Per una rappresentazione visiva dei campi vettoriali, viene utilizzato uno schema di linee di forza. La linea di forza è una matematica immaginaria curva nello spazio, la direzione della tangente a cui in ciascuno il punto attraverso il quale passa coincide con la direzione del vettore campi nello stesso punto(Fig. 1.17).
Riso. 1.17:
La condizione di parallelismo del vettore E → e della tangente può essere scritta come uguaglianza a zero del prodotto vettoriale E → e dell'elemento arco d r → della linea di campo:

L'equipotenziale è la superficie che è un valore costante del potenziale elettricoφ. Nel campo di una carica puntiforme, come mostrato in Fig. , le superfici sferiche con centri nella posizione della carica sono equipotenziali; questo può essere visto dall'equazione ϕ = q ∕ r = cost.

Analizzando la geometria delle linee elettriche di forza e delle superfici equipotenziali, si possono indicare una serie di proprietà generali della geometria di un campo elettrostatico.

In primo luogo, le linee di forza iniziano alle cariche. O vanno all'infinito o finiscono con altre accuse, come in Fig. .

Riso. 1.19:

In secondo luogo, in un campo potenziale le linee di forza non possono essere chiuse. Altrimenti, sarebbe possibile indicare un anello così chiuso che il lavoro del campo elettrico quando si sposta la carica lungo questo anello non è uguale a zero.

In terzo luogo, le linee di forza intersecano qualsiasi equipotenziale lungo la normale ad esso. Infatti, il campo elettrico è diretto ovunque nella direzione della più rapida diminuzione del potenziale, e sulla superficie equipotenziale il potenziale è costante per definizione (Fig. ).
Riso. 1.20:
E infine, le linee di forza non si intersecano da nessuna parte tranne che nei punti in cui E → = 0 . L'intersezione delle linee di campo significa che il campo nel punto di intersezione è una funzione ambigua di coordinate e il vettore E → non ha una direzione definita. L'unico vettore che ha questa proprietà è il vettore nullo. La struttura del campo elettrico vicino al punto zero sarà analizzata in problemi a ?? .

Il metodo delle linee di forza, ovviamente, è applicabile alla rappresentazione grafica di qualsiasi campo vettoriale. Quindi, nel capitolo incontreremo il concetto di linee di forza magnetiche. Tuttavia, la geometria del campo magnetico è completamente diversa dalla geometria del campo elettrico.

Riso. 1.21:
Il concetto di linee di forza è strettamente correlato al concetto di tubo di forza. Prendiamo un qualsiasi anello chiuso arbitrario L e tracciamo una linea di forza elettrica attraverso ogni suo punto (Fig. ). Queste linee formano il tubo di forza. Si consideri una sezione arbitraria del tubo per la superficie S . Disegniamo una normale positiva nella stessa direzione in cui sono dirette le linee di forza. Sia N il flusso del vettore E → attraverso la sezione S . È facile vedere che se non ci sono cariche elettriche all'interno del tubo, il flusso N rimane lo stesso per tutta la lunghezza del tubo. Per dimostrarlo, dobbiamo prendere un'altra sezione trasversale S′. Secondo il teorema di Gauss, il flusso di campo elettrico attraverso una superficie chiusa delimitata dalla superficie laterale del tubo e dalle sezioni S , S ′ è uguale a zero, poiché non ci sono cariche elettriche all'interno del tubo di forza. Il flusso attraverso la superficie laterale è zero, poiché il vettore E → tocca questa superficie. Pertanto, il flusso attraverso la sezione S ′ è numericamente uguale a N , ma di segno opposto. La normale esterna alla superficie chiusa su questa sezione è diretta in senso opposto n → . Se dirigiamo la normale nella stessa direzione, allora i flussi attraverso le sezioni S e S ′ coincideranno sia in grandezza che in segno. In particolare, se il tubo è infinitamente sottile e le sezioni S e S' sono normali ad esso, allora

E S = E′ S′ .

Risulta un'analogia completa con il flusso di un fluido incomprimibile. Dove il tubo è più sottile, il campo E → è più forte. In quei punti dove è più ampio, il campo E → più forte. Pertanto, l'intensità del campo elettrico può essere giudicata dalla densità delle linee di forza.

