan miqdorlarni n-sonli formulaga almashtiramiz:
a n = 12 + (n-1) 3
Bir qarashda, bu erda ikkita noma'lum miqdor mavjud: a n va n. Lekin a n- bu raqam bilan progressiyaning ba'zi a'zosi n...Va biz bu taraqqiyot a'zosini bilamiz! Bu 99. Biz uning raqamini bilmaymiz. n, Shunday qilib, bu raqamni topishingiz kerak bo'lgan narsadir. 99 progressiyaning hadini formulaga almashtiramiz:
99 = 12 + (n-1) 3
Formuladan ifodalaymiz n, deb o'ylaymiz. Javobni olamiz: n=30.
Va endi bir xil mavzudagi muammo, lekin yanada ijodiy):
117 soni arifmetik progressiyaning (a n) a’zosi ekanligini aniqlang:
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Keling, formulani yana yozamiz. Nima, parametrlar yo'qmi? Hm... Nima uchun bizga ko'zlar berilgan?) Progressiyaning birinchi hadini ko'ramizmi? Ko'ramiz. Bu -3,6. Siz xavfsiz yozishingiz mumkin: a 1 = -3,6. Farq d Serialdan ayta olasizmi? Agar arifmetik progressiyaning farqi nima ekanligini bilsangiz, bu oson:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Shunday qilib, biz eng oddiy narsani qildik. Noma'lum raqam bilan shug'ullanish qoladi n va tushunarsiz raqam 117. Oldingi masalada hech bo'lmaganda progressiyaning termini berilganligi ma'lum edi. Lekin bu erda biz ham bilmaymiz ... Nima qilish kerak!? Xo'sh, qanday bo'lish kerak, qanday bo'lish kerak ... Ijodiy qobiliyatingizni yoqing!)
Biz deylik bu 117 bizning taraqqiyotimiz a'zosi. Noma'lum raqam bilan n. Va, xuddi oldingi muammoda bo'lgani kabi, keling, ushbu raqamni topishga harakat qilaylik. Bular. formulani yozamiz (ha, ha!)) va raqamlarimizni almashtiramiz:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Yana formuladan ifodalaymizn, biz hisoblaymiz va olamiz:
Voy! Raqam chiqdi kasrli! Bir yuz bir yarim. Va progressiyadagi kasr sonlar bo'lishi mumkin emas. Qanday xulosa chiqarishimiz mumkin? Ha! 117 raqami emas bizning taraqqiyotimiz a'zosi. Bu yuzdan birinchi va yuz ikkinchi shartlar orasida. Agar raqam tabiiy bo'lib chiqsa, ya'ni. musbat butun son bo'lsa, u holda son topilgan son bilan progressiyaning a'zosi bo'ladi. Va bizning holatlarimizda muammoga javob quyidagicha bo'ladi: Yo'q.
GIA ning haqiqiy versiyasiga asoslangan vazifa:
Arifmetik progressiya quyidagi shart bilan beriladi:
a n = -4 + 6,8n
Progressiyaning birinchi va o‘ninchi hadlarini toping.
Bu erda progressiya g'ayrioddiy tarzda o'rnatiladi. Qandaydir formula... Shunday bo'ladi.) Biroq, bu formula (yuqorida yozganimdek) - arifmetik progressiyaning n-chi hadi formulasi ham! U ham ruxsat beradi progressiyaning istalgan a'zosini soni bo'yicha toping.
Biz birinchi a'zoni qidirmoqdamiz. O'ylaydigan kishi. birinchi hadning minus to'rt ekanligi o'ta xato!) Chunki masaladagi formula o'zgartirilgan. Undagi arifmetik progressiyaning birinchi hadi yashirin. Mayli, hozir topamiz.)
Xuddi oldingi muammolarda bo'lgani kabi, biz almashtiramiz n=1 ushbu formulaga:
a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8
Bu yerga! Birinchi muddat -4 emas, 2,8!
Biz o'ninchi atamani xuddi shu tarzda qidiramiz:
a 10 = -4 + 6,8 10 = 64
Bo'ldi shu.
