Fibonacci Leonardo di Pisa (lat. Leonardo Pisano, Pisa, 1170 circa - 1250 circa) è il primo grande matematico dell'Europa medievale. È meglio conosciuto con il soprannome di Fibonacci, che in italiano significa "è nato un buon figlio" (Figlio Buono Nato Ci).

Poco si sa dell'esistenza di Fibonacci. Anche la data esatta della sua nascita è sconosciuta. Si presume che Fibonacci sia nato presumibilmente nel 1170

Leonardo Fibonacci è stato un famoso matematico italiano, famoso per la sua capacità di fare calcoli. Un giorno se ne accorse e scoprì una semplice sequenza di numeri, i cui rapporti descrivevano le proporzioni naturali di tutti i corpi dell'universo!

Leonardo Fibonacci fu un eccezionale matematico del Medioevo. I frutti delle sue fatiche matematiche sono utilizzati in molte scienze, arte e vita quotidiana fino ad oggi.

Il merito di Leonardo Fibonacci è la serie dei numeri di Fibonacci. Si ritiene che questa serie fosse conosciuta in Oriente, ma fu Leonardo Fibonacci a pubblicare questa serie di numeri nel libro "Liber Abaci" (lo fece per dimostrare la riproduzione di una popolazione di conigli).

Elliott ha scritto: "La legge di natura include in considerazione l'elemento più importante: il ritmo. La legge di natura non è un certo sistema, non un metodo per giocare nel mercato, ma un fenomeno che è apparentemente caratteristico del corso di qualsiasi essere umano attività. La sua applicazione nella previsione è rivoluzionaria."

Questa possibilità di prevedere i movimenti dei prezzi spinge schiere di analisti a lavorare giorno e notte. Ci concentreremo sulla capacità di fare previsioni e cercheremo di scoprire se questo è possibile o meno. Nell'introdurre il suo approccio, Elliott è stato molto specifico. Ha scritto: "Ci sono tre caratteristiche distintive inerenti a qualsiasi attività umana: forma, tempo e atteggiamento, e tutti sono soggetti alla sequenza di sommatoria di Fibonacci".

La sequenza di Fibonacci, nota a tutti dal film Il Codice Da Vinci, è una serie di numeri descritta come un indovinello dal matematico italiano Leonardo da Pisa, meglio noto come Fibonacci, nel XIII secolo. In breve, l'essenza dell'enigma:

Qualcuno ha posizionato una coppia di conigli in un certo spazio chiuso per sapere quante coppie di conigli nascerebbero durante l'anno, se la natura dei conigli è tale che ogni mese una coppia di conigli ne produce un'altra coppia, e la capacità di produrre la prole appare al raggiungimento dei due mesi.

Riflettendo su questo argomento, Fibonacci ha costruito una tale serie di numeri.

Una serie di numeri 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ecc. nota come serie di Fibonacci. La particolarità della sequenza di numeri è che ciascuno dei suoi membri, a partire dal terzo, è uguale alla somma dei due precedenti 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 \u003d 34, ecc., e il rapporto dei numeri adiacenti della serie si avvicina al rapporto della divisione aurea. Quindi, 21:34 = 0,617 e 34:55 = 0,618. Questo rapporto è indicato dal simbolo Ф Solo questo rapporto - 0,618: 0,382 - fornisce una divisione continua di un segmento di retta nel rapporto aureo, aumentandolo o diminuendolo all'infinito, quando il segmento più piccolo è correlato a quello più grande come quello più grande è per tutto.

Fibonacci si è occupato anche delle esigenze pratiche del commercio: qual è il minor numero di pesi che si possono utilizzare per pesare una merce? Fibonacci dimostra che il seguente sistema di pesi è ottimo: 1, 2, 4, 8, 16...

Questa sequenza ha una serie di caratteristiche matematiche che devono essere toccate. Questa sequenza asintotica (avvicinandosi sempre più lentamente) tende a una relazione costante. Tuttavia, questo rapporto è irrazionale, cioè è un numero con una sequenza infinita e imprevedibile di cifre decimali nella parte frazionaria. Non può essere espresso esattamente.

Quindi il rapporto di ogni membro della sequenza con il precedente oscilla intorno al numero 1.618, a volte superandolo, a volte non raggiungendolo. Il rapporto con il successivo si avvicina allo stesso modo al numero 0,618, che è inversamente proporzionale a 1,618. Se dividiamo gli elementi della sequenza per uno, otterremo i numeri 2.618 e 0.382, anch'essi inversamente proporzionali. Questi sono i cosiddetti rapporti di Fibonacci.

La natura, per così dire, risolve il problema da due lati contemporaneamente e somma i risultati. Non appena ottiene 1 in totale, si sposta alla dimensione successiva, dove inizia a costruire tutto dall'inizio. Ma poi deve costruire questa sezione aurea secondo una certa regola. La natura non usa subito il rapporto aureo. Lo ottiene per iterazioni successive e usa un'altra serie per generare la sezione aurea, la serie di Fibonacci.

Le meravigliose proprietà della serie di Fibonacci si manifestano anche nei numeri stessi, che sono membri di questa serie. Disponiamo i membri della serie di Fibonacci verticalmente, quindi a destra, in ordine decrescente, scriviamo i numeri naturali.