Prima dell'invenzione dei computer, per la riproduzione sperimentale delle linee di campo, veniva prelevato un recipiente di vetro con un fondo piatto e vi veniva versato un liquido non conduttivo, come olio di ricino o glicerina. Cristalli in polvere di gesso, amianto o qualsiasi altra particella oblunga sono stati mescolati uniformemente nel liquido. Gli elettrodi di metallo sono stati immersi nel liquido. Quando collegati a fonti di elettricità, gli elettrodi eccitavano un campo elettrico. In questo campo le particelle sono elettrificate e, attratte l'una dall'altra da estremità opposte elettrificate, sono disposte sotto forma di catene lungo le linee di forza. L'immagine delle linee di campo è distorta dai flussi di fluido causati dalle forze che agiscono su di esso in un campo elettrico disomogeneo.

Da fare ancora
Riso. 1.22:
I migliori risultati si ottengono con il metodo utilizzato da Robert W. Pohl (1884-1976). Gli elettrodi in acciaio sono incollati su una lastra di vetro, tra la quale viene creata una tensione elettrica. Quindi, particelle allungate, ad esempio cristalli di gesso, vengono versate sul piatto, picchiettandolo leggermente. Si trovano lungo di essa lungo le linee di forza. Sulla fig. ?? è raffigurata l'immagine delle linee di forza ottenute in questo modo tra due cerchi di telaio di carica opposta.

▸ Attività 9.1

Scrivi l'equazione delle linee di campo in ortogonale arbitraria coordinate.

▸ Attività 9.2

Scrivi l'equazione delle linee di forza in coordinate sferiche.

Troviamo il rapporto tra l'intensità del campo elettrostatico, che è il suo funzione di alimentazione, e potenziale - caratteristica energetica del campo. Lavoro di trasloco separare carica positiva da un punto all'altro del campo lungo l'asse X a condizione che i punti siano infinitamente vicini tra loro e x 1 – x 2 = dx , è uguale a E x dx . Lo stesso lavoro è uguale a j 1 -j 2 = dj . Uguagliando entrambe le espressioni, possiamo scrivere

dove il simbolo della derivata parziale sottolinea che la differenziazione è fatta solo rispetto a X. Ripetendo un ragionamento simile per gli assi yez , possiamo trovare il vettore E:

dove i, j, k - vettori unitari degli assi coordinati x, y, z.

Dalla definizione del gradiente (12.4) e (12.6). segue quello

cioè, l'intensità del campo E è uguale al gradiente potenziale con un segno meno. Il segno meno è determinato dal fatto che il vettore di intensità di campo E è diretto direzione verso il basso potenziale.

Per una rappresentazione grafica della distribuzione del potenziale di un campo elettrostatico, come nel caso di un campo gravitazionale (vedi § 25), vengono utilizzate superfici equipotenziali, superfici in tutti i punti il ​​cui potenziale j ha lo stesso valore.

Se il campo è creato da una carica puntiforme, allora il suo potenziale, secondo (84.5),

Pertanto, le superfici equipotenziali in questo caso sono sfere concentriche. D'altra parte, le linee di tensione nel caso di una carica puntiforme sono rette radiali. Di conseguenza, le linee di tensione nel caso di una carica puntiforme perpendicolare superfici equipotenziali.

Linee di tensione sempre normale alle superfici equipotenziali. In effetti, tutti i punti della superficie equipotenziale hanno lo stesso potenziale, quindi il lavoro per spostare la carica lungo questa superficie è zero, cioè le forze elettrostatiche che agiscono sulla carica, sempre diretta lungo le normali alle superfici equipotenziali. Pertanto, il vettore E è sempre normale alle superfici equipotenziali, e quindi le linee del vettore E sono ortogonali a queste superfici.

Ci sono un numero infinito di superfici equipotenziali attorno a ciascuna carica e ogni sistema di cariche. Tuttavia, di solito vengono eseguiti in modo che le differenze di potenziale tra due superfici equipotenziali adiacenti siano le stesse. Quindi la densità delle superfici equipotenziali caratterizza chiaramente l'intensità del campo in diversi punti. Dove queste superfici sono più dense, l'intensità del campo è maggiore.

