Vektorinė sistema vadinama tiesiškai priklausomas, jei yra skaičių, tarp kurių bent vienas skiriasi nuo nulio, kad lygybė https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= “ >.

Jei ši lygybė tenkinama tik tuo atveju, kai visi , vadinasi vektorių sistema tiesiškai nepriklausomas.

Teorema. Vektorinė sistema bus tiesiškai priklausomas tada ir tik tada, kai bent vienas jo vektorius yra tiesinis kitų vektorių derinys.

1 pavyzdys. Polinomas yra tiesinis daugianario derinys https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Polinomai nėra tiesiniai priklausoma sistema, nes daugianario https://pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

2 pavyzdys. Matricos sistema , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> yra tiesiškai nepriklausoma, nes linijinis derinys yra lygus nulinė matrica tik tuo atveju, kai https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> tiesiškai priklausomas.

Sprendimas.

Padarykime tiesinį šių vektorių derinį https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" aukštis=" 22">.

Sulyginus tas pačias vienodų vektorių koordinates, gauname https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

Pagaliau gauname

Ir

Sistema turi unikalų trivialų sprendimą, todėl tiesinė šių vektorių kombinacija lygi nuliui tik tuo atveju, kai visi koeficientai lygūs nuliui. Štai kodėl šią sistemą vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi.

4 pavyzdys. Vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi. Kokios bus vektorinės sistemos?

a).;

b).?

Sprendimas.

a). Padarykime tiesinį derinį ir prilyginkime nuliui

Pasinaudodami operacijų su vektoriais tiesinėje erdvėje savybėmis perrašome paskutinę lygybę formoje

Kadangi vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi, koeficientai ties turi būti lygūs nuliui, ty.gif" width="12" height="23 src=">

Gauta lygčių sistema turi unikalų trivialų sprendimą .

Nuo lygybės (*) vykdomas tik tada, kai https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – tiesiškai nepriklausomas;

b). Padarykime lygybę https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Taikydami panašius samprotavimus gauname

Išspręsdami lygčių sistemą Gauso metodu, gauname

arba

Pastaroji sistema turi begalinis rinkinys sprendimai https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Taigi yra nenulinis koeficientų rinkinys, kurio lygybė laiko (**) . Todėl vektorių sistema – tiesiškai priklausomas.

5 pavyzdys Vektorių sistema yra tiesiškai nepriklausoma, o vektorių sistema yra tiesiškai priklausoma..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

Lygybėje (***) . Iš tiesų, esant , sistema būtų tiesiškai priklausoma.

Iš santykio (***) mes gauname arba Pažymėkime .

Mes gauname

Užduotys skirtos savarankiškas sprendimas(auditorijoje)

1. Sistema, turinti nulinį vektorių, yra tiesiškai priklausoma.

2. Sistema, susidedanti iš vieno vektoriaus A, yra tiesiškai priklausomas tada ir tik tada, a=0.

3. Sistema, susidedanti iš dviejų vektorių, yra tiesiškai priklausoma tada ir tik tada, kai vektoriai yra proporcingi (tai yra, vienas iš jų gaunamas iš kito padauginus iš skaičiaus).

4. Jei prie tiesiškai priklausomos sistemos pridėsite vektorių, gausite tiesiškai priklausomą sistemą.

5. Jei vektorius pašalinamas iš tiesiškai nepriklausomos sistemos, tai gauta vektorių sistema yra tiesiškai nepriklausoma.

6. Jei sistema S yra tiesiškai nepriklausomas, bet pridedant vektorių tampa tiesiškai priklausomas b, tada vektorius b tiesiškai išreikštas sistemos vektoriais S.

c). Matricų sistema , , antros eilės matricų erdvėje.

10. Tegu vektorių sistema a,b,c vektoriaus erdvė yra tiesiškai nepriklausoma. Įrodykite šių vektorinių sistemų tiesinę nepriklausomybę:

a).a+b, b, c.

b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– savavališkas skaičius

c).a+b, a+c, b+c.

11. Leisti a,b,c– trys vektoriai plokštumoje, iš kurių galima suformuoti trikampį. Ar šie vektoriai bus tiesiškai priklausomi?

12. Pateikti du vektoriai a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Raskite dar du keturmačius vektorius a3 ira4 kad sistema a1,a2,a3,a4 buvo tiesiškai nepriklausomas .

a 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, a 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, a 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Sprendimas. Ieško bendras sprendimas lygčių sistemos

a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

Gauso metodas. Norėdami tai padaryti, šią homogeninę sistemą užrašome koordinatėmis:

Sistemos matrica

Leidžiama sistema turi tokią formą: (r A = 2, n= 3). Sistema yra bendradarbiaujanti ir neapibrėžta. Jo bendras sprendimas ( x 2 – laisvas kintamasis): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => X o = . Pavyzdžiui, nulinio konkretaus sprendimo buvimas rodo, kad vektoriai a 1 , a 2 , a 3 tiesiškai priklausomas.

2 pavyzdys.

Sužinokite, ar tam tikra vektorių sistema yra tiesiškai priklausoma ar tiesiškai nepriklausoma:

1. a 1 = { -20, -15, - 4 }, a 2 = { –7, -2, -4 }, a 3 = { 3, –1, –2 }.

Sprendimas. Apsvarstykite vienalytę lygčių sistemą a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

arba išplėsta forma (pagal koordinates)

Sistema yra vienalytė. Jei jis nėra išsigimęs, vadinasi, turi vienintelis sprendimas. Vienalytės sistemos atveju yra nulinis (trivialus) sprendimas. Tai reiškia, kad šiuo atveju vektorių sistema yra nepriklausoma. Jei sistema yra išsigimusi, tada ji turi nulinius sprendimus ir todėl yra priklausoma.

Mes patikriname, ar sistemoje nėra degeneracijos:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Sistema yra neišsigimusi, taigi ir vektoriai a 1 , a 2 , a 3 tiesiškai nepriklausomas.

