Norėdami suprasti, kaip apskaičiuoti LCM, pirmiausia turite nustatyti termino „daugelis“ reikšmę.

A kartotinis yra natūralusis skaičius, kuris dalijasi iš A be liekanos. Taigi skaičiai, kurie yra 5 kartotiniai, gali būti laikomi 15, 20, 25 ir pan.

Tam tikro skaičiaus daliklių skaičius gali būti ribotas, tačiau kartotinių yra begalinis skaičius.

Bendrasis natūraliųjų skaičių kartotinis yra skaičius, kuris dalijasi iš jų nepaliekant liekanos.

Kaip rasti mažiausią bendrą skaičių kartotinį

Mažiausias skaičių kartotinis (LCM) (du, trys ar daugiau) yra mažiausias natūralusis skaičius, kuris dalijasi iš visų šių skaičių.

Norėdami rasti LOC, galite naudoti kelis metodus.

Mažiems skaičiams patogu užrašyti visus šių skaičių kartotinius vienoje eilutėje, kol tarp jų rasite ką nors bendro. Keletai žymimi didžiąja raide K.

Pavyzdžiui, 4 kartotiniai gali būti parašyti taip:

K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K (6) = (12, 18, 24, ...)

Taigi, matote, kad mažiausias bendras skaičių 4 ir 6 kartotinis yra skaičius 24. Šis žymėjimas atliekamas taip:

LCM(4, 6) = 24

Jei skaičiai dideli, raskite bendrą trijų ar daugiau skaičių kartotinį, tada geriau naudoti kitą LCM skaičiavimo metodą.

Norėdami atlikti užduotį, turite suskaičiuoti pateiktus skaičius į pirminius veiksnius.

Pirmiausia reikia užrašyti didžiausio eilutės skaičiaus išskaidymą, o po juo - likusius.

Kiekvieno skaičiaus skaidymas gali turėti skirtingą skaičių veiksnių.

Pavyzdžiui, suskaičiuokime skaičius 50 ir 20 į pirminius koeficientus.

Išplečiant mažesnį skaičių, būtina pabrėžti veiksnius, kurių nėra plečiant pirmąjį. didelis skaičius, tada pridėkite juos prie jo. Pateiktame pavyzdyje trūksta dviejų.

Dabar galite apskaičiuoti mažiausią bendrąjį 20 ir 50 kartotinį.

LCM(20; 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Taigi didesnio skaičiaus pirminių veiksnių sandauga ir antrojo skaičiaus faktoriai, kurie nebuvo įtraukti į didesnio skaičiaus išplėtimą, bus mažiausias bendras kartotinis.

Norėdami rasti trijų ar daugiau skaičių LCM, turėtumėte juos visus įtraukti į pirminius veiksnius, kaip ir ankstesniu atveju.

Pavyzdžiui, galite rasti mažiausią bendrą skaičių 16, 24, 36 kartotinį.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Taigi tik du du iš šešiolikos išplėtimo nebuvo įtraukti į didesnio skaičiaus faktorizavimą (vienas yra dvidešimt keturių išplėtimas).

Taigi, juos reikia pridėti prie didesnio skaičiaus išplėtimo.

LCM(12; 16; 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Yra ypatingi mažiausiojo bendro kartotinio nustatymo atvejai. Taigi, jei vieną iš skaičių be likučio galima padalyti iš kito, tai didesnis iš šių skaičių bus mažiausias bendras kartotinis.

Pavyzdžiui, dvylikos ir dvidešimt keturių LCM yra dvidešimt keturi.

Jei reikia rasti mažiausią bendrą kartotinį kopirminių skaičių, kurie neturi identiškų daliklių, tada jų LCM bus lygus jų sandaugai.

Pavyzdžiui, LCM (10, 11) = 110.

Apibrėžimas. Vadinamas didžiausias natūralusis skaičius, iš kurio skaičiai a ir b dalijami be liekanos didžiausias bendras daliklis (GCD)šiuos skaičius.

Raskime didžiausią skaičių 24 ir 35 bendrąjį daliklį.
24 dalikliai yra skaičiai 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, o dalikliai iš 35 yra skaičiai 1, 5, 7, 35.
Matome, kad skaičiai 24 ir 35 turi tik vieną bendrą daliklį – skaičių 1. Tokie skaičiai vadinami abipusiai pirminis.

