Mokymo įstaiga „Baltarusijos valstybė

žemės ūkio akademija“

Aukštosios matematikos katedra

PIRMOSIOS EILĖS DIFERENCINĖS LYGTYBĖS

Paskaitų konspektas buhalterinės apskaitos studentams

neakivaizdinė mokymo forma (NISPO)

Gorkis, 2013 m

Pirmosios eilės diferencialinės lygtys

Diferencialinės lygties samprata. Bendrieji ir specialieji sprendimai

Tiriant įvairius reiškinius, dažnai nepavyksta rasti dėsnio, tiesiogiai susiejančio nepriklausomą kintamąjį ir norimą funkciją, tačiau galima nustatyti ryšį tarp norimos funkcijos ir jos išvestinių.

Vadinamas ryšys, jungiantis nepriklausomą kintamąjį, norimą funkciją ir jos išvestinius diferencialinė lygtis :

Čia x- nepriklausomas kintamasis, y– reikalinga funkcija,
- norimos funkcijos dariniai. Šiuo atveju ryšys (1) turi turėti bent vieną išvestinę.

Diferencialinės lygties tvarka vadinama aukščiausios išvestinės, įtrauktos į lygtį, tvarka.

Apsvarstykite diferencialinę lygtį

. (2)

Kadangi ši lygtis apima tik pirmos eilės išvestinę, ji vadinama yra pirmos eilės diferencialinė lygtis.

Jei (2) lygtis gali būti išspręsta išvestinės atžvilgiu ir užrašoma forma

, (3)

tada tokia lygtis vadinama pirmosios eilės diferencialine lygtimi normaliąja forma.

Daugeliu atvejų patartina atsižvelgti į formos lygtį

kuris vadinamas pirmos eilės diferencialinė lygtis, parašyta diferencine forma.

Nes
, tada (3) lygtį galima parašyti forma
arba
, kur galime suskaičiuoti
Ir
. Tai reiškia, kad (3) lygtis paverčiama lygtimi (4).

Parašykime (4) lygtį į formą
. Tada
,
,
, kur galime suskaičiuoti
, t.y. gaunama (3) formos lygtis. Taigi (3) ir (4) lygtys yra lygiavertės.

Diferencialinės lygties sprendimas (2) arba (3) vadinama bet kokia funkcija
, kuri, pakeitus ją į (2) arba (3) lygtį, paverčia ją tapatybe:

arba
.

Visų diferencialinės lygties sprendinių paieškos procesas vadinamas jo integracija , ir sprendimo grafikas
vadinama diferencialinė lygtis integralinė kreivė šią lygtį.

Jei diferencialinės lygties sprendimas gaunamas numanoma forma
, tada jis vadinamas integralas duota diferencialinė lygtis.

Bendras sprendimas pirmos eilės diferencialinė lygtis yra formos funkcijų šeima
, priklausomai nuo savavališkos konstantos SU, kurių kiekvienas yra bet kurios diferencialinės lygties sprendimas priimtina vertė savavališka konstanta SU. Taigi diferencialinė lygtis turi begalinį sprendinių skaičių.

Privatus sprendimas Diferencialinė lygtis yra sprendinys, gautas iš bendrosios sprendinių formulės tam tikrai savavališkos konstantos reikšmei SU, įskaitant
.

Koši problema ir jos geometrinė interpretacija

(2) lygtis turi begalinį sprendinių skaičių. Norint iš šio rinkinio pasirinkti vieną sprendimą, kuris vadinamas privačiu, reikia nustatyti keletą papildomų sąlygų.

Tai vadinama konkretaus (2) lygties sprendimo paieškos tam tikromis sąlygomis problema Cauchy problema . Ši problema yra viena iš svarbiausių diferencialinių lygčių teorijoje.

Koši problema suformuluota taip: tarp visų (2) lygties sprendinių raskite tokį sprendimą
, kurioje funkcija
paima nurodytą skaitinę reikšmę , jei nepriklausomas kintamasis x paima nurodytą skaitinę reikšmę , t.y.

,
, (5)

Kur D– funkcijos apibrėžimo sritis
.

