Per capire come calcolare l'LCM, dovresti prima determinare il significato del termine "multiplo".

Un multiplo di A è un numero naturale divisibile per A senza resto, quindi 15, 20, 25 e così via possono essere considerati multipli di 5.

Può esserci un numero limitato di divisori di un determinato numero, ma esistono un numero infinito di multipli.

Un multiplo comune di numeri naturali è un numero divisibile per essi senza resto.

Come trovare il minimo comune multiplo di numeri

Il minimo comune multiplo (LCM) di numeri (due, tre o più) è il più piccolo numero naturale che è equamente divisibile per tutti questi numeri.

Per trovare il NOC, puoi utilizzare diversi metodi.

Per i numeri piccoli, è conveniente scrivere in una riga tutti i multipli di questi numeri fino a trovarne uno comune. I multipli sono indicati nel verbale con la lettera maiuscola K.

Ad esempio, multipli di 4 possono essere scritti in questo modo:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Quindi, puoi vedere che il minimo comune multiplo dei numeri 4 e 6 è il numero 24. Questa voce viene eseguita come segue:

LCM(4, 6) = 24

Se i numeri sono grandi, trova il multiplo comune di tre o più numeri, quindi è meglio usare un altro modo per calcolare l'LCM.

Per completare il compito, è necessario scomporre i numeri proposti in fattori primi.

Per prima cosa devi scrivere l'espansione del numero più grande in una riga e, al di sotto, il resto.

Nell'espansione di ciascun numero, potrebbe esserci un numero diverso di fattori.

Ad esempio, fattoriamo i numeri 50 e 20 in fattori primi.

Nell'espansione del numero più piccolo vanno sottolineati i fattori che mancano nell'espansione del primo. un largo numero e poi aggiungerli ad esso. Nell'esempio presentato, manca un due.

Ora possiamo calcolare il minimo comune multiplo di 20 e 50.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Pertanto, il prodotto dei fattori primi del numero maggiore e dei fattori del secondo numero, che non sono inclusi nella scomposizione del numero maggiore, sarà il minimo comune multiplo.

Per trovare l'LCM di tre o più numeri, tutti devono essere scomposti in fattori primi, come nel caso precedente.

Ad esempio, puoi trovare il minimo comune multiplo dei numeri 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Pertanto, solo due due dalla scomposizione di sedici non sono stati inclusi nella fattorizzazione di un numero maggiore (uno è nella scomposizione di ventiquattro).

Pertanto, devono essere aggiunti alla scomposizione di un numero maggiore.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Ci sono casi speciali di determinazione del minimo comune multiplo. Quindi, se uno dei numeri può essere diviso senza resto per un altro, il più grande di questi numeri sarà il minimo comune multiplo.

Ad esempio, i NOC di dodici e ventiquattro sarebbero ventiquattro.

Se è necessario trovare il minimo comune multiplo di numeri coprimi che non hanno gli stessi divisori, il loro LCM sarà uguale al loro prodotto.

Ad esempio, LCM(10, 11) = 110.

Definizione. Viene chiamato il numero naturale più grande per il quale i numeri aeb sono divisibili senza resto massimo comun divisore (MCD) questi numeri.

Troviamo il massimo comun divisore dei numeri 24 e 35.
I divisori di 24 saranno i numeri 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 e i divisori di 35 saranno i numeri 1, 5, 7, 35.
Vediamo che i numeri 24 e 35 hanno un solo divisore comune: il numero 1. Tali numeri sono chiamati coprimi.

Definizione. I numeri naturali sono chiamati coprimi se il loro massimo comun divisore (gcd) è 1.

Massimo comun divisore (GCD) può essere trovato senza scrivere tutti i divisori dei numeri dati.

Fattorizzazione dei numeri 48 e 36, otteniamo:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Dai fattori inclusi nell'espansione del primo di questi numeri, cancelliamo quelli che non sono inclusi nell'espansione del secondo numero (cioè due due).
Rimangono i fattori 2 * 2 * 3. Il loro prodotto è 12. Questo numero è il massimo comun divisore dei numeri 48 e 36. Si trova anche il massimo comun divisore di tre o più numeri.

Trovare massimo comun divisore

2) dai fattori inclusi nell'espansione di uno di questi numeri, barrare quelli che non sono inclusi nell'espansione di altri numeri;
3) trova il prodotto dei restanti fattori.

