Fan va hayot // Rasmlar

Blez Paskal (1623-1662).

Isaak Nyuton (1643-1727).

Paskal uchburchagi.

O'ttiz-qirq yil oldin bo'lgani kabi bugun ham universitet abituriyentlari an'anaviy ravishda Nyuton binomiga oid savol bilan chiptani tortib olishdan qo'rqishadi. (Formula muallifi buyuk ingliz fizigi, matematigi, astronomi va faylasufi ser Isaak Nyutondir.) Bu shunchaki formulaning murakkab ko'rinishida emas. Uni o'rganish o'rta maktab o'quv dasturiga kiritilgan yoki asosiy kursdan olib tashlangan, ammo jiddiy universitetlarda imtihonchilar Nyutonning binomialini so'rashgan va so'rashda davom etishgan.

Aslida, bu erda qo'rqadigan narsa yo'q. Nyuton binomi - \((a+b)^n \) binomining ixtiyoriy tabiiy kuchini ko'phadga kengaytirish formulasi. Har birimiz "yig'indi kvadrati" \((a+b)^2 \) va "yig'indi kubi" \((a+b)^3 \) formulalarini yoddan bilamiz, lekin ko'rsatkich o'sish bilan ortadi. ko'phadning shartlari bo'yicha koeffitsientlarni aniqlash, qiyinchiliklar. Xatoga yo'l qo'ymaslik uchun Nyutonning binomial formulasi qo'llaniladi:

\[ (a+b)^n = a^n + \frac(n)(1a^{n-1}b + \frac{n(n-1)}{2!}a^{n-2}b^2 + \ldots + b^n. \]!}

Umumiyroq shaklda binomialdagi koeffitsient formulasi quyidagicha yoziladi:

\[ C_(n)^(k) = \frac(n{k!(n-k)!} \]!}

qayerda k- polinomdagi atamaning tartib raqami.

Eslatib o'tamiz, faktorial 1 dan 1 gacha bo'lgan natural sonlarning ko'paytmasidir n, ya'ni \(1*2*3*\ldots*n \) - belgilangan n!, masalan, \(4! = 1*2*3*4 = 24 \).

Formulani eslab qolish juda qiyin. Ammo keling, buni tahlil qilishga harakat qilaylik. Ko'rinib turibdiki, har qanday ko'phadda mavjud a n va b n koeffitsientlar bilan 1. Bundan tashqari, polinomning boshqa har qanday hadi binomialning har bir hadining ma'lum darajalari ko'paytmasiga o'xshab ko'rinishi aniq. (a+b), va kuchlar yig'indisi har doim n ga teng. Masalan, \[ (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \] ifodasida omillarning barcha shartlardagi vakolatlari yig'indisi uchga teng. (3, 2+1, 1+2, 3). Xuddi shu narsa boshqa har qanday daraja uchun ham amal qiladi. Yagona savol - a'zolarga qanday koeffitsientlar qo'yish kerak.

Ko'rinishidan, maktab o'quvchilari va talabalarining mehnatini engillashtirish uchun buyuk frantsuz matematigi va fizigi Blez Paskal uch yuz ellik yil oldin xuddi shu koeffitsientlarni aniqlash uchun maxsus vosita - "Paskal uchburchagi" ni ishlab chiqdi.

U quyidagicha qurilgan.Uchburchakning yuqori qismiga 1 yozamiz. Birlik \((a+b)^0, \) ifodaga mos keladi, chunki nol darajaga ko'tarilgan har qanday son bittani beradi. Uchburchakni tugatib, quyida yana bitta birlik yozamiz. Bular bir xil binomning birinchi darajaga ko'tarilgan kengayish koeffitsientlari: \((a+b)^1 = a+b. \) Keling, davom etaylik. Uchburchakning tomonlari birliklarni tashkil qiladi va ular orasida tepada joylashgan ikkita birlik yig'indisi, ya'ni 2. Bular "yig'indi kvadrati" trinomialining koeffitsientlari:

\[ a^2 + 2ab + b^2. \]

Keyingi qator, avvalgi kabi, birliklar bilan boshlanadi va tugaydi va ular orasida tepada joylashgan raqamlar yig'indisi joylashgan: 1, 3, 3, 1. Biz "sum kubi" ning kengayish koeffitsientlarini oldik. To'rtinchi darajali binomialning bir qator koeffitsientlari 1, 4, 6, 4, 1 va hokazo bo'ladi.

Masalan, Paskal uchburchagidan foydalanib, binomialar yig'indisini oltinchi darajaga ko'paytiramiz:

\[ (a + b)^6 = a^6+6a^5b + 15a^4b^2+20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6. \]

Hamma narsa juda oddiy va umr bo'yi esda qolarli. Aytgancha, Paskal uchburchagini qoralamaga chizish orqali Nyutonning binomial formulasini eslab qolish va olish ham ancha oson.

Ba'zi fan tarixchilari Blez Paskalga nafaqat binomial koeffitsientlarni topishga imkon beruvchi uchburchak, balki binomial formulaning o'zi ham mualliflik qiladilar. Ularning fikricha, Paskal buni Nyutondan biroz oldinroq chiqargan va u faqat turli darajalar uchun formulani umumlashtirgan.

