Ushbu maqolada biz qanday qilib berishni ko'rsatamiz trigonometriyada burchak va sonning sinus, kosinus, tangens va kotangens ta’riflari. Bu erda biz yozuvlar haqida gapiramiz, yozuvlarga misollar keltiramiz va grafik rasmlarni beramiz. Xulosa qilib aytganda, trigonometriya va geometriyada sinus, kosinus, tangens va kotangens ta’riflari o‘rtasida parallellik o‘tkazamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Sinus, kosinus, tangens va kotangensning ta'rifi

Keling, maktab matematika kursida sinus, kosinus, tangens va kotangens tushunchasi qanday shakllanganligini ko'rib chiqaylik. Geometriya darslarida to‘g‘ri burchakli uchburchakdagi o‘tkir burchakning sinusi, kosinusu, tangensi va kotangensining ta’rifi berilgan. Keyinchalik trigonometriya o'rganiladi, u sinus, kosinus, aylanish burchagi va sonning tangensi va kotangensi haqida gapiradi. Keling, ushbu ta'riflarning barchasini keltiramiz, misollar keltiramiz va kerakli sharhlarni beramiz.

To'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchak

Geometriya kursidan biz toʻgʻri burchakli uchburchakdagi oʻtkir burchakning sinus, kosinus, tangens va kotangens taʼriflarini bilamiz. Ular to'g'ri burchakli uchburchak tomonlari nisbati sifatida berilgan. Keling, ularning formulalarini keltiramiz.

Ta'rif.

To'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchak sinusi qarama-qarshi tomonning gipotenuzaga nisbati.

Ta'rif.

To'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchakning kosinusu- qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbati.

Ta'rif.

To'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchakning tangensi- bu qarama-qarshi tomonning qo'shni tomonga nisbati.

Ta'rif.

To'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchakning kotangensi- bu qo'shni tomonning qarama-qarshi tomoniga nisbati.

U erda sinus, kosinus, tangens va kotangens belgilari ham kiritilgan - mos ravishda sin, cos, tg va ctg.

Masalan, agar ABC to'g'ri burchakli uchburchak bo'lsa, u holda A o'tkir burchakning sinusi qarama-qarshi BC tomonining AB gipotenuzasiga nisbatiga teng bo'ladi, ya'ni sin∠A=BC/AB.

Ushbu ta'riflar o'tkir burchakning sinus, kosinus, tangens va kotangens qiymatlarini to'g'ri burchakli uchburchak tomonlarining ma'lum uzunliklaridan, shuningdek sinus, kosinus, tangensning ma'lum qiymatlaridan hisoblash imkonini beradi. kotangens va tomonlardan birining uzunligi boshqa tomonlarning uzunliklarini topish uchun. Masalan, to‘g‘ri burchakli uchburchakda AC oyog‘i 3 ga, AB gipotenuzasi 7 ga teng ekanligini bilsak, u holda A o‘tkir burchak kosinusining qiymatini ta’rif bo‘yicha hisoblashimiz mumkin: cos∠A=AC/ AB=3/7.

Aylanish burchagi

Trigonometriyada ular burchakka kengroq qarashni boshlaydilar - ular burilish burchagi tushunchasini kiritadilar. Aylanish burchagining kattaligi, o'tkir burchakdan farqli o'laroq, 0 dan 90 darajagacha bo'lgan aylanish burchagini darajalarda (va radyanlarda) -∞ dan +∞ gacha bo'lgan har qanday haqiqiy son bilan ifodalash mumkin;

Shu nuqtai nazardan, sinus, kosinus, tangens va kotangensning ta'riflari o'tkir burchakka emas, balki ixtiyoriy o'lchamdagi burchakka - burilish burchagiga berilgan. Ular A 1 nuqtasining x va y koordinatalari orqali berilgan, unga boshlang'ich nuqta deb ataladigan A(1, 0) o'zining O nuqtasi atrofida a burchak bilan aylanganidan keyin ketadi - to'rtburchaklar Dekart koordinata tizimining boshlanishi. va birlik doirasining markazi.

Ta'rif.

Burilish burchagi sinusi a - A nuqtaning ordinatasi 1, ya'ni sina=y.

Ta'rif.

Aylanish burchagining kosinusu a ga A 1 nuqtaning abssissasi deyiladi, ya’ni cosa=x.

Ta'rif.

Aylanish burchagi tangensi a - A 1 nuqta ordinatasining uning abssissasiga nisbati, ya'ni tana=y/x.

Ta'rif.

Aylanish burchagi kotangensi a - A 1 nuqta abssissasining uning ordinatasiga nisbati, ya'ni ctga=x/y.

Sinus va kosinus har qanday a burchak uchun aniqlanadi, chunki biz har doim nuqtaning abscissa va ordinatasini aniqlashimiz mumkin, bu esa boshlang'ich nuqtani a burchakka aylantirish orqali olinadi. Lekin tangens va kotangens hech qanday burchak uchun aniqlanmagan. Boshlanish nuqtasi nol abtsissa (0, 1) yoki (0, −1) nuqtaga oʻtadigan a burchaklar uchun tangens aniqlanmagan va bu 90°+180° k, k∈Z (p) burchaklarda sodir boʻladi. /2+p·k rad). Darhaqiqat, bunday burilish burchaklarida tga=y/x ifodasi mantiqiy emas, chunki u nolga bo'linishni o'z ichiga oladi. Kotangensga kelsak, u boshlang'ich nuqtasi nol ordinatali (1, 0) yoki (-1, 0) nuqtaga o'tadigan a burchaklar uchun aniqlanmagan va bu 180 ° k, k ∈Z burchaklar uchun sodir bo'ladi. (p·k rad).

Demak, har qanday aylanish burchagi uchun sinus va kosinus, 90°+180°k, k∈Z (p/2+pk rad) dan tashqari barcha burchaklar uchun tangens, 180° ·k dan tashqari barcha burchaklar uchun kotangens aniqlanadi. , k∈Z (p·k rad).

Ta'riflar bizga allaqachon ma'lum bo'lgan sin, cos, tg va ctg belgilarini o'z ichiga oladi, ular aylanish burchagining sinus, kosinus, tangens va kotangensini belgilash uchun ham ishlatiladi (ba'zan siz tangens va kotangensga mos keladigan tan va kotangens belgilarini topishingiz mumkin) . Shunday qilib, 30 graduslik aylanish burchagining sinusini sin30 ° deb yozish mumkin, tg (-24 ° 17') va ctga yozuvlari aylanish burchagi tangensiga -24 gradus 17 daqiqaga va aylanish burchagi kotangensiga to'g'ri keladi a . Eslatib o'tamiz, burchakning radian o'lchovini yozishda "rad" belgisi ko'pincha o'tkazib yuboriladi. Masalan, uch pi rad burilish burchagining kosinusu odatda cos3·p bilan belgilanadi.

Ushbu fikrni yakunlab, shuni ta'kidlash kerakki, aylanish burchagining sinusi, kosinusu, tangensi va kotangensi haqida gap ketganda, ko'pincha "aylanish burchagi" iborasi yoki "aylanish" so'zi tushib qoladi. Ya'ni, odatda "aylanish burchagi alfa sinusi" iborasi o'rniga "alfa burchagi sinusi" yoki undan ham qisqaroq "sinus alfa" iborasi ishlatiladi. Xuddi shu narsa kosinus, tangens va kotangens uchun ham amal qiladi.

To'g'ri burchakli uchburchakda sinus, kosinus, tangens va kotangensning ta'riflari 0 dan 90 gradusgacha bo'lgan aylanish burchagining sinusi, kosinusu, tangensi va kotangensi uchun berilgan ta'riflarga mos kelishini ham aytamiz. Biz buni oqlaymiz.

Raqamlar

Ta'rif.

Sonning sinus, kosinus, tangensi va kotangensi t - mos ravishda t radiandagi aylanish burchagining sinus, kosinus, tangensi va kotangensiga teng son.

Masalan, ta'rifi bo'yicha 8·p sonining kosinusu 8·p rad burchak kosinusiga teng sondir. 8·p rad burchakning kosinusu esa birga teng, demak, 8·p sonining kosinasi 1 ga teng.

Sonning sinus, kosinus, tangens va kotangensini aniqlashning yana bir usuli mavjud. U shundan iboratki, har bir haqiqiy son t birlik aylanasidagi nuqta bilan toʻrtburchaklar koordinatalar sistemasining boshidagi markaz bilan bogʻlanadi va shu nuqtaning koordinatalari orqali sinus, kosinus, tangens va kotangens aniqlanadi. Keling, buni batafsil ko'rib chiqaylik.

Keling, aylanadagi haqiqiy sonlar va nuqtalar o'rtasidagi yozishmalar qanday o'rnatilishini ko'rsatamiz:

• 0 raqamiga A (1, 0) boshlang'ich nuqtasi beriladi;
• musbat t soni birlik aylanasidagi nuqta bilan bog'langan bo'lib, agar biz aylana bo'ylab boshlang'ich nuqtadan soat miliga teskari yo'nalishda harakat qilsak va t uzunlikdagi yo'lni bosib o'tsak, unga erishamiz;
• manfiy t soni birlik aylanasidagi nuqta bilan bog'langan bo'lib, agar biz aylana bo'ylab boshlang'ich nuqtadan soat yo'nalishi bo'yicha harakat qilsak va |t| uzunlikdagi yo'ldan yursak, unga erishamiz. .

