Birinchi daraja

Koordinatalar va vektorlar. Keng qamrovli qoʻllanma (2019)

Ushbu maqolada siz va men geometriyadagi ko'plab muammolarni oddiy arifmetikaga qisqartirish imkonini beradigan bitta "sehrli tayoqcha" ni muhokama qilishni boshlaymiz. Ushbu "tayoqcha" hayotingizni ancha osonlashtirishi mumkin, ayniqsa fazoviy figuralar, bo'limlar va hokazolarni qurishda o'zingizni ishonchsiz his qilganingizda. Bularning barchasi ma'lum bir tasavvur va amaliy ko'nikmalarni talab qiladi. Biz bu erda ko'rib chiqa boshlaydigan usul sizga barcha turdagi geometrik konstruktsiyalar va mulohazalardan deyarli butunlay mavhum bo'lishga imkon beradi. Usul deyiladi "koordinata usuli". Ushbu maqolada biz quyidagi savollarni ko'rib chiqamiz:

1. Koordinata tekisligi
2. Samolyotdagi nuqtalar va vektorlar
3. Ikki nuqtadan vektor qurish
4. Vektor uzunligi (ikki nuqta orasidagi masofa).
5. O'rta nuqta koordinatalari
6. Vektorlarning nuqta mahsuloti
7. Ikki vektor orasidagi burchak

O'ylaymanki, siz koordinata usuli nima uchun bunday deb nomlanganini allaqachon taxmin qildingizmi? To'g'ri, u geometrik jismlar bilan emas, balki ularning raqamli xarakteristikalari (koordinatalari) bilan ishlagani uchun shunday nom oldi. Va geometriyadan algebraga o'tishga imkon beradigan transformatsiyaning o'zi koordinatalar tizimini joriy etishdan iborat. Agar dastlabki rasm tekis bo'lsa, u holda koordinatalar ikki o'lchovli, agar rasm uch o'lchovli bo'lsa, u holda koordinatalar uch o'lchovli bo'ladi. Ushbu maqolada biz faqat ikki o'lchovli ishni ko'rib chiqamiz. Va maqolaning asosiy maqsadi sizga koordinata usulining ba'zi asosiy usullaridan qanday foydalanishni o'rgatishdir (ular ba'zan Yagona davlat imtihonining B qismidagi planimetriyadagi muammolarni hal qilishda foydali bo'ladi). Ushbu mavzu bo'yicha keyingi ikkita bo'lim C2 (stereometriya muammosi) muammolarini hal qilish usullarini muhokama qilishga bag'ishlangan.

Koordinata usulini muhokama qilishni qaerdan boshlash mantiqan to'g'ri keladi? Ehtimol, koordinatalar tizimi tushunchasi bilan. U bilan birinchi marta uchrashganingizni eslang. Menimcha, 7-sinfda, masalan, chiziqli funktsiyaning mavjudligi haqida bilganingizda. Eslatib o'taman, siz uni nuqta-nuqta qurgansiz. Esingizdami? Siz ixtiyoriy raqamni tanladingiz, uni formulaga almashtirdingiz va shu tarzda hisoblab chiqdingiz. Masalan, agar, keyin, agar, keyin va hokazo. Natijada nima oldingiz? Va siz koordinatali ballarni oldingiz: va. Keyin siz "xoch" (koordinatalar tizimi) chizdingiz, undagi masshtabni tanladingiz (bir segment sifatida nechta hujayra bo'ladi) va undagi olingan nuqtalarni belgiladingiz, keyin ularni to'g'ri chiziq bilan bog'ladingiz, natijada chiziq funksiyaning grafigi.

Sizga biroz batafsilroq tushuntirish kerak bo'lgan bir nechta narsalar mavjud:

1. Siz qulaylik uchun bitta segmentni tanlaysiz, shunda hamma narsa rasmga chiroyli va ixcham mos tushadi.

2. O'q chapdan o'ngga, o'q esa pastdan yuqoriga o'tadi deb taxmin qilinadi

3. Ular to’g’ri burchak ostida kesishadi va ularning kesishish nuqtasi koordinata deyiladi. U harf bilan belgilangan.

4. Nuqta koordinatasi yozuvida, masalan, qavs ichida chap tomonda nuqtaning o'q bo'ylab koordinatasi, o'ngda esa o'q bo'ylab ko'rsatilgan. Xususan, oddiygina nuqta degan ma'noni anglatadi

5. Koordinata o'qiga istalgan nuqtani o'rnatish uchun uning koordinatalarini (2 ta raqam) ko'rsatish kerak.

6. O'qda yotgan har qanday nuqta uchun,

7. O'qda yotgan har qanday nuqta uchun,

8. O'q x o'qi deyiladi

9. O'q y o'qi deb ataladi

Endi siz bilan keyingi qadamni qo'yaylik: ikkita nuqtani belgilang. Ushbu ikkita nuqtani chiziq bilan bog'lang. Va biz o'qni nuqtadan nuqtaga segmentni chizayotgandek qo'yamiz: ya'ni biz segmentimizni yo'naltiramiz!