Reikšmė paskambino pradinė funkcijos reikšmė , A – pradinė nepriklausomo kintamojo reikšmė . Sąlyga (5) vadinama pradinė būklė arba Kauchinė būklė .

Geometriniu požiūriu diferencialinės lygties (2) Koši uždavinys gali būti suformuluotas taip: iš lygties (2) integralinių kreivių rinkinio pasirinkite tą, kuri eina per nurodytą tašką
.

Diferencialinės lygtys su atskiriamais kintamaisiais

Vienas iš paprasčiausių diferencialinių lygčių tipų yra pirmos eilės diferencialinė lygtis, kurioje nėra norimos funkcijos:

. (6)

Atsižvelgiant į tai
, rašome lygtį formoje
arba
. Integravę abi paskutinės lygties puses, gauname:
arba

. (7)

Taigi (7) yra bendras (6) lygties sprendimas.

1 pavyzdys . Rasti bendras sprendimas diferencialinė lygtis
.

Sprendimas . Parašykime lygtį į formą
arba
. Integruokime abi gautos lygties puses:
,
. Pagaliau užsirašysime
.

2 pavyzdys . Raskite lygties sprendimą
turint omenyje
.

Sprendimas . Raskime bendrą lygties sprendimą:
,
,
,
. Pagal sąlygą
,
. Pakeiskime bendrą sprendimą:
arba
. Rastą savavališkos konstantos reikšmę pakeičiame į bendro sprendimo formulę:
. Tai yra tam tikras diferencialinės lygties sprendimas, atitinkantis nurodytą sąlygą.

Lygtis

(8)

Skambino pirmos eilės diferencialinė lygtis, kurioje nėra nepriklausomo kintamojo . Parašykime tai formoje
arba
. Integruokime abi paskutinės lygties puses:
arba
- bendrasis (8) lygties sprendinys.

Pavyzdys . Raskite bendrąjį lygties sprendimą
.

Sprendimas . Parašykime šią lygtį tokia forma:
arba
. Tada
,
,
,
. Taigi,
yra šios lygties bendrasis sprendinys.

Formos lygtis

(9)

integruoja naudojant kintamųjų atskyrimą. Norėdami tai padaryti, rašome lygtį formoje
, o tada, naudodami daugybos ir dalybos operacijas, pateikiame ją į tokią formą, kad viena dalis apima tik funkciją X ir diferencialas dx, o antroje dalyje – funkcija adresu ir diferencialas dy. Norėdami tai padaryti, abi lygties puses reikia padauginti iš dx ir padalinti iš
. Dėl to gauname lygtį

, (10)

kuriame kintamieji X Ir adresu atskirtas. Integruokime abi (10) lygties puses:
. Gautas ryšys yra (9) lygties bendrasis integralas.

3 pavyzdys . Integruoti lygtį
.

Sprendimas . Transformuokime lygtį ir atskirkime kintamuosius:
,
. Integruokime:
,
arba yra šios lygties bendrasis integralas.
.

Tegu lygtis pateikiama forma

Ši lygtis vadinama pirmos eilės diferencialinė lygtis su atskiriamais kintamaisiais simetriška forma.

Norėdami atskirti kintamuosius, turite padalyti abi lygties puses iš
:

. (12)

Gauta lygtis vadinama atskirta diferencialinė lygtis . Integruokime (12) lygtį:

.(13)

Ryšys (13) yra bendrasis diferencialinės lygties (11) integralas.

4 pavyzdys . Integruokite diferencialinę lygtį.

Sprendimas . Parašykime lygtį į formą

ir padalykite abi dalis iš
,
. Gauta lygtis:
yra atskirta kintamųjų lygtis. Integruokime:

,
,

,
. Paskutinė lygybė yra šios diferencialinės lygties bendrasis integralas.

5 pavyzdys . Raskite konkretų diferencialinės lygties sprendimą
, tenkinantis sąlygą
.

Sprendimas . Atsižvelgiant į tai
, rašome lygtį formoje
arba
. Atskirkime kintamuosius:
. Integruokime šią lygtį:
,
,
. Gautas ryšys yra bendrasis šios lygties integralas. Pagal sąlygą
. Pakeiskime jį į bendrąjį integralą ir raskime SU:
,SU=1. Tada išraiška
yra duotosios diferencialinės lygties dalinis sprendinys, parašytas kaip dalinis integralas.

