Fibonačio seka, visiems žinoma iš filmo „Da Vinčio kodas“ – skaičių serija, kurią kaip mįslę apibūdino italų matematikas Leonardo iš Pizos, geriau žinomas Fibonačio slapyvardžiu, XIII a. Trumpai mįslės esmė:

Kažkas patalpino porą triušių tam tikroje uždaroje erdvėje, kad sužinotų, kiek porų triušių gims per metus, jei triušių prigimtis yra tokia, kad kiekvieną mėnesį triušių pora išaugina dar vieną porą, ir gebėjimą duoti. palikuonys atsiranda sulaukę dviejų mėnesių.

Rezultatas yra skaičių serija: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 , kur rodomas triušių porų skaičius per kiekvieną iš dvylikos mėnesių, atskirtas kableliais. Tęsti galima neribotą laiką. Jo esmė ta, kad kiekvienas kitas skaičius yra ankstesnių dviejų suma.

Ši serija turi keletą matematinių ypatybių, kurias reikia paliesti. Jis asimptotiškai (artėja vis lėčiau) linkęs į kažkokį pastovų santykį. Tačiau šis santykis yra neracionalus, tai yra skaičius, kurio trupmeninėje dalyje yra begalinė, nenuspėjama dešimtainių skaitmenų seka. To tiksliai išreikšti negalima.

Taigi bet kurio serijos nario ir prieš jį buvusio nario santykis svyruoja aplink skaičių 1,618 , kartais ją pranoksta, kartais nepasiekia. Santykis su šiais panašiai artėja prie skaičiaus 0,618 , kuris yra atvirkščiai proporcingas 1,618 . Jei elementus padalinsime į vieną, gausime skaičius 2,618 ir 0,382 , kurios taip pat yra atvirkščiai proporcingos. Tai yra vadinamieji Fibonačio koeficientai.

Kodėl visa tai? Taigi artėjame prie vieno paslaptingiausių gamtos reiškinių. Išmanusis Leonardo, tiesą sakant, nieko naujo neatrado, jis tiesiog priminė pasauliui tokį reiškinį kaip Aukso pjūvis, kuri savo svarba nenusileidžia Pitagoro teoremai.

Mes išskiriame visus mus supančius objektus, įskaitant formą. Vieni mėgstame labiau, kiti mažiau, kai kurie visiškai atstumia akį. Kartais susidomėjimą gali padiktuoti gyvenimiška situacija, o kartais – stebimo objekto grožis. Simetriška ir proporcinga forma prisideda prie geriausio vizualinio suvokimo ir sukelia grožio bei harmonijos pojūtį. Holistinis įvaizdis visada susideda iš skirtingų dydžių dalių, kurios yra tam tikrame santykyje viena su kita ir visuma. aukso pjūvis- aukščiausia visumos ir jos dalių tobulumo apraiška moksle, mene ir gamtoje.

Jei paprastas pavyzdys, tai aukso pjūvis yra segmento padalijimas į dvi dalis tokiu santykiu, kuriame didesnė dalis yra susijusi su mažesne, o jų suma (visas segmentas) - su didesne.

Jei imtume visą segmentą c per 1 , tada segmentas a bus lygus 0,618 , linijos atkarpa b - 0,382 , tik tokiu būdu bus įvykdyta Aukso pjūvio sąlyga (0,618/0,382=1,618 ; 1/0,618=1,618 ) . Požiūris c į a lygus 1,618 , a Su į b 2,618 . Tai visi tie patys, mums jau žinomi Fibonačio koeficientai.

Žinoma, yra auksinis stačiakampis, auksinis trikampis ir net auksinis stačiakampis. Žmogaus kūno proporcijos daugeliu atžvilgių yra artimos aukso pjūviui.

Vaizdas: marcus-frings.de

Tačiau įdomiausia prasideda, kai sujungiame įgytas žinias. Paveiksle aiškiai parodytas ryšys tarp Fibonačio sekos ir auksinio santykio. Pradedame nuo dviejų pirmojo dydžio kvadratų. Iš viršaus pridedame antrojo dydžio kvadratą. Dažome šalia kvadrato, kurio kraštinė lygi ankstesnių dviejų, trečiojo dydžio, kraštinių sumai. Pagal analogiją atsiranda penkto dydžio kvadratas. Ir taip toliau, kol neatsibosta, svarbiausia, kad kiekvieno kito kvadrato kraštinės ilgis būtų lygus dviejų ankstesnių kvadratų kraštinių ilgių sumai. Matome eilę stačiakampių, kurių kraštinių ilgiai yra Fibonačio skaičiai, ir, kaip bebūtų keista, jie vadinami Fibonačio stačiakampiais.

Jei per savo kvadratų kampus nubrėžtume lygią liniją, gautume tik Archimedo spiralę, kurios žingsnio padidėjimas visada yra vienodas.

Ar tai tau nieko neprimena?

Nuotrauka: etanheinas„Flickr“ svetainėje

Ir ne tik moliusko kiaute galite rasti Archimedo spiralių, bet ir daugelyje gėlių ir augalų, jie tiesiog nėra tokie akivaizdūs.

Daugialapis alavijas:

Nuotrauka: aludarių knygelės„Flickr“ svetainėje

Nuotrauka: beart.org.uk

Nuotrauka: esdrascalderan„Flickr“ svetainėje

Nuotrauka: manj98„Flickr“ svetainėje

Ir tada laikas prisiminti Aukso pjūvį! Ar šiose nuotraukose pavaizduoti gražiausi ir harmoningiausi gamtos kūriniai? Ir tai dar ne viskas. Atidžiau pažvelgę į panašius modelius galite rasti įvairių formų.

Žinoma, teiginys, kad visi šie reiškiniai yra paremti Fibonačio seka, skamba per garsiai, tačiau tendencija yra ant veido. Be to, ji pati toli gražu nėra tobula, kaip ir visa kita šiame pasaulyje.

Spėliojama, kad Fibonačio serija – tai gamtos bandymas prisitaikyti prie fundamentalesnės ir tobulesnės auksinės pjūvio logaritminės sekos, kuri praktiškai ta pati, tik prasideda iš niekur ir niekur nedingsta. Kita vertus, gamtai būtinai reikia kažkokios ištisos pradžios, nuo kurios galėtum atsispirti, ji negali iš nieko sukurti kažko. Pirmųjų Fibonačio sekos narių santykiai yra toli nuo aukso pjūvio. Tačiau kuo toliau juo judame, tuo labiau šie nukrypimai išsilygina. Norint nustatyti bet kurią seriją, pakanka žinoti tris jos narius, einančius vieną po kito. Bet ne auksinei sekai, jai užtenka dviejų, tai geometrinė ir aritmetinė progresija vienu metu. Galite pamanyti, kad tai yra visų kitų sekų pagrindas.

