Stačiakampė sistema. Ortogonalios ir ortonormalios sistemos

Lygus nuliui:

Stačiakampė sistema jei jis yra baigtas, jis gali būti naudojamas kaip erdvės pagrindas. Šiuo atveju bet kurio elemento skilimą galima apskaičiuoti naudojant formules: , kur .

Atvejis, kai visų elementų norma vadinama ortonormalia sistema.

Ortogonalizacija

Bet koks visiškas tiesinis nepriklausoma sistema baigtinių matmenų erdvėje yra pagrindas. Todėl iš paprasto pagrindo galima pereiti prie ortonormalaus pagrindo.

Stačiakampis skaidymas

Skaidant vektorinės erdvės vektorius pagal ortonormalųjį pagrindą, skaliarinės sandaugos skaičiavimas supaprastinamas: , kur ir .

taip pat žr

Wikimedia fondas. 2010 m.

Pažiūrėkite, kas yra „stačiakampė sistema“ kituose žodynuose:

1) Oi... Matematinė enciklopedija

- (gr. ortogonios stačiakampis) baigtinė arba skaičiuojama funkcijų sistema, priklausanti (atskiriamai) Hilberto erdvei L2(a,b) (kvadratiškai integruojamos funkcijos) ir tenkinanti F tion g(x) vadinamas sąlygas. sveriantis O. s. f.,* reiškia ...... Fizinė enciklopedija

Funkcijų sistema n(x)?, n=1, 2,..., nurodyta atkarpoje ORTOGONALINĖ TRANSFORMACIJA tiesinė euklidinės vektorinės erdvės transformacija, išsaugant nepakitusius vektorių ilgius arba (tai atitinka) skaliarines sandaugas. .. Didysis enciklopedinis žodynas

Funkcijų sistema (φn(x)), n = 1, 2, ..., nurodyta intervale [a, b] ir tenkinanti kita sąlyga ortogonalumas: k≠l, kur ρ(x) yra kokia nors funkcija, vadinama svoriu. Pavyzdžiui, trigonometrinė sistema yra 1, sin x, cos x, sin 2x,... ... enciklopedinis žodynas

Funkcijų sistema ((фn(х)), n=1, 2, ..., apibrėžta intervale [a, b] ir tenkinanti pėdsako, ortogonalumo sąlygą k nėra lygi l, kur p(x) ) yra tam tikra funkcija , vadinama svoriu. Pavyzdžiui, trigonometrinė sistema 1, sin x, cosх, sin 2x, cos 2x,... O.s.f. su svoriu... ... Gamtos mokslai. enciklopedinis žodynas

Funkcijų sistema ((φn (x)), n = 1, 2,..., stačiakampė su svoriu ρ (x) intervale [a, b], t.y. tokia, kad Pavyzdžiai. Trigonometrinė sistema 1, cos nx, sin nx; n = 1, 2,..., O.s. f. su svoriu 1 atkarpoje [π, π]. Beselis... Didžioji sovietinė enciklopedija

Stačiakampės koordinatės yra tos, kuriose metrinis tenzorius turi įstrižainę. čia d Stačiasiose koordinačių sistemose q = (q1, q², …, qd) koordinačių paviršiai yra stačiakampiai vienas kitam. Visų pirma Dekarto koordinačių sistemoje... ... Vikipedija

stačiakampė daugiakanalė sistema- - [L.G. Sumenko. Anglų-rusų informacinių technologijų žodynas. M.: Valstybės įmonė TsNIIS, 2003.] Temos Informacinės technologijos apskritai EN ortogonalinis multipleksas...

