Matricų tipai. Pakopinis matricos vaizdas. Matricos sumažinimas į laiptuotą ir trikampę formą. Polinominės matricos

1. Pirmiausia išsiaiškinkime, kuris iš jų yra palyginti paprastas vaizdas galima sumažinti stačiakampę daugianario matricą taikant tik kairiąsias elementarias operacijas.

Tarkime, kad pirmajame matricos stulpelyje yra elementų, kurie nėra identiški nuliai. Paimkime mažiausio laipsnio daugianarį iš jų ir, pertvarkę eilutes, paverskime jį elementu. Po to daugianarį padalinkite iš ; dalinį ir liekaną žymime ir

Dabar iš tosios eilutės atimkite pirmąją eilutę, anksčiau padaugintą iš . Jei ne visi likučiai yra identiški nuliai, tai tas, kuris nėra lygus nuliui ir turi mažiausią laipsnį, gali būti įdėtas į vietą pertvarkant eilutes. Dėl visų šių operacijų daugianario laipsnis sumažės.

Dabar šį procesą pakartosime dar kartą ir tt Kadangi daugianario laipsnis yra baigtinis, tam tikru etapu šis procesas nebegali būti tęsiamas, t. y. šiame etape visi elementai bus identiški nuliai.

Po to paimkime elementą ir tą pačią procedūrą pritaikykime eilutėms su skaičiais. Tada pasieksime ką ir . Taip tęsdami, galiausiai matricą sumažinsime iki kitas vaizdas:

(5)

Jei polinomas nėra identiškas nulis, tai naudojant kairiąją antrojo tipo elementariąją operaciją, elemento laipsnį padarysime mažesnį už laipsnį (jei jis turi nulį, tada jis taps identiškai lygus nuliui). Lygiai taip pat, jei , tai naudojant kairiąsias antrojo tipo elementariąsias operacijas elementų laipsnius padarysime mažesnius už laipsnį , nekeisdami elemento ir pan.

Mes nustatėme tokią teoremą:

1 teorema. Savavališka stačiakampė daugianario matrica su matmenimis visada gali būti sumažinta iki formos (5) naudojant kairiąsias elementariąsias operacijas, kur daugianariai turi mažesnį laipsnį nei , jei tik , ir visi yra identiški nuliai, jei .

Tai įrodoma lygiai taip pat

2 teorema. Savavališka stačiakampė daugiareikšmė matrica su matmenimis visada gali būti sumažinta iki formos naudojant dešiniąsias elementarias operacijas

(6)

kur daugianariai turi mažesnį laipsnį nei , jei tik , ir visi yra vienodai lygūs nuliui, jei .

2. Iš 1 ir 2 teoremų seka

Pasekmė. Jeigu kvadratinės daugiareikšmės matricos determinantas nepriklauso nuo nulio ir skiriasi nuo nulio, tai šią matricą galima pavaizduoti kaip baigtinio skaičiaus elementariųjų matricų sandaugą.

Iš tiesų, pagal 1 teoremą, naudojant kairiąsias elementarias operacijas, matrica gali būti sumažinta iki formos

(7)

kur yra matricos tvarka. Kadangi taikant elementariąsias operacijas kvadratinei polinominei matricai, šios matricos determinantas dauginamas tik iš pastovaus nenulinio koeficiento, tai matricos (7) determinantas, kaip ir determinantas, nepriklauso nuo nulio, t.y.

Bet tada, remiantis ta pačia 1 teorema, matrica (7) turi įstrižinę formą ir todėl gali būti sumažinta naudojant kairiąsias 1 tipo elementarias operacijas iki tapatybės matricos . Tada ir atvirkščiai, tapatybės matrica gali būti sumažinta iki kairiųjų elementariųjų operacijų su matricomis naudojimo. Vadinasi,

Iš įrodytos pasekmės gauname (žr. 137–138 p.) dviejų daugianario matricų ekvivalentiškumo apibrėžimų 2 ir 2" ekvivalentiškumą.