Kiekvienas auksinės logaritminės sekos narys yra auksinio santykio laipsnis ( z). Dalis eilutės atrodo maždaug taip: ... z -5 ; z-4; z-3; z-2; z -1; z0; z1; z2; z3; z4; z 5... Jei auksinio santykio reikšmę suapvalinsime iki trijų skaičių po kablelio, gausime z = 1,618, tada eilutė atrodo taip: ... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 ... Kiekvieną kitą terminą galima gauti ne tik padauginus ankstesnį iš 1,618 , bet ir pridedant du ankstesnius. Taigi eksponentinis augimas pasiekiamas tiesiog pridedant du gretimus elementus. Tai serija be pradžios ir pabaigos, ir būtent į tokią bando atrodyti Fibonačio seka. Turėdamas aiškiai apibrėžtą pradžią, jis siekia idealo, niekada jo nepasiekdamas. Toks gyvenimas.

Ir vis dėlto dėl visko, kas matyta ir perskaityta, kyla gana natūralūs klausimai:
Iš kur atsirado šie skaičiai? Kas yra šis visatos architektas, kuris bandė ją padaryti tobulą? Ar kada nors buvo taip, kaip jis norėjo? Ir jei taip, kodėl nepavyko? Mutacijos? Laisvas pasirinkimas? Kas bus toliau? Ar ritė sukasi ar atsisuka?

Suradę atsakymą į vieną klausimą, gausite kitą. Jei tai išspręsite, gausite du naujus. Susitvarkyk su jais, atsiras dar trys. Jas išsprendę, įsigysite penkis neišspręstus. Tada aštuoni, tada trylika, 21, 34, 55...

Šaltiniai: ; ; ;

Fibonačio seka, kurią išgarsino filmas ir knyga „Da Vinčio kodas“, yra skaičių serija, kurią XIII amžiuje išvedė italų matematikas Leonardo iš Pizos, geriau žinomas savo pseudonimu Fibonacci. Mokslininko pasekėjai pastebėjo, kad formulė, kuriai taikoma ši skaičių seka, atsispindi mus supančiame pasaulyje ir atkartoja kitus matematinius atradimus, taip atverdama mums duris į visatos paslaptis. Šiame straipsnyje paaiškinsime, kas yra Fibonačio seka, apsvarstysime pavyzdžius, kaip šis modelis rodomas gamtoje, ir palyginsime jį su kitomis matematinėmis teorijomis.

Sąvokos formulavimas ir apibrėžimas

Fibonačio serija yra matematinė seka, kurios kiekvienas elementas yra lygus ankstesnių dviejų sumai. Tam tikrą sekos narį pažymėkime x n. Taigi gauname formulę, kuri galioja visai serijai: x n + 2 \u003d x n + x n + 1. Šiuo atveju eilės tvarka atrodys taip: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. Kitas skaičius bus 55, nes 21 ir 34 suma yra 55. Ir taip toliau pagal tą patį principą.

Pavyzdžiai aplinkoje

Jei pažvelgsime į augalą, ypač į lapų vainiką, pastebėsime, kad jie žydi spirale. Tarp gretimų lapų susidaro kampai, kurie savo ruožtu sudaro teisingą matematinę Fibonačio seką. Dėl šios savybės kiekvienas atskiras lapas, augantis ant medžio, gauna maksimali suma saulės šviesa ir šiluma.

Fibonačio matematikos galvosūkis

Garsus matematikas pateikė savo teoriją mįslės forma. Tai skamba taip. Galite įdėti porą triušių į uždarą erdvę, kad sužinotumėte, kiek porų triušių gims per vienerius metus. Atsižvelgiant į šių gyvūnų prigimtį, tai, kad kiekvieną mėnesį pora sugeba susilaukti naujos poros, o sulaukę dviejų mėnesių jie tampa paruošti daugintis, todėl jis gavo savo garsiąją skaičių seriją: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 – tai rodo naujų triušių porų skaičių kiekvieną mėnesį.

Fibonačio seka ir proporcinis santykis

Ši serija turi keletą matematinių niuansų, į kuriuos reikia atsižvelgti. Jis, artėdamas lėčiau ir lėčiau (asimptotiškai), linksta į tam tikrą proporcingą santykį. Bet tai neracionalu. Kitaip tariant, tai yra skaičius, kurio trupmeninėje dalyje yra nenuspėjama ir begalinė dešimtainių skaičių seka. Pavyzdžiui, bet kurio serijos elemento santykis svyruoja apie 1,618, kartais jį viršija, kartais pasiekia. Kitas pagal analogiją artėja prie 0,618. Kuris yra atvirkščiai proporcingas skaičiui 1,618. Jei elementus padalinsime į vieną, gausime 2,618 ir 0,382. Kaip jau supratote, jie taip pat yra atvirkščiai proporcingi. Gauti skaičiai vadinami Fibonačio koeficientais. Dabar paaiškinkime, kodėl atlikome šiuos skaičiavimus.

aukso pjūvis

Visus mus supančius objektus išskiriame pagal tam tikrus kriterijus. Vienas iš jų yra forma. Vieni mus traukia labiau, kiti mažiau, o kiti visai nemėgsta. Pastebėta, kad simetriškas ir proporcingas objektas žmogui yra daug lengviau suvokiamas ir sukelia harmonijos bei grožio jausmą. Visas vaizdas visada apima skirtingų dydžių dalis, kurios yra tam tikru santykiu viena su kita. Iš to seka atsakymas į klausimą, kas vadinama auksiniu santykiu. Ši sąvoka reiškia visumos ir dalių santykio tobulumą gamtoje, moksle, mene ir kt. Matematikos požiūriu apsvarstykite šį pavyzdį. Paimkite bet kokio ilgio atkarpą ir padalinkite ją į dvi dalis taip, kad mažesnė dalis būtų susijusi su didesne, kaip suma (viso atkarpos ilgis) su didesne. Taigi paimkime pjūvį Su už vieno dydį. jo dalis a bus lygus 0,618, antroji dalis b, pasirodo, yra lygus 0,382. Taigi mes stebime auksinio santykio būklę. Segmentų santykis cį a lygus 1,618. Ir dalių santykis c ir b- 2,618. Gauname mums jau žinomus Fibonačio koeficientus. Auksinis trikampis, auksinis stačiakampis ir auksinis stačiakampis statomi pagal tą patį principą. Taip pat verta paminėti, kad proporcingas žmogaus kūno dalių santykis yra artimas Auksiniam santykiui.

Ar Fibonačio seka yra visko pagrindas?

Pabandykime sujungti Aukso pjūvio teoriją ir gerai žinomas italų matematiko serijas. Pradėkime nuo dviejų pirmojo dydžio kvadratų. Tada ant viršaus uždėkite kitą antrojo dydžio kvadratą. Nubrėžkime prie tos pačios figūros, kurios kraštinės ilgis lygus dviejų ankstesnių kraštinių sumai. Panašiai nubrėžiame penkto dydžio kvadratą. Ir taip galite tęsti neribotą laiką, kol nusibosta. Svarbiausia, kad kiekvieno sekančio kvadrato kraštinės dydis būtų lygus ankstesnių dviejų kraštinių sumai. Gauname eilę daugiakampių, kurių kraštinių ilgiai yra Fibonačio skaičiai. Šios figūros vadinamos Fibonačio stačiakampiais. Nubrėžkime sklandžią liniją per savo daugiakampių kampus ir brėžiame juos! Archimedo spiralė! Šio skaičiaus žingsnio padidėjimas, kaip žinote, visada yra vienodas. Jei įjungsite fantaziją, gautą modelį galima susieti su moliusko kiautu. Iš čia galime daryti išvadą, kad Fibonačio seka yra proporcingų, harmoningų aplinkinio pasaulio elementų santykių pagrindas.