(fotogrammetrinio) vaizdo koordinačių sistema- Dešinioji stačiakampė erdvinė koordinačių sistema, fiksuota fotogrametriniame vaizde atskaitos ženklų vaizdais. [GOST R 51833 2001] Temos: fotogrametrija... Techninis vertėjo vadovas

sistema- 4.48 sistema: sąveikaujančių elementų derinys, organizuotas siekiant vieno ar kelių nurodytų tikslų. 1 pastaba Sistema gali būti laikoma gaminiu arba jos teikiamomis paslaugomis. 2 pastaba Praktiškai...... Norminės ir techninės dokumentacijos terminų žodynas-žinynas

Apibrėžimas. Vektoriaia Irb vadinami vienas kitam stačiakampiais (statmenais), jei jų skaliarinė sandauga lygi nuliui, t.y.a × b = 0.

Nenuliniams vektoriams a Ir b skaliarinės sandaugos lygybė nuliui reiškia, kad cos j= 0, t.y. . Nulinis vektorius yra statmenas bet kuriam vektoriui, nes a × 0 = 0.

Pratimas. Tegul ir yra stačiakampiai vektoriai. Tada natūralu atsižvelgti į stačiakampio su kraštinėmis ir įstrižainę. Įrodyk tai

tie. stačiakampio įstrižainės ilgio kvadratas yra lygus jo dviejų nelygiagrečių kraštinių ilgių kvadratų sumai(Pitagoro teorema).

Apibrėžimas. Vektorinė sistemaa 1 ,…, a m vadinamas stačiakampiu, jei bet kurie du šios sistemos vektoriai yra stačiakampiai.

Taigi stačiakampei vektorių sistemai a 1 ,…,a m lygybė yra tiesa: a i × a j= 0 at i¹ j, i= 1,…, m; j= 1,…,m.

1.5 teorema. Stačiakampė sistema, susidedanti iš nulinių vektorių, yra tiesiškai nepriklausoma. .

□ Įrodinėjimą atliekame prieštaravimu. Tarkime, kad stačiakampė nulinių vektorių sistema a 1 , …, a m tiesiškai priklausomas. Tada

l 1 a 1 + …+ l ma m= 0 , kur . (1,15)

Tegu, pavyzdžiui, l 1 ¹ 0. Padauginkite iš a 1 abi lygybės pusės (1.15):

l 1 a 1× a 1 + …+ l m a m × a 1 = 0.

Visi terminai, išskyrus pirmąjį, yra lygūs nuliui dėl sistemos ortogonalumo a 1 , …, a m. Tada l 1 a 1× a 1 = 0, toliau a 1 = 0 , o tai prieštarauja sąlygai. Mūsų prielaida pasirodė klaidinga. Tai reiškia, kad stačiakampė nulinių vektorių sistema yra tiesiškai nepriklausoma. ■

Galioja sekanti teorema.

1.6 teorema. Erdvėje Rn visada yra pagrindas, susidedantis iš stačiakampių vektorių (stačiakampis pagrindas)
(nėra įrodymų).

Stačiakampės bazės yra patogios pirmiausia dėl to, kad savavališko vektoriaus plėtimosi koeficientai per tokias bazes yra tiesiog nustatomi.

Tarkime, kad turime rasti savavališko vektoriaus skaidymą b ortogonaliniu pagrindu e 1 ,…,e n. Šiam pagrindui sudarykime šio vektoriaus išplėtimą su dar nežinomais plėtimosi koeficientais:

Padauginkime abi šios lygybės puses skaliariai iš vektoriaus e 1 . Pagal vektorių skaliarinės sandaugos aksiomas 2° ir 3° gauname

Kadangi baziniai vektoriai e 1 ,…,e n yra tarpusavyje stačiakampiai, tada visos bazinių vektorių skaliarinės sandaugos, išskyrus pirmąjį, yra lygios nuliui, t.y. koeficientas nustatomas pagal formulę

Padauginę lygybę (1.16) savo ruožtu iš kitų bazinių vektorių, gauname paprastos formulės vektoriaus plėtimosi koeficientams apskaičiuoti b :

. (1.17)

Formulės (1.17) turi prasmę, nes .

Apibrėžimas. Vektoriusa vadinamas normalizuotu (arba vienetu), jei jo ilgis lygus 1, t.y. (a , a )= 1.

Bet kuris nulinis vektorius gali būti normalizuotas. Leisti a ¹ 0 . Tada , o vektorius yra normalizuotas vektorius.

Apibrėžimas. Vektorinė sistema e 1 ,…,e n vadinamas ortonormaliu, jei jis yra stačiakampis ir kiekvieno sistemos vektoriaus ilgis yra lygus 1, t.y.

(1.18)

Kadangi erdvėje Rn visada yra stačiakampis pagrindas ir šio pagrindo vektorius galima normalizuoti, tai Rn visada yra ortonormalusis pagrindas.

Erdvės R n ortonormalaus pagrindo pavyzdys yra vektorių sistema e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1) su skaliarine sandauga, apibrėžta lygybe (1.9). Ortonormaliu pagrindu e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1) formulė (1.17) vektoriaus skaidymo koordinatėms nustatyti b turi paprasčiausią formą:

Leisti a Ir b – du savavališki erdvės R n vektoriai su ortonormaliu pagrindu e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1). Pažymime vektorių koordinates a Ir b pagrinde e 1 ,…,e n atitinkamai per a 1 ,…,a n Ir b 1 ,…, b n ir raskite šių vektorių skaliarinės sandaugos išraišką per jų koordinates šiame pagrinde, t.y. Apsimeskime tai

, .

Iš paskutinės lygybės pagal skaliarinės sandaugos aksiomas ir ryšius (1.18) gauname

Pagaliau turime

. (1.19)

Taigi, ortonormaliu pagrindu bet kurių dviejų vektorių skaliarinė sandauga yra lygi atitinkamų šių vektorių koordinačių sandaugų sumai.

Dabar panagrinėkime visiškai savavališką (paprastai kalbant, ne ortonormalų) pagrindą n-matėje Euklido erdvėje R n ir raskime dviejų savavališkų vektorių skaliarinės sandaugos išraišką. a Ir b per šių vektorių koordinates nurodytu pagrindu.

funkcijų sistema ((φ n(x)}, n= 1, 2,..., stačiakampis su svoriu ρ ( X) segmente [ A, b], t.y. toks, kad

Pavyzdžiai. Trigonometrinė sistema 1, cos nx, nuodėmė nx; n= 1, 2,..., - O.s. f. su svoriu 1 atkarpoje [-π, π]. Beselio funkcijos n = 1, 2,..., J ν ( x), forma kiekvienam ν > - 1/2 O. s. f. su svoriu X segmente.

Jei kiekviena funkcija φ ( X) iš O. s. f. ar tai x) pagal skaičių

Sisteminis tyrimas O. s. f. buvo pradėtas taikyti Furjė metodui sprendžiant matematinės fizikos lygčių ribinių reikšmių uždavinius. Šis metodas leidžia, pavyzdžiui, rasti Sturm-Liouville problemos sprendimus (žr. Sturm-Liouville problemą) lygčiai [ρ( X) y" ]" + q(x) y = λ adresu, atitinkantis ribines sąlygas adresu(A) + labas(a) = 0, y(b) + labas(b) = 0, kur h Ir N- nuolatinis. Šie sprendimai yra vadinamieji. uždavinio savosios funkcijos sudaro O.s. f. su svoriu ρ ( X) segmente [ a, b].

Nepaprastai svarbi klasė O. s. f. - Stačiakampiai daugianariai - atrado P. L. Čebyševas, tyrinėdamas interpoliaciją naudojant metodą mažiausių kvadratų ir akimirkų problema. XX amžiuje tyrimai dėl O. s. f. atliekami daugiausia remiantis integraliąja teorija ir Lebesgue matu. Tai prisidėjo prie šių studijų atskyrimo į savarankišką matematikos šaką. Vienas iš pagrindinių O. s teorijos uždavinių. f - funkcijos išskaidymo problema f(x) formos p ( X)) - O. s. f. Jei tai pasakysime formaliai P ( X)) - normalizuotas O. s. f., ir leisti integruoti po termino, tada padauginus šią eilutę iš φ P(X) ρ( X) ir integruojant iš A prieš b, mes gauname:

Šansai S p, vadinami Furjė funkcijos koeficientais sistemos atžvilgiu (φ n(x)), turi tokią ekstremalią savybę: tiesinė forma x):

Tai turi mažiausia vertė palyginti su klaidomis, pateiktomis su tuo pačiu n kitos linijinės formos išraiškos

Serija ∑ ∞ n=1 C n φ n (x) su šansais S p, apskaičiuotas pagal formulę (*), vadinamas Furjė funkcijos eilute f(x) pagal normalizuotą O. s. f. (φ n(x)). Programoms svarbiausias klausimas yra tai, ar funkcija yra vienareikšmiškai apibrėžta f(x) pagal jų Furjė koeficientus. O. s. f., kuriems tai vyksta, vadinami užbaigtais arba uždarais. Sąlygos uždaryti O. s. f. gali būti pateikiamos keliomis lygiavertėmis formomis. 1) bet koks nuolatinė funkcija f(x) gali būti apytiksliai apytiksliai bet kokiu tikslumo laipsniu tiesiniais funkcijų deriniais φ k(x), tai yra, C n φ n (x) vidutiniškai konverguoja į funkciją f(x)]. 2) bet kokiai funkcijai f(x), kurio kvadratą integruojame svorio ρ( X), įvykdyta Lyapunov-Steklov uždarumo sąlyga:

3) Nėra nulinės funkcijos su integruojama intervale [ a, b] kvadratas, statmenas visoms funkcijoms φ n(x), n = 1, 2,....

Jei funkcijas su integruojamu kvadratu laikysime Hilberto erdvės elementais (žr. Hilberto erdvę), tada normalizuota O.S. f. bus šios erdvės koordinačių vienetų vektorių sistemos, o serijos išplėtimas normalizuotose O.s. f. - vektoriaus išplėtimas vienetiniais vektoriais. Taikant šį metodą, daugelis normalizuotų operacinių sistemų teorijos koncepcijų. f. įgyja aiškią geometrinę reikšmę. Pavyzdžiui, formulė (*) reiškia, kad vektoriaus projekcija į vieneto vektorių yra lygi vektoriaus ir vieneto skaliarinei sandaugai; Lyapunov-Steklov lygybę galima interpretuoti kaip Pitagoro teoremą begalinei erdvei: vektoriaus ilgio kvadratas yra lygus jo projekcijų į koordinačių ašis kvadratų sumai; izoliacija O. s. f. reiškia, kad mažiausia uždara poerdvė, kurioje yra visi šios sistemos vektoriai, sutampa su visa erdve ir kt.

Lit.: Tolstovas G.P., Furjė serija, 2 leidimas, M., 1960; Natanson I.P., Konstruktyvi funkcijų teorija, M. - L., 1949; jo, Realiojo kintamojo funkcijų teorija, 2 leidimas, M., 1957; Jackson D., Furjė eilutė ir stačiakampiai daugianariai, vert. iš anglų kalbos, M., 1948; Kaczmarz S., Shteingauz G., Stačiakampių eilučių teorija, vert. iš vokiečių kalbos, M., 1958 m.