Pirmosios eilės tiesinės diferencialinės lygtys

Lygtis

(14)

paskambino pirmos eilės tiesinė diferencialinė lygtis . Nežinoma funkcija
ir jos išvestinė į šią lygtį patenka tiesiškai, o funkcijos
Ir
tęstinis.

Jeigu
, tada lygtis

(15)

paskambino linijinis vienalytis . Jeigu
, tada vadinama (14) lygtis linijinis nehomogeniškas .

Norint rasti (14) lygties sprendimą, paprastai naudojamasi pakeitimo metodas (Bernoulli) , kurio esmė tokia.

Ieškosime (14) lygties sprendinio dviejų funkcijų sandaugos pavidalu

, (16)

Kur
Ir
- kai kurie nuolatinės funkcijos. Pakeiskime
ir išvestinė
į (14) lygtį:

Funkcija v parinksime taip, kad sąlyga būtų patenkinta
. Tada
. Taigi, norint rasti (14) lygties sprendimą, būtina išspręsti diferencialinių lygčių sistemą

Pirmoji sistemos lygtis yra tiesinė vienalytė lygtis ir gali būti išspręsta kintamųjų atskyrimo metodu:
,
,
,
,
. Kaip funkcija
galite paimti vieną iš homogeninės lygties dalinių sprendinių, t.y. adresu SU=1:
. Pakeiskime antrąją sistemos lygtį:
arba
.Tada
. Taigi, bendrasis pirmosios eilės tiesinės diferencialinės lygties sprendimas turi formą
.

6 pavyzdys . Išspręskite lygtį
.

Sprendimas . Formoje ieškosime lygties sprendimo
. Tada
. Pakeiskime į lygtį:

arba
. Funkcija v pasirinkti taip, kad galiotų lygybė
. Tada
. Išspręskime pirmąją iš šių lygčių naudodami kintamųjų atskyrimo metodą:
,
,
,
,. Funkcija v Pakeiskime antrąją lygtį:
,
,
,
. Bendras šios lygties sprendimas yra
.

Žinių savikontrolės klausimai

Kas yra diferencialinė lygtis?

Kokia yra diferencialinės lygties tvarka?

Kuri diferencialinė lygtis vadinama pirmos eilės diferencialine lygtimi?

Kaip pirmos eilės diferencialinė lygtis rašoma diferencine forma?

Koks yra diferencialinės lygties sprendimas?

Kas yra integralinė kreivė?

Koks yra bendras pirmosios eilės diferencialinės lygties sprendimas?

Kas vadinama daliniu diferencialinės lygties sprendiniu?

Kaip suformuluota Koši problema pirmosios eilės diferencialinei lygčiai?

Kokia yra Koši problemos geometrinė interpretacija?

Kaip parašyti diferencialinę lygtį su atskiriamais kintamaisiais simetriška forma?

Kuri lygtis vadinama pirmos eilės tiesine diferencialine lygtimi?

Kokiu būdu galima išspręsti pirmos eilės tiesinę diferencialinę lygtį ir kokia šio metodo esmė?

Savarankiško darbo užduotys

Išspręskite diferencialines lygtis su atskiriamais kintamaisiais:

A)
; b)
;

V)
; G)
.

2. Išspręskite pirmos eilės tiesines diferencialines lygtis:

A)
; b)
; V)
;

G)
; d)
.

Šis straipsnis yra atspirties taškas nagrinėjant diferencialinių lygčių teoriją. Čia pateikiami pagrindiniai apibrėžimai ir sąvokos, kurios nuolat atsiras tekste. Siekiant geresnio įsisavinimo ir supratimo, apibrėžimai pateikiami su pavyzdžiais.

Diferencialinė lygtis (DE) yra lygtis, apimanti nežinomą funkciją po išvestiniu arba diferencialiniu ženklu.

Jei nežinoma funkcija yra vieno kintamojo funkcija, tada vadinama diferencialinė lygtis įprastas(sutrumpintai ODE – įprasta diferencialinė lygtis). Jei nežinoma funkcija yra daugelio kintamųjų funkcija, tada vadinama diferencialinė lygtis dalinė diferencialinė lygtis.

