Leisti L yra savavališka tiesinė erdvė, a i Î L,- jo elementai (vektoriai).

Apibrėžimas 3.3.1. Išraiška , kur, - savavališkas realūs skaičiai, vadinamas linijiniu deriniu vektoriai a 1, a 2,…, a n.

Jei vektorius R = , tada jie taip sako R suskaidomi į vektorius a 1, a 2,…, a n.

Apibrėžimas 3.3.2. Vadinamas linijinis vektorių derinys ne trivialus, jei tarp skaičių yra bent vienas nulis. Priešingu atveju vadinamas linijinis derinys trivialus.

3 apibrėžimas.3.3 . Vektoriai a 1 , a 2 ,…, a n vadinami tiesiškai priklausomais, jei egzistuoja netrivialus tiesinis jų derinys, kad

= 0 .

3 apibrėžimas.3.4. Vektoriai a 1 , a 2 ,…, a n vadinamos tiesiškai nepriklausomomis, jei lygybė = 0 galima tik tuo atveju, kai visi skaičiai l 1, l 2,…, l n tuo pačiu metu yra lygūs nuliui.

Atkreipkite dėmesį, kad bet kuris nulinis elementas a 1 gali būti laikomas tiesiškai nepriklausoma sistema, nes lygybė l a 1 = 0 įmanoma tik tuo atveju, jei l= 0.

3.3.1 teorema. Būtinas ir pakankama būklė tiesinė priklausomybė a 1, a 2,…, a n yra skilimo galimybė, pasak bent jau, vienas iš šių elementų prieš kitus.

Įrodymas. Būtinybė. Tegu elementai a 1 , a 2 ,…, a n tiesiškai priklausomas. Tai reiškia kad = 0 , ir bent vienas iš skaičių l 1, l 2,…, l n skiriasi nuo nulio. Leisk dėl tikrumo l 1 ¹ 0. Tada

y., elementas a 1 suskaidomas į elementus a 2 , a 3 , …, a n.

Tinkamumas. Tegul elementas a 1 bus išskaidytas į elementus a 2 , a 3 , …, a n, ty 1 = . Tada = 0 , todėl yra netrivialus tiesinis vektorių derinys a 1 , a 2 ,…, a n, lygus 0 , todėl jie yra tiesiškai priklausomi .

3.3.2 teorema. Jei bent vienas iš elementų a 1 , a 2 ,…, a n nulis, tada šie vektoriai yra tiesiškai priklausomi.

Įrodymas . Leisti a n= 0 , tada = 0 , o tai reiškia tiesinę šių elementų priklausomybę.

3.3.3 teorema. Jei tarp n vektorių yra bet kuris p (p< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Įrodymas. Apibrėžtumo dėlei elementai a 1 , a 2 ,…, a p tiesiškai priklausomas. Tai reiškia, kad yra netrivialus tiesinis derinys, toks, kad = 0 . Nurodyta lygybė bus išsaugota, jei elementą pridėsime prie abiejų jo dalių. Tada + = 0 , ir bent vienas iš skaičių l 1, l 2,…, lp skiriasi nuo nulio. Todėl vektoriai a 1 , a 2 ,…, a n yra tiesiškai priklausomi.

Išvada 3.3.1. Jei n elementų yra tiesiškai nepriklausomi, tai bet kuris iš jų k yra tiesiškai nepriklausomas (k< n).

3.3.4 teorema. Jei vektoriai a 1, a 2,…, a n- 1 yra tiesiškai nepriklausomi ir elementai a 1, a 2,…, a n- 1, a n yra tiesiškai priklausomi, tada vektorius a n gali būti išplėstas į vektorius a 1, a 2,…, a n- 1 .

Įrodymas. Kadangi pagal sąlygą a 1 , a 2 ,…, a n- 1, a n yra tiesiškai priklausomi, tada yra netrivialus tiesinis jų derinys = 0 , ir (kitaip vektoriai a 1 , a 2 ,…, a bus tiesiškai priklausomi n- 1). Bet tada vektorius

,

Q.E.D.