- visų n-mačio vektoriaus erdvės V tiesinių transformacijų grupė k lauke, išsaugant fiksuotą neišsigimimą kvadratine forma Q ant V) = Q bet kuriam)...
Matematinė enciklopedija
- matrica virš komutacinio žiedo R su vienetu 1, kurio transponuota matrica sutampa su atvirkštine. O. m determinantas yra lygus +1...
Matematinė enciklopedija
- tinklas, kuriame skirtingų šeimų linijų liestinės tam tikrame taške yra statmenos. Veikiančių sistemų pavyzdžiai: asimptotinis tinklas minimaliame paviršiuje, linijos kreivumo tinklas. A.V. Ivanovas...
Matematinė enciklopedija
- 1) O...
Matematinė enciklopedija
- stačiakampis masyvas, OA - kx N dydžio matrica, kurios elementai yra skaičiai 1, 2, .....
Matematinė enciklopedija
- žr. izogoninę trajektoriją...
Matematinė enciklopedija
- ortonormali tam tikros Hilberto erdvės H funkcijų sistema (j), kad H neegzistuotų funkcija, statmena visoms konkrečios šeimos funkcijoms...
Matematinė enciklopedija
- žiūrėkite projekciją...
Didysis enciklopedinis politechnikos žodynas
- įvairių objektų funkcijų pavaldumo nustatymas...
Verslo terminų žodynas
- funkcijų stiprinimas, vienas iš Ch. laipsniško organų transformavimo būdai gyvūnų evoliucijos metu. I.f. dažniausiai siejama su organų sandaros ir viso kūno komplikacija...
Biologinis enciklopedinis žodynas
- funkcijų stiprinimas, vienas pagrindinių laipsniško organų transformacijos būdų gyvūnų evoliucijos metu. I.f. yra susijęs su organų struktūros komplikacija ir lemia bendrą gyvybinės veiklos lygio padidėjimą...
- Užsisakykite Matricą...
Didžioji sovietinė enciklopedija
- ypatinga byla lygiagreti projekcija, kai projekcijos ašis arba plokštuma yra statmena projekcijos krypčiai...
Didžioji sovietinė enciklopedija
- funkcijų sistema (), n = 1, 2,..., stačiakampė su atkarpos svoriu ρ, t.y. tokia, kad Pavyzdžiai. Trigonometrinė sistema 1, cos nx, sin nx; n = 1, 2,..., - O.s. f. su svoriu 1 ant segmento...
Didžioji sovietinė enciklopedija
- tokia funkcijų sistema Ф = (φ), apibrėžta intervale, kad nėra funkcijos f, kuriai...
Didžioji sovietinė enciklopedija
- STASTIJI FUNKCIJŲ sistema - funkcijų sistema n?, n=1, 2,.....
Didelis enciklopedinis žodynas

„Ortogonali funkcijų sistema“ knygose

XXIV dalis Senoji apkasų karo sistema ir moderni žygių sistema

Iš knygos Strategija ir taktika karo mene autorius Zhomini Genrikhas Veniaminovičius

XXIV dalis Senoji apkasų karo sistema ir moderni sistemažygiai Pozicijų sistema reiškia senas būdas vykdyti metodinį karą su armijomis, miegančiomis palapinėse, turint po ranka atsargas, stebint vieni kitus; viena armija

19. „Rusijos Federacijos mokesčių sistemos“ sąvoka. Sąvokų „mokesčių sistema“ ir „mokesčių sistema“ ryšys

Iš knygos Mokesčių įstatymas autorius Mikidze S G

19. Sąvoka " mokesčių sistema RF". „Mokesčių sistemos“ ir „mokesčių sistemos“ sąvokų santykis Mokesčių sistema yra Rusijos Federacijoje nustatytų taisyklių rinkinys. federaliniai mokesčiai, regioniniai ir vietiniai mokesčiai. Jo struktūra yra įtvirtinta 2 str. 13–15 Rusijos Federacijos mokesčių kodeksas

Iš knygos Kaip tai iš tikrųjų atsitiko. Rekonstrukcija tikra istorija autorius Nosovskis Glebas Vladimirovičius

23. Geocentrinė Ptolemėjo sistema ir heliocentrinė Tycho Brahe (ir Koperniko) sistema Pasaulio sistema pagal Tycho Brahe pavaizduota fig. 90. Pasaulio centre yra Žemė, aplink kurią sukasi Saulė. Tačiau visos kitos planetos jau skrieja aplink Saulę. Būtent

