| y |
| x |
Taškas APIE vadinama kilme. Pirmoji ašis vadinama ašimi Oi, arba x ašis, antroji – ašis OU, arba ordinačių ašis, trečioji – ašis Ozas, arba ašies taikyti. Plokštuma, einanti per dvi iš trijų ašių Oi, OU, Ozas, vadinamas koordinačių plokštuma; Yra 3 koordinačių plokštumos, kurios žymimos taip: yOz, zOx Ir xOy.
Leisti M– savavališkas erdvės taškas. Pažymėkime pagal R taško projekcija M vienai ašiai Oi lygiagrečiai plokštumai yOz, ir per X– taško koordinatė R ant ašies Oi. Per K pažymėkime taško projekciją M vienai ašiai OU lygiagrečiai plokštumai zOx, ir per adresu– taško koordinatė K ant ašies OU. Per R pažymėkime taško projekciją M vienai ašiai Ozas lygiagrečiai plokštumai xOy, ir per z– taško koordinatė R ant ašies Ozas(Žr. 15 pav.).
Trys skaičiai x, y, z paimtos tokia tvarka, vadinamos bendrosiomis Dekarto (arba afininėmis) taško koordinatėmis M. Pirmoji koordinatė vadinama taško abscise M, antra adresu– taško ordinatė M, ir trečia z– taikymo taškas M. Taškas M su koordinatėmis x, y, zžymimas M(x, y, z).
Abscisių taškai M yra lygus nuliui tada ir tik tada, kai taškas M guli lėktuve yOz. Panašiai apie ordinatę ir taikyti.
Iš to išplaukia taškas M(x, y, z) yra ant ašies Oi tada ir tik tada adresu=z=0, panašiai ir ašims OU, Ozas. Dėl kilmės X=adresu=z=0.
Taškai , vadinami koordinačių ašių vienetiniais taškais. Taškas vadinamas vienas taškas koordinačių sistemos.
Lygiagretainis gretasienis, kurio viršūnė yra O pradžioje ir su briaunomis, vadinamas mastelio gretasieniu. Segmentai yra atitinkamai Ox, Oy, Oz ašių mastelio segmentai. Vektoriai
vadinami atitinkamai Ox ašių mastelio vektoriais, OU, Ozas.
Naudojant bendrąją Dekarto koordinačių sistemą, nustatomas vienas su vienu atitikimas tarp visų erdvės taškų aibės ir visų tvarkingų realiųjų skaičių tripletų aibės. Čia norint nubrėžti esmę M, turinčios koordinates pateiktus skaičius X, adresu, z, darykite taip: jei jie stato ant ašių Oi, OU, Ozas taškų P, K, R, kurių koordinatės šiose ašyse yra atitinkamai lygios X, adresu, z ir pereiti per taškus P, K, R plokštumos atitinkamai lygiagrečios koordinačių plokštumos yOz, zOx, xOy; taškas M– yra šių plokštumų susikirtimo taškas.
Dekarto stačiakampė koordinačių sistema erdvėje yra sutvarkyta porų statmenų koordinačių ašių triguba su bendra pradžia koordinates O ant kiekvienos iš jų ir su ta pačia skalės atkarpa kiekvienai ašiai (žr. pav.).
Dekarto stačiakampės taško koordinatės M apibrėžiami panašiai. Tai yra stačiakampės taško projekcijos M ant ašies Oi, OU, Ozas.
Atkreipkite dėmesį, kad dažnai ašių mastelio vektoriai Oi, OU, Ozas Dekarto stačiakampėje koordinačių sistemoje yra nurodytos.
Kai įvedate koordinačių sistemą plokštumoje arba trimatėje erdvėje, unikali galimybė geometrinių figūrų ir jų savybių aprašymai naudojant lygtis ir nelygybes. Tai turi kitą pavadinimą - algebros metodai.
Šis straipsnis padės suprasti stačiakampės Dekarto koordinačių sistemos apibrėžimą ir taškų koordinačių nustatymą. Aiškesnis ir išsamesnis vaizdas pateikiamas grafinėse iliustracijose.
Norėdami įvesti koordinačių sistemą plokštumoje, plokštumoje turite nubrėžti dvi statmenas linijas. Pasirinkite teigiama kryptimi, pažymėtas rodykle. Reikia pasirinkti skalė. Tiesių susikirtimo tašką pavadinkime raide O. Ji laikoma atspirties taškas. Tai vadinama stačiakampė koordinačių sistema ant paviršiaus.
Vadinamos tiesės, kurių kilmė O turi kryptį ir mastelį koordinačių linija arba koordinačių ašis.
Stačiakampė koordinačių sistema žymima O x y. Koordinačių ašys vadinamos atitinkamai O x ir O y abscisių ašis Ir ordinačių ašis.
Stačiakampės koordinačių sistemos vaizdas plokštumoje.
Abscisių ir ordinačių ašys turi tą patį pokyčio ir mastelio vienetą, kuris rodomas kaip pirminis koordinačių ašių pradžioje. Standartinė O x kryptis yra iš kairės į dešinę, o O y – iš apačios į viršų. Kartais naudojamas alternatyvus sukimasis reikiamu kampu.
