Polinomlarni ko'paytirishni hisobga olgan holda, biz bir nechta formulalarni yod oldik, xususan: (a + b) ², (a - b) ², (a + b) (a - b), (a + b) ³ va (a - b) ³ uchun.

Agar berilgan ko'phad ushbu formulalardan biriga to'g'ri kelsa, uni omillarga ajratish mumkin bo'ladi. Masalan, a² - 2ab + b² ko'phad, biz bilamizki, (a - b) ² [yoki (a - b) · (a - b) ga teng, ya'ni biz a² - 2ab + b² ni ajratishga muvaffaq bo'ldik. 2 omil]; shuningdek

Keling, ushbu misollarning ikkinchisini ko'rib chiqaylik. Bu erda berilgan ko'phad ikki sonning ayirmasini kvadratga aylantirishdan olingan formulaga mos kelishini ko'ramiz (birinchi sonning kvadrati, minus ikkita va birinchi son va ikkinchisining ko'paytmasi, plyus ikkinchi sonning kvadrati): x 6 birinchi sonning kvadrati, shuning uchun , birinchi sonning o'zi x 3, ikkinchi sonning kvadrati bu ko'phadning oxirgi hadi, ya'ni 1, ikkinchi sonning o'zi, shuning uchun ham 1; ikki va birinchi son va ikkinchisining ko‘paytmasi –2x 3 atamasi, chunki 2x 3 = 2 · x 3 · 1. Shuning uchun bizning ko‘phadimiz x 3 va 1 sonlari orasidagi ayirmaning kvadrati bo‘yicha olingan, ya’ni, ga teng (x 3 - 12 . Keling, yana 4-misolni ko'rib chiqaylik. Bu a 2 b 2 - 25 ko'phadni ikkita sonning kvadratlari orasidagi farq sifatida ko'rish mumkinligini ko'ramiz, ya'ni a 2 b 2 birinchi sonning kvadrati bo'lib xizmat qiladi, shuning uchun birinchi sonning o'zi ab, kvadrat ikkinchi raqam 25, nima uchun ikkinchi raqamning o'zi 5. Shuning uchun bizning ko'phadni ikki raqam yig'indisini ularning ayirmasi bilan ko'paytirishdan olingan deb hisoblash mumkin, ya'ni.

(ab + 5) (ab - 5).

Ba'zan shunday bo'ladiki, ma'lum ko'phadda atamalar, masalan, biz o'rgangan tartibda bo'lmaydi.

9a 2 + b 2 + 6ab - biz ikkinchi va uchinchi a'zolarni aqliy jihatdan o'zgartirishimiz mumkin, shunda bizning trinomialimiz = (3a + b) 2 ekanligi ayon bo'ladi.

… (Birinchi va ikkinchi shartlarni aqliy ravishda almashtiramiz).

25a 6 + 1 - 10x 3 = (5x 3 - 1) 2 va boshqalar.

Polinomni ham ko'rib chiqing

a 2 + 2ab + 4b 2.

Biz uning birinchi a'zosi a sonining kvadrati va uchinchi hadi 2b ning kvadrati ekanligini ko'ramiz, lekin ikkinchi a'zo birinchi raqamga va ikkinchisiga ikkining ko'paytmasi emas, - bunday mahsulot 2 ga teng bo'ladi. a 2b = 4ab. Shuning uchun bu ko'phadga ikki son yig'indisining kvadrati formulasini qo'llash mumkin emas. Agar kimdir 2 + 2ab + 4b 2 = (a + 2b) 2 deb yozgan bo'lsa, unda bu noto'g'ri bo'lar edi - formulalar bo'yicha faktorizatsiyani qo'llashdan oldin polinomning barcha shartlarini diqqat bilan ko'rib chiqishingiz kerak.

40. Ikkala texnikani birlashtirish... Ba'zan, ko'phadlarni omillarga ajratishda siz umumiy ko'rsatkichni qavs ichidan chiqarish usulini ham, formulalarni qo'llash usulini ham birlashtirishingiz kerak. Mana bir nechta misollar:

1.2a 3 - 2ab 2. Birinchidan, qavslar tashqarisida umumiy omil 2a ni chiqaramiz, - biz 2a (a 2 - b 2) olamiz. a 2 - b 2 omil, o'z navbatida, formula bo'yicha (a + b) va (a - b) omillarga parchalanadi.