23. Ptolemėjo geocentrinė ir Tycho Brahe (ir Koperniko) heliocentrinė sistema

Iš autorės knygos

Pilna funkcijų sistema

Iš autoriaus knygos Didžioji sovietinė enciklopedija (PO). TSB

Stačiakampė matrica

TSB

Ortografinė projekcija

Iš autorės knygos Didžioji sovietinė enciklopedija (AR). TSB

Stačiakampių funkcijų sistema

Iš autorės knygos Didžioji sovietinė enciklopedija (AR). TSB

46 patarimas: perduokite funkcijų objektus algoritmams, o ne funkcijoms

Iš knygos Efektyvus naudojimas STL pateikė Meyersas Scottas

46 patarimas: perduokite funkcinius objektus algoritmams, o ne funkcijoms Dažnai sakoma, kad padidinkite kalbų abstrakcijos lygį aukštas lygis veda prie sugeneruoto kodo efektyvumo sumažėjimo. STL išradėjas Aleksandras Stepanovas kadaise sukūrė nedidelį kompleksą

12.3.5. Funkcinių objektų funkcijų adapteriai

Iš C++ knygos pradedantiesiems Lippman Stanley

12.3.5. Funkcinių objektų funkcijų adapteriai Standartinėje bibliotekoje taip pat yra keletas funkcijų adapterių, skirtų vienarūšių ir dvejetainių funkcijų objektams specializuoti ir išplėsti. Adapteriai yra specialios klasės, suskirstytos į šias dvi

11/19/2. Funkcijų iškvietimas iš funkcijų failo

Iš knygos Linux ir UNIX: apvalkalo programavimas. Kūrėjo vadovas. pateikė Tainsley David

11/19/2. Funkcijų iškvietimas iš funkcijų failo Jau nagrinėjome, kaip iškviečiamos funkcijos komandinė eilutė. Tokio tipo funkcijas dažniausiai naudoja komunalinės paslaugos, kurios kuria sistemos pranešimus.Dabar dar kartą panaudokime aukščiau aprašytą funkciją, bet šiuo atveju

Objektyviosios (pozityviosios) teisės sistema ir teisės aktų sistema: sąvokų santykis

Iš knygos Jurisprudencija autorius Mardaliev R. T.

Objektyviosios (pozityviosios) teisės sistema ir teisės aktų sistema: sąvokų santykis Objektinės (pozityviosios) teisės sistema yra vidinė struktūra teisę, skirstant ją į šakas, posektorius ir institucijas pagal teisės dalyką ir būdą

31. Prancūzijos vyriausybės sistema, rinkimų teisė ir rinkimų sistema

Iš knygos Konstitucinė teisė užsienio šalys autorė Imasheva E G

31. Sistema vyriausybines agentūras Prancūzija, rinkimų teisė ir rinkimų sistema Prancūzijoje yra mišri (arba pusiau prezidentinė) respublikinė vyriausybė. Valdžios sistema Prancūzijoje sukurta valdžių padalijimo principu.Šiuolaikinė Prancūzija

Gydomieji judesiai motorinėms funkcijoms atkurti ir nugaros skausmams Motorinių funkcijų atstatymas

Iš knygos „Therapeutic Movements Encyclopedia of Therapeutic Movements for įvairių ligų autorius Astašenko Olegas Igorevičius

Gydomieji judesiai motorinėms funkcijoms atkurti ir nugaros skausmams Motorinėms funkcijoms atstatyti Yra daug pratimų stuburui atkurti. Galite juos sugalvoti patys arba rasti daugumoje skirtingi tipai gimnastika Tačiau paprasta

Gydomieji judesiai motorinėms funkcijoms atkurti ir nugaros skausmo motorinėms funkcijoms gydyti

Iš knygos Stuburo kapitalinis remontas autorius Astašenko Olegas Igorevičius

Gydomieji judesiai motorinėms funkcijoms atstatyti ir motorinėms funkcijoms esant nugaros skausmams Motorinių funkcijų atkūrimas Yra labai daug pratimų stuburui atkurti. Galite juos sugalvoti patys arba rasti įvairiose gimnastikos rūšyse.