21 20 19 18 17 16 15 14 13

34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21

55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34

Ogni riga inizia e finisce con un numero di Fibonacci, cioè ci sono solo due di questi numeri in ogni riga. i numeri "blu" - 4, 7, 6, 11, 10, 18, 16, 29, 26, 47, 42 hanno proprietà speciali (il secondo livello della gerarchia delle serie di Fibonacci):

(5-4)/(4-3) = 1/1

(8-7)/(7-5) = 1/2 e (8-6)/(6-5) = 2/1

(13-11)/(11-8) = 2/3 e (13-10)/(10-8) = 3/2

(21-18)/(18-13) = 3/5 e (21-16)/(1b-13) = 5/3

(34-29)/(29-21) = 5/8 e (34-26)/(26-21) = 8/5

(55-47)/(47-34) = 8/13 e (55-42)/(42-34) = 13/8

Abbiamo ottenuto una serie frazionaria di Fibonacci, che, forse, "professa" gli spin collettivi di particelle elementari e atomi di elementi chimici.

Rappresentiamo questi numeri come una sequenza di saldi

Perché tutto questo? Ci stiamo quindi avvicinando a uno dei fenomeni più misteriosi della natura. Fibonacci essenzialmente non ha scoperto nulla di nuovo, ha semplicemente ricordato al mondo un fenomeno come la Sezione Aurea, che non ha importanza inferiore al teorema di Pitagora.

Distinguiamo tutti gli oggetti che ci circondano, anche nella forma. Ci piacciono di più, altri di meno, altri respingono completamente l'occhio. A volte l'interesse può essere dettato da una situazione di vita e talvolta dalla bellezza dell'oggetto osservato. La forma simmetrica e proporzionale contribuisce alla migliore percezione visiva ed evoca un senso di bellezza e armonia. Un'immagine olistica è sempre composta da parti di dimensioni diverse, che sono in una certa relazione tra loro e con il tutto. La sezione aurea è la più alta manifestazione della perfezione del tutto e delle sue parti nella scienza, nell'arte e nella natura.

Se su un semplice esempio, allora la Sezione Aurea è la divisione di un segmento in due parti in un rapporto tale in cui la parte più grande si riferisce a quella più piccola, come la loro somma (l'intero segmento) a quella più grande.

Se prendiamo l'intero segmento c come 1, allora il segmento a sarà uguale a 0,618, segmento b - 0,382, solo in questo modo sarà soddisfatta la condizione della sezione aurea (0,618/0,382=1,618; 1/0,618=1,618). Il rapporto tra c e a è 1,618 e c e b è 2,618. Questi sono tutti gli stessi, già a noi familiari, coefficienti di Fibonacci.

Naturalmente, c'è un rettangolo d'oro, un triangolo d'oro e persino un cubo d'oro. Le proporzioni del corpo umano per molti aspetti sono vicine alla Sezione Aurea.

Ma il più interessante inizia quando uniamo le conoscenze acquisite. La figura mostra chiaramente la relazione tra la sequenza di Fibonacci e la sezione aurea. Iniziamo con due quadrati della prima dimensione. Dall'alto aggiungiamo un quadrato della seconda dimensione. Dipingiamo accanto a un quadrato con un lato uguale alla somma dei lati dei due precedenti, la terza dimensione. Per analogia, appare un quadrato della quinta dimensione. E così via fino ad annoiarsi, l'importante è che la lunghezza del lato di ogni quadrato successivo sia uguale alla somma delle lunghezze dei lati dei due precedenti. Vediamo una serie di rettangoli i cui lati sono numeri di Fibonacci e, stranamente, sono chiamati rettangoli di Fibonacci.

Se tracciamo una linea liscia attraverso gli angoli dei nostri quadrati, non otteniamo altro che una spirale di Archimede, il cui aumento del passo è sempre uniforme.

La serie di Fibonacci non è solo un puzzle matematico, lo incontriamo ogni giorno nella vita di tutti i giorni:

E non solo nel guscio di un mollusco puoi trovare le spirali di Archimede, ma in molti fiori e piante non sono così evidenti.

Conchiglia a forma di spirale: la forma della conchiglia interessava Archimede e scoprì che l'aumento della lunghezza dei riccioli della conchiglia è un valore costante ed è pari a 1,618.

Multifoglia di aloe.

Broccoli Romanesco.

Girasole: anche i semi in un girasole sono disposti a spirale.

Pigna.

La crescita delle piante avviene anche secondo la serie numerica di Fibonacci: un ramo si allontana dal tronco, sul quale appare una foglia, quindi si verifica una lunga espulsione e appare di nuovo una foglia, ma è già più corta della precedente. Poi ancora l'espulsione, ma è anche più breve della precedente. In questa immagine, il primo valore anomalo è 100%, il secondo è 62% e il terzo è 38% (livelli di Fibonacci utilizzati nel trading) e così via. Con la lunghezza dei petali, tutto sembra esattamente lo stesso.

Lucertola: se dividi la lucertola in una coda e un corpo, il loro rapporto sarà compreso tra 0,62 e 0,38.

Piramidi - La lunghezza del bordo della piramide è di 783,3 piedi e l'altezza della piramide è di 484,4 piedi. Il rapporto lunghezza nervatura/altezza della piramide è 1,618.

Come puoi vedere, la serie numerica di Fibonacci è ampiamente rappresentata nella nostra vita: nella struttura degli esseri viventi, nelle strutture, descrive persino la struttura delle Galassie. Tutto ciò testimonia l'universalità dell'enigma matematico della serie numerica di Fibonacci.