Endi t sonining sinus, kosinus, tangens va kotangens ta'riflariga o'tamiz. Faraz qilaylik, t soni aylananing A 1 (x, y) nuqtasiga mos keladi (masalan, &pi/2; soni A 1 (0, 1) nuqtaga mos keladi).

Ta'rif.

Raqamning sinusi t - t soniga mos keladigan birlik doiradagi nuqtaning ordinatasi, ya'ni sint=y.

Ta'rif.

Raqamning kosinusu t t soniga mos keladigan birlik aylana nuqtasining abssissasi deyiladi, ya'ni xarajat=x.

Ta'rif.

Raqam tangensi t - t soniga mos keladigan birlik doiradagi nuqtaning abssissasiga ordinataning nisbati, ya'ni tgt=y/x. Boshqa ekvivalent formulada t sonining tangensi bu sonning sinusining kosinusga nisbati, ya'ni tgt=sint/xarajatdir.

Ta'rif.

Raqamning kotangenti t - abssissaning t soniga mos keladigan birlik doiradagi nuqta ordinatasiga nisbati, ya'ni ctgt=x/y. Yana bir formulasi quyidagicha: t sonining tangensi t sonining kosinusining t sonining sinusiga nisbati: ctgt=cost/sint.

Bu erda biz hozirgina berilgan ta'riflar ushbu bandning boshida berilgan ta'rifga mos kelishini ta'kidlaymiz. Haqiqatan ham, t soniga mos keladigan birlik doirasidagi nuqta boshlang'ich nuqtani t radian burchakka aylantirish natijasida olingan nuqtaga to'g'ri keladi.

Bu fikrga hali ham aniqlik kiritishga arziydi. Aytaylik, bizda sin3 yozuvi bor. 3 sonining sinusi yoki 3 radianning aylanish burchagining sinusi haqida gapirayotganimizni qanday tushunish mumkin? Bu odatda kontekstdan aniq, aks holda bu muhim ahamiyatga ega emas.

Burchak va son argumentning trigonometrik funktsiyalari

Oldingi paragrafda keltirilgan ta'riflarga ko'ra, har bir aylanish burchagi a juda o'ziga xos qiymatga mos keladi sina , shuningdek, kosa qiymati. Bundan tashqari, 90°+180°k, k∈Z (p/2+pk rad) dan boshqa barcha burilish burchaklari tga qiymatlariga mos keladi va 180°k dan boshqa qiymatlar, k∈Z (pk rad ) – qiymatlar. ctga ning. Shuning uchun sina, kosa, tana va ctga a burchakning funksiyalaridir. Boshqacha qilib aytganda, bu burchak argumentining funktsiyalari.

Raqamli argumentning sinus, kosinus, tangens va kotangens funksiyalari haqida ham xuddi shunday gapirishimiz mumkin. Darhaqiqat, har bir haqiqiy son t juda aniq qiymatga mos keladi sint, shuningdek, xarajat. Bundan tashqari, p/2+p·k, k∈Z dan boshqa barcha raqamlar tgt qiymatlariga, p·k, k∈Z raqamlari esa ctgt qiymatlariga mos keladi.

Sinus, kosinus, tangens va kotangens funksiyalar deyiladi Asosiy trigonometrik funktsiyalar.

Odatda kontekstdan biz burchak argumentining trigonometrik funktsiyalari yoki raqamli argument bilan shug'ullanayotganimiz aniq bo'ladi. Aks holda, mustaqil o'zgaruvchini burchak o'lchovi (burchak argumenti) va raqamli argument sifatida ko'rishimiz mumkin.

Biroq, maktabda biz asosan sonli funktsiyalarni, ya'ni argumentlari, shuningdek mos keladigan funktsiya qiymatlari raqamlar bo'lgan funktsiyalarni o'rganamiz. Shuning uchun, agar haqida gapiramiz Xususan, funksiyalar haqida trigonometrik funksiyalarni sonli argumentlar funksiyasi sifatida ko‘rib chiqish maqsadga muvofiqdir.

Geometriya va trigonometriya ta'riflari o'rtasidagi bog'liqlik

Agar aylanish burchagi a ni 0 dan 90 gradusgacha deb hisoblasak, u holda trigonometriya kontekstida aylanish burchagining sinus, kosinus, tangens va kotangens ta’riflari sinus, kosinus, tangens va kotangens ta’riflariga to‘liq mos keladi. geometriya kursida berilgan to'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchak. Keling, buni oqlaylik.

Oxy to'rtburchak dekart koordinata sistemasida birlik doirani tasvirlaymiz. A(1, 0) boshlang'ich nuqtasini belgilaymiz. Uni 0 dan 90 gradusgacha bo'lgan a burchak bilan aylantiramiz, A 1 (x, y) nuqtasini olamiz. A 1 nuqtadan Ox o'qiga A 1 H perpendikulyar tushiramiz.

To‘g‘ri burchakli uchburchakda A 1 OH burchak a burilish burchagiga, shu burchakka tutashgan oyoq uzunligi OH A 1 nuqta abssissasiga teng ekanligini, ya’ni |OH ekanligini ko‘rish oson. |=x, burchakka qarama-qarshi bo’lgan A 1 H oyoq uzunligi A 1 nuqta ordinatasiga, ya’ni |A 1 H|=y, OA 1 gipotenuza uzunligi esa birga teng, chunki u birlik doirasining radiusi. U holda, geometriya ta'rifiga ko'ra, A 1 OH to'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchak a sinusi qarama-qarshi oyoqning gipotenuzaga nisbatiga teng, ya'ni sina=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. Va trigonometriya ta'rifiga ko'ra, a aylanish burchagining sinusi A 1 nuqtaning ordinatasiga teng, ya'ni sina=y. Bu shuni ko'rsatadiki, to'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchakning sinusini aniqlash a 0 dan 90 gradusgacha bo'lganida, a aylanish burchagining sinusini aniqlashga tengdir.

Xuddi shunday, a o'tkir burchakning kosinus, tangensi va kotangensining ta'riflari a aylanish burchagining kosinus, tangensi va kotangensi ta'riflariga mos kelishini ko'rsatish mumkin.

Adabiyotlar ro'yxati.

1. Geometriya. 7-9 sinflar: darslik umumiy ta'lim uchun muassasalar / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev va boshqalar]. - 20-nashr. M.: Ta'lim, 2010. - 384 b.: kasal. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V. Geometriya: darslik. 7-9 sinflar uchun. umumiy ta'lim muassasalar / A. V. Pogorelov. - 2-nashr - M.: Ta'lim, 2001. - 224 b.: kasal. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Algebra va elementar funksiyalar: O'rta maktabning 9-sinf o'quvchilari uchun darslik / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Fizika-matematika fanlari doktori O. N. Golovin tomonidan tahrirlangan - 4-nashr. M.: Ta'lim, 1969 yil.
4. Algebra: Darslik 9-sinf uchun. o'rtacha maktab/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovskiy - M.: Ta'lim, 1990. - 272 pp.: kasal - ISBN 5-09-002727-7
5. Algebra va tahlilning boshlanishi: Proc. 10-11 sinflar uchun. umumiy ta'lim muassasalar / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, P. Dudnitsyn va boshqalar; Ed. A. N. Kolmogorov - 14-nashr - M.: Ta'lim, 2004. - 384 pp.: ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkovich A.G. Algebra va tahlilning boshlanishi. 10-sinf. 2 qismda 1-qism: umumiy ta'lim muassasalari uchun darslik (profil darajasi) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4-nashr, qo'shimcha. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 b.: kasal. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Algebra va matematik tahlilning boshlanishi. 10-sinf: darslik. umumiy ta'lim uchun muassasalar: asosiy va profil. darajalari /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; tomonidan tahrirlangan A. B. Jijchenko. - 3-nashr. - I.: Ta'lim, 2010.- 368 b.: ill.- ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bashmakov M.I. Algebra va tahlilning boshlanishi: Darslik. 10-11 sinflar uchun. o'rtacha maktab - 3-nashr. - M.: Ta'lim, 1993. - 351 b.: kasal. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (texnika maktablariga abituriyentlar uchun qo'llanma): Proc. nafaqa.- M.; Yuqori maktab, 1984.-351 b., kasal.

4 uchun yagona davlat imtihoni? Baxtdan yorilib ketmaysizmi?

Savol, deganlaridek, qiziq... Bo'lishi mumkin, 4 bilan o'tish mumkin! Va ayni paytda yorilib ketmaslik ... Asosiy shart - muntazam ravishda mashq qilish. Mana, matematikadan Yagona davlat imtihoniga asosiy tayyorgarlik. Yagona davlat imtihonining barcha sirlari va sirlari bilan, siz darsliklarda o'qimaysiz ... Ushbu bo'limni o'rganing, turli manbalardan ko'proq vazifalarni hal qiling - va hamma narsa yaxshi bo'ladi! Asosiy bo'lim "A C siz uchun etarli!" bu sizga hech qanday muammo tug'dirmaydi. Lekin agar to'satdan ... Havolalarni kuzatib boring, dangasa bo'lmang!

Va biz ajoyib va ​​dahshatli mavzudan boshlaymiz.