Matematinė seka ir visata

Atidžiau pažvelgus, Archimedo spiralė (kažkur aiškiai, bet kažkur uždengta) ir, atitinkamai, Fibonačio principas, gali būti atsekama daugelyje pažįstamų gamtos elementų, supančių žmogų. Pavyzdžiui, tas pats moliusko lukštas, paprastų brokolių žiedynai, saulėgrąžos žiedas, spygliuočių augalo kūgis ir panašiai. Jei pažvelgsime toliau, pamatysime Fibonačio seką begalinėse galaktikose. Netgi žmogus, įkvėptas gamtos ir perimdamas jos formas, kuria objektus, kuriuose galima atsekti minėtą seriją. Atėjo laikas prisiminti Aukso pjūvį. Kartu su Fibonačio modeliu atsekami šios teorijos principai. Yra versija, kad Fibonačio seka yra savotiškas gamtos išbandymas, norint prisitaikyti prie tobulesnės ir fundamentalesnės logaritminės Aukso santykio sekos, kuri yra beveik identiška, bet neturi pradžios ir yra begalinė. Gamtos modelis yra toks, kad ji turi turėti savo atspirties tašką, iš kurio remtis kuriant kažką naujo. Pirmųjų „Fibonacci“ serijos elementų santykis toli gražu neatitinka „Auksinio santykio“ principų. Tačiau kuo toliau, tuo labiau šis neatitikimas išsilygina. Norėdami nustatyti seką, turite žinoti tris jos elementus, kurie seka vienas kitą. Auksinei sekai pakanka dviejų. Kadangi tai ir aritmetinė, ir geometrinė progresija.

Išvada

Visgi, remiantis tuo, kas išdėstyta, galima užduoti gana logiškus klausimus: „Iš kur atsirado šie skaičiai? Kas yra šis viso pasaulio įrenginio autorius, kuris bandė jį padaryti idealų? Ar visada viskas buvo taip, kaip jis norėjo? Jei taip , kodėl įvyko gedimas? Kas bus toliau?" Suradę atsakymą į vieną klausimą, gausite kitą. Išspręskite – atsiras dar du. Jei juos išspręsite, gausite dar tris. Su jais susidoroję gausite penkis neišspręstus. Tada aštuoni, tada trylika, dvidešimt vienas, trisdešimt keturi, penkiasdešimt penki...

Neseniai dirbdamas individualiuose ir grupiniuose procesuose su žmonėmis grįžau prie idėjos visus procesus (karminius, psichinius, fiziologinius, dvasinius, transformacinius ir kt.) sujungti į vieną.

Draugai už šydo vis labiau atskleidė daugiamačio Žmogaus įvaizdį ir visa ko ryšį visame kame.

Vidinis impulsas paskatino grįžti prie senųjų studijų su skaičiais ir dar kartą pavartyti Drunvalo Melchizedek knygą „Senovės gyvybės žiedo paslaptis“.

Tuo metu kino teatruose buvo rodomas filmas „Da Vinčio kodas“. Neketinu diskutuoti apie šio filmo kokybę, vertę ir tiesą. Tačiau momentas su kodu, kai skaičiai pradėjo sparčiai slinkti, man tapo vienu svarbiausių šio filmo momentų.

Intuicija man pasakė, kad verta atkreipti dėmesį į Fibonačio skaičių seką ir Aukso pjūvį. Jei ieškosite informacijos apie Fibonacci internete, būsite užversti informacija. Sužinosite, kad ši seka buvo žinoma visais laikais. Jis vaizduojamas gamtoje ir erdvėje, technikoje ir moksle, architektūroje ir tapyboje, muzikoje ir proporcijose žmogaus kūne, DNR ir RNR. Daugelis šios sekos tyrinėtojų priėjo prie išvados, kad esminiams žmogaus, valstybės, civilizacijos gyvenimo įvykiams taip pat galioja aukso pjūvio dėsnis.

Atrodo, kad Žmogui buvo duota esminė užuomina.

Tada kyla mintis, kad Aukso pjūvio principą Žmogus gali sąmoningai taikyti sveikatos atstatymui ir likimo taisymui, t.y. supaprastinti vykstančius procesus savo visatoje, išplėsti Sąmonę, grįžti prie Gerovės.

Kartu prisiminkime Fibonačio seką:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025…

Kiekvienas paskesnis skaičius sudaromas pridedant du ankstesnius:

1+1=2, 1+2=3, 2+3=5 ir t.t.

Dabar siūlau kiekvieną serijos skaičių perkelti į vieną skaitmenį: 1, 1, 2, 3, 5, 8,

13=1+3(4), 21=2+1(3), 34=3+4(7), 55=5+5(1), 89= 8+9(8), 144=1+4+4(9)…

Štai ką gavome:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9, 8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 2, 8, 1, 9…1, 1, 2…

24 skaičių seka, kuri vėl kartojasi nuo 25:

75025=7+5+0+2+5=19=1+0=1, 121393=1+2+1+3+9+3=19=1+0=1…

Ar tau tai neatrodo keista ar natūralu

per parą - 24 valandas,
erdvių namų - 24,
DNR grandinės - 24,
24 vyresnieji iš Dievo žvaigždės Sirijaus,
pasikartojanti seka Fibonačio serijoje – 24 skaitmenys.

Jei gauta seka parašyta taip,

1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9

8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 2, 8, 1, 9

9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9,

tada pamatysime, kad 1-as ir 13-as sekos skaičiai, 2-asis ir 14-asis, 3-asis ir 15-asis, 4-asis ir 16-asis ... 12-asis ir 24-asis sudaro 9 .

3 3 6 9 6 6 3 9

Išbandę šias skaitines eilutes, gavome:

Vaiko principas;
Tėvo principas;
Motinos principas;
vienybės principas.

Aukso pjūvio matrica

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9

2 2 4 6 1 7 8 6 5 2 7 9 7 7 5 3 8 2 1 3 4 7 2 9

4 4 8 3 2 5 7 3 1 4 5 9 5 5 1 6 7 4 2 6 8 5 4 9

3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9

8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9

7 7 5 3 8 2 1 3 4 7 2 9 2 2 4 6 1 7 8 6 5 2 7 9

4 4 8 3 2 5 7 3 1 4 5 9 5 5 1 6 7 4 2 6 8 5 4 9

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9

5 5 1 6 7 4 2 6 8 5 4 9 4 4 8 3 2 5 7 3 1 4 5 9

6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9

2 2 4 6 1 7 8 6 5 2 7 9 7 7 5 3 8 2 1 3 4 7 2 9

8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9

9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

Praktinis Fibonacci serijos pritaikymas

Mano draugas išreiškė ketinimą dirbti su juo individualiai ugdant jo gebėjimus ir gebėjimus.