Nežinomos funkcijos išvestinės, patenkančios į diferencialinę lygtį, didžiausia eilė vadinama diferencialinės lygties tvarka.

Čia yra atitinkamai pirmosios, antrosios ir penktosios eilės ODE pavyzdžiai

Kaip antros eilės dalinių diferencialinių lygčių pavyzdžius pateikiame

Toliau nagrinėsime tik įprastas n-osios formos diferencialines lygtis arba , kur Ф(x, y) = 0 yra nežinoma funkcija, nurodyta netiesiogiai (jei įmanoma, parašysime ją aiškiai y = f(x) ).

Diferencialinės lygties sprendinių paieškos procesas vadinamas integruojant diferencialinę lygtį.

Diferencialinės lygties sprendimas- tai numanoma suteikta funkcijaФ(x, y) = 0 (kai kuriais atvejais funkcija y gali būti aiškiai išreikšta argumentu x), o tai paverčia diferencialinę lygtį tapatybe.

PASTABA.

Diferencialinės lygties sprendimas visada ieškomas iš anksto nustatytame intervale X.

Kodėl apie tai kalbame atskirai? Taip, nes daugelyje uždavinių intervalas X neminimas. Tai yra, paprastai uždavinių sąlyga formuluojama taip: „rasti įprastos diferencialinės lygties sprendimą “ Šiuo atveju numanoma, kad reikia ieškoti sprendinio visiems x, kuriems turi prasmę ir norima funkcija y, ir pradinė lygtis.

Diferencialinės lygties sprendimas dažnai vadinamas diferencialinės lygties integralas.

Funkcijos arba gali būti vadinamos diferencialinės lygties sprendiniu.

Vienas iš diferencialinės lygties sprendimų yra funkcija. Iš tiesų, pakeitę šią funkciją į pradinę lygtį, gauname tapatybę . Nesunku pastebėti, kad kitas šios ODE sprendimas yra, pavyzdžiui, . Taigi diferencialinės lygtys gali turėti daug sprendimų.

Bendrasis diferencialinės lygties sprendimas yra sprendinių rinkinys, kuriame yra visi be išimties šios diferencialinės lygties sprendiniai.

Taip pat vadinamas bendrasis diferencialinės lygties sprendimas bendrasis diferencialinės lygties integralas.

Grįžkime prie pavyzdžio. Bendrasis diferencialinės lygties sprendimas turi formą arba , kur C yra savavališka konstanta. Aukščiau nurodėme du šio ODE sprendimus, kurie gaunami iš bendro diferencialinės lygties integralo, atitinkamai pakeičiant C = 0 ir C = 1.

Jeigu diferencialinės lygties sprendinys tenkina iš pradžių nurodytą papildomos sąlygos, tada jis vadinamas dalinis diferencialinės lygties sprendimas.

Dalinis diferencialinės lygties sprendinys, tenkinantis sąlygą y(1)=1, yra . tikrai, Ir .

Pagrindinės diferencialinių lygčių teorijos problemos yra Koši uždaviniai, ribinių reikšmių problemos ir bendrojo diferencialinės lygties sprendimo bet kuriame intervale X problemos.

Cauchy problema yra problema, kaip rasti konkretų diferencialinės lygties sprendimą, kuris tenkintų duotąją pradines sąlygas, kur yra skaičiai.

Ribinės vertės problema yra konkretaus antrosios eilės diferencialinės lygties sprendimo, atitinkančio papildomas sąlygas ribiniuose taškuose x 0 ir x 1, problema:
f (x 0) = f 0, f (x 1) = f 1, kur f 0 ir f 1 yra pateikti skaičiai.

Ribinės vertės problema dažnai vadinama ribos problema.

Vadinama įprasta n-osios eilės diferencialinė lygtis linijinis, jei jis turi formą , o koeficientai yra ištisinės integravimo intervalo argumento x funkcijos.

Paprastoji diferencialinė lygtis yra lygtis, susiejanti nepriklausomą kintamąjį, nežinomą šio kintamojo funkciją ir įvairios eilės jo išvestinius (arba diferencialus).