Užduotys. Sužinokite, ar tam tikra vektorių sistema yra tiesiškai priklausoma ar tiesiškai nepriklausoma:

1. a 1 = { -4, 2, 8 }, a 2 = { 14, -7, -28 }.

2. a 1 = { 2, -1, 3, 5 }, a 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. a 1 = { -7, 5, 19 }, a 2 = { -5, 7 , -7 }, a 3 = { -8, 7, 14 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

5. a 1 = { 1, 8 , -1 }, a 2 = { -2, 3, 3 }, a 3 = { 4, -11, 9 }.

6. a 1 = { 1, 2 , 3 }, a 2 = { 2, -1 , 1 }, a 3 = { 1, 3, 4 }.

7. a 1 = {0, 1, 1 , 0}, a 2 = {1, 1 , 3, 1}, a 3 = {1, 3, 5, 1}, a 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. a 1 = {-1, 7, 1 , -2}, a 2 = {2, 3 , 2, 1}, a 3 = {4, 4, 4, -3}, a 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Įrodykite, kad vektorių sistema bus tiesiškai priklausoma, jei joje yra:

a) du vienodi vektoriai;

b) du proporcingi vektoriai.

Tiesinė priklausomybė ir vektorių tiesinė nepriklausomybė.
Vektorių pagrindas. Afininė koordinačių sistema

Žiūrovų salėje stovi vežimėlis su šokoladukais, o kiekvienas lankytojas šiandien gaus saldžią porelę – analitinę geometriją su tiesine algebra. Šiame straipsnyje bus aptariamos dvi aukštosios matematikos dalys iš karto ir pamatysime, kaip jos egzistuoja viename pakete. Pailsėk, suvalgyk Twix! ...velnias, kokia nesąmonė. Nors, gerai, balų neįtrauksiu, galiausiai į studijas reikėtų nusiteikti teigiamai.

Tiesinė vektorių priklausomybė, tiesinio vektoriaus nepriklausomybė, vektorių pagrindu ir kiti terminai turi ne tik geometrinį aiškinimą, bet, visų pirma, algebrinę reikšmę. Pati „vektoriaus“ sąvoka tiesinės algebros požiūriu ne visada yra „įprastas“ vektorius, kurį galime pavaizduoti plokštumoje ar erdvėje. Įrodymų toli ieškoti nereikia, pabandykite nupiešti penkiamatės erdvės vektorių . Arba orų vektorius, dėl kurio ką tik nuėjau į Gismeteo: – temperatūra ir Atmosferos slėgis atitinkamai. Pavyzdys, žinoma, yra neteisingas vektorinės erdvės savybių požiūriu, tačiau, nepaisant to, niekas nedraudžia formalizuoti šių parametrų kaip vektorių. Rudens dvelksmas...

Ne, aš nesiruošiu jums nuobodžiauti teorija, tiesinėmis vektorinėmis erdvėmis, užduotis yra suprasti apibrėžimai ir teoremos. Naujieji terminai (tiesinė priklausomybė, nepriklausomybė, tiesinis derinys, pagrindas ir kt.) taikomi visiems vektoriams algebriniu požiūriu, tačiau bus pateikti geometriniai pavyzdžiai. Taigi viskas paprasta, prieinama ir aišku. Be analitinės geometrijos problemų, mes taip pat apsvarstysime keletą tipinių algebros uždavinių. Norint įsisavinti medžiagą, patartina susipažinti su pamokomis Manekenų vektoriai Ir Kaip apskaičiuoti determinantą?

Plokštumos vektorių tiesinė priklausomybė ir nepriklausomybė.
Plokštumos pagrindas ir afininė koordinačių sistema

Apsvarstykite savo lėktuvą kompiuterio stalas(tik stalas, naktinis staliukas, grindys, lubos, kas tik patinka). Užduotį sudarys šie veiksmai:

1) Pasirinkite plokštumos pagrindą. Grubiai tariant, stalviršis turi ilgį ir plotį, todėl intuityviai suprantama, kad pagrindui sukurti reikės dviejų vektorių. Akivaizdu, kad vieno vektoriaus nepakanka, trijų vektorių yra per daug.

2) Remiantis pasirinktu pagrindu nustatyti koordinačių sistemą(koordinačių tinklelis), kad priskirtumėte koordinates visiems lentelės objektams.

Nenustebkite, iš pradžių paaiškinimai bus ant pirštų. Be to, ant jūsų. Prašau vietą smiliumi kairiarankis ant stalviršio krašto, kad jis žiūrėtų į monitorių. Tai bus vektorius. Dabar vieta Mažasis pirštas dešinė ranka ant stalo krašto tokiu pat būdu – kad būtų nukreiptas į monitoriaus ekraną. Tai bus vektorius. Šypsokis, atrodai puikiai! Ką galime pasakyti apie vektorius? Duomenų vektoriai kolinearinis, tai reiškia linijinis išreikšti vienas per kitą:
, gerai, arba atvirkščiai: , kur koks nors skaičius skiriasi nuo nulio.

Šio veiksmo nuotrauką galite pamatyti klasėje. Manekenų vektoriai, kur paaiškinau vektoriaus dauginimo iš skaičiaus taisyklę.

Ar jūsų pirštai nustatys pagrindą ant kompiuterio stalo plokštumos? Akivaizdu, kad ne. Kolineariniai vektoriai keliauja pirmyn ir atgal vienas kryptimi, o plokštuma turi ilgį ir plotį.

Tokie vektoriai vadinami tiesiškai priklausomas.

Nuoroda: Žodžiai „linijinis“, „tiesiškai“ reiškia faktą, kad in matematines lygtis, išraiškose nėra kvadratų, kubelių, kitų laipsnių, logaritmų, sinusų ir kt. Yra tik tiesinės (1 laipsnio) išraiškos ir priklausomybės.

Du plokštumos vektoriai tiesiškai priklausomas jei ir tik tada, kai jie yra kolineariniai.