3. Grįžkime prie mūsų pavyzdžio apie diferencialinių lygčių sistemą (4). Operatoriaus koeficientų matricai pritaikykime 1 teoremą. Tada, kaip nurodyta 138 puslapyje, sistema (4) bus pakeista lygiaverte sistema

(4")

Kur. Šioje sistemoje funkcijas galime pasirinkti savavališkai, po to funkcijos nustatomos nuosekliai ir kiekviename šio apibrėžimo etape turime integruoti po vieną diferencialinė lygtis su viena nežinoma funkcija.

4. Dabar pereikime prie „kanoninės“ formos, į kurią galima sumažinti stačiakampę daugianario matricą, taikant jai kairiąsias ir dešiniąsias elementarias operacijas.

Iš visų matricos elementų, kurie nėra identiški nuliai, paimame elementą, kurio laipsnis yra mažiausias, ir atitinkamai pertvarkydami eilutes ir stulpelius padarome jį elementu. Po to raskime koeficientus ir liekanas iš polinomų padalijimo ir iš:

Jei bent vienas iš likusių , pavyzdžiui, nėra identiškai lygus nuliui, tada iš stulpelio atėmus pirmąjį stulpelį, anksčiau padaugintą iš , elementą pakeičiame likusia dalimi, kurios laipsnis yra žemesnis nei . Tada mes turime galimybę vėl sumažinti elemento laipsnį viršutiniame kairiajame matricos kampe, įdėdami į šią vietą elementą, kurio laipsnis yra žemiausias, palyginti su .

Jei visi liks ; yra identiški nuliai, tada iš tosios eilutės atėmę pirmąją, anksčiau padaugintą iš , o iš stulpelio – pirmąjį, anksčiau padaugintą iš , savo daugianario matricą sumažinsime iki formos

Jei bent vienas iš elementų nėra dalijamas iš , tada į pirmąjį stulpelį įtraukus stulpelį, kuriame yra šis elementas, prieisime prie ankstesnio atvejo ir todėl vėl galėsime elementą pakeisti žemesnio laipsnio daugianario matricą (8) į eilučių formą į atitinkamus skirtingus nuo nulio skaitinius veiksnius, galėsime užtikrinti, kad daugianarių pirmaujantys koeficientai, ir nustatyti formules, jungiančias šiuos daugianario elementus su matricos elementais.

Bet koks kvadratine forma naudojant neišsigimusią tiesinę transformaciją galima redukuoti iki kanoninė forma , apibrėžta formule

kur forma f rangas nuo n nežinomas; skaičiai, , laikomi teigiamais, tačiau kai kurie (VII.5) formulės terminai gali būti neigiami.

Esant šiai sąlygai, pakeičiant , ; ir , neišsigimusi tiesinė transformacija veda kvadratinę formą į normalus protas, tai yra

Iš viso kvadratai yra lygus kvadratinės formos rangui.

Yra daug tiesinių transformacijų, kurios kvadratinę formą sumažina į normaliąją formą (VII.6), tačiau iki ženklų vietos toks sumažinimas yra vienintelis.

Tai galioja kvadratinėms realioms formoms inercijos dėsnis . Teigiamų ir neigiamų normaliosios formos kvadratų, į kuriuos realia tiesine transformacija sumažinama duotoji kvadratinė forma su realiaisiais koeficientais, skaičius nepriklauso nuo šios transformacijos pasirinkimo.

Teigiamų (neigiamų) kvadratų skaičius normalioje formoje f paskambino teigiamas (neigiamas) inercijos indeksas ((VII.6 formulėje) tai yra k), vadinamas skirtumas tarp teigiamų ir neigiamų inercijos indeksų parašas formų f((VII.6) formulėje jis lygus r-k).

Tegu pateikta kvadratinė matmenų matrica n kvadratine forma f. Nepilnamečiai, esantys išilgai pagrindinės šios matricos įstrižainės, yra 1, 2, ..., n, paskutinis iš jų sutampa su matricos determinantu , , tai yra

yra vadinami pagrindinis smulkios formos f.

VII.1 teorema. Kvadratinė forma f iš n nežinomieji su realiais koeficientais tada ir tik tada sudarys iš teigiamų narių, kai visi pagrindiniai nepilnamečiai yra teigiami.

VII.3 pavyzdys. Kvadratinė forma

yra teigiamas neabejotinas, nes visi pagrindiniai matricos nepilnamečiai yra teigiami:

, , .