Staiga pačioje pradžioje Sai Baba atėjo į procesą ir pakvietė mane sekti paskui jį.

Mes pradėjome kilti draugo Dieviškosios Monados viduje ir, palikę ją per priežastinį kūną, atsidūrėme kitoje tikrovėje Kosminių namų lygyje.

Tie, kurie studijavo Marko ir Elizabeth Clair Prophetov darbus, žino mokymą apie Kosminį laikrodį, kurį jiems perdavė Motina Marija.

Erdvės namų lygyje Jurijus pamatė apskritimą su vidiniu centru su 12 strėlių.

Vyresnysis, sutikęs mus šiame lygyje, pasakė, kad prieš mus yra Dieviškasis laikrodis ir 12 rodyklių reiškia 12 (24) Dieviškųjų aspektų apraiškų... (galbūt Kūrėjų).

Kalbant apie kosminį laikrodį, jie buvo išdėstyti po dieviškaisiais pagal energijos aštuonių principą.

- Kokiu režimu yra Dieviškieji Laikrodžiai jūsų atžvilgiu?

– Laikrodžio rodyklės stovi, nejuda.Mane aplanko mintys dabar, kai prieš daugelį amžių aš apleidau Dieviškąją Sąmonę ir nuėjau kitu keliu, mago keliu. Visi mano stebuklingi artefaktai ir amuletai, kurie susikaupė manyje ir manyje per daugybę įsikūnijimų, šiame lygyje atrodo kaip kūdikių barškučiai. Subtilioje plotmėje jie reprezentuoja magiškos energijos drabužių įvaizdį.

– Baigta.Tačiau palaiminu savo magišką patirtį.Išgyventi šią patirtį nuoširdžiai paskatinau grįžti prie pirminio šaltinio, prie visumos.Man pasiūloma nusiimti savo stebuklingus artefaktus ir atsistoti Laikrodžio centre.

— Ką reikia padaryti, kad įjungtumėte Dieviškąjį laikrodį?

– Vėl pasirodė Sai Baba ir pasiūlė išreikšti ketinimą Sidabrinę stygą sujungti su Laikrodžiu. Jis taip pat sako, kad turite kažkokią skaičių seriją. Jis yra aktyvinimo raktas. Prieš vidinę akį iškyla Leonardo da Vinci žmogaus įvaizdis.

– 12 kartų.

„Prašau jūsų sutelkti visą procesą į Dievą ir nukreipti skaičių serijos energijos veikimą į Dieviškojo laikrodžio aktyvavimą.

Skaitykite garsiai 12 kartų

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9…

Skaitymo metu laikrodžio rodyklės nuėjo.

Sidabrine styga ėjo energija, kuri sujungė visus Jurinos Monados lygius, taip pat žemiškąją ir dangiškąją energijas...

Netikėčiausias dalykas šiame procese buvo tai, kad ant Laikrodžio pasirodė keturios Esencijos, kurios yra kai kurios Vienos visumos su Jura dalys.

Bendraujant paaiškėjo, kad kažkada buvo Centrinės Sielos padalijimas, ir kiekviena dalis visatoje pasirinko savo sritį realizacijai.

Buvo priimtas sprendimas integruotis, o tai įvyko Dieviškojo laikrodžio centre.

Šio proceso rezultatas buvo Bendrojo kristalo sukūrimas šiame lygyje.

Po to prisiminiau, kad Sai Baba kažkada kalbėjo apie tam tikrą Planą, kuris apima iš pradžių dviejų Esmių sujungimą į vieną, paskui keturias ir taip toliau pagal dvejetainį principą.

Žinoma, ši skaičių serija nėra panacėja. Tai tik įrankis, leidžiantis greitai atlikti reikalingus darbus su žmogumi, sureguliuoti jį vertikaliai su skirtingais Egzistencijos lygiais.

VALSTYBINĖ UGDYMO ĮSTAIGA

"KRIVLYANSKAYA VIDURINĖ MOKYKLA"

ŽABINKO RAJONAS

FIBONACCI SKAIČIAI IR AUKSO SANTYKIS

Tiriamasis darbas

Darbai baigti:

10 klasės mokinys

Sodininkė Valerija Aleksejevna

Prižiūrėtojas:

Lavrenyuk Larisa Nikolaevna,

informatikos mokytojas ir

matematikos 1 kvalifikacija

Fibonačio skaičiai ir gamta

Būdingas augalų sandaros ir jų vystymosi bruožas yra sraigtiškumas. Net Gėtė, kuris buvo ne tik didis poetas, bet ir gamtininkas, sraigtiškumą laikė vienu iš būdingų visiems organizmams bruožų, slapčiausios gyvybės esmės apraiška. Augalų ūseliai sukasi spirale, audiniai auga spirale medžių kamienuose, sėklos saulėgrąžoje išsidėsto spirale, spiraliniai judesiai (nutacijos) stebimi augant šaknims ir ūgliams.

Iš pirmo žvilgsnio gali atrodyti, kad lapų, žiedų skaičius gali skirtis labai plačiame diapazone ir įgauti bet kokias reikšmes. Tačiau tokia išvada pasirodo nepagrįsta. Tyrimai parodė, kad to paties pavadinimo organų skaičius augaluose nėra savavališkas, yra verčių, kurios dažnai randamos, ir verčių, kurios yra labai retos.

Laukinėje gamtoje plačiai paplitusios penkiakampe simetrija pagrįstos formos – jūros žvaigždės, jūros ežiai, gėlės.

13 nuotrauka. Vėdrynas

Ramunėlė turi 55 arba 89 žiedlapius.

14 nuotrauka. Ramunė

Feverfew turi 34 žiedlapius.

Nuotr. penkiolika. Piretras

Pažiūrėkime į pušies kankorėžį. Žvyneliai ant jo paviršiaus išsidėstę griežtai taisyklingai – išilgai dviejų spiralių, kurios susikerta maždaug stačiu kampu. Tokių spiralių skaičius kankorėžiuose yra 8 ir 13 arba 13 ir 21.

16 nuotrauka. Kūgis

Saulėgrąžų krepšeliuose sėklos taip pat išdėliotos dviem spiralėmis, jų skaičius dažniausiai būna 34/55, 55/89.

17 nuotrauka. Saulėgrąža

Pažvelkime į lukštus. Jei suskaičiuotume atsitiktinai paimto pirmojo apvalkalo „stingdinimo šonkaulių“ skaičių – paaiškėjo, kad 21. Paimkime antrą, trečią, penktą, dešimtą apvalkalą – visų paviršiuje bus po 21 briauną. Matyti, kad moliuskai buvo ne tik geri inžinieriai, jie „žinojo“ Fibonačio skaičius.

18 nuotrauka. Lukštas

Čia vėl matome įprastą Fibonačio skaičių derinį, išsidėsčiusį greta: 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, 21/34, 34/55, 55/89. Jų santykis riboje linkęs į auksinį pjūvį, išreikštą skaičiumi 0,61803 ...

Fibonačio skaičiai ir gyvūnai

Starų skaičius jūros žvaigždėse atitinka Fibonačio skaičių seką arba labai arti jų ir yra lygus 5,8, 13.21.34.55.