Ba'zida formulalar bo'yicha parchalanish usulini ko'p marta qo'llash kerak bo'ladi:

1.a 4 - b 4 = (a 2 + b 2) (a 2 - b 2)

Biz birinchi omil a 2 + b 2 tanish formulalarning hech biriga mos kelmasligini ko'ramiz; bundan tashqari, bo'linishning maxsus holatlarini (37-band) eslab, biz 2 + b 2 (ikki sonning kvadratlari yig'indisi) ni umuman faktorizatsiya qilish mumkin emasligini aniqlaymiz. Olingan omillarning ikkinchisi a 2 - b 2 (ikki sonning kvadratidagi farq) (a + b) va (a - b) omillarga bo'linadi. Shunday qilib,

41. Bo'linishning alohida holatlarini qo'llash... 37-bandga asoslanib, biz darhol yozishimiz mumkin, masalan,

Tenglamani faktoringlash - bu ko'paytirilganda boshlang'ich tenglamaga olib keladigan atamalar yoki iboralarni topish jarayoni. Faktoring asosiy algebraik masalalarni yechishda foydali ko‘nikma bo‘lib, kvadrat tenglamalar va boshqa ko‘phadlar bilan ishlashda amaliy jihatdan zarur bo‘ladi. Faktoring algebraik tenglamalarni echishni osonlashtirish uchun ularni soddalashtirish uchun ishlatiladi. Faktoring muayyan mumkin bo'lgan javoblarni tenglamani qo'lda yechishdan ko'ra tezroq yo'q qilishga yordam beradi.

Qadamlar

Faktoring raqamlari va asosiy algebraik ifodalar

1. Faktoring raqamlari. Faktoring tushunchasi oddiy, lekin amalda murakkab tenglama berilgan bo'lsa, faktoring qiyin bo'lishi mumkin. Shunday qilib, keling, misol tariqasida raqamlar yordamida faktorizatsiya tushunchasini ko'rib chiqamiz, oddiy tenglamalar bilan davom etamiz va keyin murakkab tenglamalarga o'tamiz. Berilgan sonning omillari - bu ko'paytirilganda asl raqamni beradigan raqamlar. Masalan, 12 raqamining omillari raqamlar: 1, 12, 2, 6, 3, 4, chunki 1 * 12 = 12, 2 * 6 = 12, 3 * 4 = 12.

   • Xuddi shunday, sonning omillarini uning bo'luvchilari, ya'ni berilgan son bo'linadigan sonlar deb hisoblashingiz mumkin.
   • 60 ning barcha omillarini toping. Biz ko'pincha 60 dan foydalanamiz (masalan, soatda 60 daqiqa, daqiqada 60 soniya va hokazo) va bu raqam juda ko'p sonli omillarga ega.
     • 60 ning ko‘paytiruvchilari 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 va 60 ga teng.

2. Eslab qoling: koeffitsient (son) va o'zgaruvchini o'z ichiga olgan ifoda shartlari ham faktorlarga ajratilishi mumkin. Buning uchun o'zgaruvchining koeffitsienti omillarini toping. Tenglamalar shartlarini faktorlarga ajratishni bilgan holda, berilgan tenglamani osongina soddalashtirishingiz mumkin.

   • Masalan, 12x ni 12 va x ning ko'paytmasi sifatida yozish mumkin. Shuningdek, siz 12 ni siz uchun eng mos bo'lgan omillarga ajratib, 3 (4x), 2 (6x) va boshqalar sifatida 12x ni yozishingiz mumkin.
     • Siz ketma-ket 12 marta bir necha marta ochishingiz mumkin. Boshqacha qilib aytganda, siz 3 (4x) yoki 2 (6x) da to'xtashingiz shart emas; kengaytirishni davom ettiring: 3 (2 (2x)) yoki 2 (3 (2x)) (aniq 3 (4x) = 3 (2 (2x))) va hokazo.