Apibrėžimas. Natūralūs skaičiai vadinami abipusiai pirminis, jei jų didžiausias bendras daliklis (GCD) yra 1.

Didžiausias bendras daliklis (GCD) galima rasti neišrašant visų pateiktų skaičių daliklių.

Apskaičiavę skaičius 48 ir 36, gauname:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Iš veiksnių, įtrauktų į pirmojo iš šių skaičių išplėtimą, išbraukiame tuos, kurie neįtraukti į antrojo skaičiaus išplėtimą (t. y. du du).
Likę veiksniai yra 2 * 2 * 3. Jų sandauga lygi 12. Šis skaičius yra didžiausias skaičių 48 ir 36 bendras daliklis. Taip pat randamas didžiausias trijų ar daugiau skaičių bendras daliklis.

Rasti didžiausias bendras daliklis

2) iš veiksnių, įtrauktų į vieno iš šių skaičių išplėtimą, išbraukti tuos, kurie neįtraukti į kitų skaičių išplėtimą;
3) rasti likusių veiksnių sandaugą.

Jei visi pateikti skaičiai dalijasi iš vieno iš jų, tai šis skaičius yra didžiausias bendras daliklis duotus skaičius.
Pavyzdžiui, didžiausias bendras skaičių 15, 45, 75 ir 180 daliklis yra skaičius 15, nes visi kiti skaičiai dalijasi iš jo: 45, 75 ir 180.

Mažiausias kartotinis (LCM)

Apibrėžimas. Mažiausias kartotinis (LCM) Natūralūs skaičiai a ir b yra mažiausias natūralusis skaičius, kuris yra a ir b kartotinis. Mažiausią skaičių 75 ir 60 kartotinį (LCM) galima rasti neužrašant šių skaičių kartotinių iš eilės. Norėdami tai padaryti, padauginkime 75 ir 60 į pirminius koeficientus: 75 = 3 * 5 * 5 ir 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Užrašykime veiksnius, įtrauktus į pirmojo iš šių skaičių išplėtimą, ir pridėkime prie jų trūkstamus koeficientus 2 ir 2 iš antrojo skaičiaus išplėtimo (t. y. veiksnius sujungiame).
Gauname penkis koeficientus 2 * 2 * 3 * 5 * 5, kurių sandauga yra 300. Šis skaičius yra mažiausias bendras skaičių 75 ir 60 kartotinis.

Jie taip pat randa mažiausią bendrą trijų ar daugiau skaičių kartotinį.

Į rasti mažiausią bendrą kartotinį kelių natūraliųjų skaičių, jums reikia:
1) sudėti juos į pirminius veiksnius;
2) surašykite veiksnius, įtrauktus į vieno iš skaičių išplėtimą;
3) pridėti prie jų trūkstamus veiksnius iš likusių skaičių išplėtimų;
4) rasti gautų veiksnių sandaugą.

Atkreipkite dėmesį, kad jei vienas iš šių skaičių dalijasi iš visų kitų skaičių, tai šis skaičius yra mažiausias bendras šių skaičių kartotinis.
Pavyzdžiui, mažiausias bendras skaičių 12, 15, 20 ir 60 kartotinis yra 60, nes jis dalijasi iš visų tų skaičių.