E poi è il momento di ricordare la Sezione Aurea! Ci sono alcune delle creazioni più belle e armoniose della natura raffigurate in queste fotografie? E non è tutto. Guardando da vicino, puoi trovare modelli simili in molte forme.

Naturalmente, l'affermazione che tutti questi fenomeni sono costruiti sulla sequenza di Fibonacci suona troppo forte, ma la tendenza è evidente. E inoltre, la sequenza stessa è tutt'altro che perfetta, come tutto il resto in questo mondo.

Si ipotizza che la sequenza di Fibonacci sia il tentativo della natura di adattarsi alla sezione aurea più fondamentale e perfetta della sequenza logaritmica, che è praticamente la stessa, inizia dal nulla e non va da nessuna parte. La natura, d'altra parte, ha sicuramente bisogno di una sorta di inizio completo, da cui puoi partire, non può creare qualcosa dal nulla. I rapporti dei primi membri della sequenza di Fibonacci sono lontani dalla Sezione Aurea. Ma più ci muoviamo lungo di essa, più queste deviazioni vengono attenuate. Per determinare una sequenza, basta conoscerne i tre termini, uno dopo l'altro. Ma non per la sequenza aurea, ne bastano due, è una progressione geometrica e aritmetica allo stesso tempo. Potresti pensare che sia la base per tutte le altre sequenze.

Ciascun membro della sequenza logaritmica aurea è un grado della sezione aurea (z). Una parte della riga è simile a questa: ... z-5; z-4; z-3; z-2; z-1; z0; z1; z2; z3; z4; z5 ... Se arrotondiamo il valore del rapporto aureo a tre cifre decimali, otteniamo z=1.618, la serie si presenta così: ... 0.090 0.146; 0,236; 0,382; 0,618; uno; 1.618; 2.618; 4.236; 6.854; 11.090 ... Ogni termine successivo si ottiene non solo moltiplicando il precedente per 1.618, ma anche sommando i due precedenti. Pertanto, la crescita esponenziale nella sequenza viene fornita semplicemente aggiungendo due elementi adiacenti. Questa è una serie senza inizio e senza fine, ed è proprio a questa che la sequenza di Fibonacci cerca di essere. Avendo un inizio ben definito, si sforza per l'ideale, senza mai raggiungerlo. Questa è la vita.

Eppure, in connessione con tutto ciò che si vede e si legge, sorgono domande del tutto naturali:

Da dove vengono questi numeri? Chi è questo architetto dell'universo che ha cercato di renderlo perfetto? È mai stato come voleva che fosse? E se sì, perché non ha funzionato? Mutazioni? Scelta libera? Quale sarà il prossimo? La bobina si attorciglia o si districa?

Trovando la risposta a una domanda, ottieni la successiva. Se lo risolvi, ne ottieni due nuovi. Affrontali, ne appariranno altri tre. Dopo averli risolti, ne acquisirai cinque irrisolti. Poi otto, poi tredici, 21, 34, 55...

Il valore applicato della serie di Fibonacci e della Sezione Aurea merita un sito a parte. Ora mi limiterò a dire che, ad esempio, gli elementi della serie di Fibonacci vengono utilizzati per calcolare le medie mobili (per non parlare della crescita della popolazione di conigli), e i capolavori dell'arte mondiale contengono la Sezione Aurea.

Ricordiamo intanto che Fibonacci è una figura leggendaria in matematica, economia e finanza; promulgò i numeri arabi e presentò la serie magica dei numeri.

numero di serie di Fibonacci

basato sul libro di B. Biggs "the hedger è uscito dalla nebbia"

A proposito di numeri e trading di Fibonacci

Come introduzione all'argomento, passiamo brevemente all'analisi tecnica. In breve, l'analisi tecnica mira a prevedere il movimento futuro del prezzo di un asset sulla base di dati storici passati. La formulazione più famosa dei suoi sostenitori è che il prezzo include già tutte le informazioni necessarie. L'implementazione dell'analisi tecnica è iniziata con lo sviluppo della speculazione sui titoli e probabilmente non è stata ancora completamente completata, poiché promette guadagni potenzialmente illimitati. Le tecniche (termini) più note nell'analisi tecnica sono i livelli di supporto e resistenza, i candelieri giapponesi, le cifre che annunciano un'inversione di prezzo, ecc.

Il paradosso della situazione, a mio avviso, sta nel seguente: la maggior parte dei metodi descritti sono diventati così diffusi che, nonostante la mancanza di elementi di prova per la loro efficacia, hanno davvero avuto l'opportunità di influenzare il comportamento del mercato. Pertanto, anche gli scettici che utilizzano dati fondamentali dovrebbero tenere conto di questi concetti semplicemente perché sono presi in considerazione da un numero molto elevato di altri giocatori ("tecnici"). L'analisi tecnica può funzionare bene sulla storia, ma praticamente nessuno riesce a fare soldi stabili con il suo aiuto in pratica: è molto più facile arricchirsi pubblicando una grande edizione del libro "come diventare milionario usando l'analisi tecnica" .. .