Va endi, ushbu satrlarni o'qiganlar uchun va'da qilingan bonus.)
Aytaylik, Davlat imtihonining yoki Yagona davlat imtihonining qiyin jangovar holatida siz arifmetik progressiyaning n-chi hadi uchun foydali formulani unutdingiz. Men bir narsani eslayman, lekin qandaydir noaniq ... Yoki n u erda yoki n+1 yoki n-1... Qanday bo'lish kerak!?
Sokin! Ushbu formulani olish oson. Bu juda qattiq emas, lekin ishonch va to'g'ri qaror qabul qilish uchun albatta etarli!) Xulosa qilish uchun arifmetik progressiyaning elementar ma'nosini eslab qolish va bir necha daqiqa vaqt ajratish kifoya. Siz shunchaki rasm chizishingiz kerak. Aniqlik uchun.
Raqam chizig'ini chizing va uning ustiga birinchisini belgilang. ikkinchi, uchinchi va boshqalar. a'zolari. Va biz farqni qayd etamiz d a'zolar o'rtasida. Mana bunday:
Biz rasmga qaraymiz va o'ylaymiz: ikkinchi atama nimaga teng? Ikkinchi bitta d:
a 2 =a 1 + 1 d
Uchinchi atama nima? Uchinchi muddat birinchi had plyusga teng ikki d.
a 3 =a 1 + 2 d
Tushundingizmi? Ba'zi so'zlarni qalin harf bilan ajratib ko'rsatishim bejiz emas. Yaxshi, yana bir qadam).
To'rtinchi muddat nima? To'rtinchi muddat birinchi had plyusga teng uch d.
a 4 =a 1 + 3 d
Bo'shliqlar soni, ya'ni ekanligini tushunish vaqti keldi. d, Har doim siz izlayotgan a'zo sonidan bitta kam n. Ya'ni raqamga n, bo'shliqlar soni bo'ladi n-1. Shunday qilib, formula bo'ladi (o'zgarishlarsiz!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
Umuman olganda, ko'rgazmali rasmlar matematikaning ko'plab masalalarini hal qilishda juda yordam beradi. Rasmlarni e'tiborsiz qoldirmang. Ammo agar rasm chizish qiyin bo'lsa, unda ... faqat formula!) Bundan tashqari, n-sonli formula sizga matematikaning butun kuchli arsenalini yechimga - tenglamalar, tengsizliklar, tizimlar va boshqalarni ulash imkonini beradi. Siz tenglamaga rasm qo'sha olmaysiz ...
Mustaqil hal qilish uchun vazifalar.
Isitish uchun:
1. Arifmetik progressiyada (a n) a 2 =3; a 5 =5,1. 3 ni toping.
Maslahat: rasmga ko'ra, muammoni 20 soniyada hal qilish mumkin... Formulaga ko'ra, bu qiyinroq bo'lib chiqadi. Ammo formulani o'zlashtirish uchun bu foydaliroq.) 555-bo'limda bu muammo rasm va formuladan foydalangan holda hal qilinadi. Farqni his eting!)
Va bu endi isinish emas.)
2. Arifmetik progressiyada (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. 3 ni toping.
Nima, siz rasm chizishni xohlamaysizmi?) Albatta! Formulaga ko'ra yaxshiroq, ha ...
3. Arifmetik progressiya quyidagi shart bilan beriladi:a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Bu progressiyaning bir yuz yigirma beshinchi hadini toping.
Ushbu vazifada progressiya takroriy tarzda belgilanadi. Lekin bir yuz yigirma beshinchi songacha sanasak... Bunday jasoratga hamma ham qodir emas.) Lekin n-sonning formulasi hammaning kuchida!
4. Arifmetik progressiya (a n) berilgan:
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Progressiyaning eng kichik musbat hadining sonini toping.
5. 4-topshiriq shartlariga ko‘ra progressiyaning eng kichik ijobiy va eng katta manfiy hadlari yig‘indisini toping.