Stačiakampė koordinačių sistema buvo pavadinta Dekartine jos atradėjo Rene Descarteso garbei. Dažnai pavadinimą galite rasti kaip stačiakampę Dekarto koordinačių sistemą.
trimatis Euklido erdvė turi panašią sistemą, tik ji susideda ne iš dviejų, o iš trijų Ox, Oy, Oz ašių. Tai trys viena kitai statmenos tiesės, kur vadinama O z aplikatoriaus ašis
Pagal koordinačių ašių kryptį jos skirstomos į dešiniąją ir kairiąją erdvinės erdvės stačiakampes koordinačių sistemas.
Koordinačių ašys susikerta taške O, vadinamame pradžia. Kiekviena ašis turi teigiamą kryptį, kuri nurodoma ant ašių esančiomis rodyklėmis. Jei, kai O x pasukamas prieš laikrodžio rodyklę 90°, jo teigiama kryptis sutampa su teigiama O y, tai tai taikoma teigiamai O z krypčiai. Svarstoma tokia sistema teisingai. Kitaip tariant, jei palyginsite X kryptį su nykščiu, rodomasis pirštas yra atsakingas už Y, o vidurinis pirštas - už Z.
Panašiai formuojama ir kairioji koordinačių sistema. Neįmanoma sujungti abiejų sistemų, nes atitinkamos ašys nesutaps.
Pirmiausia nubrėžkime tašką M O x koordinačių ašyje. Bet kuris realusis skaičius x M yra lygus vieninteliam taškui M, esančiam tam tikroje tiesėje. Jei taškas yra koordinačių tiesėje 2 atstumu nuo pradžios taško teigiama kryptimi, tada jis yra lygus 2, jei - 3, tada atitinkamas atstumas yra 3. Nulis yra koordinačių linijų pradžia.
Kitaip tariant, kiekvienas taškas M, esantis O x, yra lygus realiajam skaičiui x M . Šis tikrasis skaičius yra lygus nuliui, jei taškas M yra pradžioje, ty O x ir O y sankirtoje. Atkarpos ilgio skaičius visada yra teigiamas, jei taškas pašalinamas teigiama kryptimi ir atvirkščiai.
Iškviečiamas turimas numeris x M koordinuoti taškas M duotoje koordinačių tiesėje.
Paimkime tašką kaip taško M x projekciją į O x, o kaip taško M y projekciją į O y. Tai reiškia, kad per tašką M galime nubrėžti tieses, statmenas O x ir O y ašims, kur gauname atitinkamus susikirtimo taškus M x ir M y.
Tada taškas M x O x ašyje turi atitinkamą skaičių x M, o M y – O y – y M. Ant koordinačių ašių tai atrodo taip:
Kiekvienas taškas M duotoje plokštumoje stačiakampėje Dekarto koordinačių sistemoje turi vieną atitinkamą skaičių porą (x M, y M), vadinamą jos koordinates. Abscisa M– tai x M, ordinas M– tai tu M.
Taip pat yra atvirkščiai: kiekviena sutvarkyta pora (x M, y M) turi atitinkamą tašką, apibrėžtą plokštumoje.
Taško M nustatymas trimatėje erdvėje. Tebūnie M x, M y, M z, kurios yra taško M projekcijos į atitinkamas ašis O x, O y, O z. Tada šių taškų reikšmės O x, O y, O z ašyse įgis x M, y M, z M reikšmes. Pavaizduokime tai koordinačių linijomis.
Norint gauti taško M projekcijas, reikia pridėti statmenas tieses O x, O y, O z, tęsti ir pavaizduoti jas plokštumų, einančių per M, pavidalu. Taigi plokštumos susikirs ties M x , M y , M z
Kiekvienas trimatės erdvės taškas turi savo duomenis (x M, y M, z M), kurie vadinami taško M, x M, y M, z M koordinatės - tai vadinami skaičiais abscisė, ordinatė Ir kreiptis suteiktas M taškas. Šiam sprendimui teisingas ir atvirkštinis teiginys: kiekvienas sutvarkytas realiųjų skaičių (x M, y M, z M) trigubas tam tikroje stačiakampėje koordinačių sistemoje turi vieną atitinkamą trimatės erdvės tašką M.
Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter
Žinoma, koordinačių metodas yra labai geras, tačiau realiose C2 problemose nėra koordinačių ar vektorių. Todėl jie turės būti pristatyti. Taip, taip, paimkite taip ir įveskite: nurodykite x, y ir z ašių kilmę, vieneto segmentą ir kryptį.
Įspūdingiausia šio metodo savybė yra ta, kad nesvarbu, kaip tiksliai įvedama koordinačių sistema. Jei visi skaičiavimai teisingi, atsakymas bus teisingas.
Kubo koordinatės
Jei užduotyje C2 yra kubas, manykite, kad jums pasisekė. Tai yra paprasčiausias daugiakampis, ir viskas dvikampiai kampai kurios lygios 90°.
Koordinačių sistemą taip pat labai paprasta įvesti:
- Koordinačių pradžia yra taške A;
- Dažniausiai kubo kraštas nenurodomas, todėl imame jį kaip vienetinį segmentą;
- X ašis nukreipta išilgai kraštinės AB, y - išilgai krašto AD, o ašis z - išilgai briaunos AA 1.
Atkreipkite dėmesį: z ašis nukreipta į viršų! Po to dvimatė sistema koordinates, tai kiek neįprasta, bet iš tikrųjų labai logiška.
Taigi dabar kiekviena kubo viršūnė turi koordinates. Surinkime juos į lentelę – atskirai apatinei kubo plokštumai:
Nesunku pastebėti, kad viršutinės plokštumos taškai nuo atitinkamų apatinės plokštumos taškų skiriasi tik z koordinate. Pavyzdžiui, B = (1; 0; 0), B 1 = (1; 0; 1). Svarbiausia nesusipainioti!
Prizmė jau daug smagiau. Tinkamai prižiūrėjus, pakanka žinoti tik apatinės bazės koordinates – viršutinė bus apskaičiuojama automatiškai.
Uždaviniai C2 susiję tik su taisyklingomis trikampėmis prizmėmis (tiesiomis prizmėmis, kurių pagrindas yra taisyklingas trikampis). Jiems koordinačių sistema įvedama beveik taip pat, kaip ir kubui. Beje, jei kas nežino, kubas irgi yra prizmė, tik tetraedras.
Taigi, eime! Pristatome koordinačių sistemą:
- Koordinačių pradžia yra taške A;
- Prizmės kraštą imame kaip vieną segmentą, jei problemos teiginyje nenurodyta kitaip;
- X ašį nukreipiame išilgai kraštinės AB, z - išilgai briaunos AA 1, o y ašį nustatome taip, kad OXY plokštuma sutaptų su pagrindine plokštuma ABC.
Čia reikia šiek tiek paaiškinimo. Faktas yra tas, kad y ašis NESUTAPA su briauna AC, kaip daugelis žmonių mano. Kodėl nesutampa? Pagalvokite patys: trikampis ABC yra lygiakraštis, visi kampai jame yra 60°. O kampai tarp koordinačių ašių turi būti 90°, todėl aukščiau esantis paveikslėlis atrodys taip:
Tikiuosi, dabar aišku, kodėl y ašis neis išilgai AC. Šiame trikampyje nubrėžkime aukštį CH. Trikampis ACH yra stačiakampis, o AC = 1, taigi AH = 1 · cos A = cos 60°; CH = 1 sin A = sin 60°. Šie faktai reikalingi taško C koordinatėms apskaičiuoti.
Dabar pažvelkime į visą prizmę kartu su sukonstruota koordinačių sistema:
Gauname šias taškų koordinates:
Kaip matome, prizmės viršutinio pagrindo taškai nuo atitinkamų apatinės taškų vėl skiriasi tik z koordinate. Pagrindinė problema yra taškai C ir C 1. Jie turi neracionalias koordinates, kurias tiesiog reikia atsiminti. Na, arba supranti, iš kur jie atsiranda.
Šešiakampės prizmės koordinatės
Šešiakampė prizmė yra „klonuota“ trikampė prizmė. Galite suprasti, kaip tai vyksta, jei pažvelgsite į apatinę bazę – pavadinkime ją ABCDEF. Atlikime papildomas konstrukcijas: segmentus AD, BE ir CF. Rezultatas yra šeši trikampiai, kurių kiekvienas (pavyzdžiui, trikampis ABO) yra trikampės prizmės pagrindas.
Dabar pristatykime pačią koordinačių sistemą. Koordinačių pradžia – taškas O – bus dedama šešiakampio ABCDEF simetrijos centre. X ašis eis išilgai FC, o y ašis eis per atkarpų AB ir DE vidurio taškus. Gauname šį paveikslėlį:
Atkreipkite dėmesį: kilmė NESUTAPA su daugiakampio viršūne! Tiesą sakant, spręsdami realias problemas pastebėsite, kad tai labai patogu, nes tai gali žymiai sumažinti skaičiavimų kiekį.
Belieka pridėti z ašį. Pagal tradiciją nubrėžiame jį statmenai OXY plokštumai ir nukreipiame vertikaliai aukštyn. Gauname galutinį vaizdą:
Dabar užrašykime taškų koordinates. Tarkime, kad visos mūsų taisyklingosios šešiakampės prizmės briaunos yra lygios 1. Taigi apatinio pagrindo koordinatės yra:
Viršutinės bazės koordinatės perkeliamos vienu išilgai z ašies:
Piramidė paprastai yra labai atšiauri. Išanalizuosime tik paprasčiausią atvejį – taisyklingą keturkampę piramidę, kurios visos briaunos lygios vienai. Tačiau realiose problemose C2 briaunų ilgiai gali skirtis, todėl žemiau yra bendra schema koordinačių skaičiavimai.
Taigi, taisyklinga keturkampė piramidė. Tai tas pats, kas Cheopsas, tik šiek tiek mažesnis. Pažymime jį SABCD, kur S yra viršūnė. Įveskime koordinačių sistemą: pradžia yra taške A, vieneto atkarpa AB = 1, x ašis nukreipta išilgai AB, y ašis nukreipta išilgai AD, o ašis z nukreipta aukštyn, statmena OXY plokštumai. . Norėdami atlikti tolesnius skaičiavimus, mums reikia aukščio SH - todėl mes jį pastatysime. Gauname tokį paveikslėlį:
Dabar suraskime taškų koordinates. Pirmiausia pažiūrėkime į OXY lėktuvą. Čia viskas paprasta: pagrindas yra kvadratas, jo koordinatės žinomos. Problemos kyla dėl taško S. Kadangi SH yra aukštis iki OXY plokštumos, taškai S ir H skiriasi tik z koordinate. Tiesą sakant, atkarpos SH ilgis yra taško S z koordinatė, nes H = (0,5; 0,5; 0).
Atkreipkite dėmesį, kad trikampiai ABC ir ASC yra lygūs iš trijų kraštinių (AS = CS = AB = CB = 1, o kraštinė AC yra bendra). Todėl SH = BH. Bet BH yra pusė kvadrato ABCD įstrižainės, t.y. BH = AB sin 45°. Gauname visų taškų koordinates:
Tai viskas su piramidės koordinatėmis. Bet visai ne su koordinatėmis. Mes pažvelgėme tik į labiausiai paplitusius daugiakampius, tačiau šių pavyzdžių pakanka, kad būtų galima savarankiškai apskaičiuoti bet kokių kitų figūrų koordinates. Todėl iš tikrųjų galime pereiti prie konkrečių problemų sprendimo būdų C2.
Dviejų ar trijų susikertančių, viena kitai statmenų ašių, turinčių bendrą pradžią (koordinačių pradžią) ir bendrą ilgio vienetą, sistema vadinama stačiakampė Dekarto koordinačių sistema .
Bendroji Dekarto koordinačių sistema (afininė koordinačių sistema) nebūtinai gali apimti statmenas ašis. Prancūzų matematiko Rene Descartes'o (1596-1662) garbei pavadinta kaip tik tokia koordinačių sistema, kurioje visose ašyse matuojamas bendras ilgio vienetas, o ašys yra tiesios.
Stačiakampė Dekarto koordinačių sistema plokštumoje turi dvi ašis ir stačiakampė Dekarto koordinačių sistema erdvėje - trys ašys. Kiekvienas taškas plokštumoje arba erdvėje apibrėžiamas sutvarkyta koordinačių rinkiniu – skaičiais, atitinkančiais koordinačių sistemos ilgio vienetą.
Atkreipkite dėmesį, kad, kaip matyti iš apibrėžimo, Dekarto koordinačių sistema yra tiesioje linijoje, ty vienoje dimensijoje. Dekarto koordinačių įvedimas tiesėje yra vienas iš būdų, kaip bet kuris linijos taškas susiejamas su tiksliai apibrėžtu realiuoju skaičiumi, ty koordinate.
Rene Descartes'o darbuose atsiradęs koordinačių metodas žymėjo revoliucinį visos matematikos pertvarkymą. Pasidarė įmanoma interpretuoti algebrines lygtis(arba nelygybes) geometrinių vaizdų (grafikų) pavidalu ir, atvirkščiai, ieškoti sprendimo geometrinės problemos naudojant analitines formules ir lygčių sistemas. Taip, nelygybė z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy ir esantis virš šios plokštumos 3 vnt.
Naudojant Dekarto koordinačių sistemą, taško priklausomybė duotoje kreivėje atitinka tai, kad skaičiai x Ir y patenkinti kokią nors lygtį. Taigi, apskritimo taško, kurio centras yra taško, koordinatės duotas taškas (a; b) tenkina lygtį (x - a)² + ( y - b)² = R² .
Stačiakampė Dekarto koordinačių sistema plokštumoje
Plokštumoje susidaro dvi statmenos ašys, turinčios bendrą pradžią ir tą patį mastelio vienetą Dekarto stačiakampio koordinačių sistema plokštumoje . Viena iš šių ašių vadinama ašimi Jautis, arba x ašis , kita - ašis Oy, arba y ašis . Šios ašys taip pat vadinamos koordinačių ašimis. Pažymėkime pagal Mx Ir My atitinkamai savavališko taško projekcija M ant ašies Jautis Ir Oy. Kaip gauti prognozes? Pereikime per tašką M Jautis. Ši tiesi linija kerta ašį Jautis taške Mx. Pereikime per tašką M tiesi linija, statmena ašiai Oy. Ši tiesi linija kerta ašį Oy taške My. Tai parodyta paveikslėlyje žemiau.
x Ir y taškų M atitinkamai pavadinsime nukreiptų segmentų reikšmes OMx Ir OMy. Šių nukreiptų segmentų vertės apskaičiuojamos atitinkamai kaip x = x0 - 0 Ir y = y0 - 0 . Dekarto koordinatės x Ir y taškų M abscisė Ir ordinatės . Faktas, kad taškas M turi koordinates x Ir y, žymimas taip: M(x, y) .
Koordinačių ašys padalija plokštumą į keturias kvadrantas , kurių numeracija parodyta paveikslėlyje žemiau. Tai taip pat rodo taškų koordinačių ženklų išdėstymą, atsižvelgiant į jų vietą tam tikrame kvadrante.
Be Dekarto stačiakampių koordinačių plokštumoje, dažnai atsižvelgiama ir į polinių koordinačių sistemą. Apie perėjimo iš vienos koordinačių sistemos į kitą būdą – pamokoje poliarinė koordinačių sistema .
Stačiakampė Dekarto koordinačių sistema erdvėje
Dekarto koordinatės erdvėje įvedamos visiškai analogiškai su Dekarto koordinatėmis plokštumoje.
Trys viena kitai statmenos ašys erdvėje (koordinačių ašys), turinčios bendrą pradžią O ir su tuo pačiu mastelio vienetu jie sudaro Dekarto stačiakampė koordinačių sistema erdvėje .
Viena iš šių ašių vadinama ašimi Jautis, arba x ašis , kita - ašis Oy, arba y ašis , trečioji – ašis Ozas, arba ašis taikyti . Leisti Mx, My Mz- savavališko taško projekcijos M erdvė ant ašies Jautis , Oy Ir Ozas atitinkamai.
Pereikime per tašką M JautisJautis taške Mx. Pereikime per tašką M plokštuma, statmena ašiai Oy. Ši plokštuma kerta ašį Oy taške My. Pereikime per tašką M plokštuma, statmena ašiai Ozas. Ši plokštuma kerta ašį Ozas taške Mz.
Dekarto stačiakampės koordinatės x , y Ir z taškų M atitinkamai pavadinsime nukreiptų segmentų reikšmes OMx, OMy Ir OMz. Šių nukreiptų segmentų vertės apskaičiuojamos atitinkamai kaip x = x0 - 0 , y = y0 - 0 Ir z = z0 - 0 .
Dekarto koordinatės x , y Ir z taškų M atitinkamai vadinami abscisė , ordinatės Ir kreiptis .
Koordinačių ašys, paimtos poromis, yra koordinačių plokštumose xOy , yOz Ir zOx .
Dekarto koordinačių sistemos taškų uždaviniai
1 pavyzdys.
A(2; -3) ;
B(3; -1) ;
C(-5; 1) .
Raskite šių taškų projekcijų į abscisių ašį koordinates.
Sprendimas. Kaip matyti iš teorinės šios pamokos dalies, taško projekcija į abscisių ašį yra pačioje abscisių ašyje, ty ašyje Jautis, todėl turi abscisę, lygią paties taško abscisei, ir ordinatę (ašies koordinatę Oy, kurį x ašis kerta taške 0), kuris yra lygus nuliui. Taigi gauname šias x ašies taškų koordinates:
Ax(2;0);
Bx(3;0);
Cx (-5; 0).
2 pavyzdys. Dekarto koordinačių sistemoje taškai pateikiami plokštumoje
A(-3; 2) ;
B(-5; 1) ;
C(3; -2) .
Raskite šių taškų projekcijų koordinates į ordinačių ašį.
Sprendimas. Kaip matyti iš šios pamokos teorinės dalies, taško projekcija į ordinačių ašį yra pačioje ordinačių ašyje, ty ašyje Oy, todėl turi ordinatę, lygią paties taško ordinatėms, ir abscisę (ašies koordinatę Jautis, kurią ordinačių ašis kerta taške 0), kuris yra lygus nuliui. Taigi gauname šias koordinačių ašies taškų koordinates:
Ay(0;2);
By(0;1);
Cy(0;-2).
3 pavyzdys. Dekarto koordinačių sistemoje taškai pateikiami plokštumoje
A(2; 3) ;
B(-3; 2) ;
C(-1; -1) .
Jautis .
Jautis Jautis Jautis, turės tą pačią abscisę kaip ir duotasis taškas, o ordinatė absoliučia verte lygi duoto taško ordinatai ir priešinga pagal ženklą. Taigi mes gauname šias taškų koordinates, simetriškas šiems taškams ašies atžvilgiu Jautis :
A"(2; -3) ;
B"(-3; -2) ;
C"(-1; 1) .
Pats spręskite uždavinius naudodami Dekarto koordinačių sistemą, o tada peržiūrėkite sprendimus
4 pavyzdys. Nustatykite, kuriuose kvadrantuose (ketvirčiai, brėžinys su kvadrantais - pastraipos „Stačiakampė Dekarto koordinačių sistema plokštumoje“ pabaigoje) gali būti taškas M(x; y) , Jei
1) xy > 0 ;
2) xy < 0 ;
3) x − y = 0 ;
4) x + y = 0 ;
5) x + y > 0 ;
6) x + y < 0 ;
7) x − y > 0 ;
8) x − y < 0 .
5 pavyzdys. Dekarto koordinačių sistemoje taškai pateikiami plokštumoje
A(-2; 5) ;
B(3; -5) ;
C(a; b) .
Raskite taškų, simetriškų šiems taškams, koordinates ašies atžvilgiu Oy .
Ir toliau spręskime problemas kartu
6 pavyzdys. Dekarto koordinačių sistemoje taškai pateikiami plokštumoje
A(-1; 2) ;
B(3; -1) ;
C(-2; -2) .
Raskite taškų, simetriškų šiems taškams, koordinates ašies atžvilgiu Oy .