Quindi, conoscendo la posizione delle linee di intensità del campo elettrostatico, è possibile costruire superfici equipotenziali e, viceversa, dalla posizione nota delle superfici equipotenziali, è possibile determinare il modulo e la direzione dell'intensità di campo in ogni punto della campo. Sulla fig. 133 ad esempio mostra la vista delle linee di tensione (linee tratteggiate) e delle superfici equipotenziali (linee continue) dei campi di una carica puntiforme positiva (a) e di un cilindro metallico carico avente una sporgenza ad un'estremità e una depressione all'altra (b).

Relazione tra tensione e potenziale.

Per un campo potenziale, esiste una connessione tra la forza potenziale (conservatrice) e l'energia potenziale

dove ("nabla") è l'operatore Hamilton.

Nella misura in cui poi

Il segno meno mostra che il vettore E è diretto nella direzione del potenziale decrescente.

Per una rappresentazione grafica della distribuzione del potenziale vengono utilizzate superfici equipotenziali, superfici in tutti i punti il ​​cui potenziale ha lo stesso valore.

Le superfici equipotenziali sono generalmente realizzate in modo che le differenze di potenziale tra due superfici equipotenziali adiacenti siano le stesse. Quindi la densità delle superfici equipotenziali caratterizza chiaramente l'intensità del campo in diversi punti. Dove queste superfici sono più dense, l'intensità del campo è maggiore. La linea tratteggiata nella figura mostra le linee di forza, le linee continue mostrano le sezioni delle superfici equipotenziali per: una carica puntiforme positiva (a), un dipolo (b), due cariche omonime (c), un metallo carico conduttore di configurazione complessa (d).

Per una carica puntiforme, il potenziale quindi le superfici equipotenziali sono sfere concentriche. D'altra parte, le linee di tensione sono rette radiali. Pertanto, le linee di tensione sono perpendicolari alle superfici equipotenziali.

Si può dimostrare che in ogni caso il vettore E è perpendicolare alle superfici equipotenziali ed è sempre diretto nella direzione del potenziale decrescente.

Esempi di calcolo dei più importanti campi elettrostatici simmetrici nel vuoto.

1. Campo elettrostatico di un dipolo elettrico nel vuoto.

Un dipolo elettrico (o doppio polo elettrico) è un sistema di due cariche puntiformi opposte in valore assoluto (+q, -q), la cui distanza l è molto minore della distanza dai punti considerati del campo (l<< r).

Il braccio del dipolo l è un vettore diretto lungo l'asse del dipolo da una carica negativa a una positiva e uguale alla distanza tra loro.

Il momento elettrico del dipolo re è un vettore coincidente in direzione con il braccio del dipolo ed uguale al prodotto del modulo della carica |q| spalla I:

Sia r la distanza dal punto A dal centro dell'asse del dipolo. Poi, dato che

2) L'intensità del campo nel punto B sulla perpendicolare ripristinata all'asse del dipolo dal suo centro a

Il punto B è equidistante dalle cariche +q e -q del dipolo, quindi il potenziale di campo nel punto B è zero. Il vettore Yb è diretto opposto al vettore l.

3) In un campo elettrico esterno, una coppia di forze agisce alle estremità del dipolo, che tende a ruotare il dipolo in modo tale che il momento elettrico del dipolo ruoti lungo la direzione del campo E (Fig. (a )).

In un campo esterno uniforme, il momento di una coppia di forze è uguale a M = qElsin a o In un campo esterno disomogeneo (Fig. (c)) le forze agenti alle estremità del dipolo non sono le stesse e la loro risultante tende a spostare il dipolo nella regione del campo con una maggiore intensità - il dipolo è attratto nella regione di un campo più forte.

2. Il campo di un piano infinito uniformemente carico.

Piano infinito carico di densità superficiale costante Le linee di tensione sono perpendicolari al piano considerato e dirette da esso in entrambe le direzioni.