Apibrėžimas. Linijinis vektorių derinys a 1 , ..., a n su koeficientais x 1 , ..., x n vadinamas vektoriumi

x 1 a 1 + ... + x n a n .

trivialus, jei visi koeficientai x 1 , ..., x n lygūs nuliui.

Apibrėžimas. Vadinamas tiesinis derinys x 1 a 1 + ... + x n a n ne trivialus, jei bent vienas iš koeficientų x 1, ..., x n nėra lygus nuliui.

tiesiškai nepriklausomas, jei nėra netrivialaus šių vektorių derinio, lygaus nuliniam vektoriui.

Tai reiškia, kad vektoriai a 1, ..., a n yra tiesiškai nepriklausomi, jei x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 tada ir tik tada, jei x 1 = 0, ..., x n = 0.

Apibrėžimas. Vadinami vektoriai a 1, ..., a n tiesiškai priklausomas, jei yra netrivialus šių vektorių derinys, lygus nuliniam vektoriui.

Tiesiškai priklausomų vektorių savybės:

2 ir 3 dimensijų vektoriams.

Du tiesiškai priklausomi vektoriai yra kolineariniai. (Kolineariniai vektoriai yra tiesiškai priklausomi.)

3 dimensijų vektoriams.

Trys tiesiškai priklausomi vektoriai yra vienodi. (Trys lygiagrečiai vektoriai yra tiesiškai priklausomi.)

• Dėl n matmenų vektorių.

  n + 1 vektoriai visada yra tiesiškai priklausomi.

Vektorių tiesinės priklausomybės ir tiesinės nepriklausomybės problemų pavyzdžiai:

1 pavyzdys. Patikrinkite, ar vektoriai a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) yra tiesiškai nepriklausomi .

Sprendimas:

Vektoriai bus tiesiškai priklausomi, nes vektorių matmenys mažesnis kiekis vektoriai.

2 pavyzdys. Patikrinkite, ar vektoriai a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) yra tiesiškai nepriklausomi.

Sprendimas:

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2x 2 - x 3 = 0
	x 1 + x 3 = 0

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	1	0

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0				0	-1	1	0

atimti antrą iš pirmos eilutės; pridėti antrą eilutę prie trečios eilutės:

~		1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0		~		1	0	1	0
		0	1	-1	0				0	1	-1	0
		0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0				0	0	0	0

Šis sprendimas rodo, kad sistemoje yra daug sprendinių, tai yra, yra skaičių x 1, x 2, x 3 reikšmių derinys, kuris nėra nulinis, kad linijinis vektorių a, b, c derinys būtų lygus nulinis vektorius, pavyzdžiui:

A + b + c = 0

o tai reiškia, kad vektoriai a, b, c yra tiesiškai priklausomi.

Atsakymas: vektoriai a, b, c yra tiesiškai priklausomi.

3 pavyzdys. Patikrinkite, ar vektoriai a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) yra tiesiškai nepriklausomi.

Sprendimas: Raskime koeficientų reikšmes, kurioms esant šių vektorių tiesinis derinys bus lygus nuliniam vektoriui.

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Šią vektorinę lygtį galima parašyti kaip sistemą tiesines lygtis

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2x 2 - x 3 = 0
	x 1 + 2x 3 = 0

Išspręskime šią sistemą Gauso metodu

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	2	0

atimti pirmąją iš antrosios eilutės; atimkite pirmą iš trečios eilutės:

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0				0	-1	2	0

atimti antrą iš pirmos eilutės; pridėti antrą prie trečios eilutės.

a 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, a 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, a 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Sprendimas. Ieško bendras sprendimas lygčių sistemos

a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

Gauso metodas. Norėdami tai padaryti, šią homogeninę sistemą užrašome koordinatėmis:

Sistemos matrica

Leidžiama sistema turi tokią formą: (r A = 2, n= 3). Sistema yra bendradarbiaujanti ir neapibrėžta. Jo bendras sprendimas ( x 2 – laisvas kintamasis): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => X o = . Pavyzdžiui, nulinio konkretaus sprendimo buvimas rodo, kad vektoriai a 1 , a 2 , a 3 tiesiškai priklausomas.