Sprendimas. Pasukite 180 laipsnių aplink ašį Oy kryptinis segmentas nuo ašies Oy iki šios vietos. Paveikslėlyje, kur nurodyti plokštumos kvadrantai, matome, kad taškas yra simetriškas duotajam ašies atžvilgiu Oy, turės tą pačią ordinatę, kaip ir duotasis taškas, o abscisė absoliučia reikšme lygi nurodyto taško abscisei ir priešinga pagal ženklą. Taigi mes gauname šias taškų koordinates, simetriškas šiems taškams ašies atžvilgiu Oy :
A"(1; 2) ;
B"(-3; -1) ;
C"(2; -2) .
7 pavyzdys. Dekarto koordinačių sistemoje taškai pateikiami plokštumoje
A(3; 3) ;
B(2; -4) ;
C(-2; 1) .
Raskite taškų koordinates, simetriškas šiems taškams, atsižvelgiant į pradinę padėtį.
Sprendimas. Nukreiptą segmentą, einantį nuo pradžios iki nurodyto taško, pasukame 180 laipsnių kampu aplink pradinę vietą. Paveikslėlyje, kur nurodyti plokštumos kvadrantai, matome, kad taškas, simetriškas nurodytam taškui koordinačių pradžios atžvilgiu, turės abscisę ir ordinatę pagal absoliučią vertę duotojo taško abscisei ir ordinatėms, tačiau priešingas ženklu. Taigi gauname šias taškų koordinates, simetriškas šiems taškams, atsižvelgiant į pradinę padėtį:
A"(-3; -3) ;
B"(-2; 4) ;
C(2; -1) .
8 pavyzdys.
A(4; 3; 5) ;
B(-3; 2; 1) ;
C(2; -3; 0) .
Raskite šių taškų projekcijų koordinates:
1) lėktuve Oxy ;
2) lėktuve Oxz ;
3) į lėktuvą Oyz ;
4) ant abscisių ašies;
5) ordinačių ašyje;
6) ant taikymo ašies.
1) Taško projekcija į plokštumą Oxy yra pačioje šioje plokštumoje, todėl turi abscisę ir ordinatę, lygią tam tikro taško abscisei ir ordinatėms, o aplikaciją lygi nuliui. Taigi gauname šias šių taškų projekcijų koordinates Oxy :
Axy (4; 3; 0);
Bxy (-3; 2; 0);
Cxy(2;-3;0).
2) Taško projekcija į plokštumą Oxz yra pačioje šioje plokštumoje, todėl turi abscisę ir aplikaciją, lygią tam tikro taško abscisei ir aplikacijai, o ordinatę lygi nuliui. Taigi gauname šias šių taškų projekcijų koordinates Oxz :
Axz (4; 0; 5);
Bxz (-3; 0; 1);
Cxz (2; 0; 0).
3) Taško projekcija į plokštumą Oyz yra pačioje šioje plokštumoje, todėl turi ordinatę ir taikymą, lygią tam tikro taško ordinatėms ir taikymui, o abscisę lygi nuliui. Taigi gauname šias šių taškų projekcijų koordinates Oyz :
Ayz(0; 3; 5);
Byz (0; 2; 1);
Cyz (0; -3; 0).
4) Kaip matyti iš šios pamokos teorinės dalies, taško projekcija į abscisių ašį yra pačioje abscisių ašyje, ty ašyje Jautis, todėl turi abscisę, lygią paties taško abscisei, o projekcijos ordinatė ir aplikacija yra lygios nuliui (kadangi ordinatės ir aplikacinės ašys kerta abscises taške 0). Gauname šias šių taškų projekcijų į abscisių ašį koordinates:
Ax(4;0;0);
Bx (-3; 0; 0);
Cx(2;0;0).
5) taško projekcija į ordinačių ašį yra pačioje ordinačių ašyje, ty ašyje Oy, todėl turi ordinatę, lygią paties taško ordinatėms, o projekcijos abscisė ir aplikacija yra lygios nuliui (nes abscisės ir aplikacinės ašys kerta ordinačių ašį taške 0). Gauname šias šių taškų projekcijų koordinates į ordinačių ašį:
Ay(0; 3; 0);
By (0; 2; 0);
Cy(0;-3;0).
6) taško projekcija į taikymo ašį yra pačioje taikymo ašyje, ty ašyje Ozas, todėl turi aplikaciją, lygią paties taško aplikacijai, o projekcijos abscisė ir ordinatė yra lygios nuliui (kadangi abscisių ir ordinačių ašys kerta aplikacijos ašį taške 0). Gauname šias šių taškų projekcijų į taikomąją ašį koordinates:
Az (0; 0; 5);
Bz (0; 0; 1);
Cz(0; 0; 0).
9 pavyzdys. Dekarto koordinačių sistemoje taškai pateikiami erdvėje
A(2; 3; 1) ;
B(5; -3; 2) ;
C(-3; 2; -1) .
Raskite taškų koordinates, simetriškas šiems taškams, atsižvelgiant į:
1) lėktuvas Oxy ;
2) lėktuvai Oxz ;
3) lėktuvai Oyz ;
4) abscisių ašys;
5) ordinatės ašys;
6) pritaikyti ašis;
7) koordinačių kilmė.