In questo senso si distingue la teoria di Fibonacci, utilizzata anche per prevedere i prezzi per periodi diversi. I suoi seguaci sono comunemente chiamati "Waveers". Si distingue perché non è apparso contemporaneamente al mercato, ma molto prima, di ben 800 anni. La sua altra caratteristica è che la teoria ha trovato il suo riflesso quasi come un concetto mondiale per descrivere tutto e tutto, e il mercato è solo un caso speciale per la sua applicazione. L'efficacia della teoria e la durata della sua esistenza le forniscono sia nuovi sostenitori che nuovi tentativi di creare la descrizione meno controversa e generalmente accettata del comportamento dei mercati basata su di essa. Ma ahimè, la teoria non è andata oltre le previsioni di mercato di successo individuali, che possono essere equiparate alla fortuna.

L'essenza della teoria di Fibonacci

Fibonacci visse una lunga vita, soprattutto per il suo tempo, che dedicò alla soluzione di una serie di problemi matematici, formulandoli nella sua voluminosa opera Il Libro dei Conti (inizio XIII secolo). Era sempre interessato al misticismo dei numeri: probabilmente non era meno brillante di Archimede o di Euclide. Problemi relativi alle equazioni quadratiche furono posti e parzialmente risolti anche prima di Fibonacci, ad esempio, dal famoso Omar Khayyam, scienziato e poeta; tuttavia, Fibonacci formulò il problema della riproduzione dei conigli, le cui conclusioni gli portarono ciò che permise di non perdere per secoli il suo nome.

In breve, il compito è il seguente. In un luogo racchiuso su tutti i lati da un muro, veniva posta una coppia di conigli, e ogni coppia di conigli ne produce un'altra ogni mese, a partire dal secondo mese di esistenza. In questo caso, la riproduzione dei conigli nel tempo sarà descritta dalla sequenza: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, ecc. Da un punto di vista matematico, la sequenza si è rivelata semplicemente unica, poiché aveva una serie di proprietà eccezionali:

• la somma di due numeri consecutivi qualsiasi è il numero successivo nella sequenza;

• il rapporto di ogni numero della sequenza, partendo dal quinto, con il precedente è 1,618;

• la differenza tra il quadrato di qualsiasi numero e il quadrato del numero due posizioni a sinistra sarà il numero di Fibonacci;

• la somma dei quadrati dei numeri adiacenti sarà il numero di Fibonacci, che è due posizioni dopo il più grande dei numeri al quadrato

Di queste conclusioni, la seconda è la più interessante perché utilizza il numero 1.618, noto come "rapporto aureo". Questo numero era noto agli antichi greci, che lo usarono nella costruzione del Partenone (a proposito, secondo alcune fonti, la Banca Centrale serviva i Greci). Non meno interessante è il fatto che il numero 1.618 può essere trovato in natura sia su scala micro che macro - dalle spire a spirale sul guscio di una lumaca alle grandi spirali di galassie cosmiche. Le piramidi di Giza, create dagli antichi egizi, durante la progettazione contenevano anche diversi parametri della serie di Fibonacci contemporaneamente. Un rettangolo, un lato del quale è 1.618 volte l'altro, sembra il più piacevole alla vista: questo rapporto è stato utilizzato da Leonardo da Vinci per i suoi dipinti e, in termini più quotidiani, a volte veniva utilizzato per creare finestre o porte. Anche un'onda, come nella figura a inizio articolo, può essere rappresentata come una spirale di Fibonacci.

Nella fauna selvatica, la sequenza di Fibonacci non è meno comune: può essere trovata in artigli, denti, girasoli, ragnatele e persino nella riproduzione di batteri. Se lo si desidera, la consistenza si trova in quasi tutto, compreso il viso e il corpo umani. Eppure, c'è un'opinione secondo cui molte affermazioni che trovano i numeri di Fibonacci nei fenomeni naturali e storici non sono corrette: questo è un mito comune, che spesso si rivela inesatto per il risultato desiderato.

I numeri di Fibonacci nei mercati finanziari

R. Elliot è stato uno dei primi a essere più coinvolto nell'applicazione dei numeri di Fibonacci al mercato finanziario. Il suo lavoro non è stato vano, nel senso che le descrizioni del mercato che utilizzano la teoria di Fibonacci sono spesso chiamate "onde di Elliot". Lo sviluppo dei mercati qui si basava sul modello di sviluppo umano dei supercicli con tre passi avanti e due indietro. Il fatto che l'umanità si sviluppi in modo non lineare è ovvio per quasi tutti: la conoscenza dell'antico Egitto e l'insegnamento atomistico di Democrito furono completamente persi nel Medioevo, ad es. dopo circa 2000 anni; Il XX secolo ha dato origine a un tale orrore e insignificanza della vita umana che era difficile immaginare anche nell'era delle guerre puniche dei Greci. Tuttavia, anche se accettiamo la teoria dei passaggi e il loro numero come veri, la dimensione di ogni passaggio rimane poco chiara, il che rende le onde di Elliot paragonabili al potere predittivo di testa e croce. Il punto di partenza e il corretto calcolo del numero di onde sono stati e apparentemente saranno il principale punto debole della teoria.