Diferencialinės lygties tvarka vadinamas aukščiausios jame esančios išvestinės eilės tvarka.

Be įprastų, tiriamos ir dalinės diferencialinės lygtys. Tai lygtys, susijusios su nepriklausomais kintamaisiais, nežinoma šių kintamųjų funkcija ir jos dalinės išvestinės tų pačių kintamųjų atžvilgiu. Bet mes tik apsvarstysime įprastos diferencialinės lygtys ir todėl trumpumo dėlei praleisime žodį „įprastas“.

Diferencialinių lygčių pavyzdžiai:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

(1) lygtis yra ketvirtos eilės, (2) lygtis yra trečios eilės, (3) ir (4) lygtys yra antros eilės, (5) lygtis yra pirmos eilės.

Diferencialinė lygtis n eilėje nebūtinai turi būti aiški funkcija, visos jos išvestinės nuo pirmosios iki n-osios eilės ir nepriklausomas kintamasis. Jame negali būti aiškių tam tikrų eilučių išvestinių, funkcijos ar nepriklausomo kintamojo.

Pavyzdžiui, (1) lygtyje aiškiai nėra trečios ir antros eilės išvestinių, taip pat funkcijos; (2) lygtyje - antros eilės išvestinė ir funkcija; (4) lygtyje – nepriklausomas kintamasis; (5) lygtyje – funkcijos. Tik (3) lygtyje yra aiškiai visos išvestinės, funkcija ir nepriklausomas kintamasis.

Diferencialinės lygties sprendimas kiekviena funkcija vadinama y = f(x), pakeitus į lygtį, ji virsta tapatybe.

Diferencialinės lygties sprendimo paieškos procesas vadinamas jo integracija.

1 pavyzdys. Raskite diferencialinės lygties sprendimą.

Sprendimas. Parašykime šią lygtį į formą . Sprendimas yra surasti funkciją iš jos išvestinės. Pradinė funkcija, kaip žinoma iš integralinio skaičiavimo, yra antiderivatinė, t.y.

Štai kas yra šios diferencialinės lygties sprendimas . Keistis joje C, gausime skirtingus sprendimus. Sužinojome, kad yra begalinis rinkinys pirmosios eilės diferencialinės lygties sprendiniai.

Bendrasis diferencialinės lygties sprendimas n eilė yra jos sprendimas, aiškiai išreikštas nežinomos funkcijos atžvilgiu ir turintis n nepriklausomos savavališkos konstantos, t.y.

1 pavyzdyje pateiktos diferencialinės lygties sprendimas yra bendras.

Diferencialinės lygties dalinis sprendimas vadinamas sprendimas, kuriame savavališkoms konstantoms suteikiamos konkrečios skaitinės reikšmės.

2 pavyzdys. Raskite bendrą diferencialinės lygties sprendimą ir konkretų sprendimą .

Sprendimas. Integruokime abi lygties puses tiek kartų, kiek lygi diferencialinės lygties tvarkai.

,

.

Dėl to gavome bendrą sprendimą -

pateiktos trečios eilės diferencialinės lygties.

Dabar suraskime konkretų sprendimą nurodytomis sąlygomis. Norėdami tai padaryti, pakeiskite jų reikšmes vietoj savavališkų koeficientų ir gaukite

.

Jei, be diferencialinės lygties, pradinė sąlyga pateikiama forma , tada tokia problema vadinama Cauchy problema . Pakeiskite reikšmes ir į bendrąjį lygties sprendimą ir raskite savavališkos konstantos reikšmę C, o tada konkretus rastos reikšmės lygties sprendimas C. Tai yra Koši problemos sprendimas.

3 pavyzdys. Išspręskite Koši uždavinį diferencialinei lygčiai iš 1 pavyzdžio subjekto iki .

Sprendimas. Pradinės sąlygos reikšmes pakeisime bendruoju sprendimu y = 3, x= 1. Gauname

Užrašome šios pirmos eilės diferencialinės lygties Koši uždavinio sprendimą:

Norint išspręsti net pačias paprasčiausias diferencialines lygtis, reikia gerų integravimo ir išvestinių įgūdžių, įskaitant sudėtingas funkcijas. Tai galima pamatyti toliau pateiktame pavyzdyje.