Trigonometriya

Diqqat!
Qo'shimchalar mavjud
555-sonli maxsus bo'limdagi materiallar.
Juda "juda emas ..." bo'lganlar uchun
Va "juda ..." bo'lganlar uchun)

Ushbu mavzu talabalar uchun juda ko'p muammolarni keltirib chiqaradi. Bu eng og'irlardan biri hisoblanadi. Sinus va kosinus nima? Tangens va kotangens nima? Raqamli aylana nima? Bu zararsiz savollarni berishingiz bilan odamning rangi oqarib, suhbatni boshqa tomonga burishga harakat qiladi... Lekin behuda. Bu oddiy tushunchalar. Va bu mavzu boshqalarga qaraganda qiyinroq emas. Siz faqat boshidanoq bu savollarga javoblarni aniq tushunishingiz kerak. Bu juda muhim. Agar tushunsangiz, sizga trigonometriya yoqadi. Shunday qilib,

Sinus va kosinus nima? Tangens va kotangens nima?

Qadim zamonlardan boshlaylik. Xavotir olmang, biz 20 asrlik trigonometriyani taxminan 15 daqiqada bosib o'tamiz va buni sezmasdan, biz 8-sinfdan geometriyani takrorlaymiz.

Tomonlari bo‘lgan to‘g‘ri burchakli uchburchak chizamiz a, b, c va burchak X. Mana.

Sizga shuni eslatib o'tamanki, to'g'ri burchak hosil qiluvchi tomonlar oyoqlar deb ataladi. a va c- oyoqlar. Ulardan ikkitasi bor. Qolgan tomoni gipotenuza deb ataladi. Bilan- gipotenuza.

Uchburchak va uchburchak, o'ylab ko'ring! U bilan nima qilish kerak? Ammo qadimgi odamlar nima qilishni bilishardi! Keling, ularning harakatlarini takrorlaymiz. Keling, yon tomonni o'lchaymiz V. Rasmda, Yagona davlat imtihon topshiriqlarida bo'lgani kabi, hujayralar maxsus chizilgan. Yon V to'rt hujayraga teng. KELISHDIKMI. Keling, yon tomonni o'lchaymiz A. Uch hujayra.

Endi yon tomonning uzunligini ajratamiz A har bir tomon uzunligi uchun V. Yoki ular aytganidek, keling, munosabatni olaylik A Kimga V. a/v= 3/4.

Aksincha, siz ajratishingiz mumkin V yoqilgan A. Biz 4/3 ni olamiz. mumkin V ga bo'linadi Bilan. Gipotenuza Bilan Hujayralar bo'yicha hisoblash mumkin emas, lekin u 5 ga teng. Biz olamiz yuqori sifatli= 4/5. Muxtasar qilib aytganda, siz tomonlarning uzunligini bir-biriga bo'lishingiz va ba'zi raqamlarni olishingiz mumkin.

Nima bo'libdi? Ushbu qiziqarli faoliyatning maqsadi nima? Hozircha yo'q. Ochig'ini aytganda, ma'nosiz mashq.)

Endi buni qilaylik. Keling, uchburchakni kattalashtiramiz. Keling, tomonlarni kengaytiramiz ichida va bilan, lekin uchburchak to'rtburchak bo'lib qolishi uchun. Burchak X, albatta, o'zgarmaydi. Buni ko'rish uchun sichqonchani rasm ustiga olib boring yoki unga teging (agar sizda planshet bo'lsa). Partiyalar a, b va c ga aylanadi m, n, k, va, albatta, tomonlarning uzunligi o'zgaradi.

Ammo ularning munosabatlari unday emas!

Munosabat a/v edi: a/v= 3/4, bo'ldi m/n= 6/8 = 3/4. Boshqa tegishli tomonlarning munosabatlari ham o'zgarmaydi . To'g'ri burchakli uchburchakda tomonlarning uzunligini xohlaganingizcha o'zgartirishingiz, oshirishingiz, kamaytirishingiz, x burchagini o'zgartirmasdan – tegishli tomonlar o'rtasidagi munosabatlar o'zgarmaydi . Siz buni tekshirishingiz mumkin yoki qadimgi odamlarning so'zlarini qabul qilishingiz mumkin.

Ammo bu allaqachon juda muhim! To'g'ri burchakli uchburchakda tomonlarning nisbati tomonlarning uzunligiga (bir xil burchakda) bog'liq emas. Bu shunchalik muhimki, tomonlar o'rtasidagi munosabatlar o'zining maxsus nomini oldi. Ismlaringiz, ta'bir joiz.) Tanishish.

X burchakning sinusi nimaga teng ? Bu qarama-qarshi tomonning gipotenuzaga nisbati:

sinx = a/c

X burchakning kosinusu nimaga teng ? Bu qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbati:

Bilanosx= yuqori sifatli

X burchakning tangensi nimaga teng ? Bu qarama-qarshi tomonning qo'shni tomonga nisbati:

tgx =a/v

X burchakning kotangensi nimaga teng ? Bu qo'shni tomonning qarama-qarshi tomoniga nisbati:

ctgx = v/a

Hammasi juda oddiy. Sinus, kosinus, tangens va kotangens ba'zi raqamlardir. O'lchamsiz. Faqat raqamlar. Har bir burchakning o'ziga xosligi bor.

Nega men hamma narsani zerikarli takrorlayapman? Keyin bu nima eslash kerak. Esda tutish muhim. Yodlashni osonlashtirish mumkin. “Keling, uzoqdan boshlaymiz…” iborasi tanishmi? Shunday qilib, uzoqdan boshlang.

Sinus burchak nisbatdir uzoq oyoq burchagidan gipotenuzaga qadar. Kosinus– qo‘shnining gipotenuzaga nisbati.

Tangent burchak nisbatdir uzoq oyoq burchagidan yaqingacha. Kotangent- aksincha.

Bu osonroq, to'g'rimi?

Xo'sh, agar siz tangens va kotangensda faqat oyoqlar mavjudligini va sinus va kosinusda gipotenuza paydo bo'lishini eslasangiz, unda hamma narsa juda oddiy bo'ladi.

Bu butun ulug'vor oila - sinus, kosinus, tangens va kotangens deb ham ataladi trigonometrik funktsiyalar.

Endi ko'rib chiqish uchun savol.

Nima uchun sinus, kosinus, tangens va kotangens deymiz burchak? Biz tomonlar o'rtasidagi munosabatlar haqida gapiramiz, masalan ... Bunga nima aloqasi bor? burchak?

Keling, ikkinchi rasmga qaraylik. Birinchisi bilan aynan bir xil.

Sichqonchani rasm ustiga olib boring. Men burchakni o'zgartirdim X. dan oshirdi x dan x gacha. Barcha munosabatlar o'zgardi! Munosabat a/v 3/4 ni tashkil etdi va mos keladigan nisbat t/v 6/4 ga aylandi.

Va boshqa barcha munosabatlar boshqacha bo'ldi!

Shuning uchun tomonlarning nisbati hech qanday tarzda ularning uzunligiga (bir burchakda x) bog'liq emas, balki aynan shu burchakka keskin bog'liq! Va faqat undan. Shuning uchun sinus, kosinus, tangens va kotangens atamalariga tegishlidir burchak. Bu erda burchak asosiy hisoblanadi.

Burchakning trigonometrik funktsiyalari bilan uzviy bog'liqligini aniq tushunish kerak. Har bir burchakning o'ziga xos sinus va kosinuslari bor. Va deyarli har bir kishi o'z tangensi va kotangensiga ega. Bu muhim. Agar bizga burchak berilgan bo'lsa, u holda uning sinus, kosinus, tangens va kotangens deb ishoniladi bilamiz ! Va teskari. Agar sinus yoki boshqa trigonometrik funktsiya berilgan bo'lsa, bu biz burchakni bilishimizni anglatadi.

Har bir burchak uchun uning trigonometrik funktsiyalari tasvirlangan maxsus jadvallar mavjud. Ular Bradis jadvallari deb ataladi. Ular juda uzoq vaqt oldin tuzilgan. Hali kalkulyatorlar yoki kompyuterlar bo'lmaganida...

Albatta, barcha burchaklarning trigonometrik funktsiyalarini yodlab bo'lmaydi. Siz ularni faqat bir nechta burchaklar uchun bilishingiz kerak, bu haqda keyinroq. Lekin sehr Men burchakni bilaman, ya'ni uning trigonometrik funktsiyalarini bilaman" - har doim ishlaydi!

Shunday qilib, biz 8-sinfdan geometriya bo'lagini takrorladik. Yagona davlat imtihoniga kerakmi? Kerakli. Yagona davlat imtihonining odatiy muammosi. Ushbu muammoni hal qilish uchun 8-sinf etarli. Berilgan rasm:

Hammasi. Boshqa maʼlumotlar yoʻq. Samolyotning yon tomonining uzunligini topishimiz kerak.

Hujayralar ko'p yordam bermaydi, uchburchak qandaydir tarzda noto'g'ri joylashtirilgan .... Maqsadga ko'ra, menimcha ... Ma'lumotlardan gipotenuzaning uzunligi bor. 8 hujayra. Negadir burchak berilgan.