Kaip jau minėta, kvadratinę formą galima perkelti į kanoninę formą įvairiais būdais, tačiau normali išvaizda vienas. Parodykime tai pavyzdžiu.

VII.4 pavyzdys. Sumažinkite kvadratinę formą iki kanoninės formos.

Sprendimas. Nustatykime tiesinę transformaciją:

1) tada gauname .

Turime kitą transformaciją

2) tada gauname .

Normali kvadratinės formos forma, kurią atitinka abi kanoninės formos, .

Pratimas. Patikrinkite gautų formulių pagrįstumą, tiesiogiai pakeisdami 1) ir 2) transformacijas į pradinę kvadratinę formą.

Natūraliai kyla klausimas: „Kaip rasti tiesinės transformacijos (operatoriaus) matricą?

Prieš pereidami prie kito pavyzdžio, pataikykime keletą paaiškinimų. Nepažeisdami bendro požiūrio esmės, apsiribojame lygtimi

kur dešinioji pusė yra kvadratinė forma, apibrėžta Dekarto koordinačių sistemoje. Kita vertus, ši išraiška apibrėžia antros eilės eilutę. Akivaizdu, kad jei paskutinės lygybės dešinioji pusė pavaizduota kintamųjų kvadratų suma

tada turime kvadratinės formos kanoninę formą.

Abi lygtys aprašys tą pačią antros eilės eilutę, jei yra formoje h išsaugoma ta pati skalė. Norėdami gauti kanoninę formą H Paprastai naudojama charakteristikų lygtis. Šio metodo trūkumas yra tas, kad ryšys tarp koordinačių sistemų ir . Vaizdžiai tariant, mes nežinome linijos vietos L koordinačių sistemoje, jei ji parašyta kanonine forma h. Toks perėjimas gali būti atliktas pasukus koordinačių sistemos ašis kampu j(VII.1 pav.), tai yra, eikite iš koordinačių x, yĮ x 1 , y 1 pagal formules

Norėdami pakeisti transformaciją, turite pakeisti kampą j
įjungta - j.

Norėdami sužinoti linijos vietą, turime rasti koordinačių transformaciją, kuri suteikia lygybę Hį galvą h. Atminkite, kad norėdami išsaugoti mastelį, eikite į ortonormali sistema koordinates

VII.5 pavyzdys. Duota kvadratinė forma Dekarto koordinačių sistemoje

Būtina jį perkelti į kanoninę formą, tai yra, užrašyti jo formą sistemoje ir rasti tiesinę transformaciją. Gaukite normalią kvadratinės formos formą.

Sprendimas. Sukurkime simetrinę tiesinės transformacijos matricą (operatorių) A

Sukurkime charakteringą daugianarį ir raskime savąsias reikšmes bei savuosius vektorius. Tada nuosekliai vykdysime pavyzdžio užduotis. Mes turime

Būdinga lygtis pavaizduota lygybe

Apskaičiavę matricos determinantą, gauname daugianarį, kurio šaknys yra savosios reikšmės. Užrašykime kanoninę formos formą (VII.7):

Raskime tiesinę transformaciją, tai yra, nustatysime ryšį tarp sistemų ir . Kadangi šaknys yra tikros ir skirtingos ir nėra nulių, transformacija nėra išsigimusi. Rasime savuosius vektorius bazėje (vektorius pavaizduosime stulpeliais). Norėdami tai padaryti, išsprendžiame lygčių sistemą

apibrėžtos kiekvienai savajai reikšmei.

Iš (VII.8) turime matricos lygtį

Darant prielaidą, būtinai, gauname

, mes turime . Pirmas rastas savasis vektorius , jo ilgis.

Kai turime

arba

Pridedant antrąją prie pirmosios lygties ir pažymint, kad jei gauta lygtis bus išspręsta kaip sistema su trečiąja, būtinai pereisime prie pirmojo savojo vektoriaus. Belieka iš pirmųjų dviejų ir antrosios lygčių sumos sukurti lygčių sistemą, tada gausime

Darant prielaidą, kad po supaprastinimų gauname sistemą

Т" = с (i), Т" = 1………….(i), Т"" = 0…1……….(i) b(λ)……….(j) 1…0… …….(j) .