19 nuotrauka. Jūrų žvaigždė

Šiuolaikiniai nariuotakojai yra labai įvairūs. Dygliuotasis omaras taip pat turi penkias poras kojų, penkias plunksnas ant uodegos, pilvas padalintas į penkis segmentus, o kiekviena koja susideda iš penkių dalių.

Nuotr. dvidešimt. dygliuotasis omaras

Kai kurių vabzdžių pilvas susideda iš aštuonių segmentų, yra trys galūnių poros, susidedančios iš aštuonių dalių, o iš burnos angos išnyra aštuoni skirtingi į antenas panašūs organai. Mūsų žinomas uodas turi tris poras kojų, pilvas padalintas į aštuonis segmentus, o ant galvos yra penkios antenos. Uodo lerva yra padalinta į 12 segmentų.

Nuotr. 21. Uodas

Kopūstinės muselės pilvas padalintas į penkias dalis, yra trys poros kojų, o lerva – į aštuonis segmentus. Kiekvienas iš dviejų sparnų plonomis gyslomis padalintas į aštuonias dalis.

Daugelio vabzdžių vikšrai yra suskirstyti į 13 segmentų, pavyzdžiui, odoje, miltų ėdime, Mauritanijos booger. Daugumoje kenkėjų vabalų vikšras yra padalintas į 13 segmentų. Labai būdinga vabalų kojų struktūra. Kiekviena koja susideda iš trijų dalių, kaip ir aukštesniems gyvūnams – iš peties, dilbio ir letenos. Plonos, ažūrinės vabalų letenėlės suskirstytos į penkias dalis.

Ažūriniai, skaidrūs, nesvarūs laumžirgio sparnai – gamtos „inžinerinių“ įgūdžių šedevras. Kokiomis proporcijomis grindžiamas šio mažyčio skraidančio raumeninio automobilio dizainas? Daugelio laumžirgių sparnų ilgio ir kūno ilgio santykis yra 4/3. Laumžirgio kūnas yra padalintas į dvi pagrindines dalis: masyvų kūną ir ilgą ploną uodegą. Kūnas yra padalintas į tris dalis: galvą, krūtinę, pilvą. Pilvas yra padalintas į penkis segmentus, o uodega susideda iš aštuonių dalių. Čia dar reikia pridėti tris poras kojų su jas padalinti į tris dalis.

Nuotr. 22. Laumžirgis

Šioje visumos padalijimo į dalis sekoje nesunku pastebėti Fibonačio skaičių serijos išplėtimą. Uodegos ilgis, kūnas ir bendras laumžirgio ilgis yra tarpusavyje susiję aukso pjūviu: uodegos ir kūno ilgių santykis yra lygus viso ilgio ir uodegos ilgio santykiui.

Nenuostabu, kad laumžirgis atrodo taip tobulai, nes yra sukurtas pagal aukso pjūvio dėsnius.

Vėžlio vaizdas įtrūkusio takyro fone yra nuostabus reiškinys. Karapaso centre yra didelis ovalus laukas su didelėmis susiliejusiomis raguotomis plokštelėmis, o išilgai kraštų yra mažesnių plokščių kraštinė.

Nuotr. 23. Vėžlys

Paimkite bet kurį vėžlį - nuo pelkinio vėžlio arti mūsų iki milžiniškos jūros, sriubos vėžlio - ir pamatysite, kad modelis ant kiauto yra panašus: ovaliame lauke yra 13 susiliejusių rago plokštelių - 5 plokštės centre ir 8 - išilgai kraštų, o ant periferinės ribos apie 21 plokštelę (Čilės vėžlys turi lygiai 21 plokštę išilgai kiauto krašto). Vėžliai turi 5 pirštus ant letenų, o stuburą sudaro 34 slanksteliai. Nesunku pastebėti, kad visi šie dydžiai atitinka Fibonačio skaičius. Vadinasi, vėžlio vystymasis, jo kūno formavimas, visumos padalijimas į dalis buvo vykdomas pagal Fibonačio skaičių eilės dėsnį.

Žinduoliai yra aukščiausia gyvūnų rūšis planetoje. Daugelio gyvūnų rūšių šonkaulių skaičius yra lygus trylikai arba artimas jam. Visiškai skirtingų žinduolių - banginio, kupranugario, elnio, turo - šonkaulių skaičius yra 13 ± 1. Slankstelių skaičius labai skiriasi, ypač dėl uodegų, kurios net ir tam pačiam gyvūnui gali būti skirtingo ilgio. rūšių. Tačiau daugelyje jų slankstelių skaičius yra lygus arba artimas 34 ir 55. Taigi, milžiniško elnio slanksteliai 34, banginio – 55.

Naminių gyvūnų galūnių skeletas susideda iš trijų identiškų kaulų grandžių: žastikaulio (dubens) kaulo, dilbio (blauzdos) ir letenos (pėdos). Pėda savo ruožtu susideda iš trijų kaulų jungčių.

Daugelio naminių gyvūnų dantų skaičius linkęs į Fibonačio skaičių: triušis turi 14 porų, šuo, kiaulė, arklys turi 21 ± 1 porą dantų. Laukinių gyvūnų dantų skaičius svyruoja plačiau: vieno plėšrūno plėšrūno – 54, hienų – 34, vienos iš delfinų rūšių siekia 233. Bendras kaulų skaičius naminių gyvūnų skelete (įskaitant dantų) vienoje grupėje yra arti 230, o kitoje – iki 300. Reikia pažymėti, kad mažieji klausos kaulai ir nenuolatiniai kaulai neįskaičiuojami į skeleto kaulų skaičių. Atsižvelgiant į juos, daugelio gyvūnų bendras skeleto kaulų skaičius priartės prie 233, o kitų – viršys 300. Kaip matote, kūno dalijimasis, lydimas skeleto išsivystymo, pasižymi atskiras kaulų skaičiaus pokytis įvairiuose gyvūnų organuose, o šie skaičiai atitinka Fibonačio skaičius arba yra labai artimi jiems, sudarydami 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 eilutes. Daugumos vištienos kiaušinių dydžių santykis yra 4:3 (kai kuriems 3/2), moliūgų sėklų – 3:2, arbūzų sėklų – 3/2. Nustatyta, kad kankorėžių ilgio ir skersmens santykis yra 2:1. Beržo lapų dydis vidutiniškai yra labai artimas, o gilių - 5:2.

Manoma, kad jei reikia padalyti gėlių veją į dvi dalis (žolė ir gėlės), tada šios juostos neturėtų būti vienodo pločio, bus gražiau, jei paimsite jas santykiu 5: 8 arba 8:13, t.y. naudokite santykį, vadinamą auksiniu pjūviu.

Fibonačio skaičiai ir fotografija

Aukso pjūvio taisyklė, taikoma fotografijos menui, padalija rėmą dviem horizontaliomis ir dviem vertikaliomis linijomis į 9 nelygius stačiakampius. Kad patiems būtų lengviau fotografuoti subalansuotus vaizdus, fotografai šiek tiek supaprastino užduotį ir pradėjo dalyti kadrą į 9 vienodus stačiakampius pagal Fibonačio skaičius. Taigi aukso pjūvio taisyklė buvo transformuota į trečdalių taisyklę, kuri nurodo vieną iš kompozicijos principų.