Pitagoras (VI a. pr. Kr.) ir jo mokiniai nagrinėjo skaičių dalijimosi klausimą. Jie pavadino skaičių, lygų visų jo daliklių sumai (be paties skaičiaus), tobulu skaičiumi. Pavyzdžiui, skaičiai 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) yra tobuli. Kiti tobuli skaičiai yra 496, 8128, 33 550 336. Pitagoriečiai žinojo tik pirmuosius tris tobulus skaičius. Ketvirtasis – 8128 – tapo žinomas I a. n. e. Penktasis – 33 550 336 – rastas XV a. 1983 metais jau buvo žinomi 27 tobuli skaičiai. Tačiau mokslininkai vis dar nežino, ar yra nelyginių tobulųjų skaičių, ar yra didžiausias tobulas skaičius.
Senovės matematikai susidomėjo pirminiais skaičiais dėl to, kad bet kuris skaičius yra pirminis arba gali būti pavaizduotas kaip pirminių skaičių sandauga, t.
Tikriausiai pastebėjote, kad pirminiai skaičiai natūraliųjų skaičių eilutėje atsiranda netolygiai – vienose eilučių dalyse jų daugiau, kitose – mažiau. Tačiau kuo toliau einame skaičių eilėmis, tuo pirminiai skaičiai yra mažiau paplitę. Kyla klausimas: ar yra paskutinis (didžiausias) pirminis skaičius? Senovės graikų matematikas Euklidas (III a. pr. Kr.) savo knygoje „Elementai“, kuri buvo pagrindinis matematikos vadovėlis du tūkstančius metų, įrodė, kad pirminių skaičių yra be galo daug, t. y. už kiekvieno pirminio skaičiaus slypi dar didesnis pirminis skaičius. numerį.
Norėdamas rasti pirminius skaičius, šį metodą sugalvojo kitas to paties laiko graikų matematikas Eratostenas. Jis surašė visus skaičius nuo 1 iki tam tikro skaičiaus, tada nubraukė vieną, kuris nėra nei pirminis, nei sudėtinis skaičius, tada per vieną perbraukė visus skaičius, einančius po 2 (skaičius, kurie yra 2 kartotiniai, t. y. 4, 6, 8 ir kt.). Pirmasis likęs skaičius po 2 buvo 3. Tada po dviejų visi skaičiai, esantys po 3 (skaičiai, kurie buvo 3 kartotiniai, t. y. 6, 9, 12 ir t. t.), buvo perbraukti. pabaigoje liko nesukirsti tik pirminiai skaičiai.

Pažvelkime į tris būdus, kaip rasti mažiausią bendrą kartotinį.

Rasti pagal faktorizaciją

Pirmasis būdas yra rasti mažiausią bendrą kartotinį, suskirstant duotus skaičius į pirminius veiksnius.

Tarkime, kad turime rasti skaičių LCM: 99, 30 ir 28. Norėdami tai padaryti, kiekvieną iš šių skaičių suskirstykime į pirminius veiksnius:

Kad norimas skaičius dalytųsi iš 99, 30 ir 28, būtina ir pakanka, kad jis apimtų visus pirminius šių daliklių veiksnius. Norėdami tai padaryti, turime paimti visus pirminius šių skaičių veiksnius ir padauginti juos kartu:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Taigi, LCM (99, 30, 28) = 13 860 Joks kitas skaičius, mažesnis nei 13 860, nesidalija iš 99, 30 arba 28.

Norėdami rasti mažiausią bendrąjį nurodytų skaičių kartotinį, įtraukite juos į pirminius koeficientus, tada paimkite kiekvieną pirminį koeficientą su didžiausiu eksponentu ir padauginkite tuos veiksnius kartu.

Kadangi santykinai pirminiai skaičiai neturi bendrų pirminių veiksnių, jų mažiausias bendras kartotinis yra lygus šių skaičių sandaugai. Pavyzdžiui, trys skaičiai: 20, 49 ir ​​33 yra santykinai pirminiai. Štai kodėl

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.

Tą patį reikia daryti ir ieškant mažiausią bendrą įvairių pirminių skaičių kartotinį. Pavyzdžiui, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Rasti atrankos būdu

Antrasis būdas – pasirinkti mažiausią bendrą kartotinį.

1 pavyzdys. Kai didžiausias iš pateiktų skaičių yra padalintas iš kito duoto skaičiaus, tada šių skaičių LCM yra lygus didžiausiam iš jų. Pavyzdžiui, duoti keturi skaičiai: 60, 30, 10 ir 6. Kiekvienas iš jų dalijasi iš 60, todėl:

LCM(60, 30, 10, 6) = 60

Kitais atvejais, norint rasti mažiausią bendrą kartotinį, naudojama tokia procedūra:

1. Iš pateiktų skaičių nustatykite didžiausią skaičių.
2. Toliau randame skaičius, kurie yra didžiausio skaičiaus kartotiniai, padauginę jį iš natūraliųjų skaičių didėjančia tvarka ir patikrinę, ar gauta sandauga dalijasi iš likusių duotųjų skaičių.

