Equazioni risolte mediante integrazione diretta

Consideriamo la seguente equazione differenziale:
.
Integriamo n volte.
;
;
e così via. Puoi anche usare la formula:
.
Vedi Equazioni differenziali che possono essere risolte direttamente integrazione > > >

Equazioni che non contengono esplicitamente la variabile dipendente y

La sostituzione abbassa di uno l'ordine dell'equazione. Ecco una funzione da .
Vedere Equazioni differenziali di ordine superiore che non contengono una funzione esplicitamente > > >

Equazioni che non contengono esplicitamente la variabile indipendente x

.
Consideriamo che sia una funzione di . Poi
.
Allo stesso modo per altri derivati. Di conseguenza, l'ordine dell'equazione viene ridotto di uno.
Vedere Equazioni differenziali di ordine superiore che non contengono una variabile esplicita > > >

Equazioni omogenee rispetto a y, y′, y′′, ...

Per risolvere questa equazione, facciamo la sostituzione
,
dove è una funzione di . Poi
.
Allo stesso modo trasformiamo i derivati, ecc. Di conseguenza, l'ordine dell'equazione viene ridotto di uno.
Vedi Equazioni differenziali di ordine superiore omogenee rispetto a una funzione e alle sue derivate > > >

Equazioni differenziali lineari di ordine superiore

Consideriamo Equazione differenziale omogenea lineare di ordine n:
(1) ,
dove sono le funzioni della variabile indipendente. Siano n soluzioni linearmente indipendenti di questa equazione. Allora la soluzione generale dell’equazione (1) ha la forma:
(2) ,
dove sono costanti arbitrarie. Le funzioni stesse formano un sistema fondamentale di soluzioni.
Sistema di soluzioni fondamentali lineare equazione omogenea L'ordine n è costituito da n soluzioni linearmente indipendenti di questa equazione.

Consideriamo Equazioni differenziali lineari disomogenee di ordine n:
.
Lascia che ci sia una soluzione particolare (qualsiasi) a questa equazione. Allora la soluzione generale ha la forma:
,
dove è la soluzione generale dell'equazione omogenea (1).

Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti e ad essi riducibili

Equazioni lineari omogenee a coefficienti costanti

Queste sono equazioni della forma:
(3) .
Qui - numeri reali. Per trovare una soluzione generale a questa equazione, dobbiamo trovare n soluzioni linearmente indipendenti che formano un sistema fondamentale di soluzioni. Quindi la soluzione generale è determinata dalla formula (2):
(2) .

Stiamo cercando una soluzione nel modulo . Noi abbiamo equazione caratteristica:
(4) .

Se questa equazione ha varie radici, allora il sistema fondamentale delle soluzioni ha la forma:
.

Se disponibile radice complessa
,
allora esiste anche una radice coniugata complessa. Queste due radici corrispondono alle soluzioni e , che includiamo invece nel sistema fondamentale soluzioni integrate E .

Multipli di radici le molteplicità corrispondono a soluzioni linearmente indipendenti: .

Multipli di radici complesse le molteplicità e i loro valori complessi coniugati corrispondono a soluzioni linearmente indipendenti:
.

Equazioni lineari disomogenee con una parte speciale disomogenea

Consideriamo equazione della forma
,
dove sono i polinomi di grado s 1 e s 2 ; - permanente.

Per prima cosa cerchiamo una soluzione generale dell'equazione omogenea (3). Se l'equazione caratteristica (4) non contiene radice, allora cerchiamo una soluzione particolare nella forma:
,
Dove
;
;
s - maggiore di s 1 e s 2 .

Se l'equazione caratteristica (4) ha una radice molteplicità, allora cerchiamo una soluzione particolare nella forma:
.

Successivamente otteniamo la soluzione generale:
.

Equazioni lineari disomogenee a coefficienti costanti

Ci sono tre possibili soluzioni qui.

1) Metodo Bernoulli.
Innanzitutto, troviamo qualsiasi soluzione diversa da zero dell'equazione omogenea
.
Quindi effettuiamo la sostituzione
,
dove è una funzione della variabile x. Otteniamo un'equazione differenziale per u, che contiene solo derivate di u rispetto a x. Effettuando la sostituzione otteniamo l'equazione n - 1 -esimo ordine.

2) Metodo sostituzione lineare .
Facciamo una sostituzione
,
dove è una delle radici dell'equazione caratteristica (4). Di conseguenza, otteniamo un'equazione lineare disomogenea con coefficienti d'ordine costanti. Applicando coerentemente questa sostituzione, riduciamo l'equazione originale a un'equazione del primo ordine.

3) Metodo di variazione delle costanti di Lagrange.
In questo metodo, risolviamo prima l'equazione omogenea (3). La sua soluzione è simile a:
(2) .
Assumiamo inoltre che le costanti siano funzioni della variabile x. Allora la soluzione dell'equazione originale ha la forma:
,
dove sono funzioni sconosciute. Sostituendo nell'equazione originale e imponendo alcune restrizioni, otteniamo equazioni dalle quali possiamo ricavare il tipo di funzioni.