Se tutti i numeri dati sono divisibili per uno di essi, allora questo numero lo è massimo comun divisore numeri dati.
Ad esempio, il massimo comune divisore di 15, 45, 75 e 180 è 15, poiché divide tutti gli altri numeri: 45, 75 e 180.

Minimo comune multiplo (LCM)

Definizione. Minimo comune multiplo (LCM) i numeri naturali aeb sono il numero naturale più piccolo che è un multiplo di a e b. Il minimo comune multiplo (LCM) dei numeri 75 e 60 può essere trovato senza scrivere multipli di questi numeri in una riga. Per fare ciò, scomponiamo 75 e 60 in semplici fattori: 75 \u003d 3 * 5 * 5 e 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Scriviamo i fattori inclusi nell'espansione del primo di questi numeri e aggiungiamo loro i fattori mancanti 2 e 2 dall'espansione del secondo numero (ovvero combiniamo i fattori).
Otteniamo cinque fattori 2 * 2 * 3 * 5 * 5, il cui prodotto è 300. Questo numero è il multiplo meno comune dei numeri 75 e 60.

Trova anche il minimo comune multiplo di tre o più numeri.

Per trova il minimo comune multiplo più numeri naturali, hai bisogno di:
1) scomporli in fattori primi;
2) scrivi i fattori inclusi nell'espansione di uno dei numeri;
3) sommare ad essi i fattori mancanti dalle espansioni dei numeri rimanenti;
4) trovare il prodotto dei fattori risultanti.

Nota che se uno di questi numeri è divisibile per tutti gli altri numeri, allora questo numero è il multiplo meno comune di questi numeri.
Ad esempio, il minimo comune multiplo di 12, 15, 20 e 60 sarebbe 60, poiché è divisibile per tutti i numeri dati.

Pitagora (VI sec. aC) ei suoi allievi studiarono la questione della divisibilità dei numeri. Un numero uguale alla somma di tutti i suoi divisori (senza il numero stesso), hanno chiamato il numero perfetto. Ad esempio, i numeri 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) sono perfetti. I successivi numeri perfetti sono 496, 8128, 33.550.336 I pitagorici conoscevano solo i primi tre numeri perfetti. Il quarto - 8128 - divenne noto nel I secolo. n. e. Il quinto - 33 550 336 - è stato trovato nel XV secolo. Nel 1983 erano già noti 27 numeri perfetti. Ma fino ad ora, gli scienziati non sanno se esistono numeri perfetti dispari, se esiste il numero perfetto più grande.
L'interesse degli antichi matematici per i numeri primi è dovuto al fatto che qualsiasi numero è primo o può essere rappresentato come un prodotto di numeri primi, cioè i numeri primi sono come mattoni da cui sono costruiti il ​​resto dei numeri naturali.
Probabilmente hai notato che i numeri primi nella serie dei numeri naturali si verificano in modo non uniforme: in alcune parti della serie ce ne sono di più, in altre meno. Ma più ci muoviamo lungo la serie numerica, più rari sono i numeri primi. Sorge la domanda: esiste l'ultimo (più grande) numero primo? L'antico matematico greco Euclide (3° secolo a.C.), nel suo libro "Principi", che per duemila anni fu il principale libro di testo di matematica, dimostrò che ci sono infiniti numeri primi, cioè dietro ogni numero primo c'è un numero pari numero primo maggiore.
Per trovare i numeri primi, un altro matematico greco dello stesso tempo, Eratostene, escogitò un tale metodo. Ha annotato tutti i numeri da 1 a un numero, quindi ha barrato l'unità, che non è né un numero primo né composto, quindi ha barrato per uno tutti i numeri dopo 2 (numeri multipli di 2, cioè 4, 6, 8, ecc.). Il primo numero rimanente dopo il 2 era 3. Poi, dopo il due, tutti i numeri dopo il 3 venivano cancellati (numeri multipli di 3, cioè 6, 9, 12, ecc.). alla fine, solo i numeri primi sono rimasti non barrati.

Considera tre modi per trovare il minimo comune multiplo.

Trovare per Factoring

Il primo modo è trovare il minimo comune multiplo scomponendo i numeri dati in fattori primi.

Supponiamo di dover trovare l'LCM dei numeri: 99, 30 e 28. Per fare ciò, scomponiamo ciascuno di questi numeri in fattori primi:

Perché il numero desiderato sia divisibile per 99, 30 e 28, è necessario e sufficiente che includa tutti i fattori primi di questi divisori. Per fare ciò, dobbiamo prendere tutti i fattori primi di questi numeri alla massima potenza che si verifica e moltiplicarli insieme:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Quindi LCM (99, 30, 28) = 13.860. Nessun altro numero inferiore a 13.860 è equamente divisibile per 99, 30 o 28.