3. Ko‘paytirishning taqsimlanish xususiyatini omilli algebraik tenglamalarga qo‘llash. Ifodaning raqamlari va shartlarini (o'zgaruvchili koeffitsientlar) faktorlar bilan ta'minlashni bilgan holda, ifodadagi son va hadning umumiy omilini topish orqali oddiy algebraik tenglamalarni soddalashtirishingiz mumkin. Odatda, tenglamani soddalashtirish uchun siz eng katta umumiy bo'luvchini (GCD) topishingiz kerak. Bu soddalashtirish ko'paytirishning taqsimlanish xususiyati tufayli mumkin: har qanday a, b, c sonlar uchun a (b + c) = ab + ac tengligi to'g'ri bo'ladi.

   • Misol. 12x + 6 tenglamasini ko'paytiring. Birinchidan, gcd 12x va 6 ni toping. 6 12x va 6 ni bo'luvchi eng katta sondir, shuning uchun siz bu tenglamani quyidagiga ko'chirishingiz mumkin: 6 (2x + 1).
   • Bu jarayon manfiy va kasr hadlari bo'lgan tenglamalar uchun ham amal qiladi. Masalan, x / 2 + 4 1/2 (x + 8) ga kengaytirilishi mumkin; masalan, -7x + (- 21) -7 (x + 3) ga kengaytirilishi mumkin.

   Kvadrat tenglamalarni faktoring

   1. Tenglama kvadrat shaklda ekanligiga ishonch hosil qiling (ax 2 + bx + c = 0). Kvadrat tenglamalar quyidagi ko'rinishda bo'ladi: ax 2 + bx + c = 0, bu erda a, b, c - 0 dan boshqa raqamli koeffitsientlar. Agar sizga bitta o'zgaruvchili (x) tenglama berilgan bo'lsa va bu tenglama bir yoki bir nechta hadga ega bo'lsa. ikkinchi tartibli o'zgaruvchi , siz tenglamaning barcha shartlarini tenglamaning bir tomoniga ko'chirishingiz va uni nolga o'rnatishingiz mumkin.

      • Masalan, berilgan tenglama: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x - 18. Uni kvadrat tenglama bo'lgan x 2 + 6x + 9 = 0 tenglamasiga aylantirish mumkin.
      • Katta tartibli x o'zgaruvchisi bo'lgan tenglamalar, masalan, x 3, x 4 va boshqalar. kvadrat tenglamalar emas. Bular kubik tenglamalar, toʻrtinchi tartibli tenglamalar va boshqalar (agar bunday tenglamalarni x oʻzgaruvchisi 2 ga teng boʻlgan kvadrat tenglamalarga soddalashtirib boʻlmasa).

   2. a = 1 bo'lgan kvadrat tenglamalar (x + d) (x + e) ​​ga bo'linadi, bu erda d * e = c va d + e = b. Agar sizga berilgan kvadrat tenglama quyidagi ko'rinishga ega bo'lsa: x 2 + bx + c = 0 (ya'ni x 2 da koeffitsient 1 ga teng), unda bunday tenglamani yuqoridagi omillarga ajratish mumkin (lekin kafolatlanmagan). Buning uchun siz ko'paytirilganda "c" ni va qo'shilganda "b" ni beradigan ikkita raqamni topishingiz kerak. Ushbu ikkita raqamni (d va e) topganingizdan so'ng, ularni quyidagi ifodaga ulang: (x + d) (x + e), bu kengaytirilganda asl tenglamaga olib keladi.

      • Masalan, kvadrat tenglama berilgan x 2 + 5x + 6 = 0,3 * 2 = 6 va 3 + 2 = 5, shuning uchun siz bu tenglamani (x + 3) (x + 2) ga kengaytirishingiz mumkin.
      • Salbiy shartlar uchun faktoring jarayoniga quyidagi kichik o'zgarishlarni kiriting:
        • Agar kvadrat tenglama x 2 -bx + c ko'rinishga ega bo'lsa, u holda u quyidagicha parchalanadi: (x -_) (x-_).
        • Agar kvadrat tenglama x 2 -bx-c ko'rinishga ega bo'lsa, u holda u quyidagicha parchalanadi: (x + _) (x-_).
      • Eslatma: bo'shliqlar kasr yoki o'nli kasrlar bilan almashtirilishi mumkin. Masalan, x 2 + (21/2) x + 5 = 0 tenglamasi (x + 10) (x + 1/2) ga kengaytirilishi mumkin.