Sukryžiuokite pirštus ant stalo taip, kad tarp jų būtų ne 0 arba 180 laipsnių kampas. Du plokštumos vektoriailinijinis Ne priklausomi tada ir tik tada, kai jie nėra kolineariniai. Taigi gaunamas pagrindas. Nereikia gėdytis, kad pagrindas pasirodė „iškreiptas“ su skirtingo ilgio nestatmenais vektoriais. Labai greitai pamatysime, kad jo konstrukcijai tinka ne tik 90 laipsnių kampas, o ne tik vienodo ilgio vienetiniai vektoriai

Bet koks plokštumos vektorius vienintelis kelias išplečiamas pagal pagrindą:
, kur yra realieji skaičiai. Skaičiai skambinami vektoriaus koordinatesšiuo pagrindu.

Taip pat sakoma vektoriuspateiktas kaip linijinis derinys baziniai vektoriai. Tai yra, išraiška vadinama vektoriaus skaidymaspagal pagrindą arba linijinis derinys baziniai vektoriai.

Pavyzdžiui, galime pasakyti, kad vektorius yra išskaidytas pagal ortonormalų plokštumos pagrindą, arba galime pasakyti, kad jis pavaizduotas kaip tiesinis vektorių derinys.

Suformuluokime pagrindo apibrėžimas formaliai: Lėktuvo pagrindas vadinama tiesiškai nepriklausomų (ne kolinearinių) vektorių pora, , kuriame bet koks plokštumos vektorius yra tiesinis bazinių vektorių derinys.

Esminis apibrėžimo punktas yra tai, kad vektoriai yra paimti tam tikra tvarka. Bazės – tai dvi visiškai skirtingos bazės! Kaip sakoma, negali pakeisti kairės rankos mažojo piršto vietoj dešinės rankos mažojo piršto.

Mes išsiaiškinome pagrindą, tačiau neužtenka nustatyti koordinačių tinklelį ir kiekvienam kompiuterio stalo elementui priskirti koordinates. Kodėl neužtenka? Vektoriai yra laisvi ir klaidžioja visoje plokštumoje. Taigi, kaip priskirti koordinates toms mažoms nešvarioms vietoms ant stalo, likusioms po laukinio savaitgalio? Reikalingas atspirties taškas. Ir toks orientyras yra visiems pažįstamas taškas – koordinačių kilmė. Supraskime koordinačių sistemą:

Pradėsiu nuo „mokyklos“ sistemos. Jau įžanginėje pamokoje Manekenų vektoriai Pabrėžiau kai kuriuos skirtumus tarp stačiakampės koordinačių sistemos ir stačiakampio pagrindo. Štai standartinis paveikslėlis:

Kai jie kalba apie stačiakampė koordinačių sistema, tada dažniausiai jie reiškia kilmę, koordinačių ašis ir mastelį išilgai ašių. Pabandykite į paieškos variklį įvesti „stačiakampė koordinačių sistema“ ir pamatysite, kad daugelis šaltinių jums pasakys apie koordinačių ašis, pažįstamas iš 5–6 klasės, ir kaip nubraižyti taškus plokštumoje.

Kita vertus, atrodo, kad stačiakampę koordinačių sistemą galima visiškai apibrėžti ortonormaliu pagrindu. Ir tai beveik tiesa. Formuluotė yra tokia:

kilmės, Ir ortonormalus nustatytas pagrindas Dekarto stačiakampio plokštumos koordinačių sistema . Tai yra stačiakampė koordinačių sistema būtinai yra apibrėžtas vienu tašku ir dviem vienetiniais stačiakampiais vektoriais. Štai kodėl jūs matote piešinį, kurį pateikiau aukščiau - viduje geometrinės problemos Dažnai (bet ne visada) nubrėžiami ir vektoriai, ir koordinačių ašys.

Manau, kad visi supranta, kad naudojant tašką (kilmę) ir ortonormalų pagrindą Bet koks TAŠKAS lėktuve ir BET VEKTORIAUS lėktuve galima priskirti koordinates. Vaizdžiai tariant, „viskas lėktuve gali būti sunumeruota“.

Ar koordinačių vektoriai turi būti vienetiniai? Ne, jie gali būti savavališkai nulinio ilgio. Apsvarstykite tašką ir du stačiakampius vektorius, kurių ilgis skiriasi nuo nulio:

Toks pagrindas vadinamas stačiakampis. Koordinačių su vektoriais kilmė apibrėžiama koordinačių tinkleliu, o bet kuris plokštumos taškas, bet koks vektorius turi savo koordinates tam tikru pagrindu. Pavyzdžiui, arba. Akivaizdus nepatogumas yra tas, kad koordinačių vektoriai apskritai turi skirtingus ilgius, išskyrus vienetą. Jei ilgiai lygūs vienetui, tada gaunamas įprastas ortonormalus pagrindas.

! Pastaba : stačiakampyje, taip pat žemiau afininiuose plokštumos ir erdvės pagrinduose, atsižvelgiama į vienetus išilgai ašių SĄLYGINĖ. Pavyzdžiui, viename vienete išilgai x ašies yra 4 cm, o išilgai ordinačių ašies – 2 cm. Šios informacijos pakanka, kad prireikus „nestandartines“ koordinates būtų galima konvertuoti į „mums įprastus centimetrus“.

Ir antras klausimas, į kurį iš tikrųjų jau buvo atsakyta, ar kampas tarp bazinių vektorių turi būti lygus 90 laipsnių? Ne! Kaip nurodyta apibrėžime, baziniai vektoriai turi būti tik nekolinearinis. Atitinkamai, kampas gali būti bet koks, išskyrus 0 ir 180 laipsnių.

Taškas lėktuve vadinamas kilmės, Ir nekolinearinis vektoriai, , rinkinys afininės plokštumos koordinačių sistema :

Kartais tokia koordinačių sistema vadinama įstrižas sistema. Kaip pavyzdžiai, brėžinyje rodomi taškai ir vektoriai:

Kaip suprantate, afininė koordinačių sistema yra dar mažiau patogi, vektorių ir atkarpų ilgių formulės, kurias aptarėme antroje pamokos dalyje, joje neveikia Manekenų vektoriai, daug skanių formulių, susijusių su vektorių skaliarinė sandauga. Tačiau galioja vektorių pridėjimo ir vektoriaus dauginimo iš skaičiaus taisyklės, segmento padalijimo šiame santykyje formulės, taip pat kai kurios kitos problemos, kurias netrukus apsvarstysime.