6. O'sib boruvchi arifmetik progressiyaning beshinchi va o'n ikkinchi hadlarining ko'paytmasi -2,5 ga, uchinchi va o'n birinchi hadlarning yig'indisi esa nolga teng. 14 ni toping.
Eng oson ish emas, ha ...) Bu erda "barmoq uchi" usuli ishlamaydi. Siz formulalar yozishingiz va tenglamalarni echishingiz kerak bo'ladi.
Javoblar (tartibsiz):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Bo'ldimi? Bu yoqimli!)
Hammasi yaxshi emasmi? Bo'ladi. Aytgancha, oxirgi vazifada bitta nozik nuqta bor. Muammoni o'qishda ehtiyot bo'lish kerak bo'ladi. Va mantiq.
Bu barcha muammolarni hal qilish 555-bo'limda batafsil ko'rib chiqiladi. Va to'rtinchisi uchun fantaziya elementi va oltinchi uchun nozik nuqta va n-sonning formulasi bilan bog'liq har qanday muammolarni hal qilishning umumiy yondashuvlari - hamma narsa tasvirlangan. Men Tavsiya qilaman.
Agar sizga bu sayt yoqsa...
Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)
Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. Keling, o'rganamiz - qiziqish bilan!)
Funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.
I. V. Yakovlev | Matematika materiallari | MathUs.ru
Arifmetik progressiya
Arifmetik progressiya ketma-ketlikning maxsus turidir. Shuning uchun, arifmetik (keyin geometrik) progressiyani aniqlashdan oldin, biz raqamlar ketma-ketligi haqidagi muhim tushunchani qisqacha muhokama qilishimiz kerak.
Keyingi ketma-ketlik
Ekranda ma'lum raqamlar birin-ketin ko'rsatiladigan qurilmani tasavvur qiling. Aytaylik, 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Bu raqamlar to'plami aniq ketma-ketlikning namunasidir.
Ta'rif. Raqamlar ketma-ketligi - bu har bir raqamga o'ziga xos raqam berilishi mumkin bo'lgan raqamlar to'plami (ya'ni bitta natural son bilan bog'langan)1. N soni ketma-ketlikning n-soni deyiladi.
Demak, yuqoridagi misolda birinchi raqam 2, bu ketma-ketlikning birinchi a'zosi bo'lib, uni a1 bilan belgilash mumkin; beshinchi raqam 6 raqami ketma-ketlikning beshinchi hadi bo'lib, uni a5 bilan belgilash mumkin. Umuman, ketma-ketlikning n-chi hadi an (yoki bn, cn va boshqalar) bilan belgilanadi.
Ketma-ketlikning n-haddini qandaydir formula bilan belgilash mumkin bo'lsa, juda qulay holat. Masalan, an = 2n 3 formulasi ketma-ketlikni belgilaydi: 1; 1; 3; 5; 7; : : : an = (1)n formulasi ketma-ketlikni bildiradi: 1; 1; 1; 1; : : :
Har bir raqamlar to'plami ketma-ketlik emas. Shunday qilib, segment ketma-ketlik emas; unda qayta raqamlash uchun "juda ko'p" raqamlar mavjud. Barcha haqiqiy sonlarning R to'plami ham ketma-ketlik emas. Bu faktlar matematik tahlil jarayonida isbotlangan.
Arifmetik progressiya: asosiy ta'riflar
Endi biz arifmetik progressiyani aniqlashga tayyormiz.
Ta'rif. Arifmetik progressiya - bu ketma-ketlik bo'lib, unda har bir had (ikkinchidan boshlab) oldingi had va qandaydir qo'zg'almas sonning yig'indisiga teng bo'ladi (arifmetik progressiyaning farqi deb ataladi).
Masalan, 2-qator; 5; 8; o'n bir; : : : birinchi hadi 2 va ayirmasi 3 boʻlgan arifmetik progressiya. 7-ketlik; 2; 3; 8; : : : birinchi hadi 7 va ayirmasi 5 boʻlgan arifmetik progressiya. 3-ketlik; 3; 3; : : : ayirmasi nolga teng arifmetik progressiya.