Come superficie gaussiana, prendiamo la superficie di un cilindro, i cui generatori sono perpendicolari al piano carico, e le basi sono parallele al piano carico e giacciono su lati opposti di esso a distanze uguali.

Poiché i generatori del cilindro sono paralleli alle linee di tensione, il flusso del vettore di tensione attraverso la superficie laterale del cilindro è uguale a zero e il flusso totale attraverso il cilindro è uguale alla somma dei flussi attraverso le sue basi 2ES. La carica all'interno del cilindro è . Secondo il teorema di Gauss dove:

E non dipende dalla lunghezza del cilindro, cioè l'intensità del campo a qualsiasi distanza è la stessa in valore assoluto. Tale campo è chiamato omogeneo.

La differenza di potenziale tra i punti che si trovano a distanze x1 e x2 dal piano è uguale a

3. Il campo di due infiniti piani paralleli di carica opposta con uguale in valore assoluto densità di carica superficiale σ>0 e - σ.

Segue dall'esempio precedente che i vettori di intensità E 1 ed E 2 del primo e del secondo piano sono uguali in valore assoluto e diretti ovunque perpendicolarmente ai piani. Pertanto, nello spazio esterno ai piani, si compensano a vicenda, e nello spazio tra i piani, la tensione totale . Pertanto, tra gli aerei

(in dielettrico.).

Il campo tra i piani è uniforme. Differenza potenziale tra i piani.
(in dielettrico ).

4. Campo di una superficie sferica uniformemente carica.

Una superficie sferica di raggio R con una carica totale q è uniformemente carica di densità superficiale

Poiché il sistema di cariche e, di conseguenza, il campo stesso è centralmente simmetrico rispetto al centro della sfera, le linee di tensione sono dirette radialmente.

Come superficie gaussiana, scegliamo una sfera di raggio r, che ha un centro comune con una sfera carica. Se r>R, allora l'intera carica q entra nella superficie. Per il teorema di Gauss, donde

Per r<=R замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри равномерно заряженной сферы Е = 0.

Differenza di potenziale tra due punti che si trovano a distanze r 1 e r 2 dal centro della sfera

(r1 >R,r2 >R), è uguale a

Al di fuori della sfera carica, il campo è lo stesso di una carica puntiforme q situata al centro della sfera. Non c'è campo all'interno della sfera carica, quindi il potenziale è lo stesso ovunque e lo stesso che sulla superficie

Le superfici equipotenziali sono tali superfici, ciascuna delle quali ha lo stesso potenziale. Cioè, sulla superficie equipotenziale, il potenziale elettrico ha un valore costante. Tale superficie è la superficie dei conduttori, poiché il loro potenziale è lo stesso.

Immagina una tale superficie, per due punti la cui differenza di potenziale sarà uguale a zero. Questa sarà la superficie equipotenziale. Perché ha lo stesso potenziale. Se consideriamo la superficie equipotenziale nello spazio bidimensionale, diciamo nel disegno, allora avrà la forma di una linea. Il lavoro delle forze del campo elettrico per spostare la carica elettrica lungo questa linea sarà uguale a zero.

Una delle proprietà delle superfici equipotenziali è che sono sempre perpendicolari alle linee di campo. Questa proprietà può essere formulata e viceversa. Qualsiasi superficie che sia perpendicolare in tutti i punti alle linee del campo elettrico è chiamata superficie equipotenziale.

Inoltre, tali superfici non si intersecano mai tra loro. Poiché ciò significherebbe una differenza di potenziale all'interno della stessa superficie, che contraddice la definizione. Inoltre sono sempre chiusi. Superfici di uguale potenziale non possono iniziare e andare all'infinito senza avere confini chiari.

Di norma, i disegni non devono rappresentare l'intera superficie. Più spesso rappresentano una sezione perpendicolare alle superfici equipotenziali. Così, degenerano in linee. Ciò risulta essere abbastanza sufficiente per stimare la distribuzione di questo campo. Quando sono rappresentate graficamente, le superfici sono posizionate allo stesso intervallo. Cioè, tra due superfici adiacenti, si osserva lo stesso passo, diciamo un volt. Quindi, in base alla densità delle linee formate dalla sezione delle superfici equipotenziali, si può giudicare l'intensità del campo elettrico.