Matematikadan dars rejasi:

« Binom teoremasi. Binom koeffitsientlarining xossalari»

Maqsadlar :

- tarbiyaviy : Nyutonning binomial formulasi bilan tanishtirish, binomialni darajaga ko'tarishda Nyutonning binomial formulasini qo'llashni o'rgatish;
- rivojlanmoqda : xotirani, algoritmik va mantiqiy fikrlashni, e'tiborni rivojlantirishga yordam berish;
- tarbiyaviy: mas'uliyat, mustaqillik, vijdonlilik tuyg'ularini tarbiyalashda davom eting.)

Uskunalar : kompyuter, multimedia proyektori, ekran, taqdimot, nazariy material yozilgan kartochkalar.

Dars turi - birlashtirilgan;

Talabalarning ish shakllari - frontal, individual.

Darslar davomida:

1 . Tashkilot vaqti:

Mavzuning xabari, darsning maqsadlari, ko'rib chiqilayotgan mavzuning amaliy ahamiyati.

2. Bilimlarni yangilash

I . Oldingi so'rov:

1) Kombinatorika nimani o'rganadi?

2) Qanday bog'lanish turlari yoki namunalarini bilasiz?

3) "Kombinatorika" krossvordini toping

II . Og'zaki hisoblash:

5!=….(120), A 5 2 =…(20)., C 4 2 =….(8)

5 kishi skameykada nechta usulda o‘tirishi mumkin?

3. Yangi material taqdimoti: Nazariy material kartalari bilan ishlash. Talabalarning xabarlarini tinglash va tahlil qilish. Abstrakt yozish.

I ) Kombinatorika tarixi ( Talaba xabari)

Oxirgi darsda biz kombinatorika asoslari bilan tanishdik. Birinchi ijodiy guruh uchun uy vazifasi kombinatorikaning fan sifatida paydo bo'lishi tarixi haqida ma'ruza tayyorlash edi. (Talabaning xabari)

Kombinatorikaning fan sifatida rivojlanishiga qaysi olimlar hissa qo'shgan?

O'sha davrning ajoyib aqllaridan biri ingliz olimi Isaak Nyuton edi. Sizning uy vazifangiz bu buyuk daho haqida reportaj tayyorlash edi.

II ) Isaak Nyuton - buyuk matematik ( Talaba xabari)

Ma'ruzadan siz buyuk matematik Isaak Nyutonga tegishli qanchalar yorqin g'oyalar va kashfiyotlar haqida eshitdingiz. Uning kashfiyotlaridan biri formuladirBinom teoremasi .

III ) Nyuton binomi.

Aynan shu kashfiyotga biz bugungi darsimizni bag'ishlaymiz. Keling, dars mavzusini yozamiz.Darsimizning maqsadlari : Nyutonning binomial formulasi bilan tanishish, binomialni darajaga ko'tarishda Nyutonning binomial formulasini qo'llashni o'rganish.

Binom so'zi "Ikki son" degan ma'noni anglatadi. Matematikada binomial "ikki o'zgaruvchining yig'indisining manfiy bo'lmagan butun son darajasini alohida atamalarga ajratish formulasi". Keling, uni keyinchalik qo'llash uchun Nyutonga ergashib, uni olishga harakat qilaylik.

Ehtimol siz ikkita haddan iborat yig'indining kvadrati va kubi uchun qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini eslaysiz (yoki hech bo'lmaganda esda tutishingiz kerak) (bunday yig'indi "binom ", rus tilida -binom .

Agar siz ushbu formulalarni unutib qo'ysangiz, ularni aniq tenglikdagi qavslarni kengaytirish orqali to'g'ridan-to'g'ri olishingiz mumkin

Ehtimol, sizda savol tug'ilgandir: (kompyutersiz) to'rtinchi, beshinchi, o'ninchi darajali binomlar uchun turdagi formulalarni olish mumkinmi - nima bo'lishidan qat'iy nazar?

Keling, to'g'ridan-to'g'ri hech bo'lmaganda beshinchi darajaga o'tishga harakat qilaylik va u erda, ehtimol, "butalarda pianino" bo'ladi (buyurtma uchun biz shartlarni o'ng tomonga kamayish tartibida joylashtiramiz.a , u maksimaldan nolga kamayadi):

Endi binomialni berilgan quvvatga ko'tarishda formulalarning o'ng tomonidagi raqamli koeffitsientlarni alohida yozamiz:

Oldingi sahifada "butalardagi pianino" Paskal uchburchagi ekanligini allaqachon taxmin qilgan bo'lishingiz mumkin. Raqamli koeffitsientlar uchun yozilganlar uchinchidan boshlab Paskal uchburchagining chiziqlari ekanligini tekshirish oson. Birinchi ikkita satrga ega bo'lmagan bu "kesilgan uchburchak" osongina to'liq bajarilishi mumkin (chiziqlarni qachon olingn=0 van=1 ):

Nihoyat, biz olamiz:

Bu bayonot Paskaldan ancha oldin ma'lum bo'lgan - u XI-XII asrlarda yashaganlarga ma'lum edi. O‘rta osiyolik matematik va shoir Umar Xayyom (afsuski, uning bu haqdagi essesi bizgacha yetib kelmagan). Formulaning bizgacha yetib kelgan birinchi ta’rifi O‘rta Osiyo matematigi at-Tusiyning 1265-yilda paydo bo‘lgan kitobida keltirilgan bo‘lib, unda sonlar jadvali (binomial koeffitsientlar) gacha va shu jumladan berilgan.