Per trovare il minimo comune multiplo di determinati numeri, devi scomporli in fattori primi, quindi prendere ogni fattore primo con l'esponente più grande con cui si verifica e moltiplicare insieme questi fattori.

Poiché i numeri coprimi non hanno fattori primi comuni, il loro minimo comune multiplo è uguale al prodotto di questi numeri. Ad esempio, tre numeri: 20, 49 e 33 sono coprimi. Ecco perchè

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32.340.

Lo stesso dovrebbe essere fatto quando si cerca il minimo comune multiplo di vari numeri primi. Ad esempio, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Trovare per selezione

Il secondo modo è trovare il multiplo minimo comune adattandolo.

Esempio 1. Quando il più grande dei numeri dati è equamente divisibile per altri numeri dati, l'LCM di questi numeri è uguale al più grande di essi. Ad esempio, dati quattro numeri: 60, 30, 10 e 6. Ognuno di essi è divisibile per 60, quindi:

NOC(60, 30, 10, 6) = 60

Negli altri casi, per trovare il minimo comune multiplo, si usa la seguente procedura:

1. Determina il numero più grande dai numeri dati.
2. Successivamente, troviamo numeri che sono multipli del numero più grande, moltiplicandolo per numeri naturali in ordine crescente e controllando se i numeri dati rimanenti sono divisibili per il prodotto risultante.

Esempio 2. Dati tre numeri 24, 3 e 18. Determina il più grande di essi: questo è il numero 24. Quindi, trova i multipli di 24, controllando se ciascuno di essi è divisibile per 18 e per 3:

24 1 = 24 è divisibile per 3 ma non divisibile per 18.

24 2 = 48 - divisibile per 3 ma non divisibile per 18.

24 3 \u003d 72 - divisibile per 3 e 18.

Quindi LCM(24, 3, 18) = 72.

Ricerca per ricerca sequenziale LCM

Il terzo modo è trovare il minimo comune multiplo trovando successivamente l'LCM.

L'LCM di due numeri dati è uguale al prodotto di questi numeri diviso per il loro massimo comune divisore.

Esempio 1. Trova l'LCM di due numeri dati: 12 e 8. Determina il loro massimo comune divisore: MCD (12, 8) = 4. Moltiplica questi numeri:

Dividiamo il prodotto nel loro GCD:

Quindi LCM(12, 8) = 24.

Per trovare l'LCM di tre o più numeri, viene utilizzata la seguente procedura:

1. Innanzitutto, viene trovato l'LCM di due qualsiasi dei numeri indicati.
2. Quindi, l'LCM del minimo comune multiplo trovato e il terzo numero dato.
3. Quindi, l'LCM del multiplo minimo comune risultante e il quarto numero, e così via.
4. Quindi la ricerca LCM continua finché ci sono numeri.

Esempio 2. Troviamo la LCM di tre numeri dati: 12, 8 e 9. Abbiamo già trovato la LCM dei numeri 12 e 8 nell'esempio precedente (questo è il numero 24). Resta da trovare il minimo comune multiplo di 24 e il terzo numero dato - 9. Determinare il loro massimo comune divisore: gcd (24, 9) = 3. Moltiplicare LCM per il numero 9:

Dividiamo il prodotto nel loro GCD:

Quindi LCM(12, 8, 9) = 72.

60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) Scriviamo i fattori inclusi nell'espansione del primo di questi numeri e ad essi aggiungiamo il fattore 5 mancante dall'espansione del secondo numero. Otteniamo: 2*2*3*5*5=300. Trovato NOC, cioè questa somma = 300. Non dimenticare la dimensione e scrivi la risposta:
Risposta: la mamma dà 300 rubli ciascuno.

Definizione di GCD: Massimo comun divisore (GCD) numeri naturali un e in nominare il numero naturale più grande c, a cui e un, e b diviso senza resto. Quelli. cè il numero naturale più piccolo per cui e un e b sono multipli.

Promemoria: Esistono due approcci alla definizione dei numeri naturali

• numeri utilizzati in: enumerazione (numerazione) di elementi (primo, secondo, terzo, ...); - nelle scuole, di solito.
• indicando il numero di oggetti (no pokemon - zero, un pokemon, due pokemon, ...).