Yo'naltirilgan segmentning boshqa nomi nima ekanligini eslaysizmi? To'g'ri, bu vektor deyiladi!

Shunday qilib, agar biz nuqtani nuqtaga bog'lasak, va boshi A nuqtasi, oxiri esa B nuqtasi bo'ladi, keyin vektorni olamiz. Siz ham bu qurilishni 8-sinfda qilgan edingizmi?

Ma'lum bo'lishicha, vektorlar ham nuqtalar kabi ikkita raqam bilan belgilanishi mumkin: bu raqamlar vektorning koordinatalari deb ataladi. Savol: Sizningcha, vektorning koordinatalarini topish uchun uning boshi va oxiri koordinatalarini bilish kifoya qiladimi? Ma'lum bo'lishicha, ha! Va buni qilish juda oson:

Shunday qilib, vektorda nuqta boshi va oxiri bo'lganligi sababli vektor quyidagi koordinatalarga ega:

Masalan, agar, u holda vektorning koordinatalari

Endi teskarisini qilamiz, vektorning koordinatalarini topamiz. Buning uchun nimani o'zgartirishimiz kerak? Ha, siz boshi va oxirini almashtirishingiz kerak: endi vektorning boshlanishi bir nuqtada, oxiri esa bir nuqtada bo'ladi. Keyin:

Diqqat bilan qarang, vektor va o'rtasidagi farq nima? Ularning yagona farqi koordinatalardagi belgilardir. Ular qarama-qarshi. Bu fakt quyidagicha yozilgan:

Ba'zan, agar vektorning qaysi nuqtasi boshi va qaysi oxiri ekanligi aniq ko'rsatilmagan bo'lsa, vektorlar ikkita bosh harf bilan emas, balki bitta kichik harf bilan belgilanadi, masalan: va hokazo.

Endi bir oz amaliyot va quyidagi vektorlarning koordinatalarini toping:

Imtihon:

Endi muammoni biroz qiyinroq hal qiling:

Bir nuqtada on-cha-scrap bilan vektor torus ko-or-di-on-sizga ega. Toping-di-te abs-cis-su nuqtalari.

Hammasi juda prozaik: nuqta koordinatalari bo'lsin. Keyin

Men vektorning koordinatalari nima ekanligini aniqlash orqali tizimni tuzdim. Keyin nuqta koordinatalariga ega bo'ladi. Bizni abscissa qiziqtiradi. Keyin

Javob:

Vektorlar bilan yana nima qila olasiz? Ha, deyarli hamma narsa oddiy raqamlar bilan bir xil (bundan tashqari, siz bo'lolmaysiz, lekin siz ikki yo'l bilan ko'paytirishingiz mumkin, ulardan birini birozdan keyin muhokama qilamiz)

1. Vektorlar bir-biri bilan stacked bo'lishi mumkin
2. Vektorlarni bir-biridan ayirish mumkin
3. Vektorlarni ixtiyoriy nolga teng bo'lmagan songa ko'paytirish (yoki bo'lish) mumkin
4. Vektorlarni bir-biri bilan ko'paytirish mumkin

Bu operatsiyalarning barchasi juda vizual geometrik tasvirga ega. Masalan, qo'shish va ayirish uchun uchburchak (yoki parallelogramm) qoidasi:

Songa koʻpaytirilganda yoki boʻlinganda vektor choʻziladi yoki qisqaradi yoki yoʻnalishini oʻzgartiradi:

Biroq, bu erda biz koordinatalar bilan nima sodir bo'lishi haqidagi savolga qiziqamiz.

1. Ikki vektorni qo‘shishda (ayirishda) ularning koordinatalarini element bo‘yicha qo‘shamiz (ayitamiz). Ya'ni:

2. Vektorni songa ko‘paytirishda (bo‘lishda) uning barcha koordinatalari shu songa ko‘paytiriladi (bo‘linadi):

Masalan:

· Ko-or-di-nat asr-to-ra yig‘indisini toping.