Nuotr. 24. Rėmas ir aukso pjūvis

Šiuolaikinių skaitmeninių fotoaparatų vaizdo ieškiklyje fokusavimo taškai yra 2/8 padėtyse arba įsivaizduojamose linijose, dalijančiose kadrą pagal auksinės pjūvio taisyklę.

25 nuotrauka. Skaitmeninis fotoaparatas ir fokusavimo taškai

26 nuotrauka.

27 nuotrauka. Fotografija ir fokusavimo taškai

Trečdalių taisyklė galioja visoms objektų kompozicijoms: fotografuojate peizažą ar portretą, natiurmortą ar reportažą. Kol jūsų harmonijos jausmas netapo įgytas ir nesąmoningas, vadovaudamiesi paprasta trečdalių taisykle galėsite fotografuoti išraiškingas, harmoningas, subalansuotas.

28 nuotrauka. Fotografija ir dangaus bei žemės santykis 1:2.

Sėkmingiausias demonstravimo pavyzdys yra kraštovaizdis. Kompozicijos principas – dangaus ir žemės (arba vandens paviršiaus) santykis turi būti 1:2. Trečdalis kadro turi būti paimtas po dangumi, o du trečdaliai po žeme arba atvirkščiai.

29 nuotrauka. Gėlės spirale nuotrauka

Fibonacci ir erdvė

Vandens ir žemės santykis Žemės planetoje yra 62% ir 38%.

Žemės ir Mėnulio matmenys yra aukso pjūviu.

30 nuotrauka. Žemės ir Mėnulio matmenys

Paveikslėlyje parodyti santykiniai Žemės ir Mėnulio dydžiai pagal mastelį.

Nubrėžkime Žemės spindulį. Nuo centrinio Žemės taško iki Mėnulio centrinio taško nubrėžkime atkarpą, kurios ilgis bus lygus). Nubrėžkime liniją, kad sujungtume šias dvi linijas ir sudarytume trikampį. Gauname auksinį trikampį.

Saturnas rodo auksinį pjūvį keliais jo matmenimis

31 nuotrauka. Saturnas ir jo žiedai

Saturno skersmuo yra labai artimas aukso pjūviui su žiedų skersmeniu, kaip rodo žalios linijos.Spindulys įžiedų vidinė dalis yra labai artima išoriniam žiedų skersmeniui, kaip parodyta mėlyna linija.

Aukso pjūviui paklūsta ir planetų atstumas nuo Saulės.

32 nuotrauka. Planetų atstumas nuo Saulės

Aukso pjūvis kasdieniame gyvenime

Auksinis pjūvis taip pat naudojamas siekiant suteikti stiliaus ir patrauklumo kasdienių plataus vartojimo prekių rinkodarai ir dizainui. Pavyzdžių yra daug, tačiau iliustruosime tik keletą.

33 nuotrauka. EmblemaToyota

34 nuotrauka. Aukso pjūvis ir apranga

34 nuotrauka. Auksinis santykis ir automobilių dizainas

35 nuotrauka. EmblemaApple

36 nuotrauka. EmblemaGoogle

Praktinis tyrimas

Dabar įgytas žinias pritaikysime praktikoje. Pirmiausia paimkime matavimus tarp 8 klasės mokinių.

Eksperimente dalyvavo 7 8 klasės mokiniai, 5 mergaitės ir 2 berniukai. Išmatuotas aukštis ir atstumas nuo bambos iki grindų. Rezultatai atsispindi lentelėse. Viena idealaus kūno sudėjimo studentė, jai ūgio ir atstumo nuo bambos iki grindų santykis yra 1,6185. Kitas studentas yra labai arti aukso pjūvio, . Atlikus matavimus idealius parametrus turi 29 % dalyvių. Šie procentiniai rezultatai taip pat yra artimi auksiniam santykiui – 68% ir 32%. Pirmajam dalykui matome, kad 3 koeficientai iš 5 yra artimi auksiniam pjūviui, procentais jis yra nuo 60% iki 40%. O už antrąjį – 4 iš 5, tai yra nuo 80% iki 20%.

Jei atidžiai pažvelgsite į televizijos vaizdą, jo matmenys bus nuo 16 iki 9 arba nuo 16 iki 10, o tai taip pat artima auksiniam pjūviui.

Atliekame matavimus ir konstrukcijas „CorelDRAW X4“ ir naudodami naujienų kanalo „Russia 24“ rėmelį galite rasti:

a) rėmo ilgio ir pločio santykis yra 1,7.

b) asmuo kadre yra tiksliai fokusavimo taškuose, esančiuose 3/8 atstumu.

Toliau eikime į oficialų laikraščio Izvestija mikroblogą, kitaip tariant, į Twitter puslapį. Monitoriaus ekrane su 4:3 kraštinėmis matome, kad puslapio „antraštė“ yra 3/8 viso puslapio aukščio.

Atidžiai pažvelgę į kariuomenės dangtelius, galite rasti:

a) Rusijos Federacijos gynybos ministro ribos nurodytų dalių santykis yra nuo 21,73 iki 15,52, lygus 1,4.

b) Baltarusijos Respublikos pasienio sargybos dangtelis turi nurodytų dalių matmenis nuo 44,42 iki 21,33, tai yra lygus 2,1.

c) SSRS laikų kepuraitė turi nurodytų dalių matmenis nuo 49,67 iki 31,04, tai yra 1,6.

Šio modelio suknelės ilgis 113,13 mm.

Jei „pabaigsite“ suknelę iki „idealaus“ ilgio, gausime šį paveikslėlį.

Visi matavimai turi tam tikrą paklaidą, nes jie buvo paimti iš nuotraukos, o tai netrukdo pamatyti tendencijos - viskas, kas yra idealu, turi aukso pjūvį vienu ar kitu laipsniu.

Išvada

Gyvosios gamtos pasaulis mums atrodo visiškai kitoks – mobilus, permainingas ir stebėtinai įvairus. Gyvenimas mums parodo fantastišką kūrybinių derinių įvairovės ir originalumo karnavalą! Negyvosios gamtos pasaulis – tai visų pirma simetrijos pasaulis, suteikiantis jo kūrybai stabilumo ir grožio. Gamtos pasaulis – tai visų pirma harmonijos pasaulis, kuriame veikia „aukso pjūvio dėsnis“.

“Auksinis santykis“ atrodo ta tiesos akimirka, be kurios apskritai niekas, kas egzistuoja, neįmanoma. Kad ir ką laikytume tyrimo elementu, „aukso pjūvis“ bus visur; net jei ir nėra matomo jo paisymo, tai būtinai vyksta energijos, molekulių ar ląstelių lygmenyje.