2 pavyzdys. Duoti trys skaičiai 24, 3 ir 18. Nustatome didžiausią iš jų – tai skaičius 24. Toliau randame skaičius, kurie yra 24 kartotiniai, patikrindami, ar kiekvienas iš jų dalijasi iš 18 ir 3:

24 · 1 = 24 – dalijasi iš 3, bet nesidali iš 18.

24 · 2 = 48 – dalijasi iš 3, bet nesidalija iš 18.

24 · 3 = 72 – dalijasi iš 3 ir 18.

Taigi LCM (24, 3, 18) = 72.

Rasti nuosekliai ieškant LCM

Trečiasis metodas yra rasti mažiausią bendrą kartotinį, nuosekliai ieškant LCM.

Dviejų pateiktų skaičių LCM yra lygi šių skaičių sandaugai, padalytai iš didžiausio bendro daliklio.

1 pavyzdys. Raskite dviejų nurodytų skaičių LCM: 12 ir 8. Nustatykite jų didžiausią bendrą daliklį: GCD (12, 8) = 4. Padauginkite šiuos skaičius:

Mes padalijame produktą iš jų gcd:

Taigi LCM (12, 8) = 24.

Norėdami rasti trijų ar daugiau skaičių LCM, atlikite šią procedūrą:

1. Pirmiausia suraskite bet kurių dviejų iš šių skaičių LCM.
2. Tada rasto mažiausio bendro kartotinio ir trečiojo duoto skaičiaus LCM.
3. Tada gauto mažiausio bendro kartotinio ir ketvirtojo skaičiaus LCM ir kt.
4. Taigi LCM paieška tęsiasi tol, kol yra skaičių.

2 pavyzdys. Raskime trijų pateiktų skaičių LCM: 12, 8 ir 9. Skaičių 12 ir 8 LCM jau radome ankstesniame pavyzdyje (tai skaičius 24). Belieka rasti mažiausią skaičių 24 ir trečiojo duoto skaičiaus kartotinį – 9. Nustatykite jų didžiausią bendrą daliklį: GCD (24, 9) = 3. LCM padauginkite iš 9:

Mes padalijame produktą iš jų gcd:

Taigi, LCM (12, 8, 9) = 72.

60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) Užrašykime veiksnius, įtrauktus į pirmojo iš šių skaičių išplėtimą, ir pridėkime prie jų trūkstamą koeficientą 5 iš antrojo skaičiaus išplėtimo. Gauname: 2*2*3*5*5=300. Radome NOC, t.y. ši suma = 300. Nepamirškite matmens ir parašykite atsakymą:
Atsakymas: Mama duoda 300 rublių.

GCD apibrėžimas: Didžiausias bendras daliklis (GCD) natūraliuosius skaičius A Ir V skambinkite didžiausiu natūraliuoju skaičiumi c, prie kurio a, Ir b padalintas be liekanos. Tie. c yra mažiausias natūralusis skaičius, kuriam A Ir b yra daugkartiniai.

Atmintinė: Yra du natūraliųjų skaičių apibrėžimo būdai

• numeriai, naudojami: objektų sąraše (numeravime) (pirmas, antras, trečias, ...); - mokyklose dažniausiai taip būna.
• elementų skaičiaus žymėjimas (nėra pokemonų - nulis, vienas pokemonas, du pokemonai, ...).

Neigiami ir nesveikieji (racionalieji, realieji, ...) skaičiai nėra natūralūs skaičiai. Vieni autoriai į natūraliųjų skaičių aibę įtraukia nulį, kiti – ne. Visų natūraliųjų skaičių aibė paprastai žymima simboliu N

Atmintinė: Natūralaus skaičiaus daliklis a pavadink numerį b, prie kurio a padalintas be liekanos. Natūralaus skaičiaus kartotiniai b skambinti natūraliu numeriu a, kuris dalijasi iš b be pėdsakų. Jei numeris b- skaičių daliklis a, Tai a skaičiaus kartotinis b. Pavyzdys: 2 yra 4 daliklis, o 4 yra dviejų kartotinis. 3 yra 12 daliklis, o 12 yra 3 kartotinis.
Atmintinė: Natūralūs skaičiai vadinami pirminiais, jei jie be liekanos dalijasi tik iš savęs ir 1. Bendrapirminiais skaičiais vadinami tie, kurie turi tik vieną bendrą daliklį, lygų 1.