Yevropa olimlari formula bilan, shekilli, Sharq matematiklari orqali tanishgan. Xususiyatlarni batafsil o'rganish 1654 yilda frantsuz matematigi va faylasufi B. Paskal tomonidan amalga oshirildi. Sizning uy vazifangiz frantsuz olimi Paskal haqida ma'ruza tayyorlash edi.

IV ) Blez Paskal ( Talaba xabari)

Endi binomialni qanday qilib har qanday kuchga ko'tarish aniq n. Chap tomonda biz yozamiz (a+b) n. Va o'ng tomonda biz summani yozamiz a n + a n-1 b + … + b n, har bir muddatda koeffitsient uchun joy qoldirib. Va bu joylar raqamlar bilan to'ldirilgan n Paskal uchburchagining birinchi qatori, bu albatta oldindan yozilishi kerak.

Binomiyani qurisha+b darajaga qadarn parchalanish deb ataladigan formula bilan ishlab chiqarilishi mumkinNyuton binomiali :

(a+b) n = a n +C 1 n a n - 1 b+C 2 n a n - 2 b 2 +...+C k n a n-k b k +... +C n - 1 n ab n - 1 +C n n b n

qayerdaC k n - barcha mumkin bo'lgan kombinatsiyalar shakllanishi mumkinn ta elementdan k .

Misol : (a+b) 5 = a 5 +C 1 5 a 4 b+C 2 5 a 3 b 2 +C 3 5 a 2 b 3 +C 4 5 ab 4 +C 5 5 b 5 = a 5 + 5a 4 b+10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 +b 5

Shunday qilib, binomialni istalgan darajaga ko'tarish uchun formula yozishingiz mumkin. Binomni Nyuton formulasi bilan kengaytirishda atamalarning ayrim xossalariga e'tibor beraylik.

V ) Nyutonning binomial xossalari

Koeffitsientlar nosimmetrikdir.

Qavs ichida minus belgisi mavjud bo'lsa, u holda + va - belgilari almashinadi.

Har bir a'zoning darajalari yig'indisi binomial darajasiga teng.

Kengayish koeffitsientlari yig'indisi (a + b) n2 ga teng n .

VI ) Yangi materialni mustahkamlash.

Qisqartirilgan ko‘paytirish formulalarini o‘rganishda Nyuton binomidan foydalanish bilan tanishdik: Nyuton binomialidan yana qayerda foydalaniladi?

VII ) Nyuton binomining qo'llanilishi.

Xulosa qilib aytganda, Nyuton binomidan foydalanish ifodaning berilgan songa bo'linishini isbotlash imkonini beradigan misolni ko'rib chiqing.

Misol.

Ifodaning qiymati ekanligini isbotlang , bu erda n natural son, 16 ga qoldiqsiz bo'linadi.

Yechim.

Biz ifodaning birinchi hadini sifatida ifodalaymiz va Nyutonning binomial formulasidan foydalaning:

Olingan mahsulot asl ifodaning 16 ga bo'linishini isbotlaydi.Nyuton binomi Ferma teoremasini isbotlashda, cheksiz qatorlar nazariyasida va Nyuton-Leybnits formulasini chiqarishda ishlatiladi.

VIII ) “Nyuton binomi” idiomasi nimani anglatadi?

Arzimas masalaga nisbatan ishlatiladigan hazil iborasi, ba'zilar xato qilib, bajarish juda qiyin yoki juda qiyin deb hisoblaydigan oddiy vazifa.
Gapning paydo bo'lishi : romandan (1891 - 1940) "Usta va Margarita" (1940).
Volandning bufetchi Sokov bilan suhbatiga izoh berishga qaror qilgan Korovyovning so'zlari. Bufetchi unga soxta pul to'lagan tomoshabinlardan shikoyat qiladi, bu esa "bufetni bir yuz to'qqiz rublga jazoladi".
— Albatta, bu summa emas, — dedi Voland mehmonga kamtarona ohangda, — garchi, aytmoqchi, bu sizga ham kerak emas. Qachon o'lasan?
Shu payt bufetchining jahli chiqdi.
"Hech kim bilmaydi va hech kimga ahamiyat bermaydi", deb javob berdi u.
- Xo'sh, ha, ma'lum emas, - xuddi shunday ofisdan ovoz (Korovyov), -Nyutonning binomialini o'ylab ko'ring ! U to'qqiz oydan keyin, kelasi yilning fevral oyida Birinchi Moskva davlat universiteti klinikasida, to'rtinchi palatada jigar saratonidan vafot etadi.