2 pavyzdys.

Sužinokite, ar šią sistemą tiesiškai priklausomi arba tiesiškai nepriklausomi vektoriai:

1. a 1 = { -20, -15, - 4 }, a 2 = { –7, -2, -4 }, a 3 = { 3, –1, –2 }.

Sprendimas. Apsvarstykite vienalytę lygčių sistemą a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

arba išplėsta forma (pagal koordinates)

Sistema yra vienalytė. Jei jis nėra išsigimęs, vadinasi, turi vienintelis sprendimas. Vienalytės sistemos atveju yra nulinis (trivialus) sprendimas. Tai reiškia, kad šiuo atveju vektorių sistema yra nepriklausoma. Jei sistema yra išsigimusi, tada ji turi nulinius sprendimus ir todėl yra priklausoma.

Mes patikriname, ar sistemoje nėra degeneracijos:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Sistema yra neišsigimusi, taigi ir vektoriai a 1 , a 2 , a 3 tiesiškai nepriklausomas.

Užduotys. Sužinokite, ar tam tikra vektorių sistema yra tiesiškai priklausoma ar tiesiškai nepriklausoma:

1. a 1 = { -4, 2, 8 }, a 2 = { 14, -7, -28 }.

2. a 1 = { 2, -1, 3, 5 }, a 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. a 1 = { -7, 5, 19 }, a 2 = { -5, 7 , -7 }, a 3 = { -8, 7, 14 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

5. a 1 = { 1, 8 , -1 }, a 2 = { -2, 3, 3 }, a 3 = { 4, -11, 9 }.

6. a 1 = { 1, 2 , 3 }, a 2 = { 2, -1 , 1 }, a 3 = { 1, 3, 4 }.

7. a 1 = {0, 1, 1 , 0}, a 2 = {1, 1 , 3, 1}, a 3 = {1, 3, 5, 1}, a 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. a 1 = {-1, 7, 1 , -2}, a 2 = {2, 3 , 2, 1}, a 3 = {4, 4, 4, -3}, a 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Įrodykite, kad vektorių sistema bus tiesiškai priklausoma, jei joje yra:

a) du vienodi vektoriai;

b) du proporcingi vektoriai.

1 užduotis. Išsiaiškinkite, ar vektorių sistema yra tiesiškai nepriklausoma. Vektorių sistemą nurodys sistemos matrica, kurios stulpeliai susideda iš vektorių koordinačių.

.

Sprendimas. Tegul linijinis derinys lygus nuliui. Užrašę šią lygybę koordinatėmis, gauname tokią lygčių sistemą:

.

Tokia lygčių sistema vadinama trikampe. Ji turi tik vieną sprendimą . Todėl vektoriai tiesiškai nepriklausomas.

2 užduotis. Išsiaiškinkite, ar vektorių sistema yra tiesiškai nepriklausoma.

.

Sprendimas. Vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi (žr. 1 uždavinį). Įrodykime, kad vektorius yra tiesinis vektorių derinys . Vektorių plėtimosi koeficientai yra nustatomi iš lygčių sistemos

.

Ši sistema, kaip ir trikampė, turi unikalų sprendimą.

Todėl vektorių sistema tiesiškai priklausomas.

komentuoti. Vadinamos to paties tipo matricos kaip 1 uždavinyje trikampis o 2 uždavinyje – laiptuotas trikampis . Vektorių sistemos tiesinės priklausomybės klausimas lengvai išsprendžiamas, jei iš šių vektorių koordinačių sudaryta matrica yra žingsninė trikampė. Jei matrica neturi specialios formos, tada naudojant elementarios eilutės konversijos , išsaugant tiesinius ryšius tarp stulpelių, jį galima redukuoti į pakopinę trikampę formą.