Ekvivalent ta'rif: an+1 an ayirmasi doimiy qiymat bo'lsa (n dan mustaqil) bo'lsa, an ketma-ketligi arifmetik progressiya deyiladi.
Arifmetik progressiya ayirmasi musbat bo'lsa ortib boruvchi, manfiy bo'lsa kamayuvchi deyiladi.
1 Ammo bu erda qisqaroq ta'rif: ketma-ketlik - bu natural sonlar to'plamida aniqlangan funksiya. Masalan, haqiqiy sonlar ketma-ketligi f funktsiya: N ! R.
Odatiy bo'lib, ketma-ketliklar cheksiz hisoblanadi, ya'ni cheksiz sonli sonlarni o'z ichiga oladi. Lekin bizni chekli ketma-ketliklarni ko'rib chiqish uchun hech kim bezovta qilmaydi; aslida har qanday chekli sonlar to‘plamini chekli ketma-ketlik deb atash mumkin. Masalan, tugash ketma-ketligi 1; 2; 3; 4; 5 beshta raqamdan iborat.
Arifmetik progressiyaning n-chi hadi formulasi
Arifmetik progressiya butunlay ikkita raqam bilan aniqlanishini tushunish oson: birinchi had va ayirma. Shuning uchun savol tug'iladi: birinchi had va farqni bilib, arifmetik progressiyaning ixtiyoriy hadini qanday topish mumkin?
Arifmetik progressiyaning n-chi hadi uchun kerakli formulani olish qiyin emas. ruxsat bering
farqli arifmetik progressiya d. Bizda ... bor: | |
an+1 = an + d (n = 1; 2; : : :): | |
Xususan, biz yozamiz: | |
a2 = a1 + d; | |
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d; | |
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d; | |
va endi a ning formulasi aniq bo'ladi: | |
an = a1 + (n 1)d: |
Masala 1. Arifmetik progressiya 2da; 5; 8; o'n bir; : : : n-sonning formulasini toping va yuzinchi hadni hisoblang.
Yechim. Formula (1) ga muvofiq bizda:
an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:
a100 = 3 100 1 = 299:
Arifmetik progressiyaning xossasi va belgisi
Arifmetik progressiyaning xossasi. Arifmetik progressiyada an har qanday uchun
Boshqacha qilib aytganda, arifmetik progressiyaning har bir a'zosi (ikkinchidan boshlab) qo'shni a'zolarining o'rtacha arifmetik qiymati hisoblanadi.
Isbot. Bizda ... bor: | ||||
a n 1+ a n+1 | (d) + (an + d) | |||
bu talab qilingan narsa edi.
Umuman olganda, arifmetik progressiya tenglikni qanoatlantiradi
a n = a n k+ a n+k
har qanday n > 2 va har qanday tabiiy k uchun< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).
Ma’lum bo‘lishicha, (2) formula ketma-ketlikning arifmetik progressiya bo‘lishi uchun nafaqat zaruriy, balki yetarli shart bo‘lib ham xizmat qiladi.
Arifmetik progressiya belgisi. Agar (2) tenglik barcha n > 2 uchun bajarilsa, u holda an ketma-ketligi arifmetik progressiya hisoblanadi.
Isbot. (2) formulani quyidagicha qayta yozamiz:
a na n 1= a n+1a n:
Bundan an+1 an farqi n ga bog‘liq emasligini ko‘rishimiz mumkin va bu an ketma-ketligi arifmetik progressiya ekanligini aniq bildiradi.
Arifmetik progressiyaning xossasi va belgisini bitta gap shaklida shakllantirish mumkin; Qulaylik uchun biz buni uchta raqam uchun qilamiz (bu ko'pincha muammolarda yuzaga keladigan holat).
Arifmetik progressiyaning xarakteristikasi. a, b, c uchta son arifmetik progressiya hosil qiladi, agar 2b = a + c bo'lsa.