Avval vektorlarning har birining koordinatalarini topamiz. Ularning ikkalasining kelib chiqishi bir xil - kelib chiqish nuqtasi. Ularning oxiri boshqacha. Keyin, . Endi biz vektorning koordinatalarini hisoblaymiz Keyin olingan vektorning koordinatalarining yig'indisi teng bo'ladi.

Javob:

Endi quyidagi muammoni o'zingiz hal qiling:

· Vektor koordinatalarining yig‘indisini toping

Biz tekshiramiz:

Endi quyidagi masalani ko'rib chiqamiz: bizda koordinatalar tekisligida ikkita nuqta bor. Ularning orasidagi masofani qanday topish mumkin? Birinchi nuqta bo'lsin, ikkinchisi. Ularning orasidagi masofani deb belgilaymiz. Aniqlik uchun quyidagi rasmni tuzamiz:

Nima qildim? Men, birinchi navbatda, nuqtalarni bog'ladim va, shuningdek, nuqtadan o'qga parallel chiziq chizdim va nuqtadan o'qga parallel chiziq chizdim. Ular bir nuqtada kesishib, ajoyib figurani hosil qildilarmi? Nega u ajoyib? Ha, siz va men to'g'ri burchakli uchburchak haqida deyarli hamma narsani bilamiz. Albatta, Pifagor teoremasi. Kerakli segment bu uchburchakning gipotenuzasi, segmentlar esa oyoqlardir. Nuqtaning koordinatalari qanday? Ha, ularni rasmdan topish oson: Segmentlar o'qlarga parallel bo'lgani uchun va mos ravishda ularning uzunliklarini topish oson: agar segmentlarning uzunliklarini mos ravishda orqali belgilasak, u holda

Endi Pifagor teoremasidan foydalanamiz. Biz oyoqlarning uzunligini bilamiz, biz gipotenuzani topamiz:

Shunday qilib, ikki nuqta orasidagi masofa koordinatalardan kvadratik farqlarning ildiz yig'indisidir. Yoki - ikkita nuqta orasidagi masofa ularni bog'laydigan segmentning uzunligi. Nuqtalar orasidagi masofa yo'nalishga bog'liq emasligini ko'rish oson. Keyin:

Bundan biz uchta xulosa chiqaramiz:

Keling, ikkita nuqta orasidagi masofani hisoblashda biroz mashq qilaylik:

Masalan, agar, u holda va orasidagi masofa

Yoki boshqacha yo'l tutaylik: vektorning koordinatalarini toping

Va vektor uzunligini toping:

Ko'rib turganingizdek, xuddi shunday!

Endi o'zingiz biroz mashq qiling:

Vazifa: berilgan nuqtalar orasidagi masofani toping:

Biz tekshiramiz:

Xuddi shu formula uchun yana bir nechta muammo bor, garchi ular biroz boshqacha eshitiladi:

1. Ko'z qovog'i-to-ra uzunligi kvadratini top-di-te.

2. Nai-di-te kvadrati ko'z qovog'ining uzunligi-to-ra

O'ylaymanki, siz ularni osonlikcha hal qila olasizmi? Biz tekshiramiz:

1. Va bu e'tibor uchun) Biz allaqachon vektorlarning koordinatalarini topdik: . Keyin vektor koordinatalariga ega bo'ladi. Uning uzunligi kvadrati quyidagicha bo'ladi:

2. Vektorning koordinatalarini toping

Keyin uning uzunligining kvadrati

Hech qanday murakkab narsa yo'q, to'g'rimi? Oddiy arifmetika, boshqa hech narsa emas.

Quyidagi jumboqlarni aniq tasniflash mumkin emas, ular umumiy bilim va oddiy rasmlarni chizish qobiliyati uchundir.

1. Kesimdagi burchakning sinusini toping, abscissa o'qi bilan bir-n-chi nuqtani bog'lang.

va

Bu erda buni qanday qilamiz? O'q va orasidagi burchakning sinusini topishingiz kerak. Va sinusni qaerdan izlashimiz mumkin? To'g'ri, to'g'ri uchburchakda. Xo'sh, nima qilishimiz kerak? Bu uchburchakni yarating!