IX ) Dars natijalari. Reflektsiya

Nyutonning binomialini o'ylab ko'ring

"O'ylab ko'ring, Nyuton binomiali"
Mushuk begemotni miyovladi
(U Volandning itoatkor xizmatkori),
Hayotning borishini bashorat qilish.
Bularning barchasi faqat tasdiqlaydi
Nyuton daho, lekin uzoq vaqt
Binom Xitoyda mashhur edi,
Arablar u haqida bilishgan.
Ammo Nyuton yechimni umumlashtirdi,
U polinomni bir darajaga ko'tardi ...
Bizni barcha shubhalardan xalos qildi
Boshqa muammolarimiz yo‘q.
Hech qanday dalilsiz ayting
Nega bizga bu binom kerak?
Hodisalarning kombinatorikasi
Biz uni binomialsiz topa olmaymiz.
noyabr 7, 2015 yil

Darsda qanday yangi narsalarni o'rgandingiz? Bu formula matematika uchun muhimmi? Yangi materialni o'rganish siz uchun qiyin bo'lganmi?

Uy vazifasi. Nazorat ishlariga tayyorgarlik.

( har bir talaba uchun ish varag'i)

1. 12 ta jamoa a'zolaridan siz kapitan va o'rinbosarni tanlashingiz kerak. Buni necha usulda qilish mumkin?

2. Hisoblang: 4P 3 + 3A 2 10 -C 2 5

Iqtisodiyot instituti bitiruvchilari uch xil tashkilotda ishlaydi: 17 kishi bankda, 23 nafari korxonada va 19 nafari soliq idorasida. Tasodifiy uchrashgan bitiruvchining bankda ishlash ehtimolini toping?

8 xil kitob mavjud bo'lib, ulardan 2 tasi she'rlar to'plamidir. Bu kitoblarni javonda ma’lumotnomalar yonma-yon turishi uchun nechta usulda joylashtirish mumkin?

KVN o'ynash uchun 6 kishidan iborat jamoa tanlash kerak.Agar jamoada o'g'il va qiz bolalar soni teng bo'lsa, sinfda 12 nafar qiz va 10 nafar o'g'il bo'lishi kerak bo'lsa, buni nechta usulda amalga oshirish mumkin?

0,1,3,6,7,9 raqamlaridan har xil raqamlarga ega nechta uch xonali sonlar yasalishi mumkin?

Buni hisobga oling :( a- b) 9 va (3 x+ y) 10

Quyidagi (a + b) n darajali iboralarni ko'rib chiqing, bu erda a + b har qanday binom, n esa butun sondir.

Har bir ifoda polinomdir. Barcha ifodalarda siz xususiyatlarni sezishingiz mumkin.

1. Har bir ifodada n ko‘rsatkichidan bir had ortiq.

2. Har bir atamada vakolatlar yig'indisi n ga teng, ya'ni. binomial ko'tarilgan kuch.

3. Kuchlar binomial daraja n dan boshlanadi va 0 ga kamayadi. Oxirgi had a koeffitsientiga ega emas. Birinchi atama b omiliga ega emas, ya'ni. b ning vakolatlari 0 dan boshlanadi va n gacha ortadi.

4. Koeffitsientlar 1 dan boshlanadi va ma'lum qiymatlarga "yarim yo'l" ga ko'tariladi va keyin bir xil qiymatlar bilan 1 ga kamayadi.

Keling, koeffitsientlarni batafsil ko'rib chiqaylik. Faraz qilaylik, (a + b) 6 ni topmoqchimiz. Biz hozir sezgan xususiyatga ko'ra, bu yerda 7 a'zo bo'lishi kerak
a 6 + c 1 a 5 b + c 2 a 4 b 2 + c 3 a 3 b 3 + c 4 a 2 b 4 + c 5 ab 5 + b 6.
Lekin har bir koeffitsientning qiymatini qanday aniqlashimiz mumkin, c i? Buni ikki usulda qilishimiz mumkin. Birinchi usul quyida ko'rsatilganidek, koeffitsientlarni uchburchakda yozishni o'z ichiga oladi. Bu sifatida tanilgan Paskal uchburchagi :


Uchburchakda ko'plab xususiyatlar mavjud. Iloji boricha ko'proq toping.
Yuqoridagi satrdagi raqamlardan foydalanib, keyingi raqamlar qatorini yozish usulini topgandirsiz. Birliklar har doim yon tomonlarda joylashgan. Har bir qolgan raqam bu raqamdan yuqori bo'lgan ikkita raqamning yig'indisidir. Topilgan xususiyatlardan foydalanib, quyidagi qatorni qo'shish orqali (a + b) 6 ifoda qiymatini topishga harakat qilaylik:

Biz buni oxirgi qatorda ko'ramiz

birinchi va oxirgi raqam 1 ;
ikkinchi raqam 1 + 5 yoki 6 ;
uchinchi raqam 5 + 10 yoki 15 ;
to'rtinchi raqam 10 + 10 yoki 20 ;
beshinchi raqam 10 + 5 yoki 15 ; va
oltinchi raqam 5 + 1 yoki 6 .

Demak, (a + b) 6 ifodasi ga teng bo'ladi
(a + b) 6 = 1 a 6+ 6 a 5 b + 15 a 4 b 2 + 20 a 3 b 3 + 15 a 2 b 4 + 6 ab5 + 1 b6.

(a + b) 8 darajasiga ko'tarish uchun Paskal uchburchagiga ikkita chiziqni to'ldiramiz:

Keyin
(a + b) 8 = a 8 + 8a 7 b + 28a 6 b 2 + 56a 5 b 3 + 70a 4 b 4 + 56a 3 b 5 + 28a 2 b 6 + 8ab 7 + b 8.

Natijalarimizni quyidagicha umumlashtirishimiz mumkin.

Paskal uchburchagi yordamida Nyuton binomial

Har qanday binomial a + b va har qanday natural n soni uchun,
(a + b) n = c 0 a n b 0 + c 1 a n-1 b 1 + c 2 a n-2 b 2 + .... + c n-1 a 1 b n-1 + c n a 0 b n,
bu yerda c 0 , c 1 , c 2 ,....., c n-1 , c n sonlari Paskal uchburchagining (n + 1) qatoridan olingan.

1-misol Quvvatga ko'taring: (u - v) 5 .

Yechim Bizda (a + b) n , bu erda a = u, b = -v va n = 5. Paskal uchburchagining 6-qatoridan foydalanamiz:
1 5 10 10 5 1
Keyin bizda bor
(u - v) 5 = 5 = 1 (u)5+ 5 (u) 4 (-v) 1 + 10 (u) 3 (-v) 2 + 10 (u) 2 (-v) 3 + 5 (u)(-v) 4 + 1 (-v) 5 = u 5 - 5u 4 v + 10u 3 v 2 - 10u 2 v 3 + 5uv 4 - v 5.
E'tibor bering, atamalarning belgilari + va - orasida o'zgarib turadi. -v ning kuchi toq son bo'lsa, belgisi - bo'ladi.

2-misol Quvvatga ko'taring: (2t + 3/t) 4 .

Yechim Bizda (a + b) n , bu yerda a = 2t, b = 3/t va n = 4. Paskal uchburchagining 5-qatoridan foydalanamiz:
1 4 6 4 1
Keyin bizda bor

Faktorial qiymatlar yordamida binomial parchalanish

Faraz qilaylik, (a + b) 11 qiymatini topmoqchimiz. Paskal uchburchagidan foydalanishning salbiy tomoni shundaki, biz kerakli qatorni olish uchun uchburchakning oldingi barcha qatorlarini hisoblashimiz kerak. Quyidagi usul buni oldini oladi. Bundan tashqari, boshqa barcha chiziqlarni hisoblamasdan, ma'lum bir qatorni topishga imkon beradi - 8-qatorni ayting. Bu usul hisob-kitoblarda, statistikada foydali va u foydalanadi binom koeffitsienti yozuvi .
Nyuton binomialini quyidagicha shakllantirishimiz mumkin.

Faktorial yozuvdan foydalangan holda binom Nyuton

Har qanday binom (a + b) va har qanday natural n soni uchun,
.

Nyutonning binomialini matematik induksiya bilan isbotlash mumkin. U sababini ko'rsatadi binom koeffitsienti .

3-misol Quvvatga ko'taring: (x 2 - 2y) 5 .

Yechim Bizda (a + b) n , bu erda a = x 2, b = -2y va n = 5. Keyin Nyuton binomialidan foydalanib, biz bor


Nihoyat, (x 2 - 2y) 5 = x 10 - 10x 8 y + 40x 6 y 2 - 80x 4 y 3 + 80x 2 y 4 - 35y 5 .

4-misol Quvvatga ko'taring: (2/x + 3√x ) 4 .

Yechim Bizda (a + b) n , bu yerda a = 2/x, b = 3√x va n = 4. Keyin Nyuton binomidan foydalanib, biz olamiz


Nihoyat (2/x + 3√x ) 4 = 16/x 4 + 96/x 5/2 + 216/x + 216x 1/2 + 81x 2.

Muayyan a'zoni topish

Faraz qilaylik, biz iboradan atamaning u yoki bu a'zosini aniqlamoqchimiz. Biz ishlab chiqqan usul Paskal uchburchagining barcha qatorlarini yoki oldingi barcha koeffitsientlarni hisoblamay turib, bu atamani topish imkonini beradi.

E'tibor bering, Nyuton binomida bizga 1-chi hadni beradi, bizga 2-chi hadni beradi, bizga 3-chi hadni beradi va hokazo. Buni quyidagicha umumlashtirish mumkin.

(k + 1) hadni topish

(k + 1) ifoda hadi (a + b) n .

5-misol(2x - 5y) 6 ifodadagi 5-sonni toping.

Yechim Birinchidan, 5 = 4 + 1 ekanligini e'tiborga oling. Keyin k = 4, a = 2x, b = -5y va n = 6. Keyin ifodaning 5-chi hadi bo'ladi.

6-misol(3x - 2) 10 ifodadagi 8-sonni toping.

Yechim Birinchidan, 8 = 7 + 1 ekanligini e'tiborga oling. Keyin k = 7, a = 3x, b = -2 va n = 10. Keyin ifodaning 8-chi hadi bo'ladi.

Kichik to'plamlarning umumiy soni

Faraz qilaylik, to‘plamda n ta ob’ekt bor. K elementni o'z ichiga olgan kichik to'plamlar soni. To'plamning umumiy kichik to'plamlari soni 0 elementli kichik to'plamlar soni, shuningdek, 1 elementli kichik to'plamlar soni, shuningdek, 2 elementli kichik to'plamlar soni va hokazo. n ta elementdan iborat to'plamning umumiy kichik to'plamlari soni
.
Endi (1 + 1) n ko'rsatkichini ko'rib chiqamiz:

.
Shunday qilib. kichik to'plamlarning umumiy soni (1 + 1) n yoki 2 n ga teng. Biz quyidagilarni isbotladik.

Kichik to'plamlarning umumiy soni

n ta elementli to'plamning umumiy kichik to'plamlari soni 2 n ga teng.

7-misol To'plam (A, B, C, D, E) nechta kichik to'plamga ega?

Yechim To'plam 5 ta elementdan iborat bo'lib, u holda kichik to'plamlar soni 2 5 yoki 32 ga teng.

8-misol Wendy's restoranlar tarmog'i gamburgerlar uchun quyidagi taomlarni taklif qiladi:
{ketchup, xantal, mayonez, pomidor, salat, piyoz, qo'ziqorin, zaytun, pishloq}.
Wendy qancha turdagi gamburgerlarni taklif qilishi mumkin, gamburger hajmi yoki miqdori bundan mustasno?

Yechim Har bir gamburger uchun qo'shimchalar barcha mumkin bo'lgan to'plamlar to'plamining bir qismidir va bo'sh to'plam shunchaki gamburgerdir. Mumkin bo'lgan gamburgerlarning umumiy soni bo'ladi

. Shunday qilib, Wendy 512 xil gamburger taklif qilishi mumkin.

Nyuton tomonidan kashf etilgan binomialning istalgan darajasini ifodalovchi algebraik formula, xususan:

(x + a) n \u003d x n + n / 1 (ax n-1) + (a 2 x n-2) + …(a n x n-m) + …

yoki ixcham shaklda n belgisi yordamida! = 1.2.3…n:

(x + a) n = ∑ m (!x n-m a m

Bu formula birinchi marta 1676 yilda Nyuton tomonidan isbotsiz berilgan. U Londonning Vestminster abbatligidagi Nyuton qabrida o'yilgan, ammo bu Nyutonning eng muhim kashfiyotlaridan biri emas.

Butun son koʻrsatkichi uchun B. formulasining isboti binomiallarning ixtiyoriy sonining koʻpaytmasini ifodalovchi umumiyroq formulaning maxsus holati sifatida osonlik bilan olinadi. To'g'ridan-to'g'ri ko'paytirish orqali n = 2 yoki n = 3 holatlari uchun quyidagi formulaga mos kelishini tekshirish oson:

(x + a 1) (x + a 2) ... (x + a n) \u003d x n + S n 1 x n-l + S n 2 x n-2 + ... + S n n

Bu erda S n 1 - berilgan a 1, a 2 miqdorlarining yig'indisi. . . va n, S n 2 ularning mahsuloti ikkiga yig'indisi, - S n n bu barcha miqdorlarning mahsulotidir. Va keyin isbotlash mumkinki, agar bu n uchun to'g'ri bo'lsa, u holda n + 1 omillar uchun ham to'g'ri. Chunki bitta omil x + a n + 1 qo'shilsa, biz to'g'ridan-to'g'ri ko'paytirish orqali olamiz

(x + a 1)(x + a 2)…(x + a n-1) = x n-1 + (S n 1 + a n+1)x n + (S n 2 + S n 1 a n- 1)x n-1 + … + S n n a n

va shu bilan birga, bu aniq

S n 1 + a n+1 + 1 = S 1 n+1

S n 2 + S n 1 a n+1 = S 2 n+1

va hokazo, shuning uchun oxirgi tenglikning o'ng tomoni bo'ladi

x n+1 + S 1 n+1 x n + S 2 n+1 x n-1 + … + (S n+1) n+1

va hokazo. Endi hamma narsaga ruxsat bering a bir-biriga teng va teng, masalan, a, keyin:

S 2 \u003d a 2 ...

va (x + a) n \u003d x n + nax n-1 + (a 2 x n-2) + ... ni oling.

Shunday qilib, n ta butun, musbat uchun Nyuton formulasining to'g'riligi isbotlangan. Ammo Nyutonning o'zi bu kasr uchun ham, salbiy uchun ham to'g'ri ekanligini allaqachon ko'rsatdi. Har qanday n uchun Eyler isbotini keltiramiz. Quyidagi ifodani ko'rib chiqing:

1+nx + + x3 + …

n ta butun son uchun u (1 + x) n ga teng. Har qanday n uchun u umumiy f(n) bo'lsin. Xuddi shunday, n o‘rniga m qo‘yilgan o‘xshash ifoda f(m) bo‘lsin. Ko'paytirsak, bir tomondan f (n) f (m), ikkinchi tomondan, koeffitsientlar tarkibi qonuni bizga n, m butun sonlar misolidan ma'lum bo'lgan ifodani topamiz, ya'ni:

f(n)f(m) = 1 + [(n + m)/1]x + [(n + m)(n + m - 1)/1.2]x 2 + [(n + m)(n +) m - 1)(n + m - 2)/1.2.3]x 3 + ...

va bu aniq f(n+m). Shunday qilib, biz f(n)f(m) = f(n + m); xuddi shu tarzda f(n 1)f(n 2) omillarning ixtiyoriy soni uchun.. . f(n m) = f(n 1 +n 2 +…+n m); sozlash n 1 = n 2 =…= n m = l/m, bizda bor

f(n)f(–n) = f(0) = 1, ya’ni f(–n) = 1/f(n) yoki

f (–n) \u003d (1 + x) -l \u003d nx + x 2 - x 3 + ... va boshqalar.