Taikant teisingą elementariąją operaciją, matrica A(λ) dešinėje padauginama iš atitinkamos matricos T.

Atkreipkite dėmesį, kad matrica T" sutampa su matrica S", o matricos T", T"" sutampa su matricomis S", S"", jei pastarosiose sukeisti indeksai i ir j. S, S, S"" (arba, kas yra tas pats, tipo T", T", T"") matricos vadinamos elementariosiomis.

Dvi λ matricos A(λ) ir B(λ) tie patys dydžiai m x n vadinami ekvivalentais, A(λ) ~ B(λ), jei galima pereiti nuo matricos A(λ) į B(λ), naudojant baigtinio skaičiaus elementariųjų transformacijų grandinę. Ekvivalentiškumo santykis turi tris pagrindines savybes:

1) refleksyvumas: kiekviena matrica yra lygi pati sau A(λ) ~ B(λ);

2) simetrija: jei A(λ) ~ B(λ), tai B(λ) ~ A(λ);

3) tranzityvumas: jei A(λ) ~ B(λ), o B(λ) ~ C(λ), tai A(λ) ~ C(λ).

§2. Kanoninė λ matricos forma

Aukščiau buvo parodyta, kad lygiavertiškumo santykis yra tranzityvus, simetriškas ir refleksyvus. Iš to seka, kad visų nurodytų dydžių m x n λ-matricų aibė yra padalinta į disjunktines ekvivalentinių matricų klases, t.y. į klases taip, kad bet kurios dvi matricos iš tos pačios klasės būtų lygiavertės, bet iš skirtingų klasių nėra lygiavertės viena kitai. Kyla klausimas dėl kanoninės λ-matricos charakterizuojančios formos ši klasė ekvivalentinės λ matricos.

Kanoninė įstrižainė λ-matrica, kurios matmenys m x n yra λ-matrica, kurios pagrindinėje įstrižainėje yra polinomai E1(λ), E2(λ), ..., Ep(λ), kur p yra mažesnis iš skaičių m ir n, kurie nėra lygūs nuliui tarp šių daugianarių, turi pirminius koeficientus, lygius vienetui, ir kiekvienas paskesnis daugianomas yra padalintas iš ankstesnio, tačiau elementai, esantys už pagrindinės įstrižainės, yra lygūs nuliui.

1 teorema. Bet kuri λ-matrica gali būti redukuota iki kanoninės įstrižainės formos baigtiniu elementariųjų transformacijų skaičiumi.

Įrodymas. Tegu A(λ) yra stačiakampė daugianario matrica. Taikydami tiek kairiąją, tiek dešinę elementariąsias operacijas A(λ), gauname kanoninę įstrižainę.

Iš visų matricos A(λ) nulinių elementų аіј(λ) paimame elementą, kurio laipsnis λ atžvilgiu yra mažiausias, ir atitinkamai pertvarkydami eilutes ir stulpelius padarome jį elementu a11(λ). Po to rasime koeficientus ir liekanas, padalijus polinomus аі1(λ) ir а1ј(λ) iš а11(λ):

аі1(λ) = а11(λ) qі1(λ) + rі1 (λ), а1ј(λ) = а11(λ) q1ј(λ) + r1ј(λ)

(i = 2, 3, …, m; j = 2, 3, …, n).

Jei bent viena iš likusių rі1(λ), r1ј(λ) (i = 2, …, m; j = 2, …, n), pavyzdžiui, r1ј (λ), nėra identiška nuliui, tada, atėmus iš pirmojo stulpelio j-, anksčiau padauginto iš q1ј(λ), elementą a1ј(λ) pakeičiame likusia r1ј(λ), kurios laipsnis yra žemesnis nei a11(λ). Tada mes turime galimybę vėl sumažinti elemento laipsnį viršutiniame kairiajame matricos kampe, įdėdami į šią vietą elementą, kurio laipsnis λ atžvilgiu yra žemiausias.

Jei visos liekanos yra r21(λ), … rm1(λ); r12(λ), …, r1n(λ) yra identiški nuliai, tada iš i-osios eilutės atėmus pirmąją, anksčiau padaugintą iš qі1(λ) (i = 2, …, m), ir iš j-osios stulpelis - pirmasis , anksčiau padaugintas iš q1ј(λ) (j = 2, …, n), sumažiname savo matricą į formą

а11(λ) 0 … 0

0 а22(λ) … а2n(λ)

….…………………… .