4 pavyzdys. Raskite bendrą diferencialinės lygties sprendimą.

Sprendimas. Lygtis parašyta tokia forma, kad galėtumėte iškart integruoti abi puses.

.

Taikome integravimo keičiant kintamąjį metodą (pakeitimą). Tebūnie tada.

Privaloma paimti dx o dabar – dėmesys – tai darome pagal sudėtingos funkcijos diferenciacijos taisykles, kadangi x ir yra sudėtinga funkcija(„obuolys“ - ekstrahavimas kvadratinė šaknis arba, kas yra tas pats - pakėlimas į galią „pusė“, o „malta mėsa“ yra pati išraiška po šaknimi):

Mes randame integralą:

Grįžtant prie kintamojo x, mes gauname:

.

Tai yra bendras šios pirmojo laipsnio diferencialinės lygties sprendimas.

Ne tik įgūdžiai iš ankstesnes dalis sprendžiant diferencialines lygtis reikės aukštosios matematikos, bet ir įgūdžių nuo pradinių, t mokyklinė matematika. Kaip jau minėta, bet kokios eilės diferencialinėje lygtyje gali nebūti nepriklausomo kintamojo, ty kintamojo x. Išspręsti šią problemą padės mokyklos žinios apie proporcijas, kurios nebuvo pamirštos (tačiau, priklausomai nuo to, kas). Tai yra kitas pavyzdys.

Spręsdami įvairius fizikos, chemijos, matematikos ir kitų tiksliųjų mokslų uždavinius, dažnai pasitelkia matematiniai modeliai lygčių, susijusių su vienu ar daugiau nepriklausomų kintamųjų, nežinoma šių kintamųjų funkcija ir šios funkcijos išvestinių (arba diferencialų) forma. Šios rūšies lygtys vadinamos diferencialinėmis.
Jei yra tik vienas nepriklausomas kintamasis, tai lygtis vadinama įprasta; jei yra du ar daugiau nepriklausomų kintamųjų, vadinasi lygtis dalinė diferencialinė lygtis. Norint gauti aukštos kvalifikacijos specialistus, visuose universitetuose, kuriuose studijuojamos tiksliosios disciplinos, būtinas diferencialinių lygčių kursas. Vieniems studentams teorija yra sunki, kitiems – kova, sunku ir teorija, ir praktika. Jei analizuosime diferencialines lygtis su praktinė pusė, tada norint juos apskaičiuoti tereikia gerai mokėti integruoti ir imti išvestines. Visos kitos transformacijos susiveda į kelias schemas, kurias galima suprasti ir ištirti. Žemiau išnagrinėsime pagrindinius apibrėžimus ir metodą, kaip išspręsti paprastą DR.

Diferencialinių lygčių teorija

Apibrėžimas: Paprastoji diferencialinė lygtis yra lygtis, jungianti nepriklausomą kintamąjį x, funkciją y(x), jos išvestinius y"(x), y n (x) ir turi bendra formaF(x,y(x),y" (x), …, y n (x))=0
Diferencialinė lygtis(DR) vadinama įprasta diferencialine lygtimi arba daline diferencialine lygtimi. Diferencialinės lygties tvarka nustatoma pagal didžiausią išvestinę (n), kuri įtraukta į šią diferencialinę lygtį.