Bu erda siz trigonometriya haqida darhol eslashingiz kerak. Burchak bor, ya'ni biz uning barcha trigonometrik funktsiyalarini bilamiz. To'rt funktsiyadan qaysi birini ishlatishimiz kerak? Keling, ko'ramiz, biz nimani bilamiz? Biz gipotenuzani va burchakni bilamiz, lekin topishimiz kerak qo'shni bu burchakka kateter! Bu aniq, kosinani harakatga keltirish kerak! Qani boshladik. Biz shunchaki kosinus ta'rifi bilan yozamiz (nisbat qo'shni oyoqdan gipotenuzaga):

cosC = BC/8

C burchagi 60 gradus, uning kosinusu 1/2. Buni hech qanday jadvalsiz bilishingiz kerak! Anavi:

1/2 = BC/8

Elementar chiziqli tenglama. Noma'lum - Quyosh. Tenglamalarni qanday echishni unutganlar, havolaga qarang, qolganlari hal qiladi:

BC = 4

Qadimgi odamlar har bir burchakning o'ziga xos trigonometrik funktsiyalari borligini tushunganlarida, ularda mantiqiy savol tug'ildi. Sinus, kosinus, tangens va kotangens qandaydir tarzda bir-biri bilan bog'liqmi? Shunday qilib, bitta burchak funktsiyasini bilib, qolganlarini topa olasizmi? Burchakning o'zini hisoblamasdan?

Ular juda bezovta edilar ...)

Bir burchakning trigonometrik funktsiyalari o'rtasidagi bog'liqlik.

Albatta, bir xil burchakdagi sinus, kosinus, tangens va kotangens bir-biri bilan bog'liq. Ifodalar orasidagi har qanday bog'lanish matematikada formulalar orqali beriladi. Trigonometriyada juda ko'p sonli formulalar mavjud. Ammo bu erda biz eng asosiylarini ko'rib chiqamiz. Bu formulalar deyiladi: asosiy trigonometrik identifikatsiyalar. Mana ular:

Ushbu formulalarni yaxshilab bilishingiz kerak. Ularsiz trigonometriyada umuman hech narsa qilish mumkin emas. Ushbu asosiy identifikatsiyalardan yana uchta yordamchi identifikator kelib chiqadi:

Men sizni darhol ogohlantiramanki, oxirgi uchta formula tezda xotirangizdan chiqib ketadi. Ba'zi sabablarga ko'ra.) Albatta, siz ushbu formulalarni dastlabki uchtadan olishingiz mumkin. Ammo, qiyin paytlarda ... Tushunasiz.)

Quyidagi kabi standart masalalarda unutilmas formulalardan qochishning bir yo'li mavjud. VA xatolarni keskin kamaytiradi unutuvchanlik tufayli va hisob-kitoblarda ham. Ushbu amaliyot 555-bo'limning "Bir xil burchakdagi trigonometrik funktsiyalar o'rtasidagi munosabatlar" darsida keltirilgan.

Asosiy trigonometrik identifikatsiyalar qanday vazifalarda va qanday ishlatiladi? Eng mashhur vazifa, agar boshqasi berilgan bo'lsa, ba'zi burchak funktsiyasini topishdir. Yagona davlat imtihonida bunday vazifa yildan-yilga mavjud.) Masalan:

Agar x o'tkir burchak va cosx=0,8 bo'lsa, sinx qiymatini toping.

Vazifa deyarli oddiy. Biz sinus va kosinusni o'z ichiga olgan formulani qidirmoqdamiz. Mana formula:

sin 2 x + cos 2 x = 1

Biz bu erda ma'lum qiymatni, ya'ni kosinus o'rniga 0,8 ni almashtiramiz:

gunoh 2 x + 0,8 2 = 1

Xo'sh, biz odatdagidek hisoblaymiz:

gunoh 2 x + 0,64 = 1

gunoh 2 x = 1 - 0,64

Bu deyarli hammasi. Biz sinusning kvadratini hisoblab chiqdik, faqat kvadrat ildizni chiqarish qoladi va javob tayyor! 0,36 ning ildizi 0,6 ga teng.

Vazifa deyarli oddiy. Lekin "deyarli" so'zi bir sababga ko'ra bor ... Gap shundaki, sinx= - 0,6 javobi ham mos keladi... (-0,6) 2 ham 0,36 bo'ladi.

Ikki xil javob bor. Va sizga bitta kerak. Ikkinchisi noto'g'ri. Qanday bo'lish kerak!? Ha, odatdagidek.) Topshiriqni diqqat bilan o'qing. Negadir shunday deydi:... agar x o'tkir burchak bo'lsa ... Vazifalarda esa har bir so'z ma'noga ega, ha... Bu ibora yechim uchun qo'shimcha ma'lumotdir.

O'tkir burchak 90 ° dan kichik burchakdir. Va bunday burchaklarda Hammasi trigonometrik funktsiyalar - sinus, kosinus va kotangent bilan tangens - ijobiy. Bular. Biz bu erda salbiy javobni bekor qilamiz. Huquqimiz bor.

Aslida, sakkizinchi sinf o'quvchilariga bunday nozikliklar kerak emas. Ular faqat to'g'ri burchakli uchburchaklar bilan ishlaydi, bu erda burchaklar faqat o'tkir bo'lishi mumkin. Va ular, baxtli bo'lganlar, 1000 ° burchaklar ham, salbiy burchaklar ham borligini bilishmaydi ... Va bu dahshatli burchaklarning barchasi o'zlarining trigonometrik funktsiyalariga ega, ham ortiqcha, ham minus ...

Ammo o'rta maktab o'quvchilari uchun belgini hisobga olmagan holda - yo'q. Ko'p bilim qayg'ularni ko'paytiradi, ha ...) Va to'g'ri hal qilish uchun qo'shimcha ma'lumot majburiyatda mavjud (agar kerak bo'lsa). Masalan, u quyidagi yozuv bilan berilishi mumkin:

Yoki boshqa yo'l bilan. Quyidagi misollarda ko'rasiz.) Bunday misollarni yechish uchun bilishingiz kerak Berilgan x burchak qaysi chorakga to'g'ri keladi va bu chorakda kerakli trigonometrik funktsiya qanday belgiga ega?

Trigonometriyaning bu asoslari trigonometrik aylana nima ekanligi, bu doiradagi burchaklarni o'lchash, burchakning radian o'lchovi kabi mavzularda darslarda muhokama qilinadi. Ba'zan sinuslar jadvalini, tangens va kotangentlarning kosinuslarini bilishingiz kerak.

Shunday qilib, keling, eng muhim narsani ta'kidlaymiz:

Amaliy maslahatlar:

1. Sinus, kosinus, tangens va kotangens ta’riflarini eslang. Bu juda foydali bo'ladi.

2. Biz aniq tushunamiz: sinus, kosinus, tangens va kotangens burchaklar bilan chambarchas bog'liq. Biz bir narsani bilamiz, demak, boshqasini bilamiz.

3. Biz aniq tushunamiz: bir burchakning sinusi, kosinusu, tangensi va kotangensi bir-biri bilan asosiy trigonometrik identifikatsiyalar bilan bog'liq. Biz bitta funktsiyani bilamiz, ya'ni biz (agar bizda kerakli qo'shimcha ma'lumot bo'lsa) qolganlarini hisoblashimiz mumkin.

Endi odatdagidek qaror qilaylik. Birinchidan, 8-sinf doirasidagi vazifalar. Ammo o'rta maktab o'quvchilari ham buni qila oladi ...)

1. ctgA = 0,4 bo'lsa, tgA qiymatini hisoblang.

2. b - to'g'ri burchakli uchburchakdagi burchak. Agar sinb = 12/13 bo'lsa, tanb qiymatini toping.

3. tgx = 4/3 bo'lsa, x o'tkir burchakning sinusini aniqlang.

4. Ifodaning ma'nosini toping:

6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°

5. Ifodaning ma'nosini toping:

(1-cosx)(1+cosx), agar sinx = 0,3 bo'lsa

Javoblar (nuqta-vergul bilan ajratilgan, tartibsiz):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

Bo'ldimi? Ajoyib! Sakkizinchi sinf o'quvchilari allaqachon A ball olishlari mumkin.)

Hammasi amalga oshmadimi? 2 va 3 topshiriqlar qandaydir yaxshi emas...? Hammasi joyida! Bunday vazifalar uchun bitta chiroyli texnika mavjud. Hamma narsani deyarli formulalarsiz hal qilish mumkin! Xo'sh, shuning uchun xatolarsiz. Ushbu uslub darsda tasvirlangan: "Bir burchakning trigonometrik funktsiyalari o'rtasidagi munosabatlar" 555-bo'limda. Boshqa barcha vazifalar ham u erda hal qilinadi.

Bular Yagona davlat imtihoniga o'xshash muammolar edi, ammo qisqartirilgan versiyada. Yagona davlat imtihoni - engil). Va endi deyarli bir xil vazifalar, lekin to'liq formatda. Bilim yuki bo'lgan o'rta maktab o'quvchilari uchun.)

6. sinb = 12/13 bo'lsa, tanb qiymatini toping va

7. Agar tgx = 4/3 bo'lsa va x intervalga tegishli bo'lsa (- 540°; - 450°) sinxni aniqlang.

8. ctgb = 1 bo'lsa sinb cosb ifodaning qiymatini toping.

Javoblar (tartibsiz):

0,8; 0,5; -2,4.