Elementarios eilučių konversijos matricose (EPS) vadinamos šios matricos operacijos:

1) linijų pertvarkymas;

2) eilutę padauginus iš ne nulio skaičiaus;

3) kitos eilutės įtraukimas į eilutę, padaugintas iš savavališko skaičiaus.

3 užduotis. Raskite maksimalų tiesiškai nepriklausomą posistemį ir apskaičiuokite vektorių sistemos rangą

.

Sprendimas. Sumažinkime EPS sistemos matricą į žingsninę trikampę formą. Norėdami paaiškinti procedūrą, eilutę su transformuojamos matricos numeriu pažymime simboliu . Stulpelis po rodyklės nurodo veiksmus su konvertuojamos matricos eilutėmis, kuriuos reikia atlikti norint gauti naujos matricos eilutes.

.

Akivaizdu, kad pirmosios dvi gautos matricos stulpeliai yra tiesiškai nepriklausomi, trečiasis yra jų linijinis derinys, o ketvirtasis nepriklauso nuo pirmųjų dviejų. Vektoriai vadinami pagrindiniais. Jie sudaro maksimalų tiesiškai nepriklausomą sistemos posistemį , o sistemos rangas yra trys.

Pagrindas, koordinatės

4 užduotis. Raskite šio pagrindo vektorių pagrindą ir koordinates geometrinių vektorių aibėje, kurių koordinatės tenkina sąlygą .

Sprendimas. Aibė yra plokštuma, einanti per pradžią. Savavališkas pagrindas plokštumoje susideda iš dviejų nekolinearinių vektorių. Pasirinkto pagrindo vektorių koordinatės nustatomos sprendžiant atitinkamą tiesinių lygčių sistemą.

Yra ir kitas būdas išspręsti šią problemą, kai galite rasti pagrindą naudodami koordinates.

Koordinatės erdvės nėra koordinatės plokštumoje, nes jos yra susijusios ryšiu ty jie nėra nepriklausomi. Nepriklausomi kintamieji ir (jie vadinami laisvaisiais) vienareikšmiškai apibrėžia vektorių plokštumoje, todėl juos galima pasirinkti kaip koordinates . Tada pagrindas susideda iš vektorių, esančių ir atitinkančių laisvųjų kintamųjų aibes Ir , tai yra .

5 užduotis. Raskite šio pagrindo vektorių pagrindą ir koordinates visų erdvėje esančių vektorių, kurių nelyginės koordinatės yra lygios viena kitai, aibėje.

Sprendimas. Parinkime, kaip ir ankstesniame uždavinyje, koordinates erdvėje.

Nes , tada laisvieji kintamieji vienareikšmiškai nustato vektorių iš ir todėl yra koordinatės. Atitinkamas pagrindas susideda iš vektorių.

6 užduotis. Raskite šio pagrindo vektorių pagrindą ir koordinates visų formos matricų aibėje , Kur – savavališki skaičiai.

Sprendimas. Kiekviena matrica iš unikaliai vaizduojama tokia forma:

Šis ryšys yra vektoriaus išplėtimas pagrindo atžvilgiu
su koordinatėmis .

7 užduotis. Raskite vektorių sistemos tiesinio korpuso matmenis ir pagrindą

.

Sprendimas. Naudodami EPS, transformuojame matricą iš sistemos vektorių koordinačių į žingsninę trikampę formą.

.

Stulpeliai paskutinės matricos yra tiesiškai nepriklausomos, o stulpeliai tiesiškai išreikštas per juos. Todėl vektoriai sudaryti pagrindą , Ir .

komentuoti. Pagrindas į pasirinktas dviprasmiškai. Pavyzdžiui, vektoriai taip pat sudaro pagrindą .

Vektorinė sistema vadinama tiesiškai priklausomas, jei yra skaičių, tarp kurių bent vienas skiriasi nuo nulio, kad lygybė https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= “ >.

Jei ši lygybė tenkinama tik tuo atveju, kai visi , vadinasi vektorių sistema tiesiškai nepriklausomas.