• - binomial, ikki algebraning yig'indisi yoki ayirmasi. masalan, B. aʼzolari deb ataladigan iboralar. , va hokazo. B. darajalari haqida, ya'ni ha iboralari Nyuton binomialiga qarang ...

  Matematik entsiklopediya

• - ikki miqdorning yig'indisi yoki ayirmasidan iborat algebraik ifoda, masalan axm +...
• - Nyuton tomonidan kashf etilgan, binomialning istalgan darajasini ifodalovchi algebraik formula, xususan: n \u003d xn + n / 1 + + ... + ... yoki ixcham shaklda n belgisidan foydalangan holda! = 1,2...

  Brockhaus va Euphron entsiklopedik lug'ati

• - va lat. nom — nom) binom, B. aʼzolari deb ataladigan ikki algebraik ifodaning yigʻindisi yoki ayirmasi; masalan, a + b va boshqalar. B. darajalari, ya'ni n ko'rinishdagi ifodalar haqida Nyuton binomialiga qarang ...
• - bu atamalarning darajalari orqali ikki had yig'indisining har qanday musbat butun son darajasini ifodalovchi formulaning nomi, ya'ni: bu erda n - musbat butun son, a va b nima bo'lishidan qat'iy nazar ...

  Buyuk Sovet Entsiklopediyasi

• - ixtiyoriy darajadagi ikkita a'zoning algebraik yig'indisining kengayishini yozishga imkon beruvchi formulaning nomi ...

  Collier entsiklopediyasi

• - binomial bilan bir xil. n ko'rinishdagi binomial uchun San'atga qarang. Nyuton binomi...
• - ikki had yig'indisining musbat butun son kuchini ushbu atamalarning vakolatlari nuqtai nazaridan ifodalovchi formula (ularga biriktirilgan koeffitsientlar binomial koeffitsientlar deb ataladi ...

  Katta ensiklopedik lug'at

• - Kreditlar. 19-asrning birinchi yarmida. frantsuzlardan lang., bu erda binôme - lat qo'shilishi. bi va yunoncha. nomē "qism, ulush". Chorshanba bu so'zning hosila iz qog'ozi binomialdir ...

  Rus tilining etimologik lug'ati

• - Mixail Afanasyevich Bulgakovning "Usta va Margarita" romanidan. Voland va bufetchi Andrey Fokich Sokov o'rtasidagi suhbatni sharhlagan Korovyov-Fagotning so'zlari...

  Qanotli so'zlar va iboralar lug'ati

• - ; pl. bino/biz, R....

  Rus tilining imlo lug'ati

• - er. ayollarning binomiyasi harflarni hisoblashda: ikki atamadan iborat sonli ifoda; binomial, binomial miqdor ...

  Dahlning tushuntirish lug'ati

• - BINOM, -a, er. Matematikada: binomial...

  Ozhegovning izohli lug'ati

• - binomial m.Ikki monomning yig'indisini yoki ayirmasini ifodalovchi algebraik ifoda; binom...

  Efremovaning izohli lug'ati

• - Razg. Shuttle. smth haqida. murakkab, chalkash. Elistratov, 41...

  Rus so'zlarning katta lug'ati

• - BINOM, -a, m. . Temir. smth haqida. ko‘rinishidan murakkab, chalkash. ega. M. Bulgakovning "Usta va Margarita" romani ta'siri ostida tarqaldi ...

  Ruscha Argo lug'ati

Kitoblarda "Nyuton binomiali"

Keplerdan Nyutongacha

Laplas kitobidan muallif Vorontsov-Velyaminov Boris Nikolaevich

1.2. Anaksimandrdan Nyutongacha

"Vaqt tabiati: vaqtning kelib chiqishi va jismoniy mohiyati haqidagi gipoteza" kitobidan muallif Plaj Anatoliy Makarovich

1.2. Anaksimandrdan Nyutongacha Insoniyatning paydo bo'lishida fazo tushunchasi dastlab o'zlashtirildi va shundan keyingina kosmosga o'xshab, odamlar vaqt tushunchasini asta-sekin amaliy maqsadlar uchun moslashtirdilar, degan fikr keng tarqalgan.

R. Nyutonning fikri

"Qadimgi dunyo xronologiyasini tanqidiy o'rganish" kitobidan. Antik davr. 1-jild muallif Postnikov Mixail Mixaylovich

R.Nyutonning fikri Yaqinda qadimiy tutilishlar Robert Nyuton tomonidan qayta oʻrganilib, nafaqat qadimgi, balki oʻrta asrlar tutilishini ham tadqiq qildi. Biz uning asarlarini batafsil tasvirlamaymiz, faqat tadqiqotini yakunlovchi bitta iqtibos keltiramiz.