Iš tiesų, gamta pasirodo esanti monotoniška (taigi vienoda!) savo pagrindinių dėsnių pasireiškimu. Jos rasti „sėkmingiausi“ sprendimai taikomi patiems įvairiausiems objektams, pačioms įvairiausioms organizavimo formoms. Organizacijos tęstinumas ir diskretiškumas kyla iš dvigubos materijos vienybės - jos korpuskulinės ir banginės prigimties, prasiskverbia į chemiją, kur suteikia sveikosios stechiometrijos dėsnius, pastovios ir kintamos sudėties cheminius junginius. Botanikoje tęstinumas ir diskretiškumas randa savo specifinę išraišką filotaksyje, diskretiškumo kvantuose, augimo kvantuose, diskretiškumo vienybėje ir erdvės-laiko organizavimo tęstinumui. O dabar skaitiniuose augalų organų santykiuose atsiranda A. Gurskio įvestas „daugybinių santykių principas“ - visiškas pagrindinio chemijos dėsnio atkartojimas.

Žinoma, teiginys, kad visi šie reiškiniai yra paremti Fibonačio seka, skamba per garsiai, tačiau tendencija aiški. Be to, ji pati toli gražu nėra tobula, kaip ir visa kita šiame pasaulyje.

Kiekvienas auksinės logaritminės sekos narys yra auksinio santykio laipsnis (). Dalis eilutės atrodo maždaug taip:... ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ... Jei auksinio santykio reikšmę suapvalinsime iki trijų skaičių po kablelio, gausime=1,618 , tada eilutė atrodo taip:... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 ... Kiekvieną kitą terminą galima gauti ne tik padauginus ankstesnį iš1,618 , bet ir pridedant du ankstesnius. Taigi eksponentinis augimas pasiekiamas tiesiog pridedant du gretimus elementus. Tai serija be pradžios ir pabaigos, ir būtent į tokią bando atrodyti Fibonačio seka. Turėdamas aiškiai apibrėžtą pradžią, jis siekia idealo, niekada jo nepasiekdamas. Toks gyvenimas.

Naudotų šaltinių sąrašas

Vasyutinskiy, N. Auksinė proporcija / Vasyutinskiy N, Maskva, Jaunoji gvardija, 1990, - 238 p. - (Eureka).

Vorobjovas, N.N. Fibonačio skaičiai,

Prieigos režimas: . Prisijungimo data: 2015-11-17.

Prieigos režimas: . Prisijungimo data: 2015-11-16.

Prieigos režimas: . Prisijungimo data: 2015-11-13.

Italų matematikas Leonardo Fibonacci gyveno XIII amžiuje ir vienas pirmųjų Europoje pradėjo naudoti arabiškus (indiškus) skaitmenis. Jis sugalvojo kiek dirbtinę problemą apie triušius, kurie auginami ūkyje, visi jie laikomi patelėmis, patinai ignoruojami. Triušiai pradeda veistis sulaukę dviejų mėnesių, o vėliau kas mėnesį atsiveda po triušį. Triušiai niekada nemiršta.

Būtina nustatyti, kiek triušių bus ūkyje n mėnesių, jei pradiniu laiko momentu buvo tik vienas naujagimis triušis.

Akivaizdu, kad ūkininkas pirmą mėnesį turi vieną triušį, o antrą – vieną. Trečią mėnesį bus du triušiai, ketvirtą – trys ir t.t. Pažymime triušių skaičių n mėnuo patinka. Šiuo būdu,
,
,
,
,
, …

Galime sukurti algoritmą, kad rastume bet kuriam n.

Pagal problemos būklę bendras triušių skaičius
in n+1 mėnuo yra padalintas į tris komponentus:

vieno mėnesio amžiaus triušių, negalinčių daugintis, kiekiu

;

Taigi, mes gauname

. (8.1)

Formulė (8.1) leidžia apskaičiuoti skaičių seką: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, . ..

Šios sekos skaičiai vadinami Fibonačio skaičiai .

Jei priimti
ir
, tada formulės (8.1) pagalba galima nustatyti visus kitus Fibonačio skaičius. Formulė (8.1) vadinama pasikartojantis formulė ( pasikartojimas - „grįžimas“ lotyniškai).

8.1 pavyzdys. Tarkime, kad viduje yra laiptai nžingsniai. Galime į jį lipti vieno laiptelio laipteliu arba dviejų laiptelių žingsniu. Kiek yra skirtingų kėlimo būdų derinių?

Jeigu n= 1, yra tik vienas problemos sprendimas. Dėl n= 2 yra 2 parinktys: du pavieniai žingsniai arba vienas dvigubas žingsnis. Dėl n= 3 yra 3 variantai: trys pavieniai žingsniai arba vienas vienvietis ir vienas dvivietis, arba vienas dvigubas ir vienas vienvietis.

Kitu atveju n= 4, turime 5 galimybes (1+1+1+1, 2+1+1, 1+2+1, 1+1+2, 2+2).

Norėdami atsakyti į pateiktą klausimą savavališku n, pažymėkite parinkčių skaičių kaip , ir pabandykite nustatyti
pagal garsųjį ir
. Jei pradedame nuo vieno žingsnio, tada turime deriniai likusiems nžingsniai. Jei pradedame nuo dvigubo žingsnio, tada turime
deriniai likusiems n-1 žingsnis. Bendras parinkčių skaičius n+1 žingsnis lygus

. (8.2)

Gauta formulė, kaip ir dvynys, primena formulę (8.1). Tačiau tai neleidžia nustatyti derinių skaičiaus su Fibonačio skaičiais . Pavyzdžiui, matome
, bet
. Tačiau yra toks ryšys:

Tai galioja n= 1, 2 ir taip pat galioja kiekvienam n. Fibonačio skaičiai ir kombinacijų skaičius apskaičiuojami naudojant tą pačią formulę, tačiau pradinės vertės
,
ir
,
jie skiriasi.

8.2 pavyzdys.Šis pavyzdys turi praktinę reikšmę sprendžiant klaidų taisymo kodavimo problemas. Raskite visų dvejetainių žodžių skaičių n, kuriame nėra kelių nulių iš eilės. Pažymėkime šį skaičių . Akivaizdu,
, o mūsų apribojimą tenkinantys 2 ilgio žodžiai yra: 10, 01, 11, t.y.
. Leisti
- žodis iš n personažai. Jei simbolis
, tada
gali būti savavališkas (
) – pažodinis žodis, kuriame nėra kelių nulių iš eilės. Taigi žodžių su vienetu pabaigoje skaičius yra
.

Jei simbolis
, tada būtinai
, ir pirmasis
simbolis
gali būti savavališkas, atsižvelgiant į svarstomus apribojimus. Todėl yra
žodžio ilgis n su nuliu pabaigoje. Taigi bendras mus dominančių žodžių skaičius yra

Atsižvelgiant į tai, kad
ir
, gauta skaičių seka yra Fibonačio skaičiai.

8.3 pavyzdys. 7.6 pavyzdyje nustatėme, kad pastovaus svorio dvejetainių žodžių skaičius t(ir ilgis k) lygus . Dabar suraskime pastovaus svorio dvejetainių žodžių skaičių t, kuriame nėra kelių nulių iš eilės.