Ir daroma išvada, kad patogiausias specialus afininės koordinačių sistemos atvejis yra Dekarto stačiakampė sistema. Štai kodėl tau dažniausiai tenka ją matyti, mano brangioji. ...Tačiau viskas šiame gyvenime yra reliatyvu – yra daug situacijų, kai įstrižas kampas (ar koks kitas, pvz. poliarinis) koordinačių sistema. O humanoidams tokios sistemos gali patikti =)

Pereikime prie praktinės dalies. Visos užduotys šioje pamokoje galioja abiem stačiakampė sistema koordinates ir bendrai giminingam atvejui. Čia nėra nieko sudėtingo, visa medžiaga prieinama net moksleiviui.

Kaip nustatyti plokštumos vektorių kolineariškumą?

Tipiškas dalykas. Tam, kad du plokštumos vektoriai buvo kolinerinės, būtina ir pakanka, kad jų atitinkamos koordinatės būtų proporcingos Iš esmės tai yra akivaizdžių santykių detalizavimas po koordinatės.

1 pavyzdys

a) Patikrinkite, ar vektoriai yra kolinearūs .
b) Ar vektoriai sudaro pagrindą? ?

Sprendimas:
a) Išsiaiškinkime, ar yra vektorių proporcingumo koeficientas, kad būtų įvykdytos lygybės:

Aš tikrai papasakosiu apie „foppish“ programos tipą šios taisyklės, kuris praktiškai veikia gana gerai. Idėja yra nedelsiant sudaryti proporciją ir patikrinti, ar ji teisinga:

Padarykime proporciją iš atitinkamų vektorių koordinačių santykio:

Sutrumpinkime:
, todėl atitinkamos koordinatės yra proporcingos, todėl

Santykiai gali būti sukurti atvirkščiai; tai yra lygiavertis variantas:

Norėdami atlikti savęs patikrinimą, galite naudoti faktą, kad kolineariniai vektoriai yra tiesiškai išreikšti vienas per kitą. Tokiu atveju atsiranda lygybės . Jų pagrįstumą galima lengvai patikrinti atliekant elementarias operacijas su vektoriais:

b) Du plokštumos vektoriai sudaro pagrindą, jei jie nėra kolineariniai (tiesiškai nepriklausomi). Mes tiriame vektorių kolineariškumą . Sukurkime sistemą:

Iš pirmosios lygties išplaukia, kad iš antrosios lygties išplaukia, kad tai reiškia sistema nenuosekli(sprendimų nėra). Taigi atitinkamos vektorių koordinatės nėra proporcingos.

Išvada: vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi ir sudaro pagrindą.

Supaprastinta sprendimo versija atrodo taip:

Padarykime proporciją iš atitinkamų vektorių koordinačių :
, o tai reiškia, kad šie vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi ir sudaro pagrindą.

Paprastai šio varianto recenzentai neatmeta, tačiau problema iškyla tais atvejais, kai kai kurios koordinatės yra lygios nuliui. Kaip šitas: . Arba taip: . Arba taip: . Kaip čia išnaudoti proporcijas? (Iš tiesų, jūs negalite padalyti iš nulio). Būtent dėl ​​šios priežasties supaprastintą sprendimą pavadinau „foppish“.

Atsakymas: a) , b) forma.

Mažas kūrybinis pavyzdys nepriklausomam sprendimui:

2 pavyzdys

Kokioje parametro reikšmėje yra vektoriai ar jie bus kolineariniai?

Mėginio tirpale parametras randamas per proporciją.

Yra elegantiškas algebrinis vektorių kolineariškumo tikrinimo būdas. Susisteminkime savo žinias ir įtraukime jas kaip penktą tašką:

Dviejų plokštumos vektorių atveju šie teiginiai yra lygiaverčiai:

2) vektoriai sudaro pagrindą;
3) vektoriai nėra kolineariniai;

+ 5) determinantas, sudarytas iš šių vektorių koordinačių, yra nulis.

Atitinkamai, sekantys priešingi teiginiai yra lygiaverčiai:
1) vektoriai yra tiesiškai priklausomi;
2) vektoriai nesudaro pagrindo;
3) vektoriai yra kolineariniai;
4) vektoriai gali būti tiesiškai išreikšti vienas per kitą;
+ 5) determinantas, sudarytas iš šių vektorių koordinačių, yra lygus nuliui.

Aš tikrai labai to tikiuosi Šis momentas jūs jau suprantate visus terminus ir teiginius, su kuriais susiduriate.

Pažvelkime atidžiau į naują, penktąjį tašką: du plokštumos vektoriai yra kolineariniai tada ir tik tada, kai determinantas, sudarytas iš nurodytų vektorių koordinačių, yra lygus nuliui:. Norėdami pritaikyti šią funkciją, žinoma, turite mokėti rasti determinantų.

Nuspręskime 1 pavyzdys antruoju būdu:

a) Apskaičiuokime determinantą, sudarytą iš vektorių koordinačių :
, o tai reiškia, kad šie vektoriai yra kolineariniai.

b) Du plokštumos vektoriai sudaro pagrindą, jei jie nėra kolineariniai (tiesiškai nepriklausomi). Apskaičiuokime determinantą, sudarytą iš vektoriaus koordinačių :
, o tai reiškia, kad vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi ir sudaro pagrindą.

Atsakymas: a) , b) forma.

Tai atrodo daug kompaktiškiau ir gražiau nei sprendimas su proporcijomis.

Nagrinėjamos medžiagos pagalba galima nustatyti ne tik vektorių kolineariškumą, bet ir įrodyti atkarpų bei tiesių lygiagretumą. Panagrinėkime keletą problemų, susijusių su konkrečiomis geometrinėmis formomis.

3 pavyzdys

Pateiktos keturkampio viršūnės. Įrodykite, kad keturkampis yra lygiagretainis.

Įrodymas: Problemoje nereikia kurti brėžinio, nes sprendimas bus grynai analitinis. Prisiminkime lygiagretainio apibrėžimą:
Lygiagretainis Vadinamas keturkampis, kurio priešingos kraštinės yra lygiagrečios poromis.

Taigi, būtina įrodyti:
1) priešingų kraštinių lygiagretumas ir;
2) priešingų kraštinių lygiagretumas ir.

Mes įrodome:

1) Raskite vektorius:

2) Raskite vektorius:

Rezultatas yra tas pats vektorius („pagal mokyklą“ – lygūs vektoriai). Kolineariškumas yra gana akivaizdus, ​​tačiau geriau įforminti sprendimą aiškiai, susitarus. Apskaičiuokime determinantą, sudarytą iš vektoriaus koordinačių:
, o tai reiškia, kad šie vektoriai yra kolineariniai ir .

Išvada: Priešingos keturkampio kraštinės yra lygiagrečios poromis, o tai reiškia, kad pagal apibrėžimą jis yra lygiagretainis. Q.E.D.

Daugiau gerų ir skirtingų figūrų:

4 pavyzdys

Pateiktos keturkampio viršūnės. Įrodykite, kad keturkampis yra trapecija.

Norint tiksliau suformuluoti įrodymą, žinoma, geriau gauti trapecijos apibrėžimą, tačiau pakanka tiesiog prisiminti, kaip ji atrodo.

Tai užduotis, kurią turite išspręsti patys. Visas sprendimas pamokos pabaigoje.

O dabar laikas lėtai judėti iš lėktuvo į kosmosą:

Kaip nustatyti erdvės vektorių kolineariškumą?

Taisyklė labai panaši. Kad du erdvės vektoriai būtų kolineriniai, būtina ir pakanka, kad jų atitinkamos koordinatės būtų proporcingos.

5 pavyzdys

Sužinokite, ar šie erdvės vektoriai yra kolineariniai:

A) ;
b)
V)

Sprendimas:
a) Patikrinkime, ar yra atitinkamų vektorių koordinačių proporcingumo koeficientas:

Sistema neturi sprendimo, o tai reiškia, kad vektoriai nėra kolineariniai.

„Supaprastintas“ įforminamas tikrinant proporciją. Tokiu atveju:
– atitinkamos koordinatės nėra proporcingos, vadinasi, vektoriai nėra kolineariniai.

Atsakymas: vektoriai nėra kolineariniai.

b-c) Tai savarankiško sprendimo taškai. Išbandykite dviem būdais.

Yra metodas, leidžiantis patikrinti erdvinių vektorių kolineariškumą naudojant trečiosios eilės determinantą, šis metodas aprašyta straipsnyje Vektorinė vektorių sandauga.

Panašiai kaip ir plokštumos atveju, nagrinėjamais įrankiais galima tirti erdvinių atkarpų ir tiesių lygiagretumą.

Sveiki atvykę į antrą skyrių:

Vektorių tiesinė priklausomybė ir nepriklausomybė trimatėje erdvėje.
Erdvinis pagrindas ir afininė koordinačių sistema

Daugelis modelių, kuriuos ištyrėme plokštumoje, galios erdvėje. Bandžiau sumažinti teorijos pastabas, nes liūto dalis informacijos jau buvo sukramtyta. Tačiau rekomenduoju atidžiai perskaityti įžanginę dalį, nes atsiras naujų terminų ir sąvokų.

Dabar vietoj kompiuterio stalo plokštumos tyrinėjame trimatę erdvę. Pirmiausia sukurkime jo pagrindą. Kažkas dabar yra patalpoje, kažkas lauke, bet bet kuriuo atveju negalime išvengti trijų matmenų: pločio, ilgio ir aukščio. Todėl norint sukurti pagrindą, reikės trijų erdvinių vektorių. Vieno ar dviejų vektorių neužtenka, ketvirtas – nereikalingas.

Ir vėl šildome ant pirštų. Pakelkite ranką aukštyn ir paskleiskite ją įvairiomis kryptimis nykštis, rodyklė ir vidurinis pirštas . Tai bus vektoriai, jie atrodo skirtingomis kryptimis, yra skirtingo ilgio ir turi skirtingi kampai tarp savęs. Sveikiname, trimatės erdvės pagrindas yra paruoštas! Beje, mokytojams to demonstruoti nereikia, kad ir kaip susuktum pirštus, bet nuo apibrėžimų nepabėgsi =)

Tada užduokime sau svarbų klausimą: ar bet kurie trys vektoriai sudaro pagrindą trimatė erdvė ? Tvirtai paspauskite tris pirštus prie kompiuterio stalo viršaus. Kas nutiko? Trys vektoriai yra vienoje plokštumoje, ir, grubiai tariant, mes praradome vieną iš matmenų - aukštį. Tokie vektoriai yra koplanarinis ir visiškai akivaizdu, kad trimatės erdvės pagrindas nėra sukurtas.

Reikėtų pažymėti, kad koplanariniai vektoriai neturi būti toje pačioje plokštumoje, jie gali būti lygiagrečiose plokštumose (tik nedarykite to pirštais, tai padarė tik Salvadoras Dali =)).

Apibrėžimas: vektoriai vadinami koplanarinis, jei yra plokštuma, kuriai jie lygiagretūs. Čia logiška pridurti, kad jei tokios plokštumos nėra, vektoriai nebus lygiagrečiai.

Trys koplanariniai vektoriai visada yra tiesiškai priklausomi, tai yra, jie yra tiesiškai išreikšti vienas per kitą. Paprastumo dėlei dar kartą įsivaizduokime, kad jie yra toje pačioje plokštumoje. Pirma, vektoriai yra ne tik koplanarūs, jie taip pat gali būti kolineariniai, tada bet koks vektorius gali būti išreikštas bet kuriuo vektoriumi. Antruoju atveju, jei, pavyzdžiui, vektoriai nėra kolineariniai, tada trečiasis vektorius per juos išreiškiamas unikaliu būdu: (ir kodėl, nesunku atspėti iš ankstesniame skyriuje pateiktos medžiagos).