1 apibrėžimas. ) vadinamas stačiakampiu, jei visi jo elementai yra poromis stačiakampiai:

1 teorema. Stačiakampė nulinių vektorių sistema yra tiesiškai nepriklausoma.

(Tarkime, kad sistema yra tiesiškai priklausoma: ir, kad būtum tikras, Skaliariai padauginkime lygybę iš . Atsižvelgdami į sistemos ortogonalumą, gauname: }

2 apibrėžimas. Euklido erdvės vektorių sistema ( ) vadinamas stačiakampiu, jei jis yra stačiakampis ir kiekvieno elemento norma lygi vienetui.

Iš 1 teoremos iš karto išplaukia, kad ortonormali elementų sistema visada yra tiesiškai nepriklausoma. Iš čia, savo ruožtu, išplaukia, kad in n– matmenų Euklido erdvėje ortonormali sistema n vektoriai sudaro pagrindą (pavyzdžiui, ( i, j, k ) 3 val X– matmenų erdvė).Tokia sistema vadinama ortonormalus pagrindas, o jo vektoriai yra baziniai vektoriai.

Vektoriaus koordinates ortonormaliu pagrindu galima lengvai apskaičiuoti naudojant skaliarinę sandaugą: jei Iš tiesų, lygybės padauginimas įjungta , gauname nurodytą formulę.

Apskritai visi pagrindiniai dydžiai: vektorių skaliarinė sandauga, vektoriaus ilgis, kampo tarp vektorių kosinusas ir kt. turi paprasčiausią formą ortonormaliu pagrindu. Panagrinėkime skaliarinį sandaugą: , nuo

O visos kitos sąlygos yra lygios nuliui. Iš čia iš karto gauname: ,

* Apsvarstykite savavališką pagrindą. Skaliarinis produktasšiuo pagrindu jis bus lygus:

(Čia αi Ir β j – vektorių koordinatės bazėje ( f) ir yra bazinių vektorių skaliarinės sandaugos).

Kiekiai γ ij sudaryti matricą G, paskambino Gramo matrica. Skaliarinis produktas matricos pavidalu atrodys taip: *

2 teorema. Bet kokiuose n– matmeninėje Euklido erdvėje yra ortonormalus pagrindas. Teoremos įrodymas yra konstruktyvaus pobūdžio ir vadinamas

9. Gramo–Schmidto ortogonalizacijos procesas.

Leisti ( a 1,...,a n ) − savavališkas pagrindas n– dimensinė euklido erdvė (tokio pagrindo egzistavimą lemia n– erdvės matmuo). Ortonormalaus konstravimo pagal nurodytą pagrindą algoritmas yra toks:

1.b 1 = a 1, e 1 = b 1/|b 1|, |e 1|= 1.

2.b 2^e 1, nes (e 1, a 2)- projekcija a 2 įjungta e 1 , b 2 = a 2 -(e 1, a 2)e 1 , e 2 = b 2/|b 2|, |e 2|= 1.

3.b 3^a 1, b 3^a 2, b 3 = a 3 -(e 1, a 3)e 1 -(e 2, a 3)e 2 , e 3 = b 3/|b 3|, |e 3|= 1.

.........................................................................................................

k. b k^a 1 ,..., b k^a k-1 , b k = a k - S i=1k(e i , a k)e i , e k = b k/|b k|, |e k|= 1.

Tęsdami procesą gauname ortonormalų pagrindą ( e 1,...,e n }.

1 pastaba. Naudojant nagrinėjamą algoritmą, galima sukurti ortonormalų pagrindą bet kuriam tiesiniam apvalkalui, pavyzdžiui, sistemos, kurios rangas yra trys ir susidedančios iš penkiamačių vektorių, tiesinio apvalkalo ortonormalųjį pagrindą.

Pavyzdys.x =(3,4,0,1,2), y =(3,0,4,1,2), z =(0,4,3,1,2)

Užrašas 2. Ypatingi atvejai

Gramo-Schmidto procesas taip pat gali būti taikomas begalinei sekai tiesiškai nepriklausomi vektoriai.