Bu yerda 6-masalada burchak unchalik aniq ko'rsatilmagan... Lekin 8-masalada umuman ko'rsatilmagan! Bu ataylab qilingan). Qo'shimcha ma'lumot nafaqat topshiriqdan, balki boshdan ham olinadi.) Ammo agar siz qaror qilsangiz, bitta to'g'ri vazifa kafolatlanadi!

Agar qaror qilmagan bo'lsangiz-chi? Hmm... Xo'sh, 555-bo'lim bu erda yordam beradi. U erda barcha bu vazifalarning echimlari batafsil tavsiflangan, tushunmaslik qiyin.

Ushbu dars trigonometrik funktsiyalar haqida juda cheklangan tushunchani beradi. 8-sinf doirasida. Va oqsoqollarda hali ham savollar bor ...

Misol uchun, agar burchak X(ushbu sahifadagi ikkinchi rasmga qarang) - buni ahmoq qiling!? Uchburchak butunlay parchalanadi! Xo'sh, nima qilishimiz kerak? Oyoq ham, gipotenuz ham bo'lmaydi... Sinus yo'qoldi...

Agar qadimgi odamlar bu vaziyatdan chiqish yo'lini topmaganlarida edi, bizda hozir uyali telefonlar, televizorlar va elektr energiyasi bo'lmas edi. Ha ha! Trigonometrik funktsiyalarsiz bularning barchasi uchun nazariy asos tayoqsiz nolga teng. Ammo qadimgi odamlar umidsizlikka tushmagan. Ular qanday qilib chiqib ketishganligi keyingi darsda.

Agar sizga bu sayt yoqsa...

Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)

Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. Keling, o'rganamiz - qiziqish bilan!)

Funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.

Menimcha, siz bundan ham ko'proq narsaga loyiqsiz. Mana mening trigonometriya kalitim:

• Gumbaz, devor va shipni chizish
• Trigonometrik funktsiyalar bu uchta shaklning foizlaridan boshqa narsa emas.

Sinus va kosinus uchun metafora: gumbaz

Uchburchaklarning o'ziga qarash o'rniga, aniq hayotiy misolni topib, ularni harakatda tasavvur qiling.

Tasavvur qiling-a, siz gumbazning o'rtasidasiz va kinoproyektor ekranini osib qo'ymoqchisiz. Barmog'ingizni gumbazga ma'lum bir burchak ostida "x" bilan ishora qilasiz va ekran shu nuqtadan to'xtatilishi kerak.

Siz ko'rsatgan burchak quyidagilarni aniqlaydi:

• sinus(x) = sin(x) = ekran balandligi (poldan gumbaz o'rnatish nuqtasigacha)
• kosinus(x) = cos(x) = sizdan ekrangacha boʻlgan masofa (qavat boʻyicha)
• gipotenuza, sizdan ekranning yuqori qismigacha bo'lgan masofa, har doim bir xil, gumbaz radiusiga teng

Ekran imkon qadar katta bo'lishini xohlaysizmi? Uni to'g'ridan-to'g'ri tepangizga osib qo'ying.

Ekran sizdan iloji boricha uzoqroqda osilib turishini xohlaysizmi? Uni tekis perpendikulyar qilib osib qo'ying. Bu holatda ekran nol balandlikka ega bo'ladi va siz so'raganingizdek eng uzoqqa osilib turadi.

Ekrandan balandlik va masofa teskari proportsionaldir: ekran qanchalik yaqin bo'lsa, uning balandligi shunchalik katta bo'ladi.

Sinus va kosinus foizdir

Afsuski, men o'qigan yillarim davomida hech kim menga sinus va kosinus trigonometrik funktsiyalari foizlardan boshqa narsa emasligini tushuntirmadi. Ularning qiymatlari +100% dan 0 dan -100% gacha yoki musbat maksimaldan nolga qadar salbiy maksimalgacha.

Aytaylik, men 14 rubl soliq to'ladim. Siz qanchaligini bilmaysiz. Ammo 95% soliq toʻladim desangiz, men shunchaki junbushga kelganimni tushunasiz.

Mutlaq balandlik hech narsani anglatmaydi. Ammo agar sinus qiymati 0,95 bo'lsa, men televizorning deyarli gumbazning tepasida osilganligini tushunaman. Tez orada u gumbazning markazida maksimal balandlikka etadi va keyin yana pasayishni boshlaydi.

Bu foizni qanday hisoblashimiz mumkin? Bu juda oddiy: joriy ekran balandligini maksimal mumkin bo'lgan (gumbaz radiusi, gipotenuza deb ham ataladi) bo'linadi.

Mana nimaga bizga "kosinus = qarama-qarshi tomon / gipotenuza" deb aytilgan. Hammasi qiziqish bilan bog'liq! Sinusni "joriy balandlikning mumkin bo'lgan maksimaldan ulushi" sifatida belgilash yaxshidir. (Agar sizning burchakingiz "er osti" ni ko'rsatsa, sinus manfiy bo'ladi. Agar burchak sizning orqangizdagi gumbazga to'g'ri kelsa, kosinus manfiy bo'ladi.)

Keling, birlik doirasining markazida (radius = 1) ekanligimizni faraz qilib, hisob-kitoblarni soddalashtiraylik. Biz bo'linishni o'tkazib yuborishimiz va faqat balandlikka teng sinusni olishimiz mumkin.

Har bir doira mohiyatan bitta doira bo'lib, kerakli o'lchamga qadar kattalashtiriladi yoki pastga tushadi. Shunday qilib, birlik doiralarining ulanishlarini aniqlang va natijalarni o'zingizning aniq doira o'lchamingizga qo'llang.

Tajriba: istalgan burchakni oling va u balandlikdan kenglikning necha foizini ko'rsatishini ko'ring:

Sinus qiymatining o'sish grafigi shunchaki to'g'ri chiziq emas. Dastlabki 45 daraja balandlikning 70% ni egallaydi, ammo oxirgi 10 daraja (80 ° dan 90 ° gacha) faqat 2% ni qoplaydi.

Bu sizga aniqroq bo'ladi: agar siz aylana bo'ylab yursangiz, 0 ° da deyarli vertikal ko'tariladi, lekin gumbaz tepasiga yaqinlashganda, balandlik kamroq va kamroq o'zgaradi.

Tangens va sekant. Devor

Bir kuni qo'shnisi devor qurdi bir-birining yonida sizning gumbazingizga. Derazadan sizning ko'rinishingizni yig'ladi va qayta sotish uchun yaxshi narx!

Ammo bu vaziyatda qandaydir tarzda g'alaba qozonish mumkinmi?

Albatta Ha. Agar qo‘shnimizning devoriga kino ekranini osib qo‘ysak-chi? Siz burchakni (x) belgilaysiz va quyidagilarni olasiz:

• tan(x) = tan(x) = devordagi ekran balandligi
• sizdan devorgacha bo'lgan masofa: 1 (bu sizning gumbazingizning radiusi, devor sizdan hech qaerga siljimaydi, to'g'rimi?)
• sekant (x) = sek (x) = gumbaz markazida turganingizdan to osilgan ekranning tepasigacha bo'lgan "narvon uzunligi"

Keling, tangens yoki ekran balandligi bilan bog'liq bir nechta fikrlarga aniqlik kiritaylik.

• u 0 dan boshlanadi va cheksiz balandlikka chiqishi mumkin. Sevimli filmingizni tomosha qilish uchun cheksiz tuval yaratish uchun ekranni devorga balandroq va balandroq cho'zishingiz mumkin! (Bunday ulkan uchun, albatta, siz ko'p pul sarflashingiz kerak bo'ladi).
• tangens sinusning kattalashtirilgan versiyasidir! Va gumbaz tepasiga qarab harakatlanayotganda sinusning o'sishi sekinlashsa-da, tangens o'sishda davom etadi!

Sekansuda maqtanadigan narsa bor:

• Sekant 1 dan boshlanadi (zinapoya polda, sizdan devorga) va u erdan ko'tarila boshlaydi.
• Sekant har doim tangensdan uzunroq bo'ladi. Ekraningizni osib qo'yish uchun foydalanadigan qiya narvon ekranning o'zidan uzunroq bo'lishi kerak, to'g'rimi? (Haqiqiy bo'lmagan o'lchamlar bilan, ekran juda uzun bo'lganda va narvonni deyarli vertikal ravishda joylashtirish kerak bo'lganda, ularning o'lchamlari deyarli bir xil bo'ladi. Lekin shunga qaramay, sekant biroz uzunroq bo'ladi).

Esda tuting, qadriyatlar foiz. Agar siz ekranni 50 daraja burchak ostida osib qo'yishga qaror qilsangiz, tan(50)=1,19. Sizning ekraningiz devorgacha bo'lgan masofadan (gumbaz radiusi) 19% kattaroqdir.

(X=0 kiriting va sezgiingizni tekshiring - tan(0) = 0 va sek(0) = 1).

Kotangent va kosekant. Shift

Ajablanarlisi shundaki, sizning qo'shningiz sizning gumbazingiz ustida tom qurishga qaror qildi. (Unda nima bo‘ldi? Yalang‘och holda hovlida aylanib yurganida ayg‘oqchilik qilishingizni istamaydi shekilli...)