Tuttavia, la teoria ha avuto successi locali. Bob Pretcher, che può essere considerato uno studente di Elliot, predisse correttamente il mercato rialzista dei primi anni '80 e il 1987 fu il punto di svolta. È successo davvero, dopo di che Bob ovviamente si è sentito un genio - almeno agli occhi degli altri, è diventato decisamente un guru degli investimenti. L'abbonamento a Elliott Wave Theorist di Prechter è cresciuto fino a 20.000 quell'anno,tuttavia, è diminuito all'inizio degli anni '90 poiché l'ulteriore "doom and gloom" previsto del mercato americano ha deciso di aspettare un po '. Tuttavia, ha funzionato per il mercato giapponese e un certo numero di sostenitori della teoria, che erano in ritardo di un'ondata lì, hanno perso il loro capitale o il capitale dei clienti delle loro società. Allo stesso modo, e con lo stesso successo, cercano spesso di applicare la teoria al trading sul mercato dei cambi.

La teoria copre una varietà di periodi di trading - da uno settimanale, che lo rende simile alle strategie di analisi tecnica standard, a un calcolo per decenni, ad es. entra nel territorio delle previsioni fondamentali. Ciò è possibile a causa della variazione del numero di onde. Le debolezze della teoria sopra menzionata consentono ai suoi aderenti di parlare non del fallimento delle onde, ma dei propri errori di calcolo nel loro numero e di una definizione errata della posizione iniziale. È come un labirinto: anche se hai la mappa giusta, puoi uscirne solo se capisci esattamente dove ti trovi. In caso contrario, la carta è inutile. Nel caso delle onde Elliot, ci sono tutti i segni di dubitare non solo della correttezza della propria posizione, ma anche della fedeltà della mappa in quanto tale.

conclusioni

Lo sviluppo ondulatorio dell'umanità ha una base reale: nel Medioevo, le ondate di inflazione e deflazione si alternarono, quando le guerre sostituirono una vita pacifica relativamente calma. Anche l'osservazione della sequenza di Fibonacci in natura, almeno in alcuni casi, è fuori dubbio. Pertanto, ogni persona ha il diritto di dare la propria risposta alla domanda su chi sia Dio: un matematico o un generatore di numeri casuali. La mia opinione personale è che sebbene tutta la storia umana ei mercati possano essere rappresentati in un concetto di onda, nessuno può prevedere l'altezza e la durata di ciascuna onda.

Allo stesso tempo, 200 anni di osservazione del mercato americano e più di 100 anni del resto fanno capire che il mercato azionario sta crescendo, attraversando diversi periodi di crescita e stagnazione. Questo fatto è abbastanza per guadagni a lungo termine nel mercato azionario, senza ricorrere a teorie controverse e affidare loro più capitale di quanto dovrebbe essere entro rischi ragionevoli.

Leonardo Fibonacci è uno dei più grandi matematici del medioevo. In una delle sue opere, Il libro dei calcoli, Fibonacci descrisse il calcolo indo-arabo e i vantaggi del suo utilizzo rispetto a quello romano.

Definizione
Numeri di Fibonacci o Sequenza di Fibonacci è una sequenza numerica che ha un numero di proprietà. Ad esempio, la somma di due numeri vicini nella sequenza dà il valore del successivo (ad esempio 1+1=2; 2+3=5, ecc.), che conferma l'esistenza dei cosiddetti coefficienti di Fibonacci , cioè. rapporti costanti.

La sequenza di Fibonacci inizia così: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233...

2.

Definizione completa dei numeri di Fibonacci

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Proprietà della sequenza di Fibonacci

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1. Il rapporto tra ogni numero e quello successivo tende sempre di più a 0,618 all'aumentare del numero di serie. Il rapporto tra ogni numero e quello precedente tende a 1,618 (inverso a 0,618). Il numero 0.618 è chiamato (FI).

2. Quando si divide ogni numero per quello successivo, si ottiene il numero 0,382 per uno; viceversa - rispettivamente 2.618.

3. Selezionando i rapporti in questo modo, otteniamo l'insieme principale dei coefficienti di Fibonacci: … 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236.

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Relazione tra la sequenza di Fibonacci e la "sezione aurea"

6.

La sequenza di Fibonacci asintotica (avvicinandosi sempre più lentamente) tende a un rapporto costante. Tuttavia, questo rapporto è irrazionale, cioè è un numero con una sequenza infinita e imprevedibile di cifre decimali nella parte frazionaria. Non può essere espresso esattamente.

Se un membro della sequenza di Fibonacci viene diviso per quello che lo precede (ad esempio, 13:8), il risultato sarà un valore che oscilla attorno al valore irrazionale 1.61803398875 ... e dopo un tempo superarlo o non raggiungerlo esso. Ma anche dopo aver trascorso l'eternità su di esso, è impossibile conoscere il rapporto esattamente, fino all'ultima cifra decimale. Per brevità, lo daremo nella forma di 1.618. Si cominciarono a dare nomi speciali per questo rapporto ancor prima che Luca Pacioli (un matematico medievale) lo chiamasse la Divina Proporzione. Tra i suoi nomi moderni ci sono la sezione aurea, la media aurea e il rapporto dei quadrati rotanti. Keplero definì questa relazione uno dei "tesori della geometria". In algebra, è comunemente indicato dalla lettera greca phi

Immaginiamo la sezione aurea sull'esempio di un segmento.

Consideriamo un segmento con estremità A e B. Sia il punto C dividere il segmento AB in modo che,

AC/CB = CB/AB o

AB/CB = CB/AC.

Puoi immaginarlo in questo modo: A-–C--–B

7.