Nuqtaning koordinatalari beri va, keyin segment teng va segment. Biz burchakning sinusini topishimiz kerak. Shuni eslatib o'tamanki, sinus qarama-qarshi oyoqning gipotenuzaga nisbati

Nima qilishimiz kerak? Gipotenuzani toping. Siz buni ikki yo'l bilan qilishingiz mumkin: Pifagor teoremasi (oyoqlari ma'lum!) yoki ikkita nuqta orasidagi masofa formulasi (aslida birinchi usul bilan bir xil!). Men ikkinchi yo'lga boraman:

Javob:

Keyingi vazifa sizga yanada osonroq ko'rinadi. U - nuqta koordinatalari bo'yicha.

Vazifa 2. Nuqtadan per-pen-di-ku-lar abs-ciss o'qiga tushiriladi. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Keling, rasm chizamiz:

Perpendikulyarning asosi - bu x o'qi (o'qi) bilan kesishadigan nuqta men uchun bu nuqta. Rasmda uning koordinatalari borligi ko'rsatilgan: . Bizni abscissa - ya'ni "X" komponenti qiziqtiradi. U teng.

Javob: .

Vazifa 3. Oldingi masala shartlariga ko'ra, nuqtadan koordinata o'qlarigacha bo'lgan masofalar yig'indisini toping.

Agar nuqtadan o'qlargacha bo'lgan masofa qancha ekanligini bilsangiz, vazifa odatda elementardir. Sen bilasan? Umid qilamanki, lekin baribir eslataman:

Xo'sh, bir oz balandroqda joylashgan rasmimda men allaqachon bitta perpendikulyarni tasvirlaganman? Bu qaysi o'q? o'qiga. Va keyin uning uzunligi qancha? U teng. Endi o'z o'qiga perpendikulyar chizib, uning uzunligini toping. Bu teng bo'ladi, to'g'rimi? Keyin ularning yig'indisi teng bo'ladi.

Javob: .

Vazifa 4. 2-masala shartlarida nuqtaning x o'qiga nisbatan simmetrik bo'lgan ordinatasini toping.

O'ylaymanki, siz simmetriya nima ekanligini intuitiv ravishda tushunasizmi? Juda ko'p ob'ektlarga ega: ko'plab binolar, jadvallar, tekisliklar, ko'plab geometrik shakllar: shar, silindr, kvadrat, romb va boshqalar. Taxminan, simmetriyani quyidagicha tushunish mumkin: figura ikkitadan (yoki undan ko'p) iborat. bir xil yarmlar. Ushbu simmetriya eksenel deb ataladi. Xo'sh, eksa nima? Aynan shu chiziq bo'ylab, nisbatan aytganda, raqamni bir xil yarmiga "kesish" mumkin (bu rasmda simmetriya o'qi to'g'ri):

Endi vazifamizga qaytaylik. Biz o'qga nisbatan simmetrik bo'lgan nuqtani qidirayotganimizni bilamiz. Keyin bu o'q simmetriya o'qi hisoblanadi. Shunday qilib, biz nuqtani belgilashimiz kerak, shunda o'q segmentni ikkita teng qismga kesib tashlaydi. Bunday nuqtani o'zingiz belgilashga harakat qiling. Endi mening yechimim bilan solishtiring:

Siz ham shunday qildingizmi? Yaxshi! Topilgan nuqtada biz ordinataga qiziqamiz. U teng

Javob:

Endi ayting-chi, bir soniya o'ylab ko'rgandan so'ng, A nuqtaga simmetrik nuqtaning y o'qi bo'yicha abtsissasi qanday bo'ladi? Sizning javobingiz nima? To'g'ri javob: .

Umuman olganda, qoida quyidagicha yozilishi mumkin:

X o'qi atrofidagi nuqtaga simmetrik bo'lgan nuqta koordinatalariga ega:

Y o'qi atrofidagi nuqtaga simmetrik bo'lgan nuqta koordinatalariga ega:

Xo'sh, endi bu juda qo'rqinchli. vazifa: Koordinatalarni koordinatalarini toping nuqtaga simmetrik, koordinata boshiga nisbatan. Siz avval o'zingiz o'ylab ko'ring, keyin mening chizgan rasmimga qarang!

Javob:

Hozir parallelogramm muammosi:

5-topshiriq: Ballar ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma. Top-dee-te yoki-dee-on-tu nuqtalari.

Siz bu muammoni ikki yo'l bilan hal qilishingiz mumkin: mantiq va koordinata usuli. Men birinchi navbatda koordinata usulini qo'llayman, keyin esa qanday qilib boshqacha qaror qabul qilishingiz mumkinligini aytaman.