Xo'sh, tomga chiqishni qurish va qo'shningiz bilan gaplashish vaqti keldi. Siz moyillik burchagini tanlaysiz va qurilishni boshlaysiz:

• tomning chiqishi va zamin orasidagi vertikal masofa har doim 1 ga teng (gumbaz radiusi)
• kotangent (x) = karyola (x) = gumbaz tepasi va chiqish nuqtasi orasidagi masofa
• cosekant(x) = csc(x) = tomga boradigan yo'lingizning uzunligi

Tangent va sekant devorni, COtangent va COsekant esa shiftni tasvirlaydi.

Bu safargi intuitiv xulosalarimiz avvalgilariga o'xshaydi:

• Agar siz 0 ° ga teng burchakni qabul qilsangiz, tomga chiqishingiz abadiy davom etadi, chunki u hech qachon shiftga etib bormaydi. Muammo.
• Agar siz uni polga 90 daraja burchak ostida qursangiz, tomga eng qisqa "narvon" olinadi. Kotangent 0 ga teng bo'ladi (biz umuman tom bo'ylab harakatlanmaymiz, biz qat'iy perpendikulyar ravishda chiqamiz) va kosekant 1 ga teng bo'ladi ("narvon uzunligi" minimal bo'ladi).

Ulanishlarni tasavvur qiling

Agar uchta holat ham gumbaz-devor-ship kombinatsiyasida chizilgan bo'lsa, natija quyidagicha bo'ladi:

Xo'sh, bu hali ham bir xil uchburchak bo'lib, devor va shipga erishish uchun kattalashgan. Bizda vertikal tomonlar (sinus, tangens), gorizontal tomonlari (kosinus, kotangent) va "gipotenuslar" (sekant, kosekant) mavjud. (O'qlar orqali siz har bir element qaerga yetib borishini ko'rishingiz mumkin. Kosekant - sizdan tomgacha bo'lgan umumiy masofa).

Bir oz sehr. Barcha uchburchaklar bir xil tengliklarga ega:

Pifagor teoremasidan (a 2 + b 2 = c 2) biz har bir uchburchakning tomonlari qanday bog'langanligini ko'ramiz. Bundan tashqari, barcha uchburchaklar uchun "balandlik va kenglik" nisbatlari ham bir xil bo'lishi kerak. (Shunchaki eng katta uchburchakdan kichikroqqa o'ting. Ha, o'lcham o'zgargan, lekin tomonlarning nisbati bir xil bo'lib qoladi).

Har bir uchburchakning qaysi tomoni 1 ga (gumbaz radiusi) teng ekanligini bilib, biz "sin/cos = tan/1" ni osongina hisoblashimiz mumkin.

Men har doim bu faktlarni oddiy vizualizatsiya orqali eslab qolishga harakat qilganman. Rasmda siz ushbu bog'liqliklarni aniq ko'rasiz va ular qaerdan kelganini tushunasiz. Bu usul quruq formulalarni yodlashdan ko'ra ancha yaxshi.

Boshqa burchaklar haqida unutmang

Psst... Tangens har doim 1 dan kichik deb o‘ylab, bitta grafikga yopishib qolmang, agar siz burchakni oshirsangiz, devorga yetib bormasdan shiftga yetib olishingiz mumkin:

Pifagor aloqalari har doim ishlaydi, ammo nisbiy o'lchamlar farq qilishi mumkin.

(Siz sinus va kosinus nisbatlari har doim eng kichik ekanligini payqadingiz, chunki ular gumbaz ichida joylashgan).

Xulosa qilish uchun: nimani eslashimiz kerak?

Ko'pchiligimiz uchun bu etarli bo'ladi, deyman:

• trigonometriya doiralar va takroriy intervallar kabi matematik ob'ektlarning anatomiyasini tushuntiradi
• Gumbaz / devor / tom o'xshashligi turli trigonometrik funktsiyalar o'rtasidagi munosabatni ko'rsatadi
• Trigonometrik funktsiyalar biz stsenariyimizga qo'llaydigan foizlarni keltirib chiqaradi.

1 2 + karyola 2 = csc 2 kabi formulalarni yodlab olishingiz shart emas. Ular faqat ahmoqona testlar uchun javob beradi, bunda haqiqat haqidagi bilim uni tushunish sifatida qabul qilinadi. Gumbaz, devor va tom shaklida yarim doira chizish uchun bir daqiqa vaqt ajrating, elementlarni belgilang va barcha formulalar sizga qog'ozda keladi.

Ilova: Teskari funksiyalar

Har qanday trigonometrik funksiya kirish parametri sifatida burchakni oladi va natijani foiz sifatida qaytaradi. sin(30) = 0,5. Bu shuni anglatadiki, 30 graduslik burchak maksimal balandlikning 50% ni egallaydi.

Teskari trigonometrik funktsiya sin -1 yoki arksin shaklida yoziladi. Asin ham ko'pincha turli dasturlash tillarida yoziladi.

Agar bizning balandligimiz gumbaz balandligining 25% bo'lsa, bizning burchakimiz nima?

Bizning nisbatlar jadvalimizda siz sekant 1 ga bo'lingan nisbatni topishingiz mumkin. Masalan, sekant 1 ga (gorizontalga gipotenuza) kosinusga bo'lingan 1 ga teng bo'ladi:

Aytaylik, bizning sekantimiz 3,5, ya'ni. Birlik aylana radiusining 350%. Bu qiymat devorga qaysi moyillik burchagiga mos keladi?

Ilova: Ba'zi misollar

Misol: x burchakning sinusini toping.

Zerikarli vazifa. Keling, banal "sinusni toping" ni "Maksimumning (gipotenuzaning) foizi sifatida balandlik qancha?" Deb murakkablashtiramiz.

Birinchidan, uchburchakning aylantirilganiga e'tibor bering. Buning hech qanday yomon joyi yo‘q. Uchburchakning balandligi ham bor, u rasmda yashil rangda ko'rsatilgan.

Gipotenuza nimaga teng? Pifagor teoremasiga ko'ra, biz buni bilamiz:

3 2 + 4 2 = gipotenuza 2 25 = gipotenuza 2 5 = gipotenuza

Yaxshi! Sinus - bu uchburchakning eng uzun tomoni yoki gipotenuzaning balandligining foizi. Bizning misolimizda sinus 3/5 yoki 0,60 ga teng.

Albatta, biz bir necha yo'l bilan borishimiz mumkin. Endi biz sinus 0,60 ekanligini bilamiz, oddiygina arksinusni topishimiz mumkin:

Asin(0,6)=36,9

Mana yana bir yondashuv. E'tibor bering, uchburchak "devorga qaragan", shuning uchun sinus o'rniga tangensdan foydalanishimiz mumkin. Balandligi 3, devorgacha bo'lgan masofa 4, shuning uchun tangens ¾ yoki 75%. Foiz qiymatidan burchakka qaytish uchun arktangentdan foydalanishimiz mumkin:

Tan = 3/4 = 0,75 atan (0,75) = 36,9 Misol: Siz qirg'oqqa suzasizmi?

Siz qayiqdasiz va sizda 2 km masofani bosib o'tish uchun etarli yoqilg'i bor. Siz hozir qirg'oqdan 0,25 km uzoqlikdasiz. Yoqilg'i yetarli bo'lishi uchun qirg'oqqa maksimal qaysi burchak ostida suzishingiz mumkin? Muammo bayonotiga qo'shimcha: bizda faqat yoy kosinus qiymatlari jadvali mavjud.

Bizda nima bor? Sohil chizig'i bizning mashhur uchburchakda "devor" sifatida ifodalanishi mumkin va devorga biriktirilgan "narvonning uzunligi" qayiq bilan qirg'oqqa qadar bo'lgan maksimal masofa (2 km). Sekant paydo bo'ladi.

Birinchidan, siz foizlarga o'tishingiz kerak. Bizda 2 / 0,25 = 8, ya'ni qirg'oqqa (yoki devorga) to'g'ri masofadan 8 barobar ko'p bo'lgan masofani suzishimiz mumkin.

Savol tug'iladi: "8 ning sekantasi nima?" Ammo biz bunga javob bera olmaymiz, chunki bizda faqat yoy kosinuslari bor.

Biz sekantni kosinus bilan bog'lash uchun avval olingan bog'liqliklarimizdan foydalanamiz: "sek/1 = 1/cos"

8 ning sekanti ⅛ ning kosinusiga teng. Kosinasi ⅛ bo'lgan burchak acos(1/8) = 82,8 ga teng. Va bu biz belgilangan miqdordagi yoqilg'i bilan qayiqda qila oladigan eng katta burchakdir.

Yomon emas, to'g'rimi? Gumbaz-devor-ship o'xshashligi bo'lmaganida, men formulalar va hisob-kitoblar to'plamida adashib qolgan bo'lardim. Muammoni vizualizatsiya qilish yechim izlashni sezilarli darajada osonlashtiradi, shuningdek, qaysi trigonometrik funktsiya oxir-oqibat yordam berishini ko'rish qiziq.

Har bir muammo uchun shunday o'ylab ko'ring: meni gumbaz (sin/cos), devor (tan/sek) yoki shift (kartoshka/csc) qiziqtiradimi?

Va trigonometriya yanada qiziqarli bo'ladi. Siz uchun oson hisoblar!