Galite samprotauti taip. Leisti
nulių skaičius nagrinėjamuose žodžiuose. Kiekvienas žodis turi
tarpai tarp artimiausių nulių, kurių kiekviename yra vienas ar daugiau vienetų. Manoma, kad
. Priešingu atveju nėra nė vieno žodžio be gretimų nulių.

Jei iš kiekvieno intervalo pašalinsime tiksliai vieną vienetą, gausime ilgio žodį
kuriuose yra nuliai. Bet kurį tokį žodį nurodytu būdu galima gauti iš kai kurių (ir tik vieno) k- pažodinis žodis, kuriame yra nuliai, iš kurių nėra dviejų gretimų. Vadinasi, reikalingas skaičius sutampa su visų ilgio žodžių skaičiumi
kuriame tiksliai nuliai, t.y. lygus
.

8.4 pavyzdys.Įrodykime, kad suma
lygus Fibonačio skaičiams bet kuriam sveikajam skaičiui . Simbolis
reiškia mažiausias sveikasis skaičius, didesnis arba lygus . Pavyzdžiui, jei
, tada
; kas, jeigu
, tada
lubos(„lubos“). Taip pat yra simbolis
, kuris reiškia didžiausias sveikasis skaičius yra mažesnis arba lygus . Angliškai ši operacija vadinama grindų („grindys“).

Jeigu
, tada
. Jeigu
, tada
. Jeigu
, tada
.

Taigi nagrinėjamais atvejais suma iš tikrųjų yra lygi Fibonačio skaičiams. Dabar pateikiame bendrojo atvejo įrodymą. Kadangi Fibonačio skaičius gali būti gaunamas naudojant rekursinę lygtį (8.1), lygybė turi galioti:

Ir iš tikrųjų tai daro:

Čia mes panaudojome anksčiau gautą formulę (4.4):
.

Fibonačio skaičių suma

Nustatykime pirmojo sumą n Fibonačio skaičiai.

0+1+1+2+3+5 = 12,

0+1+1+2+3+5+8 = 20,

0+1+1+2+3+5+8+13 = 33.

Nesunku pastebėti, kad kiekvienos lygties dešinėje pusėje pridėjus po vieną, vėl gauname Fibonačio skaičių. Bendroji pirmosios sumos nustatymo formulė n Fibonačio skaičiai turi tokią formą:

Tai įrodysime matematinės indukcijos metodu. Norėdami tai padaryti, rašome:

Ši suma turi būti lygi
.

Sumažinus kairę ir dešinę lygties puses –1, gauname (6.1) lygtį.

Fibonačio skaičių formulė

8.1 teorema. Fibonačio skaičius gali būti apskaičiuojamas naudojant formulę

Įrodymas. Patikrinkime šios formulės pagrįstumą n= 0, 1, tada įrodome šios formulės pagrįstumą savavališkai n indukcijos būdu. Apskaičiuokime dviejų artimiausių Fibonačio skaičių santykį:

Matome, kad šių skaičių santykis svyruoja apie 1,618 reikšmę (jei nepaisysime kelių pirmųjų reikšmių). Ši Fibonačio skaičių savybė primena geometrinės progresijos narius. Priimti
, (
). Tada išraiška

konvertuoti į

kuris po supaprastinimo atrodo taip

Gavome kvadratinę lygtį, kurios šaknys yra lygios:

Dabar galime rašyti:

(kur c yra konstanta). Abu nariai ir nenurodykite, pavyzdžiui, Fibonačio skaičių
, kol
. Tačiau skirtumas
tenkina rekursinę lygtį:

Dėl n=0 šis skirtumas suteikia , tai yra:
. Tačiau kai n=1 turime
. Gauti
turi būti priimtas:
.

Dabar turime dvi sekas: ir
, kurie prasideda tais pačiais dviem skaičiais ir atitinka tą pačią rekursinę formulę. Jie turi būti vienodi:
. Teorema įrodyta.

Didėjant n narys tuo metu tampa labai didelis
, ir nario vaidmenį yra sumažintas skirtumas. Todėl laisvėje n galime parašyti apytiksliai

Mes ignoruojame 1/2 (nes Fibonačio skaičiai didėja iki begalybės kaip n iki begalybės).

Požiūris
paskambino aukso pjūvis, jis naudojamas už matematikos ribų (pavyzdžiui, skulptūroje ir architektūroje). Auksinis pjūvis yra santykis tarp įstrižainės ir kraštinės taisyklingas penkiakampis(8.1 pav.).

Ryžiai. 8.1. Taisyklingas penkiakampis ir jo įstrižainės

Auksiniam pjūviui pažymėti įprasta naudoti raidę
garsaus Atėnų skulptoriaus Fidijaus garbei.

pirminiai skaičiai

Visi natūralieji skaičiai, dideli, skirstomi į dvi klases. Pirmasis apima skaičius, turinčius lygiai du natūralius daliklius, vieną ir save, o antrasis apima visus likusius. Pirmosios klasės skaičiai vadinami paprastas, ir antrasis sudedamoji dalis. Pirminiai skaičiai per pirmąsias tris dešimtis: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...

Pirminių skaičių savybes ir ryšį su visais natūraliaisiais skaičiais tyrinėjo Euklidas (III a. pr. Kr.). Jei pirminius skaičius išrašote iš eilės, pamatysite, kad jų santykinis tankis mažėja. Pirmas dešimtukas iš jų sudaro 4, t.y 40%, šimtui - 25, t.y. 25 proc., tūkstančiai – 168, t.y. mažiau nei 17 proc., milijonui – 78498, t.y. mažiau nei 8% ir tt Tačiau bendras jų skaičius yra begalinis.

Tarp pirminių skaičių yra tokių porų, kurių skirtumas lygus dviem (vadinamieji paprasti dvyniai), tačiau tokių porų baigtinumas ar begalybė neįrodyta.

Euklidas laikė akivaizdžiu, kad padauginus tik pirminius skaičius, galima gauti visus natūraliuosius skaičius, o kiekvienas natūralusis skaičius gali būti pavaizduotas kaip pirminių skaičių sandauga unikaliu būdu (iki faktorių eilės). Taigi pirminiai skaičiai sudaro natūraliosios eilutės dauginamąjį pagrindą.

Pirminių skaičių pasiskirstymo tyrimas leido sukurti algoritmą, leidžiantį gauti pirminių skaičių lenteles. Toks algoritmas yra Eratosteno sietas(III a. pr. Kr.). Šis metodas susideda iš tam tikros sekos sveikųjų skaičių atsijojimo (pavyzdžiui, perbraukiant).
, kurie dalijasi bent iš vieno pirminio skaičiaus, mažesnio už
.

Teorema 8 . 2 . (Euklido teorema). Pirminių skaičių skaičius yra begalinis.

Įrodymas. Euklido teorema apie pirminių skaičių begalybę bus įrodyta Leonhardo Eulerio (1707–1783) pasiūlytu metodu. Euleris įvertino sandaugą virš visų pirminių skaičių p:

adresu
. Ši sandauga suartėja, o jei ji išplečiama, tai dėl natūraliųjų skaičių skaidymo į pirminius veiksnius unikalumo paaiškėja, kad jis yra lygus eilučių sumai. , iš kur seka Eulerio tapatybė: