1 apibrėžimas. ) vadinamas stačiakampiu, jei visi jo elementai yra poromis stačiakampiai:

1 teorema. Stačiakampė nulinių vektorių sistema yra tiesiškai nepriklausoma.

(Tarkime, kad sistema yra tiesiškai priklausoma: ir, kad būtum tikras, Skaliariai padauginkime lygybę iš . Atsižvelgdami į sistemos ortogonalumą, gauname: }

2 apibrėžimas. Euklido erdvės vektorių sistema ( ) vadinamas stačiakampiu, jei jis yra stačiakampis ir kiekvieno elemento norma lygi vienetui.

Iš 1 teoremos iš karto išplaukia, kad ortonormali elementų sistema visada yra tiesiškai nepriklausoma. Iš čia, savo ruožtu, išplaukia, kad in n– matmenų Euklido erdvėje ortonormali sistema n vektoriai sudaro pagrindą (pavyzdžiui, ( i, j, k ) 3 val X– matmenų erdvė).Tokia sistema vadinama ortonormalus pagrindas, o jo vektoriai yra baziniai vektoriai.

Vektoriaus koordinates ortonormaliu pagrindu galima lengvai apskaičiuoti naudojant skaliarinę sandaugą: jei Iš tiesų, lygybės padauginimas įjungta , gauname nurodytą formulę.

Apskritai visi pagrindiniai dydžiai: vektorių skaliarinė sandauga, vektoriaus ilgis, kampo tarp vektorių kosinusas ir kt. turi paprasčiausią formą ortonormaliu pagrindu. Panagrinėkime skaliarinį sandaugą: , nuo

O visos kitos sąlygos yra lygios nuliui. Iš čia iš karto gauname: ,

* Apsvarstykite savavališką pagrindą. Skaliarinė sandauga šiuo pagrindu bus lygi:

(Čia α i Ir β j – vektorių koordinatės bazėje ( f) ir yra bazinių vektorių skaliarinės sandaugos).

Kiekiai γ ij sudaryti matricą G, paskambino Gramo matrica. Skaliarinis produktas matricos pavidalu atrodys taip: *

2 teorema. Bet kokiuose n– matmeninėje Euklido erdvėje yra ortonormalus pagrindas. Teoremos įrodymas yra konstruktyvaus pobūdžio ir vadinamas

9. Gramo–Schmidto ortogonalizacijos procesas.

Leisti ( a 1,...,a n ) − savavališkas pagrindas n– dimensinė euklido erdvė (tokio pagrindo egzistavimą lemia n– erdvės matmuo). Ortonormalaus konstravimo pagal nurodytą pagrindą algoritmas yra toks:

1.b 1 = a 1, e 1 = b 1/|b 1|, |e 1|= 1.

2.b 2^e 1, nes (e 1, a 2)- projekcija a 2 įjungta e 1 , b 2 = a 2 -(e 1, a 2)e 1 , e 2 = b 2/|b 2|, |e 2|= 1.

3.b 3^a 1, b 3^a 2, b 3 = a 3 -(e 1, a 3)e 1 -(e 2, a 3)e 2 , e 3 = b 3/|b 3|, |e 3|= 1.

.........................................................................................................

k. b k^a 1 ,..., b k^a k-1 , b k = a k - S i=1k(e i , a k)e i , e k = b k/|b k|, |e k|= 1.

Tęsdami procesą, gauname ortonormalų pagrindą ( e 1,...,e n }.

1 pastaba. Naudojant nagrinėjamą algoritmą, galima sukurti ortonormalų pagrindą bet kokiam tiesiniam apvalkalui, pavyzdžiui, sistemos, kurios rangas yra trys ir susidedančios iš penkiamačių vektorių, tiesinio apvalkalo ortonormalųjį pagrindą.

Pavyzdys.x =(3,4,0,1,2), y =(3,0,4,1,2), z =(0,4,3,1,2)

Užrašas 2. Ypatingi atvejai

Gramo-Schmidto procesas taip pat gali būti taikomas begalinei sekai tiesiškai nepriklausomi vektoriai.

Be to, Gram-Schmidt procesas gali būti taikomas tiesiniam priklausomi vektoriai. Šiuo atveju kyla problemų 0 (nulis vektorius) žingsnyje j , Jei a j yra linijinis vektorių derinys a 1,...,a j -1 . Jei taip gali atsitikti, tada, norint išsaugoti išvesties vektorių ortogonalumą ir išvengti padalijimo iš nulio ortonormalizavimo metu, algoritmas turi patikrinti, ar nėra nulinių vektorių, ir juos atmesti. Algoritmo sukurtų vektorių skaičius bus lygus vektorių generuojamos poerdvės matmeniui (t.y. tiesiškai nepriklausomų vektorių, kuriuos galima atskirti tarp pradinių vektorių, skaičiui).

10. Geometrinės vektorinės erdvės R1, R2, R3.

Pabrėžkime, kad tiesioginę geometrinę reikšmę turi tik erdvės

R1, R2, R3. Erdvė R n, kai n > 3, yra abstraktus grynai matematinis objektas.

1) Tegu pateikta dviejų vektorių sistema a Ir b . Jei sistema yra tiesiškai priklausoma, tai vienas iš vektorių, tarkime a , yra tiesiškai išreiškiamas per kitą:

a= k b.

Du vektoriai, sujungti tokia priklausomybe, kaip jau minėta, vadinami kolineariniais. Taigi dviejų vektorių sistema yra tiesiškai priklausoma tada ir tik

kai šie vektoriai yra kolineariniai. Atkreipkite dėmesį, kad ši išvada galioja ne tik R3, bet ir bet kuriai tiesinei erdvei.

2) Tegul sistema R3 susideda iš trijų vektorių a, b, c . Tiesinė priklausomybė reiškia, kad vienas iš vektorių, tarkime a , yra tiesiškai išreiškiamas per likusią dalį:

A= k b+ l c . (*)

Apibrėžimas. Trys vektoriai a, b, c R 3, esantys toje pačioje plokštumoje arba lygiagrečiai tai pačiai plokštumai, vadinami koplanariniais

(paveiksle kairėje nurodyti vektoriai a, b, c iš vienos plokštumos, o dešinėje tie patys vektoriai nubraižyti iš skirtingų pradų ir yra tik lygiagretūs vienai plokštumai).

Taigi, jei trys R3 vektoriai yra tiesiškai priklausomi, tada jie yra vienodi. Tiesa ir atvirkščiai: jei vektoriai a, b, c iš R3 yra lygiagrečiai, tada jie yra tiesiškai priklausomi.

Vektorinis meno kūrinys vektorius a, į vektorių b erdvėje vadinamas vektoriumi c , atitinkantis šiuos reikalavimus:

Pavadinimas:

Apsvarstykite sutvarkytą nevienaplanių vektorių trigubą a, b, c V trimatė erdvė. Sujungkime šių vektorių ištakas taške A(tai yra, tašką erdvėje pasirenkame savavališkai A ir perkelkite kiekvieną vektorių lygiagrečiai taip, kad jo pradžia sutaptų su tašku A). Vektorių galai sujungti su jų pradžia taške A, neguli toje pačioje tiesėje, nes vektoriai nėra vienodi.

Sutvarkytas nevienaplanių vektorių trigubas a, b, c trimatėje erdvėje vadinamas teisingai, jei nuo vektoriaus galo c trumpiausias posūkis iš vektoriaus a į vektorių b matomas stebėtojui prieš laikrodžio rodyklę. Ir atvirkščiai, jei trumpiausias posūkis matomas pagal laikrodžio rodyklę, vadinasi trigubas paliko.

Kitas apibrėžimas yra susijęs su dešinė ranka asmuo (žr. paveikslėlį), iš kur kilęs vardas.

Visi dešiniarankiai (ir kairiarankiai) vektorių trigubai vadinami identiškai orientuotais.

Lygus nuliui:

.

Stačiakampė sistema, jei ji yra pilna, gali būti naudojama kaip erdvės pagrindas. Šiuo atveju bet kurio elemento skilimą galima apskaičiuoti naudojant formules: , kur .

Atvejis, kai visų elementų norma vadinama ortonormalia sistema.

Ortogonalizacija

Bet koks visiškas tiesinis nepriklausoma sistema baigtinių matmenų erdvėje yra pagrindas. Todėl iš paprasto pagrindo galima pereiti prie ortonormalaus pagrindo.

Stačiakampis skaidymas

Skaidant vektorinės erdvės vektorius pagal ortonormalųjį pagrindą, skaliarinės sandaugos skaičiavimas supaprastinamas: , kur ir .

taip pat žr

Wikimedia fondas. 2010 m.

Pažiūrėkite, kas yra „stačiakampė sistema“ kituose žodynuose:

1) Oi... Matematinė enciklopedija

- (gr. ortogonios stačiakampis) baigtinė arba skaičiuojama funkcijų sistema, priklausanti (atskiriamai) Hilberto erdvei L2(a,b) (kvadratiškai integruojamos funkcijos) ir tenkinanti F tion g(x) vadinamas sąlygas. sveriantis O. s. f.,* reiškia ...... Fizinė enciklopedija

Funkcijų sistema n(x) vektorinė erdvė, išlaikant nepakitusius vektorių ilgius arba (lygiavertiškai) skaliarines sandaugas... Didysis enciklopedinis žodynas

Funkcijų sistema (φn(x)), n = 1, 2, ..., nurodyta intervale [a, b] ir tenkinanti kita sąlyga ortogonalumas: k≠l, kur ρ(x) yra kokia nors funkcija, vadinama svoriu. Pavyzdžiui, trigonometrinė sistema 1, sin x, cos x, sin 2x,... ... enciklopedinis žodynas

Funkcijų sistema ((фn(х)), n=1, 2, ..., apibrėžta intervale [a, b] ir tenkinanti pėdsako, ortogonalumo sąlygą k nėra lygi l, kur p(x) ) yra tam tikra funkcija , vadinama svoriu. Pavyzdžiui, trigonometrinė sistema 1, sin x, cosх, sin 2x, cos 2x,... O.s.f. su svoriu... ... Gamtos mokslai. enciklopedinis žodynas

Funkcijų sistema ((φn (x)), n = 1, 2,..., stačiakampė su svoriu ρ (x) atkarpoje [a, b], t. y. tokia, kad Pavyzdžiai. Trigonometrinė sistema 1, cos nx , sin nx; n = 1, 2,..., O. s.f. su svoriu 1 atkarpoje [π, π]. Beselis... Didžioji sovietinė enciklopedija

Stačiakampės koordinatės yra tos, kuriose metrinis tenzorius turi įstrižainę. čia d Stačiasiose koordinačių sistemose q = (q1, q², …, qd) koordinačių paviršiai yra stačiakampiai vienas kitam. Visų pirma Dekarto koordinačių sistemoje... ... Vikipedija

stačiakampė daugiakanalė sistema- - [L.G. Sumenko. Anglų-rusų informacinių technologijų žodynas. M.: Valstybės įmonė TsNIIS, 2003.] Temos Informacinės technologijos apskritai EN ortogonalinis multipleksas...

(fotogrammetrinio) vaizdo koordinačių sistema- Dešinioji stačiakampė erdvinė koordinačių sistema, fiksuota fotogrametriniame vaizde atskaitos ženklų vaizdais. [GOST R 51833 2001] Temos: fotogrametrija... Techninis vertėjo vadovas

sistema- 4.48 sistema: sąveikaujančių elementų derinys, organizuotas siekiant vieno ar kelių nurodytų tikslų. 1 pastaba Sistema gali būti laikoma gaminiu arba jos teikiamomis paslaugomis. 2 pastaba Praktiškai...... Norminės ir techninės dokumentacijos terminų žodynas-žinynas

x =λ 0 e +z, kurz L. Norėdami apskaičiuoti λ 0, abi lygybės puses skaliariai padauginame iš e. Kadangi (z ,e ) = 0, gauname (x ,e ) =λ 0 (e ,e ) =λ 0 .

Ortogonalios ir ortonormalios sistemos

Apibrėžimas 5.5. Jei L yra Hilberto erdvės H poerdvė, tai visų elementų iš H, kurie yra statmeni į L, rinkinys M vadinamas

stačiakampis papildymas L.

Įrodykime, kad M taip pat yra poerdvė.

1) Iš 3) stačiakampių elementų savybės išplaukia, kad M yra tiesinis erdvės H poaibis.

2) Tegu z n M ir z n → z . Pagal apibrėžimą M z n y bet kuriam y L , o pagal savybę 4) stačiakampiams elementams turime z y . Todėl z M ir M yra uždaryti.

Bet kuriai x H pagal 5.3 teoremą yra unikalus išplėtimas

formos x =y +z, kur y L,z M, t.y. formuojasi poerdžiai L ir M

stačiakampis erdvės H skilimas.

Lema 5.1. Tegu pateikiama baigtinė arba skaičiuojama porinių stačiakampių poerdvių rinkinys L n ir elementas x H pavaizduotas forma

x = ∑ y n , kur y L . Tada toks vaizdavimas yra unikalus ir y n = Pr L n x .

Apibrėžimas 5.6. Stačiakampių poerdvių sistema L n vadinama užbaigta, jei erdvėje H nėra nulinio elemento, statmeno visiems L n .

Apibrėžimas 5.7. Hilberto erdvės H baigtinė arba skaičiuojama elementų sistema h n vadinama stačiakampe, jei h n h m, kai n ≠m. 5.8 Apibrėžtis. Stačiakampė sistema h n vadinama ortonormalus, jei ||h n || = 1.

Apibrėžimas 5.9. Stačiakampė sistema h n vadinama užbaigta, jei nėra nulinio elemento x H, kad x h n būtų visiems n .

Galite tai patikrinti nenulinių elementų stačiakampė sistema tiesiškai nepriklausomas.

Pilnos ortonormalios sistemos pavyzdys l 2 yra visų koordinačių vienetų vektorių sistema.

Sukurta elementų h n	vienmatis		poerdžiai L n
stačiakampis. Elementų projekcijos				poerdvės
apskaičiuojamas pagal formulę		x = anhn.
	PrL n
Vadinami skaičiai α n = (x ,h n ).	koeficientai			Furjė elementasx
elementų sistemos h n atžvilgiu.

5.4 teorema. Jei elementą x H galima pavaizduoti kaip

x = ∑ λ n h n , tada šis vaizdas yra unikalus ir koeficientai λ n yra lygūs

Tai spektaklis x vadinamas elemento x Furjė plėtimu (stačiakampiu plėtimu) į elementus hn.

5.5 teorema. Kad bet kuris elementas x H būtų vaizduojamas pagal Furjė plėtimąsi per ortonormalios sistemos elementus h n, būtina ir pakanka, kad ši sistema būtų baigta.

Iš šios teoremos išplaukia, kad n matmenų Hilberto erdvėje visa ortonormali sistema turi susidėti iš n elementų. Kita vertus, jei n-matėje Hilberto erdvėje pateikiamas savavališkas pagrindas, susidedantis iš porinių stačiakampių elementų, tai iš 5.5 teoremos išplaukia, kad ši sistema yra baigta.

Apibrėžimas 5.10. Visa stačiakampė elementų sistema vadinama

ortonormalus pagrindas Hilberto erdvė.

Apibrėžimas 5.11. Santykis

	∑ α n 2=
kur α n	– Elemento x Furjė koeficientai, vadinami lygtimi
isolation.

5.6 teorema.

Savavališkai ortonormaliai sistemai (h n ), šie teiginiai apie elementus x H yra lygiaverčiai:

1) elementui x H galioja Furjė plėtra (5.7);

2) elementas x H įtrauktas į elementų aibės (h n) generuojamą poerdvę;

3) elemento x H uždarumo lygtis (5.8) tenkinama. Išvada. Iš 5.5 ir 5.6 teoremų išplaukia, kad norint, kad ortonormali sistema būtų užbaigta, būtina ir pakanka, kad

bet kuriam x H uždarumo lygtis buvo įvykdyta.

5.7 teorema. Jei elementasx H gali būti pavaizduotas Furjė plėtimu (5.7) per ortonormalios sistemos elementus (h n ), tai bet kuriam y H

(x ,y )= ∑ α n β n ,

čia α n yra elementox Furjė koeficientai, β n yra elemento Furjė koeficientai sistemos atžvilgiu (h n).

5.8 teorema. Baigtinių matmenų normuota erdvė yra atskiriama 5.9 teorema. Bet kokia erdvė su skaičiavimo pagrindu yra atskiriama.

Iš 5.8 ir 5.9 teoremų išplaukia, kad baigtinis arba skaičiuojamas ortonormalus pagrindas gali egzistuoti tik atskiriamose erdvėse.

Tiesiškai nepriklausomų elementų sistemos ortogonalizacija

Hilberto erdvėje H , ... sudarykime baigtinę arba skaičiuojamą tiesiškai nepriklausomų elementų g 1 ,g 2 , ... sistemą, kad kiekvienas iš elementų h 1 , h 2 , ... h n turi formą

h n =μ n 1 g 1 + μ n 2 g 2 +...+μ nn g n ,
ir kiekvienas g n turi formą
g n =ν n 1 h 1 +ν n 2 h 2 +...+ν nn h n .

Pirmiausia sukurkime stačiakampę elementų f 1 , f 2 , ... sistemą, darydami prielaidą, kad

k = 1

Koeficientai λ ik turi būti parinkti taip, kad elementai f 1 , f 2 , ... būtų poromis statmeni. Tegu jau rasti koeficientai λ ik elementams f 1 , f 2 , ..., f n- 1. Tada, kai aš

n-1		n-1
(f n ,f i ) = (g n –∑ λ nk f k ,f i ) = (g n ,f i ) –∑ λ nk (f k ,f i ).
k = 1		k = 1
Kadangi f 1 ,f 2 , ..., f n- 1 jau	yra stačiakampiai, tada (f k ,f i ) = 0		k ≠ i,
mes gauname	F i ) = (g n ,f i ) –λ ni ||f i ||2 .
(fn
Kadangi kiekvienas elementas		yra linijinis derinys tiesiškai
nepriklausomi elementai g 1,	g 2 , ...,g n ir koeficientas		ties g n

vienetas, tada f n ≠ 0. Kad būtų įvykdyta sąlyga (f n ,f i ) = 0, koeficientas λ ni turi būti nustatytas pagal formulę

λni=		g n,		f i)

Sukūrėme stačiakampę sistemą f 1 , f 2 , .... Dabar padėkime

h n=

Elementai h 1 ,h 2 , ... poromis yra stačiakampiai, ||h n || = 1 ir kiekvienas elementas h n yra linijinis elementų g 1 ,g 2 , ...,g n derinys, todėl turi reikiamą formą (5.9). Kita vertus, iš (5.11) formulės aišku, kad kiekvienas g n yra tiesinis elementų f 1, f 2, ..., f n derinys, taigi ir elementai h 1, h 2, ..., h n , t.y. turi formą (5.10). Taigi, mes gavome reikiamą ortonormalią sistemą.

Be to, jei pradinė sistema (gn) buvo begalinė, tai ortogonalizacijos procesas susideda iš begalinio skaičiaus žingsnių, o sistema (hn) taip pat bus begalinė. Jei pradinė sistema susideda iš m elementų, tada gauta sistema turės tą patį skaičių.

Atkreipkite dėmesį, kad iš sąlygų (5.9) ir (5.10) išplaukia, kad elementų (gn) ir (hn) sistemų tiesiniai apvalkalai sutampa.

Jei L yra baigtinių matmenų erdvės H suberdvė, o g 1 ,g 2 , ...,g n yra jos savavališkas pagrindas, tai taikydami ortogonalizacijos procesą sistemai (g n ), sukursime ortonormalųjį pagrindą poerdvę

Savavališkai atskiriamos Hilberto erdvės izomorfizmas su erdve l²

5.10 teorema. Atskiriamoje Hilberto erdvėje H, kurioje yra nulinių elementų, egzistuoja baigtinis arba skaičiuojamas ortonormalus pagrindas.

Įrodymas.

Pagal atskyrimo apibrėžimą, visur yra skaičiuojama tanki aibė A H. Pernumeruokime visus aibės A elementus. Pasirinkime iš A baigtinę arba skaičiuojamą tiesiškai nepriklausomų elementų sistemą B, kurios tiesinis intervalas sutampa su aibės A tiesiniu intervalu. Šiuo atveju visi iš A išmesti elementai yra linijinės sistemos B elementų kombinacijos. Mes pajungsime sistemą B ortogonalizacijos procesui ir sukursime baigtinę arba skaičiuojamą ortonormalią elementų sistemą h n . Įrodykime

kad jis pilnas.

Tegul x H yra statmena visiems h n . Kadangi sistemos B elementai yra linijiniai elementų h n deriniai, tox yra statmenas visiems elementams

sistemos B. Aibė A skiriasi nuo B tuo, kad joje yra daugiau elementų, kurie vaizduojami kaip linijiniai B sistemos elementų deriniai. Todėl x yra stačiakampis visiems aibės A elementams. Bet kadangi A yra tankus visur H, tada x = 0 pagal savybę 5) stačiakampiams elementams. Taigi įrodytas elementų sistemos h n išsamumas.

Euklido erdvių algebrinio izomorfizmo ir izometrijos apibrėžimus perkelkime į bet kurias normuotas erdves.

Apibrėžimas 5.12. Vadinamos dvi normuotos erdvės E ir E 1

algebriškai izomorfiniai ir izometriniai , jei tarp jų elementų galima nustatyti „vienas su vienu“ atitikimą taip, kad:

a) algebrinės operacijos su elementais iš E atitinka tas pačias operacijas su jų atvaizdais E 1 ;

b) atitinkamų elementų normos iš E ir iš E 1 lygios.

5.11 teorema. Kiekviena begalinio matmens atskiriama Hilberto erdvė H yra algebriškai izomorfinė ir izometrinė erdvei l 2 .

Įrodymas.

Pagal 5.10 teoremą H yra skaičiuojamas ortonormalus pagrindas: h 1 ,h 2 , ..., h n , .... Pagal 5.5 teoremą bet kurio x H išplėtimas į

		x = ∑ α n hn .				palyginamas
		n = 1
jo koeficientų seka					(α n ), t.y. n = 1 Vektorius a ir bus vadinamas elementų vaizdu. Jei α n yra elementų Furjė koeficientai, o β n yra koeficientai elementų x ir y atvaizdų suma. Panašiai patikrinama, kad jei a yra elementų vaizdas, tai λ a yra elemento λ x vaizdas. Tai reiškia, kad algebrinės operacijos su elementais iš H atitinka tas pačias operacijas su jų vaizdais 2. Parodykime, kad kiekvienas vektorius a = (α n )l 2 yra kai kurių atvaizdas x H . Norėdami tai padaryti, atsižvelgdami į nurodytą reikšmę, sudarome eilutę ∑ α n h n . Kadangi serialo nariai yra poromis stačiakampiai ir n = 1 ∑ ||α n h n ||2 = ∑ α n 2< +∞, n = 1 n = 1 tada pagal 5.2 teoremą eilutė suartėja. Jei jo sumą pažymėsime x, tai pagal teoremą 5.4α n bus Furjė koeficientai, todėl duotas vektorius a bus jo atvaizdas. Dabar patikrinkime, ar nustatytas atitikimas tarp elementų iš H ir vektorių iš l 2 yra vienas su vienu. Iš tiesų, jei vektoriai a ir b yra atitinkamai y elementų atvaizdai, tai, remiantis tuo, kas buvo įrodyta, a – b yra elementų atvaizdas – y ir pagal (5.12) a − b = x − y. Taigi, jeix ≠ y, tai ia ≠ b. Kitaip tariant, jei ortonormalioji sistema yra baigta, o du elementai x ir y turi atitinkamai tuos pačius Furjė koeficientus, tada x = y. Tai netinka nepilnai sistemai. Taigi mes nustatėme atitikimą tarp elementų iš H ir vektorių iš l 2, o tai reiškia algebrinį izomorfizmą ir, pagal (5.12), izometrinį. Teorema įrodyta. Dabar įrodome, kad izomorfizmas tarp H ir l 2 taip pat nustatytas su išsaugant skaliarinės sandaugos vertę. 5.12 teorema. Esant 5.11 teoremoje nustatytam izomorfizmui tarp erdvių H ir l 2, bet kurių dviejų H elementų skaliarinė sandauga. yra lygus jų vaizdų skaliarinei sandaugai 2. Įrodymas . Tegul vektoriai a ir b yra elementų uy vaizdai, atitinkamai a= (α n),b= (β n). Tada: x = ∑ α n h n ,y =∑ β n h n . n = 1 n = 1 Atsižvelgdami į 5.7 teoremą ir skaliarinės sandaugos apibrėžimą l 2, randame

funkcijų sistema ((φ n(x)}, n= 1, 2,..., stačiakampis su svoriu ρ ( X) segmente [ A, b], t.y. toks, kad

Pavyzdžiai. Trigonometrinė sistema 1, cos nx, nuodėmė nx; n= 1, 2,..., - O.s. f. su svoriu 1 atkarpoje [-π, π]. Beselio funkcijos n = 1, 2,..., J ν ( x), forma kiekvienam ν > - 1/2 O. s. f. su svoriu X segmente.

Jei kiekviena funkcija φ ( X) iš O. s. f. ar tai x) pagal skaičių

Sisteminis tyrimas O. s. f. buvo pradėtas taikyti Furjė metodui sprendžiant matematinės fizikos lygčių ribinių reikšmių uždavinius. Šis metodas leidžia, pavyzdžiui, rasti Sturm-Liouville problemos sprendimus (žr. Sturm-Liouville problemą) lygčiai [ρ( X) y" ]" + q(x) y = λ adresu, atitinkantis ribines sąlygas adresu(A) + labas(a) = 0, y(b) + labas(b) = 0, kur h Ir N- nuolatinis. Šie sprendimai yra vadinamieji. uždavinio savosios funkcijos sudaro O.s. f. su svoriu ρ ( X) segmente [ a, b].

Nepaprastai svarbi klasė O.S. f. - Stačiakampiai daugianariai - atrado P. L. Čebyševas, tyrinėdamas interpoliaciją mažiausių kvadratų metodu ir momentų problemą. XX amžiuje tyrimai dėl O. s. f. atliekami daugiausia remiantis integraliąja teorija ir Lebesgue matu. Tai prisidėjo prie šių studijų atskyrimo į savarankišką matematikos šaką. Vienas iš pagrindinių O. s teorijos uždavinių. f - funkcijos išskaidymo problema f(x) formos p ( X)) - O. s. f. Jei tai pasakysime formaliai P ( X)) - normalizuotas O. s. f., ir sudaryti galimybę integruoti po termino, tada padauginus šią eilutę iš φ P(X) ρ( X) ir integruojant iš A prieš b, mes gauname:

Šansai S p, vadinami Furjė funkcijos koeficientais sistemos atžvilgiu (φ n(x)), turi tokią ekstremalią savybę: linijinė forma X):

Tai turi mažiausia vertė palyginti su klaidomis, pateiktomis su tuo pačiu n kitos linijinės formos išraiškos

Serija ∑ ∞ n=1 C n φ n (x) su šansais S p, apskaičiuotas pagal formulę (*), vadinamas Furjė funkcijos eilute f(x) pagal normalizuotą O. s. f. (φ n(x)). Programoms svarbiausias klausimas yra tai, ar funkcija yra vienareikšmiškai apibrėžta f(x) pagal jų Furjė koeficientus. O.S. f., kuriems tai vyksta, vadinami užbaigtais arba uždarais. Sąlygos uždaryti O. s. f. gali būti pateikiamos keliomis lygiavertėmis formomis. 1) bet koks nuolatinė funkcija f(x) gali būti apytiksliai apytiksliai bet kokiu tikslumo laipsniu tiesiniais funkcijų deriniais φ k(x), tai yra, C n φ n (x) vidutiniškai konverguoja į funkciją f(x)]. 2) bet kokiai funkcijai f(x), kurio kvadratą integruojame svorio ρ( X), įvykdyta Lyapunov-Steklov uždarumo sąlyga:

3) Nėra nulinės funkcijos su integruojama intervale [ a, b] kvadratas, statmenas visoms funkcijoms φ n(x), n = 1, 2,....

Jei funkcijas su integruojamu kvadratu laikysime Hilberto erdvės elementais (žr. Hilberto erdvę), tada normalizuota O.S. f. bus šios erdvės koordinačių vienetų vektorių sistemos, o serijos išplėtimas normalizuotose O.s. f. - vektoriaus išplėtimas vienetiniais vektoriais. Taikant šį metodą, daugelis normalizuotų operacinių sistemų teorijos koncepcijų. f. įgyja aiškią geometrinę reikšmę. Pavyzdžiui, formulė (*) reiškia, kad vektoriaus projekcija į vieneto vektorių yra lygi vektoriaus ir vieneto skaliarinei sandaugai; Lyapunov-Steklov lygybę galima interpretuoti kaip Pitagoro teoremą begalinei erdvei: vektoriaus ilgio kvadratas yra lygus jo projekcijų į koordinačių ašis kvadratų sumai; izoliacija O. s. f. reiškia, kad mažiausia uždara poerdvė, kurioje yra visi šios sistemos vektoriai, sutampa su visa erdve ir kt.

Lit.: Tolstovas G.P., Furjė serija, 2 leidimas, M., 1960; Natanson I.P., Konstruktyvi funkcijų teorija, M. - L., 1949; jo, Realiojo kintamojo funkcijų teorija, 2 leidimas, M., 1957; Jackson D., Furjė eilutė ir stačiakampiai daugianariai, vert. iš anglų kalbos, M., 1948; Kaczmarz S., Shteingauz G., Stačiakampių eilučių teorija, vert. iš vokiečių kalbos, M., 1958 m.

• - visų n-mačio vektoriaus erdvės V tiesinių transformacijų grupė k lauke, išsaugant fiksuotą neišsigimimą kvadratine forma Q ant V) = Q bet kuriam)...

  Matematinė enciklopedija

• - matrica virš komutacinio žiedo R su vienetu 1, kurio transponuota matrica sutampa su atvirkštine. O. m determinantas yra lygus +1...

  Matematinė enciklopedija

• - tinklas, kuriame skirtingų šeimų linijų liestinės tam tikrame taške yra statmenos. Veikiančių sistemų pavyzdžiai: asimptotinis tinklas minimaliame paviršiuje, linijos kreivumo tinklas. A.V. Ivanovas...

  Matematinė enciklopedija

• - 1) O...

  Matematinė enciklopedija

• - stačiakampis masyvas, OA - kx N dydžio matrica, kurios elementai yra skaičiai 1, 2, .....

  Matematinė enciklopedija

• - žr. izogoninę trajektoriją...

  Matematinė enciklopedija

• - ortonormali tam tikros Hilberto erdvės H funkcijų sistema (j), kad H neegzistuotų funkcija, statmena visoms konkrečios šeimos funkcijoms...

  Matematinė enciklopedija

• - žr. Projekcija...

  Didysis enciklopedinis politechnikos žodynas

• - įvairių objektų funkcijų pavaldumo nustatymas...

  Verslo terminų žodynas

• - funkcijų stiprinimas, vienas iš Ch. laipsniško organų transformavimo būdai gyvūnų evoliucijos metu. I.f. dažniausiai siejama su organų sandaros ir viso kūno komplikacija...

  Biologinis enciklopedinis žodynas

• - funkcijų stiprinimas, vienas pagrindinių laipsniško organų transformacijos būdų gyvūnų evoliucijos metu. I.f. yra susijęs su organų struktūros komplikacija ir lemia bendrą gyvybinės veiklos lygio padidėjimą...
• - Užsisakykite Matricą...

  Didžioji sovietinė enciklopedija

• - ypatinga byla lygiagreti projekcija, kai projekcijos ašis arba plokštuma yra statmena projekcijos krypčiai...

  Didžioji sovietinė enciklopedija

• - funkcijų sistema (), n = 1, 2,..., stačiakampė su atkarpos svoriu ρ, t.y. tokia, kad Pavyzdžiai. Trigonometrinė sistema 1, cos nx, sin nx; n = 1, 2,..., - O.s. f. su svoriu 1 ant segmento...

  Didžioji sovietinė enciklopedija

• - tokia funkcijų sistema Ф = (φ), apibrėžta intervale, kad nėra funkcijos f, kuriai...

  Didžioji sovietinė enciklopedija

• - STASTIJI FUNKCIJŲ sistema - funkcijų sistema n?, n=1, 2,.....

  Didelis enciklopedinis žodynas

„Ortogonali funkcijų sistema“ knygose

XXIV dalis Senoji apkasų karo sistema ir moderni žygių sistema

Iš knygos Strategija ir taktika karo mene autorius Zhomini Genrikhas Veniaminovičius

XXIV dalis Senoji apkasų karo sistema ir moderni sistemažygiai Pozicijų sistema reiškia senas būdas vykdyti metodinį karą su armijomis, miegančiomis palapinėse, turint po ranka atsargas, stebint vieni kitus; viena armija

19. „Rusijos Federacijos mokesčių sistemos“ sąvoka. Sąvokų „mokesčių sistema“ ir „mokesčių sistema“ ryšys

Iš knygos Mokesčių įstatymas autorius Mikidze S G

19. Sąvoka " mokesčių sistema RF". „Mokesčių sistemos“ ir „mokesčių sistemos“ sąvokų santykis Mokesčių sistema yra Rusijos Federacijoje nustatytų taisyklių rinkinys. federaliniai mokesčiai, regioniniai ir vietiniai mokesčiai. Jo struktūra yra įtvirtinta 2 str. 13–15 Rusijos Federacijos mokesčių kodeksas

Iš knygos Kaip tai iš tikrųjų atsitiko. Rekonstrukcija tikra istorija autorius Nosovskis Glebas Vladimirovičius

23. Geocentrinė Ptolemėjo sistema ir heliocentrinė Tycho Brahe (ir Koperniko) sistema Pasaulio sistema pagal Tycho Brahe pavaizduota fig. 90. Pasaulio centre yra Žemė, aplink kurią sukasi Saulė. Tačiau visos kitos planetos jau skrieja aplink Saulę. Būtent

23. Ptolemėjo geocentrinė ir Tycho Brahe (ir Koperniko) heliocentrinė sistema

Iš autorės knygos

23. Geocentrinė Ptolemėjo sistema ir heliocentrinė Tycho Brahe (ir Koperniko) sistema Pasaulio sistema pagal Tycho Brahe pavaizduota fig. 90. Pasaulio centre yra Žemė, aplink kurią sukasi Saulė. Tačiau visos kitos planetos jau skrieja aplink Saulę. Būtent

Pilna funkcijų sistema

Iš autoriaus knygos Didžioji sovietinė enciklopedija (PO). TSB

Stačiakampė matrica

TSB

Ortografinė projekcija

Iš autorės knygos Didžioji sovietinė enciklopedija (AR). TSB

Stačiakampių funkcijų sistema

Iš autorės knygos Didžioji sovietinė enciklopedija (AR). TSB

46 patarimas: perduokite funkcijų objektus algoritmams, o ne funkcijoms

Iš knygos Efektyvus naudojimas STL pateikė Meyersas Scottas

46 patarimas: perduokite funkcinius objektus algoritmams, o ne funkcijoms Dažnai sakoma, kad padidinkite kalbų abstrakcijos lygį aukštas lygis veda prie sugeneruoto kodo efektyvumo sumažėjimo. STL išradėjas Aleksandras Stepanovas kadaise sukūrė nedidelį kompleksą

12.3.5. Funkcinių objektų funkcijų adapteriai

Iš C++ knygos pradedantiesiems Lippman Stanley

12.3.5. Funkcinių objektų funkcijų adapteriai Standartinėje bibliotekoje taip pat yra keletas funkcijų adapterių, skirtų vienarūšių ir dvejetainių funkcijų objektams specializuoti ir išplėsti. Adapteriai yra specialios klasės, suskirstytos į šias dvi

11/19/2. Funkcijų iškvietimas iš funkcijų failo

Iš knygos Linux ir UNIX: apvalkalo programavimas. Kūrėjo vadovas. pateikė Tainsley David

11/19/2. Funkcijų iškvietimas iš funkcijų failo Jau nagrinėjome, kaip iškviečiamos funkcijos komandinė eilutė. Tokio tipo funkcijas dažniausiai naudoja komunalinės paslaugos, kurios kuria sistemos pranešimus.Dabar dar kartą naudokime aukščiau aprašytą funkciją, bet šiuo atveju

Objektyviosios (pozityviosios) teisės sistema ir teisės aktų sistema: sąvokų santykis

Iš knygos Jurisprudencija autorius Mardaliev R.T.

Objektyviosios (pozityviosios) teisės sistema ir teisės aktų sistema: sąvokų santykis Objektinės (pozityviosios) teisės sistema yra vidinė struktūra teisę, skirstant ją į šakas, posektorius ir institucijas pagal teisės dalyką ir būdą

31. Prancūzijos vyriausybės sistema, rinkimų teisė ir rinkimų sistema

Iš knygos Konstitucinė teisė užsienio šalys autorė Imasheva E G

31. Sistema vyriausybines agentūras Prancūzija, rinkimų teisė ir rinkimų sistema Prancūzijoje yra mišri (arba pusiau prezidentinė) respublikinė vyriausybė. Valdžios sistema Prancūzijoje sukurta valdžių padalijimo principu.Šiuolaikinė Prancūzija

Gydomieji judesiai motorinėms funkcijoms atkurti ir nugaros skausmams Motorinių funkcijų atstatymas

Iš knygos „Therapeutic Movements Encyclopedia of Therapeutic Movements for įvairių ligų autorius Astašenko Olegas Igorevičius

Gydomieji judesiai motorinėms funkcijoms atkurti ir nugaros skausmams Motorinėms funkcijoms atstatyti Yra daug pratimų stuburui atkurti. Galite juos sugalvoti patys arba rasti daugumoje skirtingi tipai gimnastika Tačiau paprasta

Gydomieji judesiai motorinėms funkcijoms atkurti ir nugaros skausmo motorinėms funkcijoms gydyti

Iš knygos Stuburo kapitalinis remontas autorius Astašenko Olegas Igorevičius

Gydomieji judesiai motorinėms funkcijoms atstatyti ir motorinėms funkcijoms esant nugaros skausmams Motorinių funkcijų atkūrimas Yra labai daug pratimų stuburui atkurti. Galite juos sugalvoti patys arba rasti įvairiose gimnastikos rūšyse.

Stačiakampių funkcijų sistema

funkcijų sistema ((φ n(x)}, n= 1, 2,..., stačiakampis su svoriu ρ ( X) segmente [ A, b], t.y. toks, kad

Pavyzdžiai. Trigonometrinė sistema 1, cos nx, nuodėmė nx; n= 1, 2,..., - O.s. f. su svoriu 1 atkarpoje [-π, π]. Beselio funkcijos n = 1, 2,..., J ν ( x), forma kiekvienam ν > - 1/2 O. s. f. su svoriu X segmente.

Jei kiekviena funkcija φ ( X) iš O. s. f. ar tai x) pagal skaičių

Sisteminis tyrimas O. s. f. buvo pradėtas taikyti Furjė metodui sprendžiant matematinės fizikos lygčių ribinių reikšmių uždavinius. Šis metodas leidžia, pavyzdžiui, rasti Sturm-Liouville problemos sprendimus (žr. Sturm-Liouville problemą) lygčiai [ρ( X) y" ]" + q(x) y = λ adresu, atitinkantis ribines sąlygas adresu(A) + labas(a) = 0, y(b) + labas(b) = 0, kur h Ir N- nuolatinis. Šie sprendimai yra vadinamieji. uždavinio savosios funkcijos sudaro O.s. f. su svoriu ρ ( X) segmente [ a, b].