Ir atvirkščiai: trys nevienaplaniai vektoriai visada yra tiesiškai nepriklausomi, tai yra, jie jokiu būdu nėra išreikšti vienas per kitą. Ir, aišku, tik tokie vektoriai gali sudaryti trimatės erdvės pagrindą.

Apibrėžimas: Trimatės erdvės pagrindas vadinamas tiesiškai nepriklausomų (ne lygiaplokščių) vektorių trigubu, paimti tam tikra tvarka, ir bet koks erdvės vektorius vienintelis kelias yra išskaidomas per tam tikrą pagrindą, kur yra šio pagrindo vektoriaus koordinatės

Leiskite jums priminti, kad taip pat galime pasakyti, kad vektorius vaizduojamas formoje linijinis derinys baziniai vektoriai.

Koordinačių sistemos sąvoka įvedama lygiai taip pat, kaip ir plokštumos atveju: vienas taškas ir bet kurios trys tiesinės nepriklausomi vektoriai:

kilmės, Ir ne lygiagrečiai vektoriai, paimti tam tikra tvarka, rinkinys afininė trimatės erdvės koordinačių sistema :

Žinoma, koordinačių tinklelis yra „įstrižas“ ir nepatogus, tačiau, nepaisant to, sukonstruota koordinačių sistema leidžia mums būtinai nustatyti bet kurio vektoriaus koordinates ir bet kurio erdvės taško koordinates. Panašiai kaip plokštumoje, kai kurios formulės, kurias jau minėjau, neveiks afininėje erdvės koordinačių sistemoje.

Labiausiai pažįstamas ir patogiausias specialus afininės koordinačių sistemos atvejis, kaip visi spėja, yra stačiakampės erdvės koordinačių sistema:

Taškas erdvėje vadinamas kilmės, Ir ortonormalus nustatytas pagrindas Dekarto stačiakampės erdvės koordinačių sistema . Pažįstamas vaizdas:

Prieš pereidami prie praktinių užduočių, dar kartą susisteminkime informaciją:

Trims erdvės vektoriams šie teiginiai yra lygiaverčiai:
1) vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi;
2) vektoriai sudaro pagrindą;
3) vektoriai nėra vienodi;
4) vektoriai negali būti tiesiškai išreikšti vienas per kitą;
5) determinantas, sudarytas iš šių vektorių koordinačių, skiriasi nuo nulio.

Manau, kad priešingi teiginiai yra suprantami.

Erdvės vektorių tiesinė priklausomybė/nepriklausomybė tradiciškai tikrinama naudojant determinantą (5 punktas). Likusios praktinės užduotys bus ryškaus algebrinio pobūdžio. Atėjo laikas pakabinti geometrijos lazdą ir valdyti linijinės algebros beisbolo lazdą:

Trys erdvės vektoriai yra plokštumos tada ir tik tada, kai determinantas, sudarytas iš nurodytų vektorių koordinačių, yra lygus nuliui: .

Noriu atkreipti jūsų dėmesį į nedidelį techninį niuansą: vektorių koordinates galima rašyti ne tik stulpeliais, bet ir eilutėmis (determinanto reikšmė dėl to nesikeis – žr. determinantų savybes). Bet tai daug geriau stulpeliuose, nes tai naudingiau sprendžiant kai kurias praktines problemas.

Tiems skaitytojams, kurie determinantų skaičiavimo metodus šiek tiek pamiršo, o gal išvis menkai juos supranta, rekomenduoju vieną iš seniausių mano pamokų: Kaip apskaičiuoti determinantą?

6 pavyzdys

Patikrinkite, ar šie vektoriai sudaro trimatės erdvės pagrindą:

Sprendimas: Tiesą sakant, visas sprendimas priklauso nuo determinanto apskaičiavimo.

a) Apskaičiuokime determinantą, sudarytą iš vektoriaus koordinačių (determinantas atskleidžiamas pirmoje eilutėje):

, o tai reiškia, kad vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi (ne koplanarūs) ir sudaro trimatės erdvės pagrindą.

Atsakymas: šie vektoriai sudaro pagrindą

b) Tai nepriklausomo sprendimo taškas. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Taip pat yra kūrybinių užduočių:

7 pavyzdys

Esant kokiai parametro vertei vektoriai bus lygiagrečiai?

Sprendimas: Vektoriai yra vienodi tada ir tik tada, kai determinantas, sudarytas iš šių vektorių koordinačių, yra lygus nuliui:

Iš esmės jums reikia išspręsti lygtį su determinantu. Nusileidžiame ant nulių kaip aitvarai ant jerboų - geriausia atidaryti determinantą antroje eilutėje ir nedelsiant atsikratyti minusų:

Atliekame tolesnius supaprastinimus ir sumažiname reikalą iki paprasčiausio tiesinė lygtis:

Atsakymas: at

Čia lengva patikrinti; kad tai padarytumėte, gautą reikšmę turite pakeisti pradiniu determinantu ir įsitikinti, kad , atidarykite jį dar kartą.

Pabaigoje pažvelkime į dar vieną tipinė užduotis, kuri yra labiau algebrinio pobūdžio ir tradiciškai įtraukiama į tiesinės algebros eigą. Tai taip įprasta, kad nusipelno savo temos:

Įrodykite, kad 3 vektoriai sudaro trimatės erdvės pagrindą
ir šiame pagrinde raskite 4-ojo vektoriaus koordinates

8 pavyzdys

Pateikiami vektoriai. Parodykite, kad vektoriai sudaro pagrindą trimatėje erdvėje ir suraskite vektoriaus koordinates šiame pagrinde.