   3. Sinov va xato orqali faktoring. Oddiy kvadrat tenglamalarni to'g'ri echim topmaguningizcha, mumkin bo'lgan echimlarga raqamlarni kiritish orqali oddiygina faktorlarga ajratish mumkin. Agar tenglama ax 2 + bx + c ko'rinishga ega bo'lsa, bu erda a> 1, mumkin bo'lgan echimlar (dx +/- _) (ex +/- _) ko'rinishida yoziladi, bu erda d va e nolga teng bo'lmagan son koeffitsientlari, qaysi, ko'paytirilganda a beradi. D yoki e (yoki ikkala koeffitsient) 1 ga teng bo'lishi mumkin. Agar ikkala koeffitsient 1 ga teng bo'lsa, yuqorida tavsiflangan usuldan foydalaning.

      • Misol uchun, 3x 2 - 8x + 4 tenglama berilgan. Bu erda 3 faqat ikkita omilga (3 va 1) ega, shuning uchun mumkin bo'lgan echimlar (3x +/- _) (x +/- _) shaklida yoziladi. Bunday holda, bo'sh joylar o'rniga -2 ni qo'yib, siz to'g'ri javobni topasiz: -2 * 3x = -6x va -2 * x = -2x; - 6x + (- 2x) = - 8x va -2 * -2 = 4, ya'ni qavslarni kengaytirganda, bu kengayish dastlabki tenglamaning shartlariga olib keladi.

Ko'phad - bu monomlar yig'indisidan tashkil topgan ifoda. Ikkinchisi doimiy (son) va ifodaning ildizi (yoki ildizlari) k ning kuchiga ko'paytiriladi. Bunday holda, k darajali ko'phad haqida gapiriladi. Polinomning kengayishi ifodani o'zgartirishni o'z ichiga oladi, bunda atamalar omillar bilan almashtiriladi. Keling, ushbu turdagi transformatsiyani amalga oshirishning asosiy usullarini ko'rib chiqaylik.

Umumiy omilni ajratib olish orqali ko'p nomli parchalanish usuli

Bu usul taqsimot qonuni qonunlariga asoslanadi. Demak, mn + mk = m * (n + k).

• Misol: 7y 2 + 2uy va 2m 3 - 12m 2 + 4lm tarqaldi.

7y 2 + 2uy = y * (7y + 2u),

2m 3 - 12m 2 + 4lm = 2m (m 2 - 6m + 2l).

Biroq, har bir ko'phadda mavjud bo'lgan omil har doim ham topilmasligi mumkin, shuning uchun bu usul universal emas.

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalariga asoslangan ko'p nomli parchalanish usuli

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari har qanday darajadagi ko'phad uchun amal qiladi. Umuman olganda, konversiya ifodasi quyidagicha ko'rinadi:

uk - lk = (u - l) (u k-1 + u k-2 * l + u k-3 * l 2 +… u * l k-2 + l k-1), bu yerda k vakili. natural sonlar...

Amalda eng ko'p ishlatiladigan formulalar ikkinchi va uchinchi tartibli ko'phadlar uchun:

u 2 - l 2 = (u - l) (u + l),

u 3 - l 3 = (u - l) (u 2 + ul + l 2),

u 3 + l 3 = (u + l) (u 2 - ul + l 2).

• Misol: 25p 2 - 144b 2 va 64m 3 - 8l 3 yoyilgan.

25p 2 - 144b 2 = (5p - 12b) (5p + 12b),

64m 3 - 8l 3 = (4m) 3 - (2l) 3 = (4m - 2l) ((4m) 2 + 4m * 2l + (2l) 2) = (4m - 2l) (16m 2 + 8ml + 4l 2 ).