Bendrasis diferencialinės lygties sprendimas yra funkcija, kurioje yra tiek konstantų, kiek yra diferencialinės lygties eilės, ir kurią pakeitus duota diferencialine lygtimi, ji tampa tapatybe, tai yra, jos forma yra y=f(x, C 1, C 2 , ..., C n).
Bendrasis sprendinys, kuris nėra išspręstas y(x) atžvilgiu ir turi formą F(x,y,C 1 ,C 2 , …, C n)=0, vadinamas bendrasis diferencialinės lygties integralas.
Sprendimas, rastas iš bendrojo fiksuotų konstantų C 1 , C 2 , …, C n verčių, vadinamas privatus diferencialinės lygties sprendimas.
Vadinamas diferencialinės lygties ir atitinkamo pradinių sąlygų skaičiaus vienu metu patikslinimas Cauchy problema.
F(x,y,C1,C2, …, Cn)=0
y(x0)=y0;
….
y n (x0) = y n (0)
Pirmosios eilės paprastoji diferencialinė lygtis vadinama formos lygtimi
F(x, y, y") = 0. (1)
Lygties integralas(1) vadinamas Ф (x,y)=0 formos ryšiu, jei kiekviena jo netiesiogiai nurodyta nuolat diferencijuota funkcija yra (1) lygties sprendimas.
Lygtis, kurios forma (1) ir kurios negalima redukuoti paprastas vaizdas vadinama lygtimi nesprendžiamas dėl išvestinės priemonės. Jei tai galima parašyti formoje
y" = f(x,y), tada jis vadinamas išspręsta išvestinės lygtis.
Koši problema pirmos eilės lygčiai yra tik viena pradinė sąlyga ir turi tokią formą:
F(x,y,y")=0
y(x 0)=y 0 .
Formos lygtys
M(x,y)dx+N(x,y)dx=0 (2)
kur kintamieji x i y yra "simetriški": galime manyti, kad x yra nepriklausomas kintamasis, o y yra priklausomas kintamasis arba atvirkščiai, y yra nepriklausomas kintamasis, o x yra priklausomas kintamasis, vadinamas lygtis simetriška forma.
Pirmosios eilės diferencialinės lygties geometrinė reikšmė
y"=f(x,y) (3)
yra taip.
Ši lygtis nustato ryšį (priklausomybę) tarp taško (x;y) koordinačių ir nuolydis y" integralo kreivės, einančios per šį tašką, liestinė. Taigi lygtis y"= f(x,y) yra aibė nuorodos (nuorodų laukas) Dekarto Oxy lėktuve.
Kreivė, sudaryta taškuose, kuriuose lauko kryptis yra vienoda, vadinama izokline. Izoklinai gali būti naudojami integralinių kreivių konstravimui aproksimuoti. Izoklininę lygtį galima gauti išvestinę prilyginus konstantai y"=C
f(x, y)=C – izokline lygtis..
Integralinė lygties linija(3) vadinamas šios lygties sprendimo grafiku.
Paprastosios diferencialinės lygtys, kurių sprendinius galima nurodyti analitiškai y=g(x), vadinamos integruojamos lygtys.
Formos lygtys
M 0 (x) dx + N 0 (y) dy = 0 (3)
yra vadinami lygtys su atskirais pakeičiamaisiais.
Nuo jų pradėsime pažintį su diferencialinėmis lygtimis. DR sprendimų paieškos procesas vadinamas diferencialinės lygties integravimas.

Atskirtos kintamųjų lygtys

1 pavyzdys. Raskite lygties sprendimą y"=x .
Patikrinkite tirpalą.
Sprendimas: Parašykite lygtį diferencialais
dy/dx=x arba dy=x*dx.
Raskime lygties dešinės ir kairės pusės integralą
int(dy)=int(x*dx);
y = x 2 / 2 + C.
Tai yra DR integralas.
Patikrinkime jos teisingumą ir apskaičiuokime funkcijos išvestinę
y"=1/2*2x+0=x.
Kaip matote, gavome originalų DR, todėl skaičiavimai yra teisingi.
Mes ką tik radome pirmosios eilės diferencialinės lygties sprendimą. Tai yra būtent paprastesnes lygtis, kurį galima įsivaizduoti.

2 pavyzdys. Raskite diferencialinės lygties bendrąjį integralą
(x+1)y"=y+3
Sprendimas: Parašykime pradinę lygtį diferencialais
(x+1)dy=(y+3)dx.
Gauta lygtis sumažinama iki DR su atskirais kintamaisiais

Belieka paimti abiejų pusių integralą

Naudodami lentelių formules randame
ln|y+3|=ln|x+1|+C.
Jei atskleisime abi dalis, gausime
y+3=e ln|x+1|+C arba y=e ln|x+1|+C -3.
Šis užrašas yra teisingas, bet ne kompaktiškas.
Praktikoje naudojama kitokia metodika, kai skaičiuojamas integralas, konstanta įrašoma pagal logaritmą
ln|y+3|=ln|x+1|+ln(C).
Pagal logaritmo savybes tai leidžia sutraukti paskutinius du terminus
ln|y+3|=ln(C|x+1|).
Dabar eksponuojant sprendžiant diferencialinę lygtį bus kompaktiškas ir lengvai skaitomas
y=С|x+1|+3
Prisiminkite šią taisyklę, praktiškai ji naudojama kaip skaičiavimo standartas.