La sezione aurea è una divisione così proporzionale di un segmento in parti disuguali, in cui l'intero segmento si riferisce alla parte maggiore come la parte maggiore stessa si riferisce alla parte minore; o in altre parole, la sezione più piccola è legata a quella più grande come quella più grande sta a tutto.

8.

I segmenti del rapporto aureo sono espressi come una frazione irrazionale infinita 0.618 ..., se AB è preso come uno, AC = 0.382 .. Come già sappiamo, i numeri 0.618 e 0.382 sono i coefficienti della sequenza di Fibonacci.

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Le proporzioni di Fibonacci e il rapporto aureo nella natura e nella storia

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È importante notare che Fibonacci, per così dire, ha ricordato all'umanità la sua sequenza. Era noto agli antichi Greci ed Egizi. Infatti, da allora, i modelli descritti dai coefficienti di Fibonacci sono stati trovati in natura, architettura, belle arti, matematica, fisica, astronomia, biologia e molte altre aree. È semplicemente sorprendente quante costanti possono essere calcolate usando la sequenza di Fibonacci e come i suoi termini appaiano in un numero enorme di combinazioni. Tuttavia, non sarebbe esagerato affermare che questo non è solo un gioco di numeri, ma la più importante espressione matematica di fenomeni naturali mai scoperta.

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Gli esempi seguenti mostrano alcune applicazioni interessanti di questa sequenza matematica.

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1. Il guscio è attorcigliato a spirale. Se lo apri, ottieni una lunghezza leggermente inferiore alla lunghezza del serpente. Una piccola conchiglia di dieci centimetri ha una spirale lunga 35 cm La forma della conchiglia arricciata a spirale ha attirato l'attenzione di Archimede. Il fatto è che il rapporto delle misure delle volute del guscio è costante e uguale a 1,618. Archimede studiò la spirale delle conchiglie e derivò l'equazione per la spirale. La spirale disegnata da questa equazione è chiamata con il suo nome. L'aumento del passo è sempre uniforme. Attualmente, la spirale di Archimede è ampiamente utilizzata in ingegneria.

2. Piante e animali. Anche Goethe ha sottolineato la tendenza della natura alla spiralità. La disposizione a spirale e a spirale delle foglie sui rami degli alberi è stata notata molto tempo fa. La spirale è stata vista nella disposizione dei semi di girasole, nelle pigne, negli ananas, nei cactus, ecc. Il lavoro congiunto di botanici e matematici ha fatto luce su questi incredibili fenomeni naturali. Si è scoperto che nella disposizione delle foglie su un ramo di semi di girasole, pigne, si manifesta la serie di Fibonacci e, quindi, si manifesta la legge della sezione aurea. Il ragno tesse la sua tela a spirale. Un uragano è a spirale. Un branco di renne spaventato si disperde in una spirale. La molecola del DNA è attorcigliata in una doppia elica. Goethe definì la spirale "la curva della vita".

Tra le erbe lungo la strada cresce una pianta insignificante: la cicoria. Diamo un'occhiata più da vicino. Dal fusto principale si formava un ramo. Ecco la prima foglia. Il processo effettua una forte espulsione nello spazio, si ferma, rilascia una foglia, ma già più corta della prima, effettua di nuovo un'espulsione nello spazio, ma di forza minore, rilascia una foglia di dimensioni ancora più piccole ed espelle nuovamente. Se il primo valore anomalo viene preso come 100 unità, il secondo è pari a 62 unità, il terzo è 38, il quarto è 24 e così via. Anche la lunghezza dei petali è soggetta al rapporto aureo. Nella crescita, nella conquista dello spazio, la pianta mantenne determinate proporzioni. I suoi impulsi di crescita sono gradualmente diminuiti in proporzione al rapporto aureo.

La lucertola è vivipara. Nella lucertola, a prima vista, vengono catturate le proporzioni che piacciono ai nostri occhi: la lunghezza della sua coda si riferisce alla lunghezza del resto del corpo da 62 a 38.

Sia nel mondo vegetale che animale, la tendenza alla modellatura della natura irrompe costantemente: la simmetria rispetto alla direzione della crescita e del movimento. Qui il rapporto aureo appare nelle proporzioni delle parti perpendicolari alla direzione di crescita. La natura ha effettuato la divisione in parti simmetriche e proporzioni auree. In alcune parti si manifesta una ripetizione della struttura del tutto.

Pierre Curie all'inizio del nostro secolo formulò una serie di idee profonde di simmetria. Ha sostenuto che non si può considerare la simmetria di nessun corpo senza tenere conto della simmetria dell'ambiente. Gli schemi della simmetria aurea si manifestano nelle transizioni energetiche delle particelle elementari, nella struttura di alcuni composti chimici, nei sistemi planetari e spaziali, nelle strutture geniche degli organismi viventi. Questi schemi, come indicato sopra, sono nella struttura dei singoli organi umani e del corpo nel suo insieme e si manifestano anche nei bioritmi e nel funzionamento del cervello e nella percezione visiva.

3. Spazio. È noto dalla storia dell'astronomia che I. Titius, astronomo tedesco del 18° secolo, utilizzando questa serie (Fibonacci) trovò regolarità e ordine nelle distanze tra i pianeti del sistema solare

Tuttavia, un caso che sembrava essere contro la legge: non c'era nessun pianeta tra Marte e Giove. L'osservazione mirata di quest'area del cielo ha portato alla scoperta della cintura degli asteroidi. Ciò accadde dopo la morte di Tizio all'inizio del XIX secolo.