Nuqtaning abssissasi teng ekanligi aniq. (nuqtadan x o'qiga chizilgan perpendikulyarda yotadi). Biz ordinatani topishimiz kerak. Keling, bizning raqamimiz parallelogramm ekanligidan foydalanaylik, bu shuni anglatadiki. Ikki nuqta orasidagi masofa formulasi yordamida segment uzunligini toping:

Biz nuqtani eksa bilan bog'laydigan perpendikulyarni tushiramiz. Kesishish nuqtasi harf bilan belgilanadi.

Segment uzunligi teng. (muammoni o'zingiz toping, biz shu lahzani muhokama qildik), keyin Pifagor teoremasi yordamida segment uzunligini topamiz:

Segmentning uzunligi uning ordinatasi bilan aynan bir xil.

Javob: .

Boshqa yechim (men uni tasvirlaydigan rasmni taqdim etaman)

Yechim jarayoni:

1. Sarflash

2. Nuqta koordinatalari va uzunligini toping

3. Buni isbotlang.

Boshqasi kesish uzunligi muammosi:

Ballar-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-burchak-no-ka. Uning o'rta chizig'ining uzunligini toping, par-ral-lel-noy.

Uchburchakning o'rta chizig'i nima ekanligini eslaysizmi? Keyin siz uchun bu vazifa oddiy. Esingizda bo'lmasa, men sizga eslatib o'taman: uchburchakning o'rta chizig'i qarama-qarshi tomonlarning o'rta nuqtalarini bog'laydigan chiziqdir. U asosga parallel va uning yarmiga teng.

Baza segmentdir. Biz uning uzunligini avvalroq izlashimiz kerak edi, u teng. Keyin o'rta chiziqning uzunligi yarmi uzun va teng bo'ladi.

Javob: .

Izoh: Bu muammoni boshqa yo'l bilan hal qilish mumkin, biz unga biroz keyinroq murojaat qilamiz.

Ayni paytda, bu erda siz uchun bir nechta vazifalar bor, ular ustida mashq qiling, ular juda oddiy, ammo ular koordinata usuli yordamida "qo'lingizni olishga" yordam beradi!

1. Nuqtalar paydo bo'ladi-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Uning o'rta chizig'ining uzunligini toping.

2. Ballar va yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Top-dee-te yoki-dee-on-tu nuqtalari.

3. Kesimdan uzunlikni toping, ikkinchi nuqtani va ulang

4. Ko-or-di-nat-noy tekisligida-red-shen-noy fi-gu-ry maydonini top-di-te.

5. Markazi na-cha-le ko-or-di-natda joylashgan aylana nuqtadan oʻtadi. Uning ra-di-mo'ylovini toping.

6. Nai-di-te ra-di-us doira-no-sti, to'g'ri burchakli-no-ka yaqinida tasvirlab-san-noy, bir narsa-ro-goning tepalari-shi-ny ko-or-ga ega - di-na-siz ham-javobdan-lekin

Yechimlar:

1. Ma'lumki, trapetsiyaning o'rta chizig'i uning asoslari yig'indisining yarmiga teng. Baza teng, lekin asos. Keyin

Javob:

2. Bu masalani yechishning eng oson yo‘li - buni payqash (paralelogramma qoidasi). Vektorlarning koordinatalarini hisoblang va qiyin emas: . Vektorlarni qo'shishda koordinatalar qo'shiladi. Keyin koordinatalar mavjud. Nuqta bir xil koordinatalarga ega, chunki vektorning boshi koordinatali nuqtadir. Biz ordinataga qiziqamiz. U teng.

Javob:

3. Ikki nuqta orasidagi masofa formulasi bo'yicha darhol harakat qilamiz:

Javob:

4. Rasmga qarang va ayting-chi, qaysi ikki raqam orasida soyali joy "siqilgan"? U ikkita kvadrat orasiga o'ralgan. Keyin kerakli raqamning maydoni katta kvadratning maydonidan kichik kvadratning maydoniga teng bo'ladi. Kichik kvadratning yon tomoni nuqtalarni bog'laydigan segment bo'lib, uning uzunligi

Keyin kichik kvadratning maydoni

Katta kvadrat bilan ham xuddi shunday qilamiz: uning tomoni nuqtalarni bog'laydigan segment va uzunligi teng

Keyin katta kvadratning maydoni

Istalgan raqamning maydoni quyidagi formula bo'yicha topiladi:

Javob:

5. Agar aylananing markazi koordinatali bo'lsa va nuqtadan o'tsa, uning radiusi segment uzunligiga to'liq teng bo'ladi (chizma qiling va nima uchun bu aniq ekanligini tushunasiz). Ushbu segmentning uzunligini toping:

Javob:

6. Ma’lumki, to‘rtburchak atrofida aylana radiusi uning diagonalining yarmiga teng. Keling, ikkita diagonaldan birining uzunligini topaylik (oxir-oqibat, to'rtburchakda ular teng!)

Javob:

Xo'sh, siz hamma narsani hal qildingizmi? Buni aniqlash unchalik qiyin emas edi, shunday emasmi? Bu erda faqat bitta qoida bor - vizual rasm yaratish va undan barcha ma'lumotlarni "o'qish".

Bizda juda oz qoldi. Men muhokama qilmoqchi bo'lgan yana ikkita fikr bor.

Keling, ushbu oddiy muammoni hal qilishga harakat qilaylik. Ikki ball bo'lsin va berilsin. Segment o'rtasining koordinatalarini toping. Ushbu muammoning yechimi quyidagicha: nuqta kerakli o'rta bo'lsin, keyin uning koordinatalari mavjud:

Ya'ni: segment o'rtasining koordinatalari = segment uchlarining tegishli koordinatalarining o'rtacha arifmetik qiymati.

Bu qoida juda oddiy va odatda talabalar uchun qiyinchilik tug'dirmaydi. Keling, qanday muammolarda va qanday ishlatilishini ko'rib chiqaylik:

1. Toping-di-te or-di-na-tu se-re-di-us dan-kesim, ulanish-nya-yu-th-chi nuqta va

2. Nuqtalar yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. Uning dia-go-on-lei-ning re-re-se-che-niya-ning-di-te or-di-na-tu nuqtalarini toping.

3. Doira markazini toping-di-te abs-cis-su, tasvir-san-noy to'rtburchaklar-no-ka yaqinida, tepalari-shi-bizda bir narsa-ro-go ko-or-di- bor. na-siz hamkorlik-dan-vet-stvenno-lekin.

Yechimlar:

1. Birinchi vazifa shunchaki klassik. Biz segmentning o'rta nuqtasini aniqlab, darhol harakat qilamiz. Uning koordinatalari bor. Ordinata teng.

Javob:

2. Berilgan to‘rtburchak parallelogramm (hatto romb ham!) ekanligini ko‘rish oson. Tomonlarning uzunligini hisoblash va ularni bir-biri bilan solishtirish orqali buni o'zingiz isbotlashingiz mumkin. Parallelogramma haqida nima bilaman? Uning diagonallari kesishish nuqtasi bilan ikkiga bo'lingan! Aha! Shunday qilib, diagonallarning kesishish nuqtasi nima? Bu har qanday diagonalning o'rtasi! Men, xususan, diagonalni tanlayman. U holda nuqta koordinatalariga ega.Nuqtaning ordinatasi ga teng.

Javob:

3. To‘g‘ri to‘rtburchak atrofida aylana markazi nimadan iborat? Uning diagonallarining kesishish nuqtasiga to'g'ri keladi. To'rtburchakning diagonallari haqida nimalarni bilasiz? Ular teng va kesishish nuqtasi yarmiga bo'linadi. Vazifa avvalgisiga qisqartirildi. Masalan, diagonalni olaylik. Agar chegaralangan doiraning markazi bo'lsa, unda o'rtasi. Men koordinatalarni qidiryapman: abscissa teng.

Javob:

Endi o'zingiz biroz mashq qiling, men har bir muammoga faqat o'zingizni tekshirib ko'rishingiz uchun javob beraman.

1. Nai-di-te ra-di-us doira-no-sti, uchburchak-no-ka yaqinida tasvir-san-noy, kimdir-ro-goning tepalarida ko-or-di -misterlar yo'q.

2. Doira markazini toping-di-te or-di-na-tu, uchburchak-no-ka yaqinidagi san-noyni tasvirlang, tepalar-shi-bizda biror narsa-ro-go koordinatalari bor.

3. Markazi bir nuqtada abs-ciss o'qiga tegib turadigan aylana qanday ra-di-y-sa bo'lishi kerak?

4. Toping-di-te or-di-on-o'sha nuqtani qayta-qayta-se-che-ing o'qi va dan-kesim, ulanish-nya-yu-th-nuqta va

Javoblar:

Hammasi chiqdimi? Men bunga haqiqatan ham umid qilaman! Endi - oxirgi bosish. Endi ayniqsa ehtiyot bo'ling. Men hozir tushuntirib bermoqchi bo‘lgan material nafaqat B bo‘limidagi oddiy koordinatalar metodi masalalariga tegishli, balki C2 muammosida ham hamma joyda mavjud.

Qaysi va'dalarimni hali bajarmaganman? Yodingizdami, vektorlar ustida qanday operatsiyalarni kiritishga va'da bergan edim va qaysi birini oxir-oqibat joriy qildim? Hech narsani unutmaganimga ishonchim komilmi? Unutdim! Vektorlarni ko'paytirish nimani anglatishini tushuntirishni unutibman.

Vektorni vektorga ko'paytirishning ikki yo'li mavjud. Tanlangan usulga qarab, biz boshqa tabiatdagi ob'ektlarni olamiz:

Vektor mahsuloti juda qiyin. Buni qanday qilish kerak va nima uchun kerak, biz siz bilan keyingi maqolada muhokama qilamiz. Va bunda biz skalyar mahsulotga e'tibor qaratamiz.

Buni hisoblashning ikkita usuli mavjud:

Siz taxmin qilganingizdek, natija bir xil bo'lishi kerak! Shunday qilib, birinchi yo'lni ko'rib chiqaylik:

Koordinatalar orqali nuqta hosil qilish

Toping: - nuqta hosilasi uchun umumiy belgi

Hisoblash formulasi quyidagicha:

Ya'ni, nuqta mahsuloti = vektorlar koordinatalari ko'paytmalarining yig'indisi!

Misol:

Top-dee-te

Yechim:

Har bir vektorning koordinatalarini toping:

Skayar mahsulotni quyidagi formula bo'yicha hisoblaymiz:

Javob:

Ko'ryapsizmi, hech qanday murakkab narsa yo'q!

Xo'sh, endi o'zingiz sinab ko'ring:

Toping-di-te scalar-noe pro-from-ve-de-nie asr-to-handaq va

Siz boshqardingizmi? Balki u ozgina hiyla-nayrangni payqagandir? Keling, tekshiramiz:

Oldingi vazifadagi kabi vektor koordinatalari! Javob: .

Koordinataga qo'shimcha ravishda, skalyar mahsulotni hisoblashning yana bir usuli mavjud, ya'ni vektorlarning uzunliklari va ular orasidagi burchakning kosinuslari orqali:

vektorlar orasidagi burchakni bildiradi.

Ya'ni, skalyar ko'paytma vektorlar uzunliklari va ular orasidagi burchak kosinuslari ko'paytmasiga teng.

Nima uchun bizga bu ikkinchi formula kerak, agar bizda birinchisi bo'lsa, bu juda oddiy, kamida kosinuslar yo'q. Va birinchi va ikkinchi formulalardan vektorlar orasidagi burchakni qanday topishni xulosa qilishimiz uchun bizga kerak!

Let Keyin vektor uzunligi formulasini eslaylik!

Agar men ushbu ma'lumotlarni nuqta mahsulot formulasiga kiritsam, men quyidagilarni olaman:

Ammo boshqa tomondan:

Xo'sh, bizda nima bor? Endi bizda ikkita vektor orasidagi burchakni hisoblash uchun formula mavjud! Ba'zan qisqalik uchun shunday yoziladi:

Ya'ni vektorlar orasidagi burchakni hisoblash algoritmi quyidagicha:

1. Koordinatalar orqali skalyar hosilani hisoblaymiz
2. Vektorlarning uzunliklarini toping va ularni ko'paytiring
3. 1-bandning natijasini 2-bandning natijasiga bo'ling

Keling, misollar bilan mashq qilaylik:

1. Ko'z qovoqlari-to-ra-mi va orasidagi burchakni toping. Javobingizni darajalarda bering.

2. Oldingi masala shartlarida vektorlar orasidagi kosinusni toping

Keling, shunday qilaylik: birinchi muammoni hal qilishda yordam beraman, ikkinchisini esa o'zingiz qilishga harakat qiling! Men roziman? Keyin boshlaylik!

1. Bu vektorlar bizning eski do'stlarimizdir. Biz allaqachon ularning skalyar mahsulotini ko'rib chiqdik va u teng edi. Ularning koordinatalari: , . Keyin ularning uzunligini topamiz:

Keyin vektorlar orasidagi kosinusni qidiramiz:

Burchakning kosinusu nimaga teng? Bu burchak.