Ko'p nomli parchalanish usuli - ifoda hadlarini guruhlash

Bu usul qaysidir ma'noda umumiy omilni olish texnikasi bilan umumiy narsaga ega, ammo ba'zi farqlarga ega. Xususan, umumiy omilni tanlashdan oldin, monomiallarni guruhlash kerak. Guruhlash birikma va transpozitsiya qonunlari qoidalariga asoslanadi.

Ifoda keltirilgan barcha monomiallar guruhlarga bo'linadi, ularning har birida ikkinchi omil barcha guruhlarda bir xil bo'lishi uchun umumiy qiymat olinadi. Umuman olganda, bunday parchalanish usuli ifoda sifatida ifodalanishi mumkin:

pl + ks + kl + ps = (pl + ps) + (ks + kl) ⇒ pl + ks + kl + ps = p (l + s) + k (l + s),

pl + ks + kl + ps = (p + k) (l + s).

• Misol: yoyilgan 14mn + 16ln - 49m - 56l.

14mn + 16ln - 49m - 56l = (14mn - 49m) + (16ln - 56l) = 7m * (2n - 7) + 8l * (2n - 7) = (7m + 8l) (2n - 7).

Ko'p nomli parchalanish usuli - to'liq kvadrat hosil qilish

Bu usul polinomni kengaytirish jarayonida eng samarali usullardan biridir. Dastlabki bosqichda farq yoki yig'indining kvadratiga "katlanishi" mumkin bo'lgan monomiallarni aniqlash kerak. Buning uchun nisbatlardan biri qo'llaniladi:

(p - b) 2 = p 2 - 2pb + b 2,

• Misol: u 4 + 4u 2 - 1 ifodasini kengaytiring.

Uning monomlari orasidan to‘liq kvadrat hosil qiluvchi atamalarni ajratib ko‘rsatamiz: u 4 + 4u 2 - 1 = u 4 + 2 * 2u 2 + 4 - 4 - 1 =

= (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) - 4 - 1 = (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) - 5.

Qisqartirilgan ko'paytirish qoidalaridan foydalanib, transformatsiyani yakunlang: (u 2 + 2) 2 - 5 = (u 2 + 2 - √5) (u 2 + 2 + √5).

Bu. u 4 + 4u 2 - 1 = (u 2 + 2 - √5) (u 2 + 2 + √5).

Ko'phadlarni koeffitsientga ajratish - bu o'ziga xoslikni o'zgartirish, buning natijasida ko'phad bir nechta omillarning ko'paytmasiga aylanadi - ko'phad yoki monom.

Polinomlarni faktorlar qilishning bir necha usullari mavjud.

1-usul. Qavs ichidan umumiy ko‘rsatkichni chiqarish.

Ushbu transformatsiya distributiv ko'paytirish qonuniga asoslanadi: ac + bc = c (a + b). Transformatsiyaning mohiyati ko'rib chiqilayotgan ikkita komponentda umumiy omilni tanlash va uni qavsdan "olib tashlash".

28x 3 - 35x 4 ko'phadni ko'paytiring.

Yechim.

1. 28x 3 va 35x 4 elementlarning umumiy boʻluvchisini toping. 28 va 35 uchun bu 7 bo'ladi; x 3 va x 4 - x 3 uchun. Boshqacha qilib aytganda, bizning umumiy koeffitsientimiz 7x 3.

2. Elementlarning har biri omillar mahsuloti sifatida ifodalanadi, ulardan biri
7x 3: 28x 3 - 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x.

3. Umumiy omilni ajratib ko‘rsating
7x 3: 28x 3 - 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 - 5x).

2-usul. Qisqartirilgan ko'paytirish formulalaridan foydalanish. Ushbu usulni o'zlashtirishning "mahorati" - ifodada qisqartirilgan ko'paytirish formulalaridan birini payqash.

X 6 - 1 ko'phadni ko'paytiring.

Yechim.