I numeri negativi e non interi (razionali, reali, ...) non sono naturali. Alcuni autori includono zero nell'insieme dei numeri naturali, altri no. L'insieme di tutti i numeri naturali è solitamente indicato dal simbolo N

Promemoria: Divisore di un numero naturale un chiama il numero b, a cui un diviso senza resto. Multiplo di numero naturale b chiamato numero naturale un, che è diviso per b senza traccia. Se numero b- divisore di numeri un, poi un multiplo di b. Esempio: 2 è un divisore di 4 e 4 è un multiplo di 2. 3 è un divisore di 12 e 12 è un multiplo di 3.
Promemoria: I numeri naturali si dicono primi se sono divisibili senza resto solo per se stessi e per 1. Coprimi sono numeri che hanno un solo comune divisore uguale a 1.

Definizione di come trovare il GCD nel caso generale: Per trovare GCD (Greatest Common Divisor) Sono necessari diversi numeri naturali:
1) Scomponili in fattori primi. (Il grafico dei numeri primi può essere molto utile per questo.)
2) Scrivi i fattori inclusi nell'espansione di uno di essi.
3) Elimina quelli che non sono inclusi nell'espansione dei numeri rimanenti.
4) Moltiplicare i fattori ottenuti al paragrafo 3).

Attività 2 su (NOK): Entro il nuovo anno, Kolya Puzatov ha acquistato 48 criceti e 36 caffettiere in città. A Fekla Dormidontova, in quanto ragazza più onesta della classe, è stato affidato il compito di dividere questa proprietà nel maggior numero possibile di set regalo per insegnanti. Qual è il numero di set? Qual è la composizione dei set?

Esempio 2.1. risolvere il problema di trovare GCD. Trovare GCD per selezione.
Soluzione: Ciascuno dei numeri 48 e 36 deve essere divisibile per il numero dei doni.
1) Scrivi i divisori 48: 48, 24, 16, 12 , 8, 6, 3, 2, 1
2) Scrivi i divisori 36: 36, 18, 12 , 9, 6, 3, 2, 1 Scegli il massimo comun divisore. Op-la-la! Trovato, questo è il numero di set da 12 pezzi.
3) Dividi 48 per 12, otteniamo 4, dividiamo 36 per 12, otteniamo 3. Non dimenticare la dimensione e scrivi la risposta:
Risposta: Riceverai 12 set da 4 criceti e 3 caffettiere in ogni set.

GCD è il massimo comun divisore.

Per trovare il massimo comun divisore di più numeri:

• determinare i fattori comuni a entrambi i numeri;
• trovare il prodotto di fattori comuni.

Un esempio di ricerca di un GCD:

Trova il GCD dei numeri 315 e 245.

315 = 5 * 3 * 3 * 7;

245 = 5 * 7 * 7.

2. Scrivi i fattori comuni a entrambi i numeri:

3. Trova il prodotto di fattori comuni:

gcd(315; 245) = 5 * 7 = 35.

Risposta: GCD(315; 245) = 35.

Trovare il C.N.O

LCM è il multiplo meno comune.

Per trovare il minimo comune multiplo di più numeri:

• scomporre i numeri in fattori primi;
• scrivi i fattori inclusi nell'espansione di uno dei numeri;
• aggiungi ad essi i fattori mancanti dall'espansione del secondo numero;
• trovare il prodotto dei fattori risultanti.

Un esempio di ricerca del NOC:

Trova l'LCM dei numeri 236 e 328:

1. Scomponiamo i numeri in fattori primi:

236 = 2 * 2 * 59;

328 = 2 * 2 * 2 * 41.

2. Annota i fattori inclusi nell'espansione di uno dei numeri e aggiungi ad essi i fattori mancanti dall'espansione del secondo numero:

2; 2; 59; 2; 41.

3. Trova il prodotto dei fattori risultanti:

LCM(236; 328) = 2 * 2 * 59 * 2 * 41 = 19352.

Risposta: LCM(236; 328) = 19352.

Per trovare il MCD (massimo comun divisore) di due numeri, è necessario:

2. Trovare (sottolineare) tutti i fattori primi comuni nelle espansioni ottenute.

3. Trova il prodotto di fattori primi comuni.

Per trovare l'LCM (minimo comune multiplo) di due numeri, è necessario:

1. Scomponi questi numeri in fattori primi.

2. Completa l'espansione di uno di essi con quei fattori dell'espansione dell'altro numero, che non sono nell'espansione del primo.

3. Calcolare il prodotto dei fattori ottenuti.