2-masala. (MDU, Iqtisodiyot fakulteti, 2007) Ko'rsatilgan tartibda uchta 8x, 3 x2 va 4 sonlar kamayuvchi arifmetik progressiya hosil qiladi. X ni toping va bu progressiyaning farqini ko'rsating.
Yechim. Arifmetik progressiya xususiyatiga ko'ra biz quyidagilarga egamiz:
2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x = 5:
Agar x = 1 bo'lsa, u holda biz 6 farq bilan 8, 2, 4 kamayuvchi progressiyani olamiz. Agar x = 5 bo'lsa, u holda biz 40, 22, 4 ortib borayotgan progressiyani olamiz; bu holat mos emas.
Javob: x = 1, farq 6 ga teng.
Arifmetik progressiyaning birinchi n ta hadining yig‘indisi
Rivoyatlarga ko‘ra, bir kuni o‘qituvchi bolalarga 1 dan 100 gacha bo‘lgan sonlar yig‘indisini topishni buyurgan va gazeta o‘qish uchun jimgina o‘tirib olgan. Biroq, bir necha daqiqa ichida bir bola muammoni hal qilganini aytdi. Bu keyinchalik tarixdagi eng buyuk matematiklardan biri bo'lgan 9 yoshli Karl Fridrix Gauss edi.
Kichik Gaussning fikri quyidagicha edi. Mayli
S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:
Keling, bu miqdorni teskari tartibda yozamiz:
S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;
va ushbu ikkita formulani qo'shing:
2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):
Qavs ichidagi har bir atama 101 ga teng va jami 100 ta shunday atama bor
2S = 101 100 = 10100;
Biz bu fikrdan yig'indi formulasini olish uchun foydalanamiz
S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)
Formulaning (3) foydali modifikatsiyasi, agar unga n-sonli a = a1 + (n 1)d formulasini almashtirsak, olinadi:
2a1 + (n 1)d | |||||
Masala 3. 13 ga bo‘linadigan barcha musbat uch xonali sonlar yig‘indisini toping.
Yechim. 13 ga karrali uch xonali sonlar birinchi hadi 104, ayirmasi 13 ga teng arifmetik progressiya hosil qiladi; Ushbu progressiyaning n-chi hadi quyidagi shaklga ega:
an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:
Keling, bizning progressiyamiz nechta atamani o'z ichiga olganligini bilib olaylik. Buning uchun tengsizlikni echamiz:
6 999; 91 + 13n 6 999;
n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:
Shunday qilib, bizning taraqqiyotimizda 69 a'zo bor. Formula (4) yordamida biz kerakli miqdorni topamiz:
S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2
Yoki arifmetika tartiblangan sonlar ketma-ketligining bir turi bo'lib, uning xossalari maktab algebra kursida o'rganiladi. Ushbu maqolada arifmetik progressiyaning yig'indisini qanday topish masalasi batafsil muhokama qilinadi.
Bu qanday taraqqiyot?
Savolga o'tishdan oldin (arifmetik progressiyaning yig'indisini qanday topish mumkin), biz nima haqida gapirayotganimizni tushunishga arziydi.
Har bir oldingi sondan qandaydir qiymatni qo'shish (ayirish) orqali olingan haqiqiy sonlarning har qanday ketma-ketligi algebraik (arifmetik) progressiya deb ataladi. Ushbu ta'rif matematik tilga tarjima qilinganda quyidagi shaklni oladi:
Bu yerda i - a i qator elementining seriya raqami. Shunday qilib, faqat bitta boshlang'ich raqamni bilib, siz butun seriyani osongina tiklashingiz mumkin. Formuladagi d parametr progressiya farqi deyiladi.
Ko'rib chiqilayotgan raqamlar qatori uchun quyidagi tenglik mavjudligini osongina ko'rsatish mumkin:
a n = a 1 + d * (n - 1).
Ya'ni, n-elementning qiymatini tartibda topish uchun birinchi a elementga 1 n-1 marta d farqini qo'shish kerak.