Equazione di Eulero

Si riduce ad un'equazione lineare a coefficienti costanti per sostituzione:
.
Tuttavia, per risolvere l'equazione di Eulero, non è necessario effettuare tale sostituzione. Puoi immediatamente cercare una soluzione all'equazione omogenea nel modulo
.
Di conseguenza, otteniamo le stesse regole di un'equazione a coefficienti costanti, in cui al posto di una variabile è necessario sostituire .

Riferimenti:
V.V. Stepanov, Corso di equazioni differenziali, "LKI", 2015.
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Raccolta di problemi di matematica superiore, “Lan”, 2003.

N-esimo ordine

Teorema. Se e 0- soluzione di un'equazione omogenea L[y]=0, sì 1- soluzione della corrispondente equazione disomogenea L[y] = f(x), quindi la somma y0 +y1è la soluzione di questa equazione disomogenea.

La struttura della soluzione generale dell'equazione disomogenea è determinata dal seguente teorema.

Teorema. Se Y- soluzione particolare dell'equazione L[y] = f(x) con coefficienti continui, - soluzione generale della corrispondente equazione omogenea L[y] = 0, allora la soluzione generale di questa equazione disomogenea è determinata dalla formula

Commento. Per scrivere la soluzione generale di un'equazione lineare non omogenea, è necessario trovare una soluzione particolare a questa equazione e una soluzione generale alla corrispondente equazione omogenea.

Equazioni lineari disomogenee N

Considera l'equazione lineare disomogenea N-esimo ordine a coefficienti costanti

Dove un 1, un 2, …, UN- numeri reali. Scriviamo la corrispondente equazione omogenea

La soluzione generale dell'equazione disomogenea è determinata dalla formula

Soluzione generale di un'equazione omogenea e 0 possiamo trovare una soluzione particolare Y può essere trovato da coefficienti incerti nei seguenti semplici casi:

Nel caso generale, viene utilizzato il metodo della variazione delle costanti arbitrarie.

Metodo di variazione delle costanti arbitrarie

Considera l'equazione lineare disomogenea N-esimo ordine a coefficienti variabili

Se trovare una soluzione particolare a questa equazione risulta difficile, ma si conosce la soluzione generale dell'equazione omogenea corrispondente, è possibile trovare la soluzione generale dell'equazione non omogenea metodo di variazione delle costanti arbitrarie.

Sia la corrispondente equazione omogenea

ha una soluzione generale

Cercheremo una soluzione generale all'equazione disomogenea nella forma

Dove y1 =y1 (x), y2 =y2 (x), …, y n = y n (x) sono soluzioni linearmente indipendenti di un'equazione omogenea inclusa nella sua soluzione generale, e C1(x), C2(x), …, Cn(x)- funzioni sconosciute. Per trovare queste funzioni, sottoponiamole ad alcune condizioni.

Troviamo la derivata

Richiediamo che la somma nella seconda parentesi sia uguale a zero

Troviamo la derivata seconda

e noi lo chiederemo

Continuando un processo simile, otteniamo

In questo caso non si può esigere che la somma nella seconda parentesi svanisca, poiché le funzioni C1(x), C2(x), …, Cn(x) già subordinato n-1 condizioni, ma è comunque necessario soddisfare l’equazione disomogenea originale.

Sistemi differenziali lineari equazioni.

Il sistema di equazioni differenziali si chiama lineare, se è lineare rispetto a funzioni incognite e loro derivate. sistema N-le equazioni lineari del 1° ordine sono scritte nella forma:

I coefficienti del sistema sono const.

È conveniente scrivere questo sistema in forma matriciale: ,

dove è un vettore colonna di funzioni sconosciute che dipendono da un argomento.

Vettore colonna delle derivate di queste funzioni.

Vettore di colonna dei membri liberi.

Matrice dei coefficienti.

Teorema 1: Se tutti i coefficienti della matrice UN sono continui su un certo intervallo e , quindi in un certo intorno di ciascuna m. Le condizioni TS&E sono soddisfatte. Di conseguenza, per ciascuno di questi punti passa una singola curva integrale.

Infatti, in questo caso, i membri di destra del sistema sono continui rispetto all'insieme degli argomenti e le loro derivate parziali rispetto a (pari ai coefficienti della matrice A) sono limitate, a causa della continuità su un intervallo chiuso.

Metodi per la risoluzione dei DSA

1. Un sistema di equazioni differenziali può essere ridotto a un'unica equazione eliminando le incognite.

Esempio: Risolvi il sistema di equazioni: (1)

Soluzione: escludere z da queste equazioni. Dalla prima equazione abbiamo . Sostituendo nella seconda equazione, dopo la semplificazione otteniamo: .

Questo sistema di equazioni (1) ridotto ad un’unica equazione del secondo ordine. Dopo aver trovato da questa equazione sì, dovrebbe essere trovato z, utilizzando l'uguaglianza.

2. Quando si risolve un sistema di equazioni eliminando le incognite, solitamente si ottiene un'equazione di ordine superiore, quindi in molti casi è più conveniente risolvere il sistema trovando combinazioni integrate.