1. Ushbu ifodaga kvadratlar ayirmasi formulasini qo'llashimiz mumkin. Buning uchun x 6 ni (x 3) 2, 1 ni 1 2 sifatida ifodalaymiz, ya'ni. 1. Ifoda quyidagi shaklni oladi:
(x 3) 2 - 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1).

2. Hosil bo‘lgan ifodaga kublarning yig‘indisi va ayirmasi formulasini qo‘llashimiz mumkin:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) = (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Shunday qilib,
x 6 - 1 = (x 3) 2 - 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) = (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x) 2 + x + 1).

3-usul. Guruhlash. Guruhlash usuli ko‘phadning tarkibiy qismlarini ular ustida amallarni bajarish (qo‘shish, ayirish, umumiy omilni olib tashlash) oson bo‘ladigan tarzda birlashtirishdan iborat.

X 3 - 3x 2 + 5x - 15 ko'phadni ko'paytiring.

Yechim.

1. Komponentlarni shu tarzda guruhlaymiz: 1-2-chi, 3-chi-4-chi.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15).

2. Hosil bo‘lgan ifodada umumiy ko‘rsatkichlarni qavslar tashqarisiga qo‘ying: birinchi holatda x 2, ikkinchi holatda 5.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15) = x 2 (x - 3) + 5 (x - 3).

3. Umumiy koeffitsient x - 3 ni ajratib oling va quyidagini oling:
x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) = (x - 3) (x 2 + 5).

Shunday qilib,
x 3 - 3x 2 + 5x - 15 = (x 3 - 3x 2) + (5x - 15) = x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) = (x - 3) ∙ (x 2 + 5) ).

Keling, materialni tuzatamiz.

a 2 - 7ab + 12b 2 ko'phadni ko'paytiring.

Yechim.

1. 7ab monomialni 3ab + 4ab yig‘indisi sifatida ifodalaymiz. Ifoda quyidagi shaklda bo'ladi:
a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2.

Qavslarni ochamiz va olamiz:
a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2.

2. Ko‘phadning komponentlarini quyidagicha guruhlaymiz: 1-chi bilan 2-chi, 3-chi bilan 4-chi. Biz olamiz:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2).

3. Qavs ichidan umumiy omillarni chiqaramiz:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) = a (a - 3b) - 4b (a - 3b).

4. Umumiy omilni (a - 3b) ajrating:
a (a - 3b) - 4b (a - 3b) = (a - 3 b) ∙ (a - 4b).

Shunday qilib,
a 2 - 7ab + 12b 2 =
= a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 =
= (a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) =
= a (a - 3b) - 4b (a - 3b) =
= (a - 3 b) ∙ (a - 4b).

blog. sayti, material to'liq yoki qisman nusxalangan holda, manbaga havola kerak.

Ushbu darsda biz ko'phadni omillarga ajratishning ilgari o'rganilgan barcha usullarini eslaymiz va ularni qo'llash misollarini ko'rib chiqamiz, bundan tashqari, biz yangi usulni - to'liq kvadratni ajratish usulini o'rganamiz va uni echishda qanday qo'llashni o'rganamiz. turli muammolar.

Mavzu:Ko‘phadlarni faktoring

Dars:Ko‘phadlarni faktoring. To'liq kvadrat tanlash usuli. Usullarning kombinatsiyasi

Oldin o'rganilgan ko'phadni omillarga ajratishning asosiy usullarini eslaylik:

Qavslar ichidan umumiy omilni olish usuli, ya'ni ko'phadning barcha shartlarida mavjud bo'lgan shunday ko'rsatkich. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:

Eslatib o'tamiz, monomial darajalar va raqamlarning mahsulotidir. Bizning misolimizda ikkala a'zo ham umumiy, bir xil elementlarga ega.

Shunday qilib, qavs ichidan umumiy omilni chiqaramiz:

;

Eslatib o'tamiz, ko'paytirgichni qavs bilan ko'paytirish orqali siz ayirishning to'g'riligini tekshirishingiz mumkin.