Si consideri ad esempio il campo creato da una carica elettrica puntiforme. Le linee di forza di un tale campo sono radiali. Cioè, iniziano al centro della carica e vanno all'infinito se la carica è positiva. O diretto verso la carica, se negativa. Le superfici equipotenziali di tale campo avranno la forma di sfere centrate nella carica e divergenti da essa. Se rappresentiamo una sezione bidimensionale, le linee equipotenziali avranno la forma di cerchi concentrici, il cui centro si trova anche nella carica.

Figura 1 - linee equipotenziali di una carica puntiforme

Per un campo uniforme come, ad esempio, il campo tra le piastre di un condensatore elettrico, le superfici di uguale potenziale avranno la forma di piani. Questi piani sono paralleli tra loro alla stessa distanza. È vero, ai bordi delle lastre, il motivo del campo sarà distorto a causa dell'effetto bordo. Ma immaginiamo che i piatti siano infinitamente lunghi.

Figura 2 - linee equipotenziali di campo uniformi

Per rappresentare le rette equipotenziali per un campo creato da due cariche uguali in grandezza e opposte nel segno, non basta applicare il principio di sovrapposizione. Poiché in questo caso, quando due immagini di cariche puntiformi sono sovrapposte, ci saranno punti di intersezione delle linee di campo. Ma questo non può essere, poiché il campo non può essere diretto in due direzioni diverse contemporaneamente. In questo caso, il problema deve essere risolto analiticamente.

Figura 3 - Immagine del campo di due cariche elettriche

Direzione linea di campo(linee di tensione) in ogni punto coincide con la direzione. Quindi ne consegue che la tensione è uguale alla differenza di potenziale U per unità di lunghezza della linea di campo .

È lungo la linea di forza che si verifica la massima variazione di potenziale. Pertanto, è sempre possibile determinare tra due punti misurando u tra di loro, e più accurato, più vicini sono i punti. In un campo elettrico uniforme, le linee di forza sono diritte. Pertanto, è più facile definire qui:

Una rappresentazione grafica delle linee di campo e delle superfici equipotenziali è mostrata nella Figura 3.4.

Quando ci si sposta lungo questa superficie su d l il potenziale non cambierà.

Ne consegue che la proiezione del vettore a d l zero , cioè Pertanto, in ogni punto è diretto lungo la normale alla superficie equipotenziale.

Puoi disegnare tutte le superfici equipotenziali che desideri. Dalla densità delle superfici equipotenziali, si può giudicare il valore , ciò a condizione che la differenza di potenziale tra due superfici equipotenziali adiacenti sia uguale ad un valore costante.

La formula esprime la relazione tra il potenziale e la forza e consente di utilizzare i valori noti di φ per trovare l'intensità del campo in ogni punto. È anche possibile risolvere il problema inverso, cioè per valori noti in ogni punto del campo, trova la differenza di potenziale tra due punti arbitrari del campo. Per fare ciò, utilizziamo il fatto che il lavoro svolto dal campo forza sulla carica q spostandolo dal punto 1 al punto 2 si può calcolare come:

D'altra parte, l'opera può essere rappresentata come:

, poi

L'integrale può essere preso lungo qualsiasi linea che collega il punto 1 e il punto 2, perché il lavoro delle forze di campo non dipende dal percorso. Per un bypass a circuito chiuso, otteniamo:

quelli. giunse al noto teorema sulla circolazione del vettore di intensità: la circolazione del vettore dell'intensità del campo elettrostatico lungo qualsiasi anello chiuso è uguale a zero.

Un campo con questa proprietà è chiamato potenziale.

Dall'estinzione della circolazione del vettore ne consegue che le linee del campo elettrostatico non possono essere chiuse: iniziano con cariche positive (sorgenti) e terminano con cariche negative (sink) oppure vanno all'infinito(Fig. 3.4).

Questa relazione è vera solo per un campo elettrostatico. Successivamente, scopriremo che il campo delle cariche mobili non è potenziale, e questa relazione non è soddisfatta per questo.