O'rtacha darajasi

To'g'ri uchburchak. Toʻliq tasvirlangan qoʻllanma (2019)

O‘ng uchburchak. BIRINCHI DARAJA.

Muammolarda to'g'ri burchak umuman kerak emas - pastki chap burchak, shuning uchun siz ushbu shaklda to'g'ri burchakli uchburchakni tanib olishni o'rganishingiz kerak,

va bunda

va bunda

To'g'ri burchakli uchburchakning nimasi yaxshi? Xo'sh ..., birinchidan, uning tomonlari uchun maxsus chiroyli nomlar mavjud.

Chizmaga diqqat!

Eslab qoling va chalkashtirmang: ikkita oyoq bor va faqat bitta gipotenuz mavjud(bir va yagona, noyob va eng uzun)!

Xo'sh, biz nomlarni muhokama qildik, endi eng muhimi: Pifagor teoremasi.

Pifagor teoremasi.

Bu teorema to'g'ri burchakli uchburchak bilan bog'liq ko'plab muammolarni hal qilishning kalitidir. Bu Pifagor tomonidan butunlay qadim zamonlarda isbotlangan va o'shandan beri u buni biladiganlarga juda ko'p foyda keltirdi. Va buning eng yaxshi tomoni shundaki, u oddiy.

Shunday qilib, Pifagor teoremasi:

Hazilni eslaysizmi: "Pifagor shimlari har tomondan tengdir!"?

Keling, xuddi shu Pifagor shimlarini chizamiz va ularga qaraylik.

Bu qandaydir shortikga o'xshamaydimi? Xo'sh, ular qaysi tomonlarda va qayerda teng? Hazil nima uchun va qaerdan paydo bo'ldi? Va bu hazil Pifagor teoremasi bilan, aniqrog'i Pifagorning o'zi teoremasini shakllantirish usuli bilan bog'liq. Va u buni quyidagicha shakllantirdi:

"sum kvadrat maydonlari, oyoqlarda qurilgan, tengdir kvadrat maydon, gipotenuzaga qurilgan."

Bu haqiqatan ham biroz boshqacha eshitiladimi? Shunday qilib, Pifagor o'z teoremasining bayonotini chizganida, aynan shu rasm paydo bo'ldi.

Ushbu rasmda kichik kvadratlar maydonlarining yig'indisi katta kvadratning maydoniga teng. Va bolalar oyoq kvadratlarining yig'indisi gipotenuzaning kvadratiga teng ekanligini yaxshiroq eslashlari uchun, kimdir Pifagor shimlari haqida hazil bilan chiqdi.

Nega endi biz Pifagor teoremasini shakllantirmoqdamiz?

Pifagor azob chekib, kvadratlar haqida gapirganmi?

Ko‘rdingizmi, qadimda... algebra yo‘q edi! Hech qanday belgilar va boshqalar yo'q edi. Hech qanday yozuv yo'q edi. Tasavvur qila olasizmi, qadimiy kambag'al talabalar uchun hamma narsani so'z bilan eslab qolish qanchalik dahshatli edi??! Va bizda Pifagor teoremasining oddiy formulasi borligidan xursand bo'lishimiz mumkin. Yaxshi eslab qolish uchun yana takrorlaymiz:

Endi oson bo'lishi kerak:

Gipotenuzaning kvadrati oyoqlarning kvadratlari yig'indisiga teng.

To'g'ri burchakli uchburchaklar haqidagi eng muhim teorema muhokama qilindi. Agar siz buning qanday isbotlangani bilan qiziqsangiz, nazariyaning quyidagi darajalarini o'qing va endi keling, oldinga boraylik ... qorong'u o'rmonga ... trigonometriya! Sinus, kosinus, tangens va kotangent degan dahshatli so'zlarga.

To'g'ri burchakli uchburchakda sinus, kosinus, tangens, kotangens.

Aslida, hamma narsa unchalik qo'rqinchli emas. Albatta, maqolada sinus, kosinus, tangens va kotangensning "haqiqiy" ta'rifini ko'rib chiqish kerak. Lekin men chindan ham xohlamayman, shunday emasmi? Biz quvonishimiz mumkin: to'g'ri burchakli uchburchak bilan bog'liq muammolarni hal qilish uchun siz quyidagi oddiy narsalarni to'ldirishingiz mumkin:

Nega hamma narsa burchak ostida? Burchak qayerda? Buni tushunish uchun 1 - 4 gaplarning so'zlarda qanday yozilishini bilishingiz kerak. Qarang, tushuning va eslang!

1.
Aslida bu shunday eshitiladi:

Burchak haqida nima deyish mumkin? Burchakka qarama-qarshi bo'lgan oyoq, ya'ni qarama-qarshi (burchak uchun) oyoq bormi? Albatta bor! Bu oyoq!

Burchak haqida nima deyish mumkin? Ehtiyotkorlik bilan qarang. Qaysi oyoq burchakka ulashgan? Albatta, oyoq. Bu burchak uchun oyoq qo'shni ekanligini anglatadi va

Endi, e'tibor bering! Qarang, bizda nima bor:

Bu qanchalik salqin ekanligini ko'ring:

Endi tangens va kotangensga o'tamiz.

Endi buni qanday qilib so'z bilan yozishim mumkin? Oyoq burchakka nisbatan qanday? Albatta, qarama-qarshi - burchak qarshisida "yotadi". Oyoq haqida nima deyish mumkin? Burchakka ulashgan. Xo'sh, bizda nima bor?

Hisoblagich va maxraj o'rinlarini qanday almashtirganiga qarang?

Va endi burchaklar yana va almashuv qildi:

Xulosa

Keling, o'rganganlarimizni qisqacha yozamiz.

Pifagor teoremasi:

To'g'ri burchakli uchburchaklar haqidagi asosiy teorema Pifagor teoremasidir.

Pifagor teoremasi

Aytgancha, oyoq va gipotenuzaning nima ekanligini yaxshi eslaysizmi? Agar unchalik yaxshi bo'lmasa, unda rasmga qarang - bilimingizni yangilang

Siz allaqachon Pifagor teoremasidan ko'p marta foydalangan bo'lishingiz mumkin, lekin nima uchun bunday teorema to'g'ri ekanligi haqida hech o'ylab ko'rganmisiz? Buni qanday isbotlashim mumkin? Qadimgi yunonlar kabi qilaylik. Keling, bir tomoni bilan kvadrat chizamiz.

Qarang, biz uning tomonlarini qanday mohirlik bilan uzunliklarga ajratdik va!

Endi belgilangan nuqtalarni bog'laymiz

Bu erda biz yana bir narsani ta'kidladik, lekin siz o'zingiz rasmga qaraysiz va nima uchun bunday bo'lganini o'ylaysiz.

Kattaroq kvadratning maydoni qancha? To'g'ri, . Kichikroq maydon haqida nima deyish mumkin? Albatta, . To'rt burchakning umumiy maydoni qoladi. Tasavvur qiling-a, biz ularni bir vaqtning o'zida ikkitasini oldik va gipotenuslari bilan bir-biriga suyandik. Nima bo'ldi? Ikki to'rtburchaklar. Bu "kesish" maydoni teng ekanligini anglatadi.

Keling, hozir hammasini birlashtiramiz.

Keling, aylantiramiz:

Shunday qilib, biz Pifagorga tashrif buyurdik - biz uning teoremasini qadimgi usulda isbotladik.

To'g'ri uchburchak va trigonometriya

To'g'ri burchakli uchburchak uchun quyidagi munosabatlar mavjud:

O'tkir burchakning sinusi qarama-qarshi tomonning gipotenuzaga nisbatiga teng

O'tkir burchakning kosinusu qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbatiga teng.

O'tkir burchakning tangensi qarama-qarshi tomonning qo'shni tomonga nisbatiga teng.

O'tkir burchakning kotangensi qo'shni tomonning qarama-qarshi tomoniga nisbatiga teng.

Va yana bir bor bularning barchasi planshet shaklida:

Bu juda qulay!

To'g'ri burchakli uchburchaklar tenglik belgilari

I. Ikki tomondan

II. Oyoq va gipotenuza bilan

III. Gipotenuza va o'tkir burchak bilan

IV. Oyoq va o'tkir burchak bo'ylab

a)

b)

Diqqat! Bu erda oyoqlarning "mos" bo'lishi juda muhimdir. Masalan, agar shunday bo'lsa:

SHUNDA UCHBURCHAKLAR TENG EMAS, ular bir xil o'tkir burchakka ega bo'lishiga qaramay.

Kerak ikkala uchburchakda oyoq qo'shni yoki ikkalasida ham qarama-qarshi edi.

To'g'ri burchakli uchburchaklarning tenglik belgilari uchburchaklar tengligining odatiy belgilaridan qanday farq qilishini payqadingizmi? Mavzuni ko'rib chiqing va "oddiy" uchburchaklarning tengligi uchun ularning uchta elementi teng bo'lishi kerakligiga e'tibor bering: ikki tomon va ular orasidagi burchak, ikkita burchak va ular orasidagi tomon yoki uchta tomon. Ammo to'g'ri burchakli uchburchaklar tengligi uchun faqat ikkita mos keladigan element etarli. Ajoyib, to'g'rimi?

To'g'ri burchakli uchburchaklarning o'xshashlik belgilari bilan vaziyat taxminan bir xil.