Guruhlash usuli. Ko'phadda umumiy omilni chiqarish har doim ham mumkin emas. Bunday holda, siz uning a'zolarini guruhlarga bo'lishingiz kerak, shunda har bir guruhda siz umumiy omilni ajratib olishingiz va uni sindirishga harakat qilishingiz kerak, shunda guruhlardagi omillarni chiqarib tashlaganingizdan so'ng, butun ifoda uchun umumiy omil paydo bo'ladi va kengaytirishni davom ettirish mumkin. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:

Keling, birinchi atamani mos ravishda to'rtinchi, ikkinchisini beshinchi va uchinchini oltinchi bilan guruhlaymiz:

Keling, umumiy omillarni guruhlarga ajratamiz:

Ifoda umumiy omilga ega. Keling, chiqaramiz:

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini qo'llash. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:

;

Keling, iborani batafsil yozamiz:

Shubhasiz, bizning oldimizda farq kvadratining formulasi bor, chunki ikkita ifodaning kvadratlari yig'indisi mavjud va undan ularning ikkilangan mahsuloti ayiriladi. Keling, formula bo'yicha yiqilib chiqamiz:

Bugun biz yana bir usulni o'rganamiz - to'liq kvadratni tanlash usuli. U yig'indining kvadrati va ayirma kvadratining formulalariga asoslanadi. Keling, ularni eslaylik:

Yig'indi kvadratining formulasi (farq);

Bu formulalarning o‘ziga xosligi shundaki, ularda ikkita ifodaning kvadratlari va ularning ikkilangan ko‘paytmasi mavjud. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:

Keling, ifodani yozamiz:

Shunday qilib, birinchi ifoda bu, ikkinchisi esa.

Yig'indi yoki ayirma kvadratining formulasini tuzish uchun ifodalarning qo'sh ko'paytmasi etarli emas. Uni qo'shish va ayirish kerak:

Keling, yig'indining to'liq kvadratini yig'amiz:

Olingan ifodani o'zgartiramiz:

Biz kvadratlar farqi uchun formulani qo'llaymiz, eslaymizki, ikkita ifodaning kvadratlari orasidagi farq mahsulot va ularning farqi bo'yicha yig'indi:

Demak, bu usul, eng avvalo, kvadratda joylashgan a va b ifodalarni aniqlash, ya’ni bu misoldagi ifodalarning qaysi kvadratlari borligini aniqlash zarurligidan iborat. Shundan so'ng, siz ikkilangan mahsulot mavjudligini tekshirishingiz kerak va agar u yo'q bo'lsa, uni qo'shing va olib tashlang, misolning ma'nosi bundan o'zgarmaydi, lekin polinomni kvadrat uchun formulalar yordamida faktorlarga ajratish mumkin. yig'indisi yoki kvadratlarning farqi va farqi, agar bunday imkoniyat mavjud bo'lsa.

Keling, misollarni echishga o'tamiz.

1-misol - faktorlarga ajratish:

Kvadratli ifodalarni topamiz:

Keling, ularning ikki barobar mahsuloti qanday bo'lishi kerakligini yozamiz:

Mahsulotni ikki marta qo'shish va ayirish:

Keling, yig'indining to'liq kvadratini yig'amiz va shunga o'xshashlarni beramiz:

Keling, kvadratlar farqining formulasini yozamiz:

2-misol – tenglamani yeching:

;

Tenglamaning chap tomonida trinomial mavjud. Biz buni hisobga olishimiz kerak. Farqning kvadrati uchun formuladan foydalanamiz:

Bizda birinchi ifodaning kvadrati va ikkilangan ko'paytma bor, ikkinchi ifodaning kvadrati yo'q, uni qo'shing va ayiring:

Keling, to'liq kvadratni katlaylik va shunga o'xshash shartlarni beramiz:

Kvadratlar farqi uchun formulani qo'llaymiz:

Demak, bizda tenglama bor

Faktorlardan kamida bittasi nolga teng bo'lsagina mahsulot nolga teng ekanligini bilamiz. Shu asosda biz tenglamalarni tuzamiz:

Birinchi tenglamani yechamiz:

Ikkinchi tenglamani yechamiz:

Javob: yoki

;

Biz avvalgi misolga o'xshash tarzda harakat qilamiz - farqning kvadratini tanlang.