Sprendimas: Pirma, panagrinėkime sąlygą. Pagal sąlygą pateikiami keturi vektoriai ir, kaip matote, jie jau turi koordinates tam tikru pagrindu. Kas yra šis pagrindas, mums neįdomu. Įdomu tai: trys vektoriai gali sudaryti naują pagrindą. Ir pirmasis etapas visiškai sutampa su 6 pavyzdžio sprendimu; reikia patikrinti, ar vektoriai yra tikrai tiesiškai nepriklausomi:

Apskaičiuokime determinantą, sudarytą iš vektoriaus koordinačių:

, o tai reiškia, kad vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi ir sudaro trimatės erdvės pagrindą.

! Svarbu : vektorinės koordinatės Būtinai užsirašyti į kolonas determinantas, o ne eilutėse. Priešingu atveju kils painiavos tolesniame sprendimo algoritme.

Vektoriai, jų savybės ir veiksmai su jais

Vektoriai, veiksmai su vektoriais, tiesinė vektorinė erdvė.

Vektoriai yra riboto skaičiaus realiųjų skaičių sutvarkyta rinkinys.

Veiksmai: 1. Vektoriaus padauginimas iš skaičiaus: lambda*vektorius x=(lamda*x 1, lambda*x 2 ... lambda*x n).(3,4, 0, 7)*3=(9, 12,0,21)

2. Vektorių (priklausančių tai pačiai vektorių erdvei) sudėjimas vektorius x + vektorius y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. Vektorius 0=(0,0…0)---n E n – n matmenų (tiesinės erdvės) vektorius x + vektorius 0 = vektorius x

Teorema. Tam, kad n vektorių sistema, n-matė linijinė erdvė buvo tiesiškai priklausomas, būtina ir pakanka, kad vienas iš vektorių būtų tiesinis kitų vektorių derinys.

Teorema. Bet kuri n+ 1-ųjų n-matės tiesinės reiškinių erdvės vektorių aibė. tiesiškai priklausomas.

Vektorių sudėjimas, vektorių dauginimas iš skaičių. Vektorių atėmimas.

Dviejų vektorių suma yra vektorius, nukreiptas nuo vektoriaus pradžios iki vektoriaus pabaigos, su sąlyga, kad pradžia sutampa su vektoriaus pabaiga. Jei vektoriai pateikiami jų plėtiniais bazinių vienetų vektoriuose, tai sudėjus vektorius, pridedamos atitinkamos jų koordinatės.

Panagrinėkime tai naudodami Dekarto koordinačių sistemos pavyzdį. Leisti

Parodykime tai

Iš 3 paveikslo aišku, kad

Bet kurio baigtinio skaičiaus vektorių sumą galima rasti naudojant daugiakampio taisyklę (4 pav.): norint sudaryti baigtinio skaičiaus vektorių sumą, pakanka sujungti kiekvieno sekančio vektoriaus pradžią su ankstesnio vektoriaus pabaiga. ir sukurti vektorių, jungiantį pirmojo vektoriaus pradžią su paskutinio pabaiga.

Vektorių sudėjimo operacijos savybės:

Šiose išraiškose m, n yra skaičiai.

Skirtumas tarp vektorių vadinamas vektoriumi.Antrasis narys – vektorius, priešingas vektoriui kryptimi, bet lygus jam pagal ilgį.

Taigi vektorių atėmimo operacija pakeičiama sudėjimo operacija

Vektorius, kurio pradžia yra pradžioje ir pabaiga taške A (x1, y1, z1), vadinamas taško A spindulio vektoriumi ir žymimas paprastai. Kadangi jo koordinatės sutampa su taško A koordinatėmis, jo išplėtimas vienetiniais vektoriais turi formą

Vektorius, kuris prasideda taške A(x1, y1, z1) ir baigiasi taške B(x2, y2, z2), gali būti parašytas kaip

čia r 2 yra taško B spindulio vektorius; r 1 - taško A spindulio vektorius.

Todėl vektoriaus išplėtimas vienetiniais vektoriais turi formą

Jo ilgis lygus atstumui tarp taškų A ir B

PAdauginimas

Taigi plokštumos uždavinio atveju vektoriaus sandauga iš a = (ax; ay) iš skaičiaus b randama pagal formulę

a b = (ax b; ay b)

1 pavyzdys Raskite vektoriaus a = (1; 2) sandaugą iš 3.

3 a = (3 1; 3 2) = (3; 6)

Taigi byloje erdvinė problema vektoriaus a = (ax; ay; az) sandauga iš skaičiaus b randama pagal formulę

a b = (ax b; ay b; az b)

1 pavyzdys. Raskite vektoriaus a = (1; 2; -5) sandaugą iš 2.

2a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

Taškinė vektorių sandauga ir kur yra kampas tarp vektorių ir ; jei bet kuri, tada

Iš skaliarinio sandaugos apibrėžimo matyti, kad

kur, pavyzdžiui, yra vektoriaus projekcijos į vektoriaus kryptį dydis.

Skaliarinis kvadrato vektorius:

Taškinio gaminio savybės:

Taškų sandauga koordinatėse

Jeigu Tai

Kampas tarp vektorių

Kampas tarp vektorių – kampas tarp šių vektorių krypčių (mažiausias kampas).

Kryžminė sandauga (dviejų vektorių kryžminė sandauga.) – tai pseudovektorius, statmenas plokštumai, sudarytas iš dviejų veiksnių, kuris yra dvejetainės operacijos „vektoriaus dauginimas“ per vektorius trimatėje euklidinėje erdvėje rezultatas. Produktas nėra nei komutacinis, nei asociatyvus (jis yra antikomutacinis) ir skiriasi nuo vektorių taškinės sandaugos. Daugelyje inžinerijos ir fizikos problemų reikia mokėti sukurti vektorių, statmeną dviem esamiems – vektorinė sandauga suteikia tokią galimybę. Kryžminė sandauga naudinga vektorių statmenumui „matuoti“ – dviejų vektorių kryžminės sandaugos ilgis lygus jų ilgių sandaugai, jei jie statmeni, ir sumažėja iki nulio, jei vektoriai lygiagretūs arba antilygiagretūs.