0 am2(λ) … amn(λ)

Jei tuo pačiu metu bent vienas iš elementų аіј(λ) (i = 2, …, m; j = 2, …, n) nesidalija iš а11(λ) be liekanos, tada pridedant prie pirmojo stulpelyje stulpelį, kuriame yra šis elementas, prieisime prie ankstesnio atvejo ir todėl vėl galėsime elementą a11(λ) pakeisti žemesnio laipsnio daugianario.

Kadangi pradinis elementas a11(λ) turėjo tam tikrą laipsnį ir šio laipsnio mažinimo procesas negali tęstis be galo, tai po baigtinio skaičiaus elementariųjų operacijų turime gauti formos matricą

(*) 0 b22(λ) … b 2n(λ)

….…………………… ,

0 bm2 (λ) …bmn (λ)

kurioje visi elementai bіј(λ) dalijasi iš а1(λ) be liekanos. Jei tarp šių elementų bіј(λ) nėra identiškų nulių, tai tęsdami tą patį mažinimo procesą eilutėms su skaičiais 2, …, m ir stulpeliams su skaičiais 2, …, n, matricą (*) sumažinsime iki formos.

Taigi, mes įrodėme, kad savavališka stačiakampė daugianario matrica A(λ) yra lygiavertė kokiai nors kanoninei įstrižai.

Matricos - patogus įrankis išspręsti įvairius algebrinės problemos. Žinodami kai kuriuos paprastos taisyklės dirbant su jais, galima sumažinti matricas iki bet kokių patogių ir reikalingų Šis momentas formų. Dažnai naudinga naudoti kanoninę matricos formą.

Instrukcijos

Atminkite, kad kanoninė matricos forma nereikalauja, kad jos būtų išilgai visos pagrindinės įstrižainės. Apibrėžimo esmė ta, kad vieninteliai nuliniai matricos elementai jos kanoninėje formoje yra vienetai. Jei jie yra, jie yra pagrindinėje įstrižainėje. Be to, jų skaičius gali svyruoti nuo nulio iki eilučių skaičiaus matricoje.
Nepamirškite, kad elementarios transformacijos leidžia bet kurią matricą redukuoti iki kanoninės protas. Didžiausias sunkumas – intuityviai rasti paprasčiausią veiksmų grandinių seką ir nesuklysti skaičiavimuose.
Sužinokite pagrindines operacijų su eilėmis ir stulpeliais matricoje ypatybes. Elementariosios transformacijos apima tris standartines transformacijas. Tai matricos eilutės dauginimas iš bet kokio skaičiaus, kuris nėra nulis, eilučių sumavimas (įskaitant sudėjimą, padaugintą iš tam tikro skaičiaus) ir jų pertvarkymas. Tokie veiksmai leidžia mums gauti matricą, lygiavertę šiai. Atitinkamai, tokias operacijas su stulpeliais galite atlikti neprarasdami lygiavertiškumo.
Stenkitės neatlikti kelių elementarių transformacijų iš karto: pereikite iš scenos į sceną, kad išvengtumėte atsitiktinių klaidų.
Raskite matricos rangą, kad nustatytumėte vienetų skaičių pagrindinėje įstrižainėje: tai parodys, kuris galutinė išvaizda turės norimą kanoninę formą ir nereikės atlikti transformacijų, jei tik norėsite ją panaudoti sprendimui.
Norėdami vadovautis ankstesne rekomendacija, naudokite besiribojančių nepilnamečių metodą. Apskaičiuokite k-osios eilės minorą, taip pat visus aplinkinius laipsnio minorus (k+1). Jei jie lygūs nuliui, tada matricos rangas yra skaičius k Nepamirškite, kad mažoji Mij yra matricos, gautos išbraukus i eilutę ir j stulpelį, determinantas.