Arifmetik progressiya yig‘indisi nimaga teng: formula
Ko'rsatilgan miqdor uchun formulani berishdan oldin, oddiy maxsus ishni ko'rib chiqishga arziydi. Natural sonlarning 1 dan 10 gacha progressiyani hisobga olib, ularning yig‘indisini topish kerak. Progressiyada (10) hadlar kam bo'lganligi sababli, masalani boshdan-oyoq yechish, ya'ni barcha elementlarni tartibda yig'ish mumkin.
S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.
Bitta qiziqarli narsani ko'rib chiqishga arziydi: har bir atama keyingisidan bir xil qiymat bilan farq qilgani uchun d = 1, keyin birinchisini o'ninchi bilan, ikkinchisini to'qqizinchi bilan va hokazolarni juftlik bilan yig'ish bir xil natija beradi. Haqiqatan ham:
11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.
Ko'rib turganingizdek, bu summalarning faqat 5 tasi bor, ya'ni ketma-ket elementlar sonidan ikki baravar kam. Keyin summalar sonini (5) har bir summaning (11) natijasiga ko'paytirsangiz, birinchi misolda olingan natijaga erishasiz.
Agar bu dalillarni umumlashtirsak, quyidagi ifodani yozishimiz mumkin:
S n = n * (a 1 + a n) / 2.
Bu ibora shuni ko'rsatadiki, ketma-ket barcha elementlarni yig'ish umuman shart emas, birinchi a 1 va oxirgi a n qiymatini, shuningdek, n a'zolarining umumiy sonini bilish kifoya.
Taxminlarga ko'ra, Gauss bu tenglik haqida birinchi marta maktab o'qituvchisi tomonidan berilgan muammoning echimini izlayotganda o'ylagan: dastlabki 100 ta butun sonni yig'ing.
m dan n gacha bo'lgan elementlar yig'indisi: formula
Oldingi paragrafda berilgan formula arifmetik progressiyaning yig‘indisini (birinchi elementlar) qanday topish mumkinligi haqidagi savolga javob beradi, lekin ko‘pincha masalalarda progressiyaning o‘rtasida joylashgan sonlar qatorini yig‘ish kerak bo‘ladi. Buni qanday qilish kerak?
Bu savolga javob berishning eng oson yo'li quyidagi misolni ko'rib chiqishdir: m-dan n-gacha bo'lgan hadlar yig'indisini topish kerak bo'lsin. Muammoni hal qilish uchun progressiyaning m dan n gacha bo'lgan segmentini yangi sonlar qatori shaklida taqdim etish kerak. Bu tasvirda m-sonli a m birinchi bo'ladi, a n esa n-(m-1) raqamlanadi. Bunday holda, yig'indining standart formulasini qo'llash orqali quyidagi ifoda olinadi:
S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.
Formulalardan foydalanishga misol
Arifmetik progressiyaning yig'indisini qanday topishni bilgan holda, yuqoridagi formulalardan foydalanishning oddiy misolini ko'rib chiqishga arziydi.
Quyida raqamli ketma-ketlik berilgan, siz uning 5-dan boshlab 12-sonigacha bo'lgan shartlari yig'indisini topishingiz kerak:
Berilgan raqamlar d ning farqi 3 ga teng ekanligini ko'rsatadi. n-element uchun ifodadan foydalanib, progressiyaning 5 va 12-chi hadlari qiymatlarini topish mumkin. Ma'lum bo'lishicha:
a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;
a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.
Ko'rib chiqilayotgan algebraik progressiyaning oxiridagi raqamlarning qiymatlarini bilish, shuningdek, ular ketma-ketlikda qanday raqamlarni egallashini bilish, oldingi xatboshida olingan yig'indi uchun formuladan foydalanishingiz mumkin. Bu shunday bo'ladi:
S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.
Shuni ta'kidlash kerakki, bu qiymat boshqacha tarzda olinishi mumkin edi: birinchi navbatda standart formuladan foydalanib, birinchi 12 elementning yig'indisini toping, so'ngra xuddi shu formuladan foydalanib birinchi 4 elementning yig'indisini hisoblang, so'ngra birinchi yig'indidan ikkinchisini ayiring.