Kryžminė sandauga apibrėžiama tik trimatėje ir septyniamatėje erdvėje. Vektorinės sandaugos, kaip ir skaliarinės sandaugos, rezultatas priklauso nuo Euklido erdvės metrikos.

Skirtingai nuo skaliarinių sandaugų vektorių apskaičiavimo iš koordinačių trimatėje stačiakampėje koordinačių sistemoje formulės, kryžminės sandaugos formulė priklauso nuo stačiakampės koordinačių sistemos orientacijos arba, kitaip tariant, nuo jos „chiralumo“.

Vektorių kolineariškumas.

Du nuliniai (nelygūs 0) vektoriai vadinami kolineariniais, jei jie yra lygiagrečiose tiesėse arba toje pačioje tiesėje. Priimtinas, bet nerekomenduojamas sinonimas yra „lygiagretūs“ vektoriai. Kolineariniai vektoriai gali būti nukreipti identiškai („bendrakrypčiai“) arba priešingai (pastaruoju atveju jie kartais vadinami „antikolineariniais“ arba „antilygiagrečiais“).

Mišrus vektorių sandauga( a, b, c)- vektoriaus a skaliarinė sandauga ir vektorių b ir c vektorinė sandauga:

(a,b,c)=a ⋅(b ×c)

kartais vadinamas trigubu skaliarinis produktas vektoriai, greičiausiai dėl to, kad rezultatas yra skaliarinis (tiksliau pseudoskaliarinis).

Geometrinė reikšmė: mišrios sandaugos modulis yra skaitiniu būdu lygus vektorių suformuoto gretasienio tūriui (a, b, c) .

Savybės

Mišrus produktas yra simetriškas visų savo argumentų atžvilgiu: t.y. e) bet kurių dviejų veiksnių pertvarkymas pakeičia gaminio ženklą. Iš to išplaukia, kad mišrus sandauga dešinėje Dekarto koordinačių sistemoje (ortonormaliu pagrindu) yra lygus matricos, sudarytos iš vektorių, determinantui ir:

Mišrus sandauga kairiojoje Dekarto koordinačių sistemoje (ortonormaliu pagrindu) yra lygi matricos, sudarytos iš vektorių, determinantui ir paimtam su minuso ženklu:

Visų pirma,

Jei bet kurie du vektoriai yra lygiagretūs, tada su bet kuriuo trečiuoju vektoriumi jie sudaro mišrią sandaugą, lygią nuliui.

Jei trys vektoriai yra tiesiškai priklausomi (tai yra lygiagrečiai, esantys toje pačioje plokštumoje), tada jų mišrus sandauga yra lygus nuliui.

Geometrinė reikšmė – Mišri sandauga absoliučia verte lygi gretasienio tūriui (žr. pav.), kurį sudaro vektoriai ir; ženklas priklauso nuo to, ar šis vektorių trigubas yra dešiniarankis ar kairiarankis.

Vektorių koplanarumas.

Trys vektoriai (arba didesnis skaičius) yra vadinami koplanariniais, jei jie yra redukuoti į bendra pradžia, guli toje pačioje plokštumoje

Bendraplaniškumo savybės

Jei bent vienas iš trijų vektorių yra lygus nuliui, tai trys vektoriai taip pat laikomi lygiagrečiais.

Trigubas vektorių, turinčių kolinearinių vektorių porą, yra koplanarinis.

Mišrus koplanarinių vektorių sandauga. Tai yra trijų vektorių koplanarumo kriterijus.

Bendraplaniai vektoriai yra tiesiškai priklausomi. Tai taip pat yra koplanarumo kriterijus.

Trimatėje erdvėje 3 nevienaplaniai vektoriai sudaro pagrindą

Tiesiškai priklausomi ir tiesiškai nepriklausomi vektoriai.

Tiesiškai priklausomas ir nepriklausomos sistemos vektoriai.Apibrėžimas. Vektorinė sistema vadinama tiesiškai priklausomas, jei yra bent vienas netrivialus tiesinis šių vektorių derinys, lygus nuliniam vektoriui. Priešingu atveju, t.y. jei tik trivialus tiesinis duotųjų vektorių derinys yra lygus nuliniam vektoriui, vektoriai vadinami tiesiškai nepriklausomas.

Teorema (tiesinės priklausomybės kriterijus). Tam, kad vektorių sistema tiesinėje erdvėje būtų tiesiškai priklausoma, būtina ir pakanka, kad pagal bent jau, vienas iš šių vektorių buvo tiesinis kitų vektorių derinys.

1) Jei tarp vektorių yra bent vienas nulinis vektorius, tai visa vektorių sistema yra tiesiškai priklausoma.

Tiesą sakant, jei, pavyzdžiui, , tai, darant prielaidą , turime netrivialią tiesinę kombinaciją .▲

2) Jei tarp vektorių kai kurie sudaro tiesiškai priklausomą sistemą, tai visa sistema yra tiesiškai priklausoma.

Iš tiesų, tegul vektoriai , yra tiesiškai priklausomi. Tai reiškia, kad yra netrivialus tiesinis derinys, lygus nuliniam vektoriui. Bet tada, darant prielaidą , taip pat gauname netrivialią tiesinę kombinaciją, lygią nuliniam vektoriui.

2. Pagrindas ir matmenys. Apibrėžimas. Tiesiškai nepriklausomų vektorių sistema vektorinė erdvė vadinama pagrindušios erdvės, jei bet kurį vektorių iš galima pavaizduoti kaip šios sistemos tiesinę vektorių kombinaciją, t.y. kiekvienam vektoriui yra realūs skaičiai tokia, kad galioja lygybė. Ši lygybė vadinama vektoriaus skaidymas pagal pagrindą ir skaičius yra vadinami vektoriaus koordinates pagrindo atžvilgiu(arba pagrinde) .

Teorema (dėl išplėtimo unikalumo pagrindo atžvilgiu). Kiekvienas erdvės vektorius gali būti išplėstas į pagrindą vieninteliu būdu, t.y. kiekvieno pagrindo vektoriaus koordinates nustatomi vienareikšmiškai.