Continua 27b

Esempio: Risolvi il sistema

Soluzione:

Decidiamo questo sistema Il metodo di Eulero. Scriviamo il determinante per trovare la caratteristica

equazione: , (poiché il sistema è omogeneo, affinché abbia una soluzione non banale, questo determinante deve essere uguale a zero). Otteniamo un'equazione caratteristica e troviamo le sue radici:

La soluzione generale è: ;

- autovettore.

Scriviamo la soluzione per: ;

- autovettore.

Scriviamo la soluzione per: ;

Otteniamo la soluzione generale: .

Controlliamo:

troviamo : e sostituiamolo nella prima equazione di questo sistema, cioè .

Noi abbiamo:

- vera uguaglianza.

Differenziale lineare. equazioni dell'ennesimo ordine. Teorema su decisione generale eterogeneo equazione lineare ennesimo ordine.

Un'equazione differenziale lineare dell'n-esimo ordine è un'equazione della forma: (1)

Se questa equazione ha un coefficiente, dividendo per esso, arriviamo all'equazione: (2) .

Di solito equazioni del tipo (2). Supponiamo che in ur-i (2) tutte le probabilità, così come f(x) continuo in un certo intervallo (a,b). Quindi, secondo TS&E, l'equazione (2) Esso ha unica decisione, soddisfacendo le condizioni iniziali: , , …, con . Qui - qualsiasi punto dell'intervallo (a,b), e tutto - qualsiasi dato numero. L'equazione (2) soddisfa TC&E , quindi non ha soluzioni speciali.

Def.: speciale i punti sono quelli in cui =0.

Proprietà di un'equazione lineare:

1. Un'equazione lineare rimane lineare indipendentemente da come viene modificata la variabile indipendente.
2. Un'equazione lineare rimane tale per qualsiasi variazione lineare della funzione desiderata.

Def: se nell'equazione (2) Mettere f(x)=0, allora otteniamo un'equazione della forma: (3) , che è chiamato equazione omogenea rispetto all'equazione disomogenea (2).

Introduciamo in considerazione differenziale lineare operatore: (4). Usando questo operatore puoi riscriverlo forma breve equazioni (2) E (3): L(y)=f(x), L(y)=0. Operatore (4) ha quanto segue proprietà semplici:

Da queste due proprietà si può dedurre un corollario: .

Funzione y=y(x)è una soluzione dell’equazione disomogenea (2), Se L(y(x))=f(x), Poi f(x) chiamata la soluzione dell'equazione. Quindi la soluzione dell'equazione (3) chiamata la funzione y(x), Se L(y(x))=0 sugli intervalli considerati.

Prendere in considerazione equazione lineare disomogenea: , L(y)=f(x).

Supponiamo allora di aver trovato in qualche modo una soluzione particolare.

Introduciamo una nuova funzione sconosciuta z secondo la formula: , dove è una soluzione particolare.

Sostituiamolo nell'equazione: , apriamo le parentesi e otteniamo: .

L’equazione risultante può essere riscritta come:

Poiché è una soluzione particolare dell'equazione originale, allora , allora .

Pertanto, abbiamo ottenuto un'equazione omogenea rispetto a z. La soluzione generale di questa equazione omogenea è una combinazione lineare: , dove le funzioni - costituiscono il sistema fondamentale di soluzioni dell'equazione omogenea. Sostituendo z nella formula di sostituzione, otteniamo: (*) per funzione sì– funzione incognita dell'equazione originale. Tutte le soluzioni dell'equazione originale saranno contenute in (*).

Quindi, la soluzione generale della linea disomogenea. L'equazione è rappresentata come la somma di una soluzione generale di un'equazione lineare omogenea e di una soluzione particolare di un'equazione disomogenea.

(continua dall'altra parte)

30. Teorema di esistenza e unicità della soluzione del differenziale. equazioni

Teorema: Se il lato destro dell'equazione è continuo nel rettangolo ed è limitato, e soddisfa anche la condizione di Lipschitz: , N=cost, allora esiste un'unica soluzione che soddisfa le condizioni iniziali ed è definita sul segmento , Dove .

Prova:

Considera lo spazio metrico completo CON, i cui punti sono tutte le possibili funzioni continue y(x) definite sull'intervallo , i cui grafici si trovano all'interno del rettangolo e la distanza è determinata dall'uguaglianza: . Questo spazio è spesso utilizzato nell'analisi matematica e si chiama spazio di convergenza uniforme, poiché la convergenza nella metrica di questo spazio è uniforme.

Sostituiamo il differenziale. equazione con determinate condizioni iniziali a un'equazione integrale equivalente: e consideriamo l'operatore Ay), uguale al lato destro di questa equazione: . Questo operatore corrisponde a ciascuno funzione continua

Usando la disuguaglianza di Lipschitz, possiamo scrivere che la distanza . Ora scegliamone uno per il quale varrebbe la seguente disuguaglianza: .

Dovresti scegliere in questo modo, allora. Così lo abbiamo dimostrato.

Secondo il principio delle mappe di contrazione, esiste un singolo punto o, che è lo stesso, un'unica funzione: una soluzione a un'equazione differenziale che soddisfa le condizioni iniziali date.