Apibrėžimas, kaip rasti GCD bendruoju atveju: Norėdami rasti GCD (didžiausias bendras daliklis) reikia kelių natūraliųjų skaičių:
1) Padalinkite juos į pirminius veiksnius. (Pirminių skaičių lentelė tam gali būti labai naudinga.)
2) Užrašykite veiksnius, įtrauktus į vieno iš jų išplėtimą.
3) Išbraukite tuos, kurie neįtraukti į likusių skaičių išplėtimą.
4) Padauginkite koeficientus, gautus 3 veiksme).

2 problema (NOK): Naujiesiems metams Kolia Puzatovas mieste nupirko 48 žiurkėnus ir 36 kavos puodus. Feklai Dormidontovai, kaip sąžiningiausiai klasės mergaitei, buvo pavesta šį turtą padalyti į kuo didesnį dovanų rinkinių mokytojams skaičių. Kiek rinkinių gavai? Koks rinkinių turinys?

2.1 pavyzdys. sprendžiant GCD radimo problemą. GCD paieška pasirinkus.
Sprendimas: Kiekvienas skaičius 48 ir 36 turi dalytis iš dovanų skaičiaus.
1) Užrašykite daliklius 48: 48, 24, 16, 12 , 8, 6, 3, 2, 1
2) Užrašome daliklius iš 36: 36, 18, 12 , 9, 6, 3, 2, 1 Pasirinkite didžiausią bendrą daliklį. Oho-la-la! Mes nustatėme, kad rinkinių skaičius yra 12 vnt.
3) Padalinkite 48 iš 12, kad gautumėte 4, padalykite 36 iš 12, kad gautumėte 3. Nepamirškite matmens ir parašykite atsakymą:
Atsakymas: Jūs gausite 12 rinkinių po 4 žiurkėnus ir 3 kavos puodus kiekviename rinkinyje.

GCD yra didžiausias bendras daliklis.

Norėdami rasti didžiausią bendrąjį kelių skaičių daliklį, jums reikia:

• nustatyti abiem skaičiams bendrus veiksnius;
• rasti bendrų veiksnių sandaugą.

GCD paieškos pavyzdys:

Raskime skaičių 315 ir 245 gcd.

315 = 5 * 3 * 3 * 7;

245 = 5 * 7 * 7.

2. Užrašykite abiem skaičiams bendrus veiksnius:

3. Raskite bendrųjų veiksnių sandaugą:

GCD(315; 245) = 5 * 7 = 35.

Atsakymas: GCD(315, 245) = 35.

NOC radimas

LCM yra mažiausias bendras kartotinis.

Norėdami rasti mažiausią bendrą kelių skaičių kartotinį, jums reikia:

• faktorių skaičių į pirminius veiksnius;
• užrašykite veiksnius, įtrauktus į vieno iš skaičių išplėtimą;
• Pridėkime prie jų trūkstamus veiksnius iš antrojo skaičiaus išplėtimo;
• rasti gautų veiksnių sandaugą.

LOC radimo pavyzdys:

Raskime skaičių 236 ir 328 LCM:

1. Išskaidykime skaičius į pirminius veiksnius:

236 = 2 * 2 * 59;

328 = 2 * 2 * 2 * 41.

2. Užrašykime veiksnius, įtrauktus į vieno iš skaičių išplėtimą, ir pridėkime prie jų trūkstamus veiksnius iš antrojo skaičiaus išplėtimo:

2; 2; 59; 2; 41.

3. Raskite gautų faktorių sandaugą:

LCM(236; 328) = 2 * 2 * 59 * 2 * 41 = 19352.

Atsakymas: LCM(236, 328) = 19352.

Norėdami rasti dviejų skaičių GCD (didžiausią bendrą daliklį), turite:

2. Raskite (pabraukite) visus bendruosius pirminius veiksnius gautuose išplėtimuose.

3. Raskite bendrųjų pirminių veiksnių sandaugą.

Norėdami rasti dviejų skaičių LCM (mažiausią bendrąjį kartotinį), jums reikia:

1. Duotus skaičius padalinkite į pirminius koeficientus.

2. Vieno iš jų plėtra papildoma tais kito skaičiaus plėtimosi veiksniais, kurių nėra pirmojo plėtinyje.

3. Apskaičiuokite gautų faktorių sandaugą.