Istituzione educativa "Stato bielorusso

Accademia Agraria"

Dipartimento di Matematica Superiore

EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE

Appunti delle lezioni per studenti di contabilità

forma di istruzione per corrispondenza (NISPO)

Gorki, 2013

Equazioni differenziali del primo ordine

Il concetto di equazione differenziale. Soluzioni generali e particolari

Quando si studiano vari fenomeni, spesso non è possibile trovare una legge che colleghi direttamente la variabile indipendente e la funzione desiderata, ma è possibile stabilire una connessione tra la funzione desiderata e le sue derivate.

Viene chiamata la relazione che collega la variabile indipendente, la funzione desiderata e le sue derivate equazione differenziale :

Qui X- variabile indipendente, sì– la funzione richiesta,
- derivate della funzione desiderata. In questo caso, la relazione (1) deve avere almeno una derivata.

L'ordine dell'equazione differenziale è chiamato ordine della derivata più alta inclusa nell'equazione.

Consideriamo l'equazione differenziale

. (2)

Poiché questa equazione include solo una derivata del primo ordine, viene chiamata è un'equazione differenziale del primo ordine.

Se l'equazione (2) può essere risolta rispetto alla derivata e scritta nella forma

, (3)

allora tale equazione è chiamata equazione differenziale del primo ordine in forma normale.

In molti casi è consigliabile considerare un'equazione della forma

che è chiamato un'equazione differenziale del primo ordine scritta in forma differenziale.

Perché
, allora l'equazione (3) può essere scritta nella forma
O
, dove possiamo contare
E
. Ciò significa che l'equazione (3) viene convertita nell'equazione (4).

Scriviamo l'equazione (4) nella forma
. Poi
,
,
, dove possiamo contare
, cioè. si ottiene un'equazione della forma (3). Pertanto, le equazioni (3) e (4) sono equivalenti.

Risoluzione di un'equazione differenziale (2) o (3) è chiamata qualsiasi funzione
, che, sostituendolo nell'equazione (2) o (3), lo trasforma in un'identità:

O
.

Il processo per trovare tutte le soluzioni di un'equazione differenziale è chiamato its integrazione e il grafico della soluzione
si chiama equazione differenziale curva integrale questa equazione.

Se la soluzione dell'equazione differenziale è ottenuta in forma implicita
, quindi viene chiamato integrante data equazione differenziale.

Soluzione generale di un'equazione differenziale del primo ordine è una famiglia di funzioni della forma
, dipendente da una costante arbitraria CON, ognuno dei quali è una soluzione a una data equazione differenziale per qualsiasi valore accettabile costante arbitraria CON. Pertanto, l'equazione differenziale ha un numero infinito di soluzioni.

Decisione privata un'equazione differenziale è una soluzione ottenuta dalla formula di soluzione generale per un valore specifico di una costante arbitraria CON, Compreso
.

Problema di Cauchy e sua interpretazione geometrica

L'equazione (2) ha un numero infinito di soluzioni. Per selezionare una soluzione da questo set, chiamata privata, è necessario impostare alcune condizioni aggiuntive.

Viene chiamato il problema di trovare una soluzione particolare all'equazione (2) in determinate condizioni Problema di Cauchy . Questo problema è uno dei più importanti nella teoria delle equazioni differenziali.

Il problema di Cauchy è formulato come segue: tra tutte le soluzioni dell'equazione (2) trova tale soluzione
, in cui la funzione
assume il valore numerico specificato , se la variabile indipendente X assume il valore numerico specificato , cioè.

,
, (5)

Dove D– dominio di definizione della funzione
.

Senso chiamato il valore iniziale della funzione , UN – valore iniziale della variabile indipendente . Viene chiamata la condizione (5). condizione iniziale O Condizione cauchy .

Da un punto di vista geometrico, il problema di Cauchy per l’equazione differenziale (2) può essere formulato come segue: dall'insieme delle curve integrali dell'equazione (2), selezionare quella che passa per un dato punto
.

Equazioni differenziali a variabili separabili

Uno dei tipi più semplici di equazioni differenziali è un'equazione differenziale del primo ordine che non contiene la funzione desiderata:

. (6)

Considerando che
, scriviamo l'equazione nella forma
O
. Integrando entrambi i membri dell'ultima equazione, otteniamo:
O

. (7)

Pertanto, (7) è una soluzione generale dell'equazione (6).

Esempio 1 . Trovare decisione comune equazione differenziale
.

Soluzione . Scriviamo l'equazione nella forma
O
. Integriamo entrambi i lati dell'equazione risultante:
,
. Lo scriveremo finalmente
.

Esempio 2 . Trova la soluzione dell'equazione
dato che
.

Soluzione . Troviamo una soluzione generale dell'equazione:
,
,
,
. Per condizione
,
. Sostituiamo nella soluzione generale:
O
. Sostituiamo il valore trovato di una costante arbitraria nella formula per la soluzione generale:
. Questa è una soluzione particolare dell'equazione differenziale che soddisfa la condizione data.

L'equazione

(8)

Chiamato Equazione differenziale del primo ordine che non contiene una variabile indipendente . Scriviamolo nel modulo
O
. Integriamo entrambi i membri dell'ultima equazione:
O
- soluzione generale dell'equazione (8).

Esempio . Trova la soluzione generale dell'equazione
.

Soluzione . Scriviamo questa equazione nella forma:
O
. Poi
,
,
,
. Così,
è la soluzione generale di questa equazione.

Equazione della forma

(9)

integra utilizzando la separazione delle variabili. Per fare ciò, scriviamo l'equazione nel modulo
, e poi utilizzando le operazioni di moltiplicazione e divisione lo portiamo a una forma tale che una parte includa solo la funzione di X e differenziale dx, e nella seconda parte – la funzione di A e differenziale dy. Per fare ciò, è necessario moltiplicare entrambi i lati dell'equazione dx e dividere per
. Di conseguenza, otteniamo l'equazione

, (10)

in cui le variabili X E A separato. Integriamo entrambi i lati dell'equazione (10):
. La relazione risultante è l'integrale generale dell'equazione (9).

Esempio 3 . Integrazione dell'equazione
.

Soluzione . Trasformiamo l'equazione e separiamo le variabili:
,
. Integriamo:
,
oppure è l'integrale generale di questa equazione.
.

Sia data l'equazione nella forma

Questa equazione si chiama Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili in forma simmetrica.

Per separare le variabili, è necessario dividere entrambi i lati dell'equazione per
:

. (12)

L'equazione risultante viene chiamata equazione differenziale separata . Integriamo l'equazione (12):

.(13)

La relazione (13) è l'integrale generale dell'equazione differenziale (11).

Esempio 4 . Integrare un'equazione differenziale.

Soluzione . Scriviamo l'equazione nella forma

e dividi entrambe le parti per
,
. L'equazione risultante:
è un'equazione a variabili separate. Integriamolo:

,
,

,
. L'ultima uguaglianza è l'integrale generale di questa equazione differenziale.

Esempio 5 . Trovare una soluzione particolare di un'equazione differenziale
, soddisfacendo la condizione
.

Soluzione . Considerando che
, scriviamo l'equazione nella forma
O
. Separiamo le variabili:
. Integriamo questa equazione:
,
,
. La relazione risultante è l'integrale generale di questa equazione. Per condizione
. Sostituiamolo nell'integrale generale e troviamo CON:
,CON=1. Poi l'espressione
è una soluzione parziale di una data equazione differenziale, scritta come integrale parziale.

Equazioni differenziali lineari del primo ordine

L'equazione

(14)

chiamato Equazione differenziale lineare del primo ordine . Funzione sconosciuta
e la sua derivata entrano linearmente in questa equazione e le funzioni
E
continuo.

Se
, quindi l'equazione

(15)

chiamato lineare omogeneo . Se
, allora viene chiamata l'equazione (14). lineare disomogeneo .

Per trovare una soluzione all'equazione (14) si usa solitamente metodo di sostituzione (Bernoulli) , la cui essenza è la seguente.

Cercheremo una soluzione all'equazione (14) sotto forma di prodotto di due funzioni

, (16)

Dove
E
- Alcuni funzioni continue. Sostituiamo
e derivato
nell'equazione (14):

Funzione v selezioneremo in modo tale che la condizione sia soddisfatta
. Poi
. Pertanto, per trovare una soluzione all'equazione (14), è necessario risolvere il sistema di equazioni differenziali

La prima equazione del sistema è un'equazione lineare omogenea e può essere risolta con il metodo della separazione delle variabili:
,
,
,
,
. Come una funzione
puoi prendere una delle soluzioni parziali dell'equazione omogenea, cioè A CON=1:
. Sostituiamo nella seconda equazione del sistema:
O
.Poi
. Pertanto, la soluzione generale di un'equazione differenziale lineare del primo ordine ha la forma
.

Esempio 6 . Risolvi l'equazione
.

Soluzione . Cercheremo una soluzione all'equazione nel modulo
. Poi
. Sostituiamo nell'equazione:

O
. Funzione v scegliere in modo tale che valga l’uguaglianza
. Poi
. Risolviamo la prima di queste equazioni utilizzando il metodo della separazione delle variabili:
,
,
,
,. Funzione v Sostituiamo nella seconda equazione:
,
,
,
. La soluzione generale di questa equazione è
.

Domande per l'autocontrollo della conoscenza

Cos'è un'equazione differenziale?

Qual è l'ordine di un'equazione differenziale?

Quale equazione differenziale è chiamata equazione differenziale del primo ordine?

Come si scrive un'equazione differenziale del primo ordine in forma differenziale?

Qual è la soluzione di un'equazione differenziale?

Cos'è una curva integrale?

Qual è la soluzione generale di un'equazione differenziale del primo ordine?

Cos'è la soluzione parziale di un'equazione differenziale?

Come viene formulato il problema di Cauchy per un'equazione differenziale del primo ordine?

Qual è l'interpretazione geometrica del problema di Cauchy?

Come scrivere un'equazione differenziale con variabili separabili in forma simmetrica?

Quale equazione è chiamata equazione differenziale lineare del primo ordine?

Quale metodo può essere utilizzato per risolvere un'equazione differenziale lineare del primo ordine e qual è l'essenza di questo metodo?

Compiti per lavoro indipendente

Risolvere equazioni differenziali con variabili separabili:

UN)
; B)
;

V)
; G)
.

2. Risolvi equazioni differenziali lineari del primo ordine:

UN)
; B)
; V)
;

G)
; D)
.

Questo articolo è un punto di partenza per lo studio della teoria delle equazioni differenziali. Ecco le definizioni e i concetti di base che appariranno costantemente nel testo. Per una migliore assimilazione e comprensione, le definizioni sono fornite con esempi.

Equazione differenziale (DE)è un'equazione che include una funzione sconosciuta sotto il segno della derivata o del differenziale.

Se la funzione sconosciuta è una funzione di una variabile, viene chiamata l'equazione differenziale ordinario(abbreviato ODE - equazione differenziale ordinaria). Se la funzione sconosciuta è una funzione di molte variabili, viene chiamata l'equazione differenziale Equazione alle derivate parziali.

Viene chiamato l'ordine massimo della derivata di una funzione sconosciuta che entra in un'equazione differenziale ordine dell'equazione differenziale.

Ecco alcuni esempi di ODE rispettivamente del primo, secondo e quinto ordine

Come esempi di equazioni alle derivate parziali del secondo ordine, diamo

Inoltre considereremo solo le equazioni differenziali ordinarie dell'ennesimo ordine della forma O , dove Ф(x, y) = 0 è una funzione sconosciuta specificata implicitamente (quando possibile, la scriveremo nella rappresentazione esplicita y = f(x) ).

Il processo per trovare soluzioni a un'equazione differenziale si chiama integrando l'equazione differenziale.

Risoluzione di un'equazione differenziale- è implicito data funzioneФ(x, y) = 0 (in alcuni casi la funzione y può essere espressa esplicitamente tramite l'argomento x), che trasforma l'equazione differenziale in un'identità.

NOTA.

La soluzione di un'equazione differenziale viene sempre cercata su un intervallo X predeterminato.

Perché ne parliamo separatamente? Sì, perché in molti problemi l'intervallo X non viene menzionato. Cioè, di solito la condizione dei problemi è formulata come segue: “trova una soluzione all'equazione differenziale ordinaria " In questo caso, è implicito che la soluzione debba essere ricercata per tutti gli x per i quali hanno senso sia la funzione desiderata y che l'equazione originale.

La soluzione di un'equazione differenziale viene spesso chiamata integrale dell'equazione differenziale.

Funzioni o possono essere chiamate la soluzione di un'equazione differenziale.

Una delle soluzioni dell'equazione differenziale è la funzione. Infatti, sostituendo questa funzione nell'equazione originale, otteniamo l'identità . È facile vedere che un'altra soluzione a questa ODE è, ad esempio, . Pertanto, le equazioni differenziali possono avere molte soluzioni.

Soluzione generale di un'equazione differenzialeè un insieme di soluzioni che contiene tutte, senza eccezioni, le soluzioni di questa equazione differenziale.

Viene anche chiamata la soluzione generale di un'equazione differenziale integrale generale dell'equazione differenziale.

Torniamo all'esempio. La soluzione generale dell'equazione differenziale ha la forma o , dove C è una costante arbitraria. Sopra abbiamo indicato due soluzioni di questa ODE, che si ottengono dall'integrale generale dell'equazione differenziale sostituendo rispettivamente C = 0 e C = 1.

Se la soluzione dell'equazione differenziale soddisfa quanto inizialmente specificato condizioni supplementari, quindi viene chiamato Soluzione parziale dell'equazione differenziale.

Una soluzione parziale dell'equazione differenziale che soddisfa la condizione y(1)=1 è . Veramente, E .

I problemi principali della teoria delle equazioni differenziali sono i problemi di Cauchy, i problemi ai limiti e i problemi di trovare una soluzione generale a un'equazione differenziale su un dato intervallo X.

Problema di Cauchyè il problema di trovare una soluzione particolare a un'equazione differenziale che soddisfi i dati condizioni iniziali, dove sono i numeri.

Problema del valore limiteè il problema di trovare una soluzione particolare a un'equazione differenziale del secondo ordine che soddisfi condizioni aggiuntive ai punti al contorno x 0 e x 1:
f (x 0) = f 0, f (x 1) = f 1, dove f 0 e f 1 sono numeri.

Viene spesso chiamato il problema del valore limite problema dei confini.

Viene detta un'equazione differenziale ordinaria di ordine n lineare, se ha forma , e i coefficienti sono funzioni continue dell'argomento x sull'intervallo di integrazione.

Equazione differenziale ordinaria è un'equazione che mette in relazione una variabile indipendente, una funzione sconosciuta di questa variabile e le sue derivate (o differenziali) di vario ordine.

L'ordine dell'equazione differenziale si chiama ordine della derivata massima in esso contenuta.

Oltre a quelle ordinarie, vengono studiate anche le equazioni alle derivate parziali. Si tratta di equazioni relative a variabili indipendenti, una funzione sconosciuta di queste variabili e le sue derivate parziali rispetto alle stesse variabili. Ma considereremo solo equazioni differenziali ordinarie e pertanto, per brevità, ometteremo la parola “ordinario”.

Esempi di equazioni differenziali:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

L'equazione (1) è del quarto ordine, l'equazione (2) è del terzo ordine, le equazioni (3) e (4) sono del secondo ordine, l'equazione (5) è del primo ordine.

Equazione differenziale N L'ordine non deve necessariamente contenere una funzione esplicita, tutte le sue derivate dalla prima alla N-esimo ordine e variabile indipendente. Non può contenere derivate esplicite di determinati ordini, una funzione o una variabile indipendente.

Ad esempio, nell'equazione (1) chiaramente non ci sono derivate del terzo e del secondo ordine, così come una funzione; nell'equazione (2) - la derivata del secondo ordine e la funzione; nell'equazione (4) - la variabile indipendente; nell'equazione (5) - funzioni. Solo l'equazione (3) contiene esplicitamente tutte le derivate, la funzione e la variabile indipendente.

Risoluzione di un'equazione differenziale viene chiamata ogni funzione y = f(x), quando sostituito nell'equazione si trasforma in un'identità.

Il processo per trovare la soluzione di un'equazione differenziale è chiamato its integrazione.

Esempio 1. Trova la soluzione dell'equazione differenziale.

Soluzione. Scriviamo questa equazione nella forma . La soluzione è trovare la funzione dalla sua derivata. La funzione originaria, come noto dal calcolo integrale, è un'antiderivativa per, ad es.

Questo è quello che è soluzione di questa equazione differenziale . Cambiando in esso C, otterremo soluzioni diverse. Abbiamo scoperto che esiste insieme infinito Soluzioni di un'equazione differenziale del primo ordine.

Soluzione generale dell'equazione differenziale N l'ordine n è la sua soluzione, espressa esplicitamente rispetto alla funzione sconosciuta e contenente N costanti arbitrarie indipendenti, cioè

La soluzione dell'equazione differenziale nell'Esempio 1 è generale.

Soluzione parziale dell'equazione differenziale viene chiamata una soluzione in cui alle costanti arbitrarie vengono assegnati valori numerici specifici.

Esempio 2. Trovare la soluzione generale dell'equazione differenziale e una soluzione particolare per .

Soluzione. Integriamo entrambi i membri dell'equazione un numero di volte pari all'ordine dell'equazione differenziale.

,

.

Di conseguenza, abbiamo ricevuto una soluzione generale:

di una data equazione differenziale del terzo ordine.

Ora troviamo una soluzione particolare nelle condizioni specificate. Per fare ciò, sostituisci i loro valori invece dei coefficienti arbitrari e ottieni

.

Se, oltre all'equazione differenziale, la condizione iniziale è data nella forma , viene chiamato tale problema Problema di Cauchy . Sostituisci i valori e nella soluzione generale dell'equazione e trova il valore di una costante arbitraria C, e quindi una soluzione particolare dell'equazione per il valore trovato C. Questa è la soluzione al problema di Cauchy.

Esempio 3. Risolvi il problema di Cauchy per l'equazione differenziale dell'Esempio 1 soggetto a .

Soluzione. Sostituiamo i valori della condizione iniziale nella soluzione generale sì = 3, X= 1. Otteniamo

Scriviamo la soluzione del problema di Cauchy per questa equazione differenziale del primo ordine:

Risolvere equazioni differenziali, anche le più semplici, richiede buone capacità di integrazione e derivate, comprese funzioni complesse. Questo può essere visto nel seguente esempio.

Esempio 4. Trovare la soluzione generale dell'equazione differenziale.

Soluzione. L'equazione è scritta in una forma tale da poter integrare immediatamente entrambi i lati.

.

Applichiamo il metodo di integrazione per cambio di variabile (sostituzione). Lascia che sia allora.

Obbligatorio prendere dx e ora - attenzione - lo facciamo secondo le regole di differenziazione di una funzione complessa, poiché X e c'è funzione complessa("mela" - estrazione radice quadrata o, qual è la stessa cosa - elevare al potere "metà" e "carne macinata" è l'espressione stessa sotto la radice):

Troviamo l'integrale:

Ritornando alla variabile X, noi abbiamo:

.

Questa è la soluzione generale di questa equazione differenziale di primo grado.

Non solo le competenze da sezioni precedenti Per risolvere le equazioni differenziali saranno necessarie matematiche superiori, ma anche competenze da elementari, cioè matematica scolastica. Come già accennato, in un'equazione differenziale di qualsiasi ordine potrebbe non esserci una variabile indipendente, cioè una variabile X. La conoscenza delle proporzioni scolastiche che non sono state dimenticate (tuttavia, a seconda di chi) dalla scuola aiuterà a risolvere questo problema. Questo è il prossimo esempio.

Quando risolvono vari problemi di fisica, chimica, matematica e altre scienze esatte, vengono spesso utilizzati modelli matematici sotto forma di equazioni che mettono in relazione una o più variabili indipendenti, una funzione sconosciuta di queste variabili e derivati ​​(o differenziali) di questa funzione. Questo tipo le equazioni sono chiamate differenziali.
Se esiste una sola variabile indipendente, l'equazione è detta ordinaria; se ci sono due o più variabili indipendenti, allora viene chiamata l'equazione Equazione alle derivate parziali. Per ottenere specialisti altamente qualificati, in tutte le università in cui si studiano discipline esatte è richiesto un corso di equazioni differenziali. Per alcuni studenti la teoria è difficile, per altri la pratica è una lotta, sia la teoria che la pratica sono difficili; Se analizziamo le equazioni differenziali con lato pratico, quindi per calcolarli basta essere bravi a integrare e a derivare. Tutte le altre trasformazioni si riducono a diversi schemi che possono essere compresi e studiati. Di seguito studieremo le definizioni di base e il metodo per risolvere semplici DR.

Teoria delle equazioni differenziali

Definizione: Equazione differenziale ordinariaè un'equazione che collega la variabile indipendente x, la funzione y(x), le sue derivate y"(x), y n (x) e ha forma generaleF(x,y(x),y" (x), …, y n (x))=0
Equazione differenziale(DR) è chiamata equazione differenziale ordinaria o equazione differenziale parziale. Ordine delle equazioni differenzialiè determinato dall'ordine della derivata più alta (n), che è inclusa in questa equazione differenziale.

Soluzione generale dell'equazione differenzialeè una funzione che contiene tante costanti quanto l'ordine dell'equazione differenziale, e la cui sostituzione in una data equazione differenziale la trasforma in un'identità, cioè ha la forma y=f(x, C 1, C 2 , ..., Cn).
Una soluzione generale che non è risolta rispetto a y(x) ed ha la forma F(x,y,C 1 ,C 2 , …, C n)=0 si dice integrale generale di un'equazione differenziale.
La soluzione trovata da quella generale per valori fissi delle costanti C 1 , C 2 , …, C n si chiama Soluzione privata di un'equazione differenziale.
Viene chiamata la specificazione simultanea di un'equazione differenziale e del numero corrispondente di condizioni iniziali Problema di Cauchy.
F(x,y,C 1 ,C 2 , …, C n)=0
y(x0)=y0;
….
y n (x0)=y n (0)
Equazione differenziale ordinaria del primo ordine chiamata equazione della forma
F(x, y, y")=0. (1)
Integrale dell'equazione(1) è detta relazione della forma Ф (x,y)=0 se ciascuna funzione continuamente differenziata da essa implicitamente specificata è una soluzione dell'equazione (1).
Un'equazione che ha la forma (1) e non può essere ridotta a vista semplice chiamata equazione indecidibile rispetto alla derivata. Se può essere scritto nel form
y" = f(x,y), allora si chiama equazione risolta per la derivata.
Problema di Cauchy per un'equazione del primo ordine contiene una sola condizione iniziale e ha la forma:
F(x,y,y")=0
y(x0)=y0 .
Equazioni della forma
M(x,y)dx+N(x,y)dx=0 (2)
dove le variabili x i y sono "simmetriche": possiamo assumere che x sia una variabile indipendente e y sia una variabile dipendente, o viceversa, y sia una variabile indipendente e x sia una variabile dipendente, detta equazione in forma simmetrica.
Significato geometrico di un'equazione differenziale del primo ordine
y"=f(x,y) (3)
è come segue.
Questa equazione stabilisce una connessione (dipendenza) tra le coordinate del punto (x;y) e pendenza y" tangente alla curva integrale passante per questo punto. Pertanto, l'equazione y"= f(x,y) è un insieme indicazioni (campo indicazioni stradali) sul piano cartesiano Oxy.
Una curva costruita nei punti in cui la direzione del campo è la stessa è detta isoclina. Le isocline possono essere utilizzate per approssimare la costruzione di curve integrali. L'equazione isoclina può essere ottenuta ponendo la derivata uguale alla costante y"=C
f(x, y)=C - equazione isoclina..
Retta integrale dell'equazione(3) è chiamato il grafico della soluzione di questa equazione.
Si chiamano equazioni differenziali ordinarie le cui soluzioni possono essere specificate analiticamente y=g(x). equazioni integrabili.
Equazioni della forma
M 0 (x)dx+N 0 (y)dy=0 (3)
sono chiamati equazioni con intercambiabili separati.
Da loro inizieremo la nostra conoscenza delle equazioni differenziali. Il processo di ricerca di soluzioni al DR si chiama integrazione di un'equazione differenziale.

Equazioni a variabili separate

Esempio 1. Trova la soluzione dell'equazione y"=x.
Controlla la soluzione.
Soluzione: scrivere l'equazione in differenziali
dy/dx=x o dy=x*dx.
Troviamo l'integrale dei lati destro e sinistro dell'equazione
int(dy)=int(x*dx);
y=x2/2+C.
Questo è l'integrale DR.
Controlliamo la sua correttezza e calcoliamo la derivata della funzione
y"=1/2*2x+0=x.
Come puoi vedere, abbiamo ricevuto il DR originale, quindi i calcoli sono corretti.
Abbiamo appena trovato la soluzione di un'equazione differenziale del primo ordine. Questo è esattamente equazioni più semplici, cosa che si può immaginare.