1) „Perkelkite“ tašką kitoje ašies pusėje Oxy Oxy, turės abscisę ir ordinatę, lygią tam tikro taško abscisei ir ordinatėms, o aplikaciją, kurios dydis yra lygus duoto taško aplikacijai, bet priešingą ženklu. Taigi gauname tokias taškų koordinates, simetriškas duomenims plokštumos atžvilgiu Oxy :
A"(2; 3; -1) ;
B"(5; -3; -2) ;
C"(-3; 2; 1) .
2) „Perkelkite“ tašką kitoje ašies pusėje Oxzį tą patį atstumą. Iš paveikslo, kuriame pavaizduota koordinačių erdvė, matome, kad taškas yra simetriškas nurodytam taškui ašies atžvilgiu Oxz, turės abscisę ir aplikaciją, lygią duoto taško abscisei ir aplikacijai, o ordinatę, kurios dydis yra lygus tam tikro taško ordinatėms, bet priešingą ženklu. Taigi gauname tokias taškų koordinates, simetriškas duomenims plokštumos atžvilgiu Oxz :
A"(2; -3; 1) ;
B"(5; 3; 2) ;
C"(-3; -2; -1) .
3) „Perkelti“ tašką kitoje ašies pusėje Oyzį tą patį atstumą. Iš paveikslo, kuriame pavaizduota koordinačių erdvė, matome, kad taškas yra simetriškas nurodytam taškui ašies atžvilgiu Oyz, turės ordinatę ir aplicatę, lygias duoto taško ordinatėms ir aplicatams, o abscisę savo reikšme lygi tam tikro taško abscisei, bet priešingą ženklu. Taigi gauname tokias taškų koordinates, simetriškas duomenims plokštumos atžvilgiu Oyz :
A"(-2; 3; 1) ;
B"(-5; -3; 2) ;
C"(3; 2; -1) .
Analogiškai su simetriniais plokštumos taškais ir erdvės taškais, kurie yra simetriški duomenims, palyginti su plokštumais, pažymime, kad simetrijos kai kurios Dekarto koordinačių sistemos erdvėje ašies atžvilgiu koordinatė ašyje kuriai duota simetrija, išlaikys savo ženklą, o kitų dviejų ašių koordinatės absoliučia reikšme bus tokios pačios kaip nurodyto taško koordinatės, bet priešingos pagal ženklą.
4) Abscisė išsaugos savo ženklą, tačiau ordinatė ir aplikacija pakeis ženklus. Taigi gauname šias taškų koordinates, simetriškas duomenims abscisių ašies atžvilgiu:
A"(2; -3; -1) ;
B"(5; 3; -2) ;
C"(-3; -2; 1) .
5) Ordinata išsaugos savo ženklą, tačiau abscisė ir aplikacija pakeis ženklus. Taigi gauname šias taškų koordinates, simetriškas duomenims, palyginti su ordinačių ašimi:
A"(-2; 3; -1) ;
B"(-5; -3; -2) ;
C"(3; 2; 1) .
6) Aplikacija išsaugos savo ženklą, tačiau abscisė ir ordinatė pakeis ženklus. Taigi gauname šias taškų koordinates, simetriškas duomenims taikomosios ašies atžvilgiu:
A"(-2; -3; 1) ;
B"(-5; 3; 2) ;
C"(3; -2; -1) .
7) Analogiškai su simetrija, kai taškai yra plokštumoje, kai yra simetrija apie koordinačių pradžią, visos taško koordinatės, simetriškos tam tikram taškui, absoliučia verte bus lygios tam tikro taško koordinatėms, bet priešingai jiems ženkle. Taigi gauname tokias taškų koordinates, simetriškas duomenims, palyginti su kilme.
Jei plokštumoje arba trimatėje erdvėje įvesime koordinačių sistemą, geometrines figūras ir jų savybes galėsime apibūdinti naudodami lygtis ir nelygybes, tai yra, galėsime naudoti algebrinius metodus. Todėl koordinačių sistemos sąvoka yra labai svarbi.
Šiame straipsnyje parodysime, kaip apibrėžiama stačiakampė Dekarto koordinačių sistema plokštumoje ir trimatėje erdvėje bei išsiaiškinsime, kaip nustatomos taškų koordinatės. Aiškumo dėlei pateikiame grafines iliustracijas.
Puslapio naršymas.
Stačiakampė Dekarto koordinačių sistema plokštumoje.
Įveskime stačiakampę koordinačių sistemą plokštumoje.
Norėdami tai padaryti, plokštumoje nubrėžkite dvi viena kitai statmenas linijas ir pažymėkite kiekvieną iš jų teigiama kryptimi, nurodydami jį rodykle, ir pasirinkite ant kiekvieno iš jų skalė(ilgio vienetas). Šių linijų susikirtimo tašką pažymėkime raide O ir apsvarstykime jį atspirties taškas. Taigi gavome stačiakampė koordinačių sistema ant paviršiaus.
Kiekviena tiesė su pasirinkta pradžia O, kryptimi ir masteliu vadinama koordinačių linija arba koordinačių ašis.
Stačiakampė koordinačių sistema plokštumoje paprastai žymima Oxy, kur Ox ir Oy yra jos koordinačių ašys. Jaučio ašis vadinama x ašis, o Oy ašis – y ašis.