3 pavyzdys. Išspręskite diferencialinę lygtį
y"=-y*sin(x).
Sprendimas: užsirašykime lygtis diferencialuose
dy/dx= y*sin(x)
arba perdėliojus veiksnius formoje atskirtos lygtys
dy/ y=-sin(x)dx.
Belieka integruoti lygtį
int(1/y,y)=-int(sin(x), x);
ln|y|=cos(x)-ln(C).
Patogu konstantą įvesti pagal logaritmą ir net su neigiama vertė perkelkite jį į kairę, kad gautumėte
ln|С*y|=cos(x).
Atskleidžiant abi priklausomybės dalis
С*y=exp(cos(x)).
Štai kas yra Galite palikti jį tokį, koks yra, arba visam laikui perkelti dešinioji pusė

Skaičiavimai nėra sudėtingi, integralus galima rasti ir naudojant lentelių integravimo formules.

4 pavyzdys. Išspręskite Koši problemą
y"=y+x, y(1)=e 3 -2.
Sprendimas: preliminarios pertvarkos čia nebevyks. Tačiau lygtis yra tiesinė ir gana paprasta. Tokiais atvejais turite įvesti naują kintamąjį
z=y+x.
Prisimindami, kad y=y(x) suraskime z išvestinę.
z"= y"+1,
iš kur išreiškiame senąjį vedinį
y"= z"-1.
Visa tai pakeiskime pradine lygtimi
z"-1=z arba z"=z+1.
Užsirašykime diferencialinė lygtis per diferencialus
dz=(z+1)dx.
Kintamųjų atskyrimas lygtyje

Belieka apskaičiuoti paprastus integralus, kuriuos gali padaryti kiekvienas

Atskleidžiame priklausomybę, kad atsikratytume funkcijos logaritmo
z+1=e x+C arba z=e x+1-1
Nepamirškite grįžti prie užbaigto pakeitimo.
z=x+y= e x+С -1,
išrašyk jį iš čia bendras diferencialinės lygties sprendimas
y = e x+C -x-1.
Šiuo atveju DR rasti Koši problemos sprendimą nėra sunku. Išrašome Koši sąlygą
y(1)=e 3 -2
ir pakeiskite ką tik rastą sprendimą
e 1 + C -1-1 = e 3 -2.
Iš čia gauname konstantos skaičiavimo sąlygą
1+C=3; C = 3-1 = 2.
Dabar galime rašyti Koši problemos sprendimas (dalinis DR sprendimas)
y = e x+2 -x-1.
Jei mokate gerai integruoti, be to, puikiai sekasi su išvestinėmis priemonėmis, tuomet diferencialinių lygčių tema nebus kliūtis jūsų moksle.
Tolesniuose tyrimuose turėsite išstudijuoti keletą svarbių diagramų, kad galėtumėte atskirti lygtis ir žinoti, kuris pakeitimas ar technika veikia kiekvienu atveju.
Po to jūsų laukia vienarūšės ir nehomogeniškos DR, pirmosios ir aukštesnės eilės diferencialinės lygtys. Kad neapsunkintume jūsų teorija, tolesnėse pamokose pateiksime tik lygčių tipą ir trumpa diagrama jų skaičiavimus. Galite perskaityti visą teoriją iš metodinės rekomendacijos studijuoti kursą" Diferencialinės lygtys" (2014) autoriai Bokalo Nikolajus Michailovičius, Domanskaja Elena Viktorovna, Chmyras Oksana Jurjevna. Galite naudoti kitus šaltinius, kuriuose yra jums suprantamų diferencialinių lygčių teorijos paaiškinimų. Paruošti pavyzdžiai skirtum. lygtys paimtos iš LNU matematikams skirtos programos, pavadintos vardu. I. Frankas.
Mes žinome, kaip išspręsti diferencialines lygtis, ir stengsimės lengvas keliasįskiepyti jums šias žinias.