Esempio 2. Trovare l'integrale generale di un'equazione differenziale
(x+1)y"=y+3
Soluzione: Scriviamo l'equazione originale in differenziali
(x+1)dy=(y+3)dx.
L'equazione risultante si riduce a DR con variabili separate

Tutto ciò che resta da fare è prendere l'integrale di entrambi i membri

Utilizzando formule tabulari troviamo
ln|y+3|=ln|x+1|+C.
Se esponiamo entrambe le parti, otteniamo
y+3=e ln|x+1|+C oppure y=e ln|x+1|+C -3.
Questa notazione è corretta, ma non compatta.
In pratica si utilizza una tecnica diversa; quando si calcola l'integrale, la costante viene inserita sotto il logaritmo
ln|y+3|=ln|x+1|+ln(C).
Secondo le proprietà del logaritmo, ciò consente di comprimere gli ultimi due termini
ln|y+3|=ln(á|x+1|).
Ora quando esponi risolvere un'equazione differenziale sarà compatto e facile da leggere
y=С|x+1|+3
Ricordatevi questa regola; in pratica viene utilizzata come standard di calcolo.

Esempio 3. Risolvere l'equazione differenziale
y"=-y*peccato(x).
Soluzione: scriviamolo equazione ai differenziali
dy/dx= y*peccato(x)
o dopo aver riorganizzato i fattori nel modulo equazioni separate
dy/ y=-sin(x)dx.
Resta da integrare l'equazione
int(1/y,y)=-int(sin(x), x);
ln|y|=cos(x)-ln(C).
È conveniente inserire la costante sotto il logaritmo e anche con valore negativo per spostarlo sul lato sinistro per ottenere
ln|á*y|=cos(x).
Esporre entrambi i lati della dipendenza
á*y=exp(cos(x)).
Questo è quello che è. Puoi lasciarlo così com'è oppure puoi trasferirlo in modo permanente lato destro

I calcoli non sono complicati; nella maggior parte dei casi gli integrali possono essere trovati anche utilizzando formule di integrazione tabulare.

Esempio 4. Risolvi il problema di Cauchy
y"=y+x, y(1)=e 3 -2.
Soluzione: qui non avverranno più trasformazioni preliminari. Tuttavia, l’equazione è lineare e abbastanza semplice. In questi casi, è necessario introdurre una nuova variabile
z=y+x.
Ricordando che y=y(x) troviamo la derivata di z.
z"= y"+1,
da dove esprimiamo la derivata vecchia
y"=z"-1.
Sostituiamo tutto questo nell'equazione originale
z"-1=z oppure z"=z+1.
Scriviamolo Equazioni differenziali attraverso i differenziali
dz=(z+1)dx.
Separare le variabili nell'equazione

Non resta che calcolare gli integrali semplici che chiunque può fare

Esponiamo la dipendenza per eliminare il logaritmo della funzione
z+1=ex+C oppure z=ex+1 -1
Non dimenticare di tornare alla sostituzione completata.
z=x+y= e x+С -1,
scrivilo da qui Soluzione generale dell'equazione differenziale
y=ex+C -x-1.
Trovare una soluzione al problema di Cauchy in DR in questo caso non è difficile. Scriviamo la condizione di Cauchy
y(1)=e 3 -2
e sostituirlo nella soluzione che abbiamo appena trovato
e1 + C -1-1 = e3 -2.
Da qui si ottiene la condizione per il calcolo della costante
1+C=3; C=3-1=2.
Ora possiamo scrivere soluzione del problema di Cauchy (soluzione parziale di DR)
y=ex+2 -x-1.
Se sai come integrare bene e te la cavi anche con le derivate, allora il tema delle equazioni differenziali non sarà un ostacolo nella tua formazione.
Successivamente, dovrai studiare diversi diagrammi importanti in modo da poter distinguere le equazioni e sapere quale sostituzione o tecnica funziona in ciascun caso.
Dopodiché ti aspettano DR omogenei e disomogenei, equazioni differenziali del primo e dell'ordine superiore. Per non appesantirti con la teoria, nelle lezioni seguenti daremo solo il tipo di equazioni e breve diagramma i loro calcoli. Puoi leggere l'intera teoria da raccomandazioni metodologiche per studiare il corso" Equazioni differenziali" (2014) autori Bokalo Nikolay Mikhailovich, Domanskaya Elena Viktorovna, Chmyr Oksana Yuryevna. Puoi utilizzare altre fonti che contengono spiegazioni della teoria delle equazioni differenziali che capisci. Esempi già pronti per diff. equazioni tratte dal programma per matematici della LNU che porta il suo nome. Io. Frank.
Sappiamo come risolvere le equazioni differenziali e proveremo a farlo modo semplice instilla questa conoscenza in te.