La serie di Fibonacci è ampiamente utilizzata: con il suo aiuto, rappresentano l'architettura degli esseri viventi, le strutture artificiali e la struttura delle Galassie. Questi fatti sono la prova dell'indipendenza della serie numerica dalle condizioni della sua manifestazione, che è uno dei segni della sua universalità.

4. Piramidi. Molti hanno cercato di svelare i segreti della piramide di Giza. A differenza di altre piramidi egizie, questa non è una tomba, ma piuttosto un irrisolvibile puzzle di combinazioni numeriche. La notevole ingegnosità, abilità, tempo e lavoro degli architetti della piramide, che hanno utilizzato nella costruzione del simbolo eterno, indicano l'estrema importanza del messaggio che hanno voluto trasmettere alle generazioni future. La loro era era pre-alfabetizzata, pre-geroglifica e i simboli erano l'unico mezzo per registrare le scoperte. La chiave del segreto geometrico-matematico della piramide di Giza, così a lungo un mistero per l'umanità, fu in realtà data a Erodoto dai sacerdoti del tempio, che lo informarono che la piramide era stata costruita in modo che l'area di ciascuno dei suoi facce era uguale al quadrato della sua altezza.

Zona del triangolo

356 x 440 / 2 = 78320

area quadrata

280 x 280 = 78400

La lunghezza del bordo della base della piramide di Giza è 783,3 piedi (238,7 m), l'altezza della piramide è 484,4 piedi (147,6 m). La lunghezza del bordo della base, divisa per l'altezza, porta al rapporto Ф=1,618. L'altezza di 484,4 piedi corrisponde a 5813 pollici (5-8-13) - questi sono i numeri della sequenza di Fibonacci. Queste interessanti osservazioni suggeriscono che la costruzione della piramide sia basata sulla proporzione Ф=1.618. Alcuni studiosi moderni tendono a interpretare che gli antichi egizi lo costruirono al solo scopo di tramandare la conoscenza che volevano preservare per le generazioni future. Studi approfonditi sulla piramide di Giza hanno mostrato quanto fosse ampia la conoscenza della matematica e dell'astrologia in quel momento. In tutte le proporzioni interne ed esterne della piramide, il numero 1.618 gioca un ruolo centrale.

Piramidi in Messico. Non solo le piramidi egizie furono costruite secondo le proporzioni perfette del rapporto aureo, lo stesso fenomeno fu riscontrato nelle piramidi messicane. Nasce l'idea che le piramidi egiziane e messicane siano state erette all'incirca nello stesso periodo da persone di origine comune.

La sequenza di Fibonacci, nota a tutti dal film Il Codice Da Vinci, è una serie di numeri descritta come un indovinello dal matematico italiano Leonardo da Pisa, meglio noto come Fibonacci, nel XIII secolo. In breve, l'essenza dell'enigma:

Qualcuno ha posizionato una coppia di conigli in un certo spazio chiuso per sapere quante coppie di conigli nascerebbero durante l'anno, se la natura dei conigli è tale che ogni mese una coppia di conigli ne produce un'altra coppia, e la capacità di produrre la prole appare al raggiungimento dei due mesi.

Sequenza di Fibonacci e conigli
Il risultato è la seguente serie di numeri: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, dove è indicato il numero di coppie di conigli in ciascuno dei dodici mesi separati da virgole. Può essere continuato all'infinito. La sua essenza è che ogni numero successivo è la somma dei due precedenti.

Questa serie ha diverse caratteristiche matematiche che devono essere toccate. Asintoticamente (avvicinandosi sempre più lentamente) tende a un rapporto costante. Tuttavia, questo rapporto è irrazionale, cioè è un numero con una sequenza infinita e imprevedibile di cifre decimali nella parte frazionaria. Non può essere espresso esattamente.

Quindi il rapporto di ogni membro della serie con il precedente oscilla intorno al numero 1.618, a volte superandolo, a volte non raggiungendolo. Il rapporto con il successivo si avvicina allo stesso modo al numero 0,618, che è inversamente proporzionale a 1,618. Se dividiamo gli elementi per uno, otterremo i numeri 2.618 e 0.382, anch'essi inversamente proporzionali. Questi sono i cosiddetti rapporti di Fibonacci.

Perché tutto questo?

Ci stiamo quindi avvicinando a uno dei fenomeni più misteriosi della natura. L'esperto Leonardo, infatti, non ha scoperto nulla di nuovo, ha semplicemente ricordato al mondo un fenomeno come la Sezione Aurea, che non ha importanza inferiore al teorema di Pitagora.

Distinguiamo tutti gli oggetti che ci circondano, anche nella forma. Ci piacciono di più, altri di meno, altri respingono completamente l'occhio. A volte l'interesse può essere dettato da una situazione di vita e talvolta dalla bellezza dell'oggetto osservato. La forma simmetrica e proporzionale contribuisce alla migliore percezione visiva ed evoca un senso di bellezza e armonia. Un'immagine olistica è sempre composta da parti di dimensioni diverse, che sono in una certa relazione tra loro e con il tutto. La sezione aurea è la più alta manifestazione della perfezione del tutto e delle sue parti nella scienza, nell'arte e nella natura.