Be to, Gram-Schmidt procesas gali būti taikomas tiesiniam priklausomi vektoriai. Šiuo atveju kyla problemų 0 (nulis vektorius) žingsnyje j , Jei a j yra linijinis vektorių derinys a 1,...,a j -1 . Jei taip gali atsitikti, tada, norint išsaugoti išvesties vektorių ortogonalumą ir išvengti padalijimo iš nulio ortonormalizavimo metu, algoritmas turi patikrinti, ar nėra nulinių vektorių, ir juos atmesti. Algoritmo sukurtų vektorių skaičius bus lygus vektorių generuojamos poerdvės matmeniui (t.y. tiesiškai nepriklausomų vektorių, kuriuos galima atskirti tarp pradinių vektorių, skaičiui).

10. Geometrinis vektorinės erdvės R1, R2, R3.

Pabrėžkime, kad tiesioginę geometrinę reikšmę turi tik erdvės

R1, R2, R3. Erdvė R n, kai n > 3, yra abstraktus grynai matematinis objektas.

1) Tegu pateikta dviejų vektorių sistema a Ir b . Jei sistema yra tiesiškai priklausoma, tai vienas iš vektorių, tarkime a , yra tiesiškai išreiškiamas per kitą:

a= k b.

Du vektoriai, sujungti tokia priklausomybe, kaip jau minėta, vadinami kolineariniais. Taigi dviejų vektorių sistema yra tiesiškai priklausoma tada ir tik

kai šie vektoriai yra kolineariniai. Atkreipkite dėmesį, kad ši išvada galioja ne tik R3, bet ir bet kuriai tiesinei erdvei.

2) Tegul sistema R3 susideda iš trijų vektorių a, b, c . Tiesinė priklausomybė reiškia, kad vienas iš vektorių, tarkime a , yra tiesiškai išreiškiamas per likusią dalį:

A= k b+ l c . (*)

Apibrėžimas. Trys vektoriai a, b, c R 3, esantys toje pačioje plokštumoje arba lygiagrečiai tai pačiai plokštumai, vadinami koplanariniais

(paveiksle kairėje nurodyti vektoriai a, b, c iš vienos plokštumos, o dešinėje tie patys vektoriai nubraižyti iš skirtingų pradų ir yra tik lygiagretūs vienai plokštumai).

Taigi, jei trys R3 vektoriai yra tiesiškai priklausomi, tada jie yra vienodi. Tiesa ir atvirkščiai: jei vektoriai a, b, c iš R3 yra lygiagrečiai, tada jie yra tiesiškai priklausomi.

Vektorinis meno kūrinys vektorius a, į vektorių b erdvėje vadinamas vektoriumi c , atitinkantis šiuos reikalavimus:

Pavadinimas:

Apsvarstykite sutvarkytą nevienaplanių vektorių trigubą a, b, c V trimatė erdvė. Sujungkime šių vektorių ištakas taške A(tai yra, tašką erdvėje pasirenkame savavališkai A ir perkelkite kiekvieną vektorių lygiagrečiai taip, kad jo pradžia sutaptų su tašku A). Vektorių galai sujungti su jų pradžia taške A, neguli toje pačioje tiesėje, nes vektoriai nėra vienodi.

Sutvarkytas nevienaplanių vektorių trigubas a, b, c trimatėje erdvėje vadinamas teisingai, jei nuo vektoriaus galo c trumpiausias posūkis iš vektoriaus a į vektorių b matomas stebėtojui prieš laikrodžio rodyklę. Ir atvirkščiai, jei trumpiausias posūkis matomas pagal laikrodžio rodyklę, vadinasi trigubas paliko.

Kitas apibrėžimas yra susijęs su dešinė ranka asmuo (žr. paveikslėlį), iš kur kilęs vardas.

Visi dešiniarankiai (ir kairiarankiai) vektorių trigubai vadinami identiškai orientuotais.