To'g'ri burchakli uchburchaklarning o'xshashlik belgilari

I. Oʻtkir burchak boʻylab

II. Ikki tomondan

III. Oyoq va gipotenuza bilan

To'g'ri uchburchakdagi median

Nega bunday?

To'g'ri burchakli uchburchak o'rniga butun to'rtburchakni ko'rib chiqing.

Keling, diagonal chizamiz va nuqtani ko'rib chiqamiz - diagonallarning kesishish nuqtasi. To'rtburchakning diagonallari haqida nimalar ma'lum?

Va bundan nima kelib chiqadi?

Shunday qilib, shunday bo'ldi

1. - median:

Bu haqiqatni unutmang! Ko'p yordam beradi!

Bundan ham ajablanarlisi shundaki, buning aksi ham haqiqatdir.

Gipotenuzaga chizilgan mediana gipotenuzaning yarmiga teng bo'lishidan qanday foyda olish mumkin? Keling, rasmga qaraylik

Ehtiyotkorlik bilan qarang. Bizda: , ya'ni nuqtadan uchburchakning barcha uch uchlarigacha bo'lgan masofalar teng bo'lib chiqdi. Ammo uchburchakda faqat bitta nuqta bor, bu uchburchakning uchta uchidan masofalar teng bo'ladi va bu AYLANA MARKAZI. Xo'sh, nima bo'ldi?

Shunday qilib, keling, "bundan tashqari ..." bilan boshlaylik.

Keling, va ni ko'rib chiqaylik.

Ammo shunga o'xshash uchburchaklarning barchasi teng burchaklarga ega!

va haqida ham shunday deyish mumkin

Endi uni birga chizamiz:

Ushbu "uchlik" o'xshashlikdan qanday foyda olish mumkin?

Xo'sh, masalan - to'g'ri burchakli uchburchakning balandligi uchun ikkita formula.

Keling, tegishli tomonlarning munosabatlarini yozamiz:

Balandlikni topish uchun biz proporsiyani echamiz va olamiz birinchi formula "To'g'ri burchakli uchburchakdagi balandlik":

Shunday qilib, o'xshashlikni qo'llaymiz: .

Endi nima bo'ladi?

Yana proporsiyani yechib, ikkinchi formulani olamiz:

Siz ushbu ikkala formulani juda yaxshi eslab qolishingiz va qulayroq bo'lganidan foydalanishingiz kerak. Keling, ularni yana yozamiz

Pifagor teoremasi:

To'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzaning kvadrati oyoqlarning kvadratlari yig'indisiga teng: .

To'g'ri burchakli uchburchaklar tengligining belgilari:

• ikki tomondan:
• oyoq va gipotenuz tomonidan: yoki
• oyoq va qo'shni o'tkir burchak bo'ylab: yoki
• oyoq bo'ylab va qarama-qarshi o'tkir burchak: yoki
• gipotenuza va o'tkir burchak bilan: yoki.

To'g'ri burchakli uchburchaklarning o'xshashlik belgilari:

• bitta o'tkir burchak: yoki
• ikki oyoqning mutanosibligidan:
• oyoq va gipotenuzaning mutanosibligidan: yoki.

To'g'ri burchakli uchburchakda sinus, kosinus, tangens, kotangens

• To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagining sinusi qarama-qarshi tomonning gipotenuzaga nisbati:
• To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagining kosinasi qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbati:
• To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagining tangensi qarama-qarshi tomonning qo'shni tomonga nisbati:
• To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagining kotangensi qo'shni tomonning qarama-qarshi tomoniga nisbati: .

To'g'ri burchakli uchburchakning balandligi: yoki.

To'g'ri burchakli uchburchakda to'g'ri burchakning tepasidan chizilgan mediana gipotenuzaning yarmiga teng: .

To'g'ri burchakli uchburchakning maydoni:

• oyoqlar orqali:

Biz trigonometriyani o'rganishni to'g'ri uchburchakdan boshlaymiz. Keling, sinus va kosinus nima ekanligini, shuningdek, o'tkir burchakning tangensi va kotangensini aniqlaymiz. Bu trigonometriyaning asoslari.

Keling, buni eslaylik to'g'ri burchak 90 gradusga teng burchak hisoblanadi. Boshqacha qilib aytganda, yarim burilish burchagi.

O'tkir burchak- 90 darajadan kam.

O'tkir burchak- 90 darajadan yuqori. Bunday burchakka nisbatan "to'liq" haqorat emas, balki matematik atama :-)

Keling, to'g'ri burchakli uchburchak chizamiz. To'g'ri burchak odatda bilan belgilanadi. E'tibor bering, burchakka qarama-qarshi tomon bir xil harf bilan ko'rsatilgan, faqat kichik. Shunday qilib, qarama-qarshi tomon A burchagi belgilanadi.

Burchak mos keladigan yunoncha harf bilan belgilanadi.

Gipotenuza to'g'ri burchakli uchburchakning to'g'ri burchakka qarama-qarshi tomonidir.

Oyoqlar- o'tkir burchaklarga qarama-qarshi yotgan tomonlar.

Burchakka qarama-qarshi yotgan oyoq deyiladi qarama-qarshi(burchakka nisbatan). Burchakning yon tomonlaridan birida yotadigan boshqa oyoq deyiladi qo'shni.

Sinus To'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchak qarama-qarshi tomonning gipotenuzaga nisbati:

Kosinus To'g'ri uchburchakdagi o'tkir burchak - qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbati:

Tangent To'g'ri uchburchakdagi o'tkir burchak - qarama-qarshi tomonning qo'shniga nisbati:

Boshqa (ekvivalent) ta'rif: o'tkir burchakning tangensi - bu burchak sinusining uning kosinusiga nisbati:

Kotangent To'g'ri uchburchakdagi o'tkir burchak - qo'shni tomonning qarama-qarshi tomonga nisbati (yoki bir xil bo'lgan kosinusning sinusga nisbati):

Quyida sinus, kosinus, tangens va kotangens uchun asosiy munosabatlarga e'tibor bering. Muammolarni hal qilishda ular bizga foydali bo'ladi.

Keling, ulardan ba'zilarini isbotlaylik.

OK, biz ta'riflar berdik va formulalarni yozdik. Lekin nima uchun bizga hali ham sinus, kosinus, tangens va kotangens kerak?

Biz buni bilamiz har qanday uchburchak burchaklarining yig'indisi ga teng.

O'rtasidagi munosabatni bilamiz partiyalar to'g'ri uchburchak. Bu Pifagor teoremasi: .

Ma'lum bo'lishicha, uchburchakda ikkita burchakni bilib, uchinchisini topishingiz mumkin. To'g'ri burchakli uchburchakning ikki tomonini bilib, uchinchisini topishingiz mumkin. Bu shuni anglatadiki, burchaklar o'z nisbatlariga ega, tomonlar esa o'zlariga ega. Ammo to'g'ri burchakli uchburchakda siz bir burchakni (to'g'ri burchakdan tashqari) va bir tomonni bilsangiz, nima qilish kerak, lekin boshqa tomonlarni topishingiz kerak?

Ilgari odamlar bu hudud va yulduzli osmon xaritalarini tuzishda duch kelgan narsadir. Axir, uchburchakning barcha tomonlarini to'g'ridan-to'g'ri o'lchash har doim ham mumkin emas.

Sinus, kosinus va tangens - ular ham deyiladi trigonometrik burchak funktsiyalari- o'rtasidagi munosabatlarni berish partiyalar Va burchaklar uchburchak. Burchakni bilib, siz maxsus jadvallar yordamida uning barcha trigonometrik funktsiyalarini topishingiz mumkin. Va uchburchak burchaklarining sinuslari, kosinuslari va tangenslarini va uning tomonlaridan birini bilib, qolgan qismini topishingiz mumkin.

Bundan tashqari, "yaxshi" burchaklar uchun sinus, kosinus, tangens va kotangens qiymatlari jadvalini tuzamiz.

Jadvaldagi ikkita qizil chiziqqa e'tibor bering. Tegishli burchak qiymatlarida tangens va kotangens mavjud emas.

Keling, FIPI vazifalar bankidan bir nechta trigonometriya masalalarini ko'rib chiqaylik.

1. Uchburchakda burchak , ga teng. Toping.

Muammo to'rt soniya ichida hal qilinadi.

Chunki , .

2. Uchburchakda burchak , , ga teng. Toping.

Pifagor teoremasi yordamida topamiz.

Muammo hal qilindi.

Ko'pincha muammolarda burchakli va yoki burchakli uchburchaklar mavjud. Ular uchun asosiy nisbatlarni yoddan eslang!

Burchaklari va burchakka qarama-qarshi oyog'i bo'lgan uchburchak uchun at ga teng gipotenuzaning yarmi.

Burchakli uchburchak va teng yon tomonli. Unda gipotenuza oyoqdan marta kattaroqdir.

Biz to'g'ri burchakli uchburchaklarni yechish masalalarini ko'rib chiqdik - ya'ni noma'lum tomonlar yoki burchaklarni topish. Lekin bu hammasi emas! Matematika bo'yicha yagona davlat imtihonida uchburchakning tashqi burchagining sinus, kosinus, tangensi yoki kotangensini o'z ichiga olgan ko'plab muammolar mavjud. Bu haqda keyingi maqolada batafsil.