Se su un semplice esempio, allora la Sezione Aurea è la divisione di un segmento in due parti in un rapporto tale in cui la parte più grande si riferisce a quella più piccola, come la loro somma (l'intero segmento) a quella più grande.

Sezione Aurea - Taglio
Se prendiamo l'intero segmento c come 1, allora il segmento a sarà uguale a 0,618, segmento b - 0,382, solo in questo modo sarà soddisfatta la condizione della sezione aurea (0,618/0,382=1,618; 1/0,618=1,618). Il rapporto tra c e a è 1,618 e c e b è 2,618. Questi sono tutti gli stessi, già a noi familiari, coefficienti di Fibonacci.

Naturalmente, c'è un rettangolo d'oro, un triangolo d'oro e persino un cubo d'oro. Le proporzioni del corpo umano per molti aspetti sono vicine alla Sezione Aurea.

La sezione aurea e il corpo umano


Immagine: marcus-frings.de

Sequenza di Fibonacci - Animazione

Ma il più interessante inizia quando uniamo le conoscenze acquisite. La figura mostra chiaramente la relazione tra la sequenza di Fibonacci e la sezione aurea. Iniziamo con due quadrati della prima dimensione. Dall'alto aggiungiamo un quadrato della seconda dimensione. Dipingiamo accanto a un quadrato con un lato uguale alla somma dei lati dei due precedenti, la terza dimensione. Per analogia, appare un quadrato della quinta dimensione. E così via fino ad annoiarsi, l'importante è che la lunghezza del lato di ogni quadrato successivo sia uguale alla somma delle lunghezze dei lati dei due precedenti. Vediamo una serie di rettangoli i cui lati sono numeri di Fibonacci e, stranamente, sono chiamati rettangoli di Fibonacci.

Se tracciamo una linea liscia attraverso gli angoli dei nostri quadrati, non otteniamo altro che una spirale di Archimede, il cui aumento del passo è sempre uniforme.

Spirale di Fibonacci

Non ti ricorda niente?

Credito fotografico: ethanhein su Flickr

E non solo nel guscio di un mollusco puoi trovare le spirali di Archimede, ma in molti fiori e piante non sono così evidenti.

Multifoglia di Aloe:


Foto: brewbook su Flickr

Broccoli Romanesco:


Foto: bear.org.uk

Girasole:


Foto: esdrascalderan su Flickr

Pigna:


Foto: manj98 su Flickr

E poi è il momento di ricordare la Sezione Aurea! Ci sono alcune delle creazioni più belle e armoniose della natura raffigurate in queste fotografie? E non è tutto. Guardando da vicino, puoi trovare modelli simili in molte forme.

Naturalmente, l'affermazione che tutti questi fenomeni sono costruiti sulla sequenza di Fibonacci suona troppo forte, ma la tendenza è evidente. E inoltre, lei stessa è tutt'altro che perfetta, come tutto il resto in questo mondo.

Si ipotizza che la serie di Fibonacci sia il tentativo della natura di adattarsi a una sequenza logaritmica della sezione aurea più fondamentale e perfetta, che è praticamente la stessa, inizia dal nulla e non va da nessuna parte. La natura, d'altra parte, ha sicuramente bisogno di una sorta di inizio completo, da cui puoi partire, non può creare qualcosa dal nulla. I rapporti dei primi membri della sequenza di Fibonacci sono lontani dalla Sezione Aurea. Ma più ci muoviamo lungo di essa, più queste deviazioni vengono attenuate. Per determinare una serie, è sufficiente conoscere tre dei suoi membri, uno dopo l'altro. Ma non per la sequenza aurea, ne bastano due, è una progressione geometrica e aritmetica allo stesso tempo. Potresti pensare che sia la base per tutte le altre sequenze.

Ciascun membro della sequenza logaritmica aurea è un grado della sezione aurea (z). Una parte della riga è simile a questa: ... z-5; z-4; z-3; z-2; z-1; z0; z1; z2; z3; z4; z5 ... Se arrotondiamo il valore del rapporto aureo a tre cifre decimali, otteniamo z=1.618, la serie si presenta così: ... 0.090 0.146; 0,236; 0,382; 0,618; uno; 1.618; 2.618; 4.236; 6.854; 11.090 ... Ogni termine successivo si ottiene non solo moltiplicando il precedente per 1.618, ma anche sommando i due precedenti. Pertanto, la crescita esponenziale si ottiene semplicemente aggiungendo due elementi vicini. Questa è una serie senza inizio e senza fine, ed è proprio a questa che la sequenza di Fibonacci cerca di essere. Avendo un inizio ben definito, si sforza per l'ideale, senza mai raggiungerlo. Questa è la vita.

Eppure, in connessione con tutto ciò che si vede e si legge, sorgono domande del tutto naturali:
Da dove vengono questi numeri? Chi è questo architetto dell'universo che ha cercato di renderlo perfetto? È mai stato come voleva che fosse? E se sì, perché non ha funzionato? Mutazioni? Scelta libera? Quale sarà il prossimo? La bobina si attorciglia o si districa?

Trovando la risposta a una domanda, ottieni la successiva. Se lo risolvi, ne ottieni due nuovi. Affrontali, ne appariranno altri tre. Dopo averli risolti, ne acquisirai cinque irrisolti. Poi otto, poi tredici, 21, 34, 55...