Nyuton psixologiyasi

Kvant aql kitobidan [Fizika va psixologiya o'rtasidagi chiziq] muallif Mindell Arnold

Nyuton psixologiyasi bu qonunlar har doim to'g'rimi? Agar biz avtohalokatimizni hisobga olsak, ha deymiz, biz bu qonunlarning haqiqat ekanligini bilamiz. Ammo ular psixologik jihatdan to'g'rimi? Ko'pchilik "ha" deyishadi. Masalan, uchinchi qonunni haqorat va qasos qonuni deb atash mumkin:

Nyuton mexanikasi

muallif

Nyutonning mexanikasi Nyutonning tortishish nazariyasi uning mexanika qonunlaridan foydalanmasdan yaratilmas edi. Maktab fizikasi darsligida mavjud bo'lgan tafsilotlarni qoldirib, biz ushbu uchta asosiy qonunni yakuniy shaklda taqdim etamiz. Hech qanday shubhasiz, ularda asosiy narsa bor

Nyuton qonuni

Gravitatsiya kitobidan [Kristal sharlardan qurt teshiklarigacha] muallif Petrov Aleksandr Nikolaevich

Nyuton qonuni Umumjahon tortishish qonuni uchinchi o'qishda muhokama qilingandan so'ng qayta ko'rib chiqish uchun yuborildi... Folklor Nyuton qonunini tekshirish. Nyuton qonunini tushunish umumiy tortishish tushunchasini tushunishda hali ham juda muhim rol o'ynaydi. Qanday qilib

Nyuton qonunlari

"Sehrgarning qaytishi" kitobidan muallif Keler Vladimir Romanovich

Nyuton qonunlari Nyutonning ajoyib ilmiy yutuqlari qatorida uning barcha moddiy jismlar qattiqlik, egiluvchanlik, og'irlik va hokazo kabi vizual, ravshan xususiyatlarga qo'shimcha ravishda yana bir o'ta muhim xususiyatga ega ekanligi haqidagi dadil taxminidir:

binom

Muallifning Buyuk Sovet Entsiklopediyasi (BI) kitobidan TSB

Differensial binom

Muallifning Buyuk Sovet Entsiklopediyasi (CI) kitobidan TSB

Nyuton binomi

Muallifning Buyuk Sovet Entsiklopediyasi (Hb) kitobidan TSB

O'ylab ko'ring, Nyutonning binomiali!

Qanotli so'zlar va iboralarning entsiklopedik lug'ati kitobidan muallif Serov Vadim Vasilevich

O'ylab ko'ring, Nyutonning binomiali! Mixail Afanasyevich Bulgakovning (1891 - 1940) "Usta va Margarita" (1940) romanidan (18-bob "Baxtsiz mehmonlar"). Voland va bufetchi Andrey Fokich Sokov o'rtasidagi suhbatni sharhlagan Korovyov-Fagot so'zlari. Oxirgisi shikoyat qilish uchun kelgan

Binom Xayyom

Ushbu tushunish usuli kitobidan muallif Luri Samuil Aronovich

BINOM XAYOM Sizni bilmayman, lekin men kimsasiz orolga ketayotganimda, albatta, Umar Xayyomni o‘zim bilan olib ketardim. Bu amaliy: har qanday urf-odatlar tarozida 66 to'rtlik o'qni bezovta qilmaydi - va bu erda sizga dunyodagi eng yaxshi ichimlik sherigi hamroh bo'ladi, deylik, xayoliy. Lekin

Binom Xayyom

"Rafshonlik muvaffaqiyatlari" kitobidan muallif Luri Samuil Aronovich

BINOM XAYOM Sizni bilmayman, lekin men kimsasiz orolga ketayotganimda, albatta, Umar Xayyomni o‘zim bilan olib ketardim. Bu amaliy: har qanday urf-odatlar tarozida 66 quatrain o'qni bezovta qilmaydi - va bu erda sizga dunyodagi eng yaxshi ichimlik sherigi hamroh bo'ladi. Aytaylik, xayoliy. Biroq shu bilan birga

Bu Nyutonning binomiali emas!

Signal va shovqin kitobidan. Nega ba'zi bashoratlar amalga oshadi, boshqalari esa yo'q? Silver Nate tomonidan

Bu Nyutonning binomiali emas! Gipotezani qabul qilishdan oldin qattiq dalillar kerak. Issiqxona gipotezasi ushbu shartga javob berdi, shuning uchun birinchi IPCC hisobotida issiqxona effektining mavjudligi haqidagi xulosa yuzlab boshqalardan ajratib ko'rsatilgan.

Binom teoremasi

Tyura-Tamning jo'nash kitobidan muallif Kovtonyuk Vladimir Aleksandrovich

Nyutonning binomial Kuban Elbrus muzliklaridan tomchilar shaklida quyiladi, alohida zararsiz oqimlarga birlashadi, ular Daut va Xudes irmoqlarini birlashtirib, qabul qilib, tog'lar tomonidan siqib qo'yilgan cheksiz oqim hosil qiladi. Shahar oldida, toshlar, go'yo so'nggi chekni tashkil qiladi