Teorema. Vektorinė sistema bus tiesiškai priklausomas tada ir tik tada, kai bent vienas jo vektorius yra tiesinis kitų vektorių derinys.

1 pavyzdys. Polinomas yra tiesinis polinomų derinys https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Polinomai sudaro tiesiškai nepriklausomą sistemą, nes daugianario https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

2 pavyzdys. Matricos sistema , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> yra tiesiškai nepriklausoma, nes linijinis derinys yra lygus nulinė matrica tik tuo atveju, kai https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> tiesiškai priklausomas.

Sprendimas.

Padarykime tiesinį šių vektorių derinį https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" aukštis=" 22">.

Sulyginus tas pačias vienodų vektorių koordinates, gauname https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

Pagaliau gauname

Ir

Sistema turi unikalų trivialų sprendimą, todėl tiesinė šių vektorių kombinacija lygi nuliui tik tuo atveju, kai visi koeficientai lygūs nuliui. Todėl ši vektorių sistema yra tiesiškai nepriklausoma.

4 pavyzdys. Vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi. Kokios bus vektorinės sistemos?

a).;

b).?

Sprendimas.

a). Padarykime tiesinį derinį ir prilyginkime nuliui

Naudodami operacijų su vektoriais savybes linijinė erdvė, perrašome paskutinę lygybę formoje

Kadangi vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi, koeficientai ties turi būti lygūs nuliui, ty.gif" width="12" height="23 src=">

Gauta lygčių sistema turi unikalų trivialų sprendimą .

Nuo lygybės (*) vykdomas tik tada, kai https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – tiesiškai nepriklausomas;

b). Padarykime lygybę https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Taikydami panašius samprotavimus gauname

Išspręsdami lygčių sistemą Gauso metodu, gauname

arba

Pastaroji sistema turi begalinis rinkinys sprendimai https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Taigi yra nenulinis koeficientų rinkinys, kurio lygybė laiko (**) . Todėl vektorių sistema – tiesiškai priklausomas.

5 pavyzdys Vektorių sistema yra tiesiškai nepriklausoma, o vektorių sistema yra tiesiškai priklausoma..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

Lygybėje (***) . Iš tiesų, esant , sistema būtų tiesiškai priklausoma.

Iš santykio (***) mes gauname arba Pažymėkime .

Mes gauname

Užduotys skirtos savarankiškas sprendimas(auditorijoje)

1. Sistema, turinti nulinį vektorių, yra tiesiškai priklausoma.

2. Sistema, susidedanti iš vieno vektoriaus A, yra tiesiškai priklausomas tada ir tik tada, a=0.

3. Sistema, susidedanti iš dviejų vektorių, yra tiesiškai priklausoma tada ir tik tada, kai vektoriai yra proporcingi (tai yra, vienas iš jų gaunamas iš kito padauginus iš skaičiaus).

4. Jei k yra tiesinis priklausoma sistema pridėkite vektorių, gausite tiesiškai priklausomą sistemą.

5. Jei iš linijinio nepriklausoma sistema pašalinti vektorių, tada gauta vektorių sistema yra tiesiškai nepriklausoma.

6. Jei sistema S yra tiesiškai nepriklausomas, bet pridedant vektorių tampa tiesiškai priklausomas b, tada vektorius b tiesiškai išreikštas sistemos vektoriais S.

c). Matricų sistema , , antros eilės matricų erdvėje.

10. Tegu vektorių sistema a,b,c vektoriaus erdvė yra tiesiškai nepriklausoma. Įrodykite šių vektorinių sistemų tiesinę nepriklausomybę:

a).a+b, b, c.

b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– savavališkas skaičius

c).a+b, a+c, b+c.

11. Leisti a,b,c– trys vektoriai plokštumoje, iš kurių galima suformuoti trikampį. Ar šie vektoriai bus tiesiškai priklausomi?

12. Pateikti du vektoriai a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Raskite dar du keturmačius vektorius a3 ira4 kad sistema a1,a2,a3,a4 buvo tiesiškai nepriklausomas .