Itin svarbi O. s. klasė. f. - Stačiakampiai daugianariai - atrado P. L. Čebyševas, tyrinėdamas interpoliaciją mažiausių kvadratų metodu ir momentų problemą. XX amžiuje tyrimai dėl O. s. f. atliekami daugiausia remiantis integraliąja teorija ir Lebesgue matu. Tai prisidėjo prie šių studijų atskyrimo į savarankišką matematikos šaką. Vienas iš pagrindinių O. s teorijos uždavinių. f - funkcijos išskaidymo problema f(x) formos p ( X)) - O. s. f. Jei tai pasakysime formaliai P ( X)) - normalizuotas O. s. f., ir sudaryti galimybę integruoti po termino, tada padauginus šią eilutę iš φ P(X) ρ( X) ir integruojant iš A prieš b, mes gauname:

Šansai S p, vadinami Furjė funkcijos koeficientais sistemos atžvilgiu (φ n(x)), turi tokią ekstremalią savybę: tiesinė forma x):

turi mažiausią reikšmę, palyginti su to paties pateiktomis klaidomis n kitos linijinės formos išraiškos

Serija ∑ ∞ n=1 C n φ n (x) su šansais S p, apskaičiuotas pagal formulę (*), vadinamas Furjė funkcijos eilute f(x) pagal normalizuotą O. s. f. (φ n(x)). Programoms svarbiausias klausimas yra tai, ar funkcija yra vienareikšmiškai apibrėžta f(x) pagal jų Furjė koeficientus. O.S. f., kuriems tai vyksta, vadinami užbaigtais arba uždarais. Sąlygos uždaryti O. s. f. gali būti pateikiamos keliomis lygiavertėmis formomis. 1) Bet kokia nuolatinė funkcija f(x) gali būti apytiksliai apytiksliai bet kokiu tikslumo laipsniu tiesiniais funkcijų deriniais φ k(x), tai yra, C n φ n (x) vidutiniškai konverguoja į funkciją f(x)]. 2) bet kokiai funkcijai f(x), kurio kvadratą integruojame svorio ρ( X), įvykdyta Lyapunov-Steklov uždarumo sąlyga:

3) Nėra nulinės funkcijos su integruojama intervale [ a, b] kvadratas, statmenas visoms funkcijoms φ n(x), n = 1, 2,....

Jei funkcijas su integruojamu kvadratu laikysime Hilberto erdvės elementais (žr. Hilberto erdvę), tada normalizuota O.S. f. bus šios erdvės koordinačių vienetų vektorių sistemos, o serijos išplėtimas normalizuotose O.s. f. - vektoriaus išplėtimas vienetiniais vektoriais. Taikant šį metodą, daugelis normalizuotų operacinių sistemų teorijos koncepcijų. f. įgyja aiškią geometrinę reikšmę. Pavyzdžiui, formulė (*) reiškia, kad vektoriaus projekcija į vieneto vektorių yra lygi vektoriaus ir vieneto skaliarinei sandaugai; Lyapunov-Steklov lygybę galima interpretuoti kaip Pitagoro teoremą begalinei erdvei: vektoriaus ilgio kvadratas yra lygus jo projekcijų į koordinačių ašis kvadratų sumai; izoliacija O. s. f. reiškia, kad mažiausia uždara poerdvė, kurioje yra visi šios sistemos vektoriai, sutampa su visa erdve ir kt.

Lit.: Tolstovas G.P., Furjė serija, 2 leidimas, M., 1960; Natanson I.P., Konstruktyvi funkcijų teorija, M. - L., 1949; jo, Realiojo kintamojo funkcijų teorija, 2 leidimas, M., 1957; Jackson D., Furjė eilutė ir stačiakampiai daugianariai, vert. iš anglų kalbos, M., 1948; Kaczmarz S., Shteingauz G., Stačiakampių eilučių teorija, vert. iš vokiečių kalbos, M., 1958 m.

Didžioji sovietinė enciklopedija. - M.: Tarybinė enciklopedija. 1969-1978 .

Pažiūrėkite, kas yra „stačiakampė funkcijų sistema“ kituose žodynuose:

- (gr. ortogonios stačiakampis) baigtinė arba skaičiuojama funkcijų sistema, priklausanti (atskiriamai) Hilberto erdvei L2(a,b) (kvadratiškai integruojamos funkcijos) ir tenkinanti F tion g(x) vadinamas sąlygas. sveriantis O. s. f.,* reiškia ...... Fizinė enciklopedija

Funkcijų sistema n(x)?, n=1, 2,..., nurodyta atkarpoje ORTOGONALINĖ TRANSFORMACIJA tiesinė euklidinės vektorinės erdvės transformacija, išsaugant nepakitusius vektorių ilgius arba (tai atitinka) skaliarines sandaugas. .. Didysis enciklopedinis žodynas

Funkcijų sistema (φn(x)), n = 1, 2, ..., apibrėžta intervale [a, b] ir tenkinanti tokią ortogonalumo sąlygą: k≠l, kur ρ(x) yra kokia nors funkcija vadinamas svoriu. Pavyzdžiui, trigonometrinė sistema yra 1, sin x, cos x, sin 2x,... ... enciklopedinis žodynas

Funkcijų sistema ((фn(х)), n=1, 2, ..., apibrėžta intervale [a, b] ir tenkinanti pėdsako, ortogonalumo sąlygą k nėra lygi l, kur p(x) ) yra tam tikra funkcija , vadinama svoriu. Pavyzdžiui, trigonometrinė sistema 1, sin x, cosх, sin 2x, cos 2x,... O.s.f. su svoriu... ... Gamtos mokslai. enciklopedinis žodynas

Žr. str. Stačiakampė funkcijų sistema. Fizinė enciklopedija. 5 tomuose. M.: Tarybinė enciklopedija. Vyriausiasis redaktorius A. M. Prokhorovas. 1988... Fizinė enciklopedija

1) O. s. vektorių rinkinys nulinių Euklido (Hilberto) erdvės vektorių su skaliarinis produktas(. , .) tokie, kad už (stačiakampį) ir (normalizuojamumą). M. I. Voitsekhovskis. 2) O. s. erdvės funkcijos ir funkcijų sistema.... Matematinė enciklopedija

Konstrukcija tam tikrai funkcijų sistemai (fn(x)), integruojama su kvadratu stačiakampės sistemos intervalo [a, b] funkcijose (jn(x)), taikant tam tikrą ortogonalizacijos procesą arba išplečiant funkcijas fn( x) …… Matematinė enciklopedija