Sakoma, kad turi matmenų matricą kanoninis forma, jei ją galima suskirstyti į keturis blokus (kai kurie iš jų gali būti tušti), kurių kiekvienas yra tam tikro tipo submatrica ( submatrica vadinama matrica, kuri yra pradinės matricos dalis). Viršutiniame kairiajame bloke yra tapatybės matrica k-eilės, du apatiniai blokai – matmenų matricos ir susidedanti iš nulių (diagramoje šios matricos pažymėtos dideliais paryškintais nuliais). Viršutinis dešinysis blokas yra savavališka matmenų matrica. Skaičius k> 0 ir neviršija skaičių m Ir n.

Jei , dešiniųjų blokų nėra, jei , apatinių (nulinių) blokų nėra. Jei , matrica susideda iš vieno (vieneto) bloko.

Atnešam konkrečių pavyzdžių matricos, turinčios kanoninę formą (taškai nurodo tuos matricos elementus, kurių konkrečios reikšmės nevaidina):

A) , b) , c) , d) .

Pavyzdyje a) , ( k sutampa su eilučių skaičiumi), trūksta abiejų nulinių submatricų; b) pavyzdyje ( k sutampa su stulpelių skaičiumi), , trūksta abiejų dešiniųjų blokų, nulinė submatrica yra eilučių matrica; c pavyzdyje pirmoji nulinė matrica yra eilučių matrica, antroji nulinė submatrica susideda iš vieno elemento; d) pavyzdyje , , .

Dažnai kanoninės formos matricos apibrėžime vietoj vienetinės submatricos atsiranda trikampė submatrica. Šiuo atveju kalbame apie matricą beveik kanoninis malonus. Kadangi tapatybės matrica yra ypatinga byla trikampė, kanoninės formos matrica yra ypatingas beveik kanoninės formos matricų atvejis. Jei į schematinis vaizdavimas kanoninės matricos sudaro tapatybės matricą kairėje viršutinis blokas pakeiskite jį trikampiu, gausite beveik kanoninės formos matricinę diagramą.

Pateiksime matricų, kurios turi beveik kanoninę formą, pavyzdžius:

A) , b) , c) , G) .

Vadinamos šios matricos transformacijos priimtina: stygų pertvarkymas; kolonų pertvarkymas; matricos eilutės elementų dauginimas iš to paties skaičiaus, išskyrus nulį; prie vienos iš matricos eilučių pridedant kitą eilutę, anksčiau padaugintą iš tam tikro skaičiaus (ypač atimant vieną eilutę iš kitos ir pridedant vieną eilutę prie kitos). Kaip bus parodyta toliau, leistinos matricų transformacijos atitinka tuos veiksmus su sistemomis tiesines lygtis, kurie nepažeidžia lygiavertiškumo.

Naudojant leistinas transformacijas, bet kokia matrica A gali būti sumažintas iki matricos, turinčios kanoninis požiūris.

Matricos redukavimą į kanoninę formą galima suskirstyti į etapus, kurių kiekvienas susideda iš dviejų etapų – gauti kitą pagrindinės įstrižainės vienetą ir atitinkamą stulpelį paversti į vienetas stulpelis, tai yra toks, kuriame visi elementai, išskyrus įstrižainę, yra lygūs nuliui.

Pirmasis žingsnis atliekamas taip. Jei aptariamas įstrižainės elementas lygus vienam, pereikite prie antrojo žingsnio. Jei įstrižainės elementas nelygus vienetui, bet skiriasi nuo nulio, padalykite juo visus jo eilutės elementus. Jei įstrižainės elementas yra lygus nuliui, mes ieškosime nulinio elemento, esančio jo (įstrižainės elemento) stulpelyje, bet žemiau, arba jo eilutėje, bet dešinėje, arba žemiau ir dešinėje ties Tuo pačiu metu. Jei toks elementas rastas, padarysime jį įstrižą pertvarkydami atitinkamas eilutes (pirmuoju atveju), arba stulpelius (antruoju), arba eilutes ir stulpelius paeiliui (trečiuoju). Jei tokio elemento nerasta, tai reikš, kad procesas baigtas.

Jei pirmasis veiksmas atliktas, o stulpelyje, kuriame yra naujas vieneto įstrižainės elementas, yra kitas elementas, kuris nėra nulis, į jo eilutę pridėkite įstrižainės elemento eilutę, padaugintą iš naikinamo elemento, paimto priešingu ženklu.

Panagrinėkime matricos redukavimo į kanoninę formą pavyzdį.

~ ~ ~