Dabar susitarkime dėl stačiakampės koordinačių sistemos vaizdo plokštumoje.
Paprastai ilgio matavimo vienetas ant Ox ir Oy ašių pasirenkamas taip, kad būtų vienodas ir brėžiamas nuo pradžios kiekvienoje koordinačių ašyje teigiama kryptimi (pažymėtas brūkšneliu ant koordinačių ašių, o vienetas rašomas šalia it), abscisių ašis nukreipta į dešinę, o ordinačių ašis nukreipta į viršų. Visos kitos koordinačių ašių krypties parinktys sumažinamos iki balsinės (Ox ašis - į dešinę, Oy ašis - aukštyn), pasukant koordinačių sistemą tam tikru kampu nuo pradžios ir žiūrint iš kitos pusės. lėktuvo (jei reikia).
Stačiakampė koordinačių sistema dažnai vadinama Dekartine, nes ją pirmą kartą plokštumoje pristatė Rene Descartes. Dar dažniau stačiakampė koordinačių sistema vadinama stačiakampe Dekarto koordinačių sistema, sudėjus visa tai.
Stačiakampė koordinačių sistema trimatėje erdvėje.
Panašiai trimatėje Euklido erdvėje nustatyta ir stačiakampė koordinačių sistema Oxyz, tik imamos ne dvi, o trys viena kitai statmenos tiesės. Kitaip tariant, prie koordinačių ašių Ox ir Oy pridedama koordinačių ašis Oz, kuri vadinama ašis taikyti.
Priklausomai nuo koordinačių ašių krypties, trimatėje erdvėje išskiriamos dešinės ir kairės stačiakampės koordinačių sistemos.
Jei žiūrint iš teigiamos Oz ašies krypties ir trumpiausias sukimasis nuo teigiamos Ox ašies krypties iki teigiamos Oy ašies krypties vyksta prieš laikrodžio rodyklę, tada koordinačių sistema vadinama teisingai.
Jei žiūrint iš teigiamos Oz ašies krypties ir trumpiausias sukimasis nuo teigiamos Ox ašies krypties iki teigiamos Oy ašies krypties vyksta pagal laikrodžio rodyklę, tada koordinačių sistema vadinama paliko.
Dekarto koordinačių sistemos taško koordinatės plokštumoje.
Pirmiausia apsvarstykite koordinačių liniją Ox ir paimkite joje tam tikrą tašką M.
Kiekvienas realusis skaičius atitinka vieną tašką M šioje koordinačių tiesėje. Pavyzdžiui, taškas, esantis koordinačių tiesėje atstumu nuo pradžios taško teigiama kryptimi, atitinka skaičių , o skaičius -3 atitinka tašką, esantį 3 atstumu nuo pradžios taško neigiama kryptimi. Skaičius 0 atitinka pradinį tašką.
Kita vertus, kiekvienas koordinačių linijos Ox taškas M atitinka realųjį skaičių. Šis tikrasis skaičius lygus nuliui, jei taškas M sutampa su pradžios tašku (tašku O). Šis tikrasis skaičius yra teigiamas ir lygus atkarpos OM ilgiui tam tikroje skalėje, jei taškas M pašalinamas iš pradžios teigiama kryptimi. Šis tikrasis skaičius yra neigiamas ir lygus atkarpos OM ilgiui su minuso ženklu, jei taškas M pašalinamas iš pradžios neigiama kryptimi.
Skambina numeriu koordinuoti taškai M koordinačių tiesėje.
Dabar apsvarstykite plokštumą su įvesta stačiakampe Dekarto koordinačių sistema. Šioje plokštumoje pažymėkime savavališką tašką M.
Tegul taško M projekcija į tiesę Ox, o taško M projekcija į koordinačių liniją Oy (jei reikia, žr. straipsnį). Tai yra, jei per tašką M brėžiame tieses, statmenas koordinačių ašims Ox ir Oy, tai šių tiesių susikirtimo su tiesėmis Ox ir Oy taškai yra atitinkamai taškai ir.
Tegul skaičius atitinka tašką Ox koordinačių ašyje, o skaičius – tašką Oy ašyje.
Kiekvienas plokštumos taškas M tam tikroje stačiakampėje Dekarto koordinačių sistemoje atitinka unikalią sutvarkytą realiųjų skaičių porą, vadinamą taško M koordinatės ant paviršiaus. Koordinatė vadinama M taško abscisė, A - taško M ordinatė.
Teisingas ir atvirkštinis teiginys: kiekviena sutvarkyta realiųjų skaičių pora atitinka plokštumos tašką M tam tikroje koordinačių sistemoje.
Taško koordinatės stačiakampėje koordinačių sistemoje trimatėje erdvėje.
Parodykime, kaip taško M koordinatės nustatomos stačiakampėje koordinačių sistemoje, apibrėžtoje trimatėje erdvėje.
Tegu ir yra taško M projekcijos atitinkamai į koordinačių ašis Ox, Oy ir Oz. Tegul šie koordinačių ašių Ox, Oy ir Oz taškai atitinka realūs skaičiai Ir .