Javob:

Xo'sh, endi ikkinchi masalani o'zingiz hal qiling va keyin solishtiring! Men juda qisqa yechim beraman:

2. koordinatalari bor, koordinatalari bor.

vektorlar orasidagi burchak bo'lsin, keyin

Javob:

Shuni ta'kidlash kerakki, imtihon qog'ozining B qismida to'g'ridan-to'g'ri vektorlar va koordinatalar usuli bo'yicha vazifalar juda kam uchraydi. Biroq, C2 muammolarining katta qismi koordinata tizimini joriy qilish orqali osonlikcha hal qilinishi mumkin. Shunday qilib, siz ushbu maqolani poydevor sifatida ko'rib chiqishingiz mumkin, uning asosida biz murakkab muammolarni hal qilishimiz kerak bo'lgan juda murakkab konstruktsiyalarni qilamiz.

KOORDINATLAR VA VEKTORLAR. ORALIQ DARAJA

Siz va men koordinatalar usulini o'rganishda davom etamiz. Oxirgi qismda biz bir qator muhim formulalarni oldik, ular quyidagilarga imkon beradi:

1. Vektor koordinatalarini toping
2. Vektor uzunligini toping (muqobil ravishda: ikki nuqta orasidagi masofa)
3. Vektorlarni qo'shish, ayirish. Ularni haqiqiy songa ko'paytiring
4. Segmentning o'rta nuqtasini toping
5. Vektorlarning nuqta mahsulotini hisoblang
6. Vektorlar orasidagi burchakni toping

Albatta, butun koordinata usuli bu 6 nuqtaga to'g'ri kelmaydi. U siz universitetda tanishadigan analitik geometriya kabi fanga asoslanadi. Men faqat bitta davlatda muammolarni hal qilish imkonini beradigan poydevor qurmoqchiman. imtihon. Biz B qismidagi vazifalarni aniqladik. Endi sifat jihatidan yangi bosqichga o'tish vaqti keldi! Ushbu maqola C2 muammolarini hal qilish usuliga bag'ishlangan bo'lib, unda koordinatalar usuliga o'tish maqsadga muvofiqdir. Ushbu asoslilik muammoda nimani topish kerakligi va qanday raqam berilganligi bilan belgilanadi. Shunday qilib, agar savollar bo'lsa, men koordinata usulidan foydalanaman:

1. Ikki tekislik orasidagi burchakni toping
2. Chiziq va tekislik orasidagi burchakni toping
3. Ikki chiziq orasidagi burchakni toping
4. Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani toping
5. Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani toping
6. To'g'ri chiziqdan tekislikgacha bo'lgan masofani toping
7. Ikki chiziq orasidagi masofani toping

Agar masala shartida berilgan raqam inqilob tanasi bo'lsa (to'p, silindr, konus ...)

Koordinatalar usuli uchun mos raqamlar:

1. kubsimon
2. Piramida (uchburchak, to'rtburchak, olti burchakli)

Bundan tashqari, mening tajribamda uchun koordinata usulini qo'llash noo'rin:

1. Bo'limlarning maydonlarini topish
2. Jismlarning hajmlarini hisoblash

Biroq, darhol shuni ta'kidlash kerakki, koordinata usuli uchun uchta "noqulay" vaziyat amalda juda kam uchraydi. Ko'pgina vazifalarda, ayniqsa, siz uch o'lchamli konstruktsiyalarda (ba'zan juda murakkab) juda kuchli bo'lmasangiz, u sizning qutqaruvchingizga aylanishi mumkin.

Men yuqorida sanab o'tgan barcha raqamlar qanday? Ular endi tekis emas, masalan, kvadrat, uchburchak, doira, lekin hajmli! Shunga ko'ra, biz ikki o'lchovli emas, balki uch o'lchovli koordinatalar tizimini hisobga olishimiz kerak. U juda oson quriladi: faqat abscissa va ordinatalarga qo'shimcha ravishda biz boshqa o'qni, amaliy o'qni kiritamiz. Rasmda ularning nisbiy holati sxematik ko'rsatilgan:

Ularning barchasi o'zaro perpendikulyar, bir nuqtada kesishadi, biz uni kelib chiqishi deb ataymiz. Abscissa o'qi, avvalgidek, ordinata o'qi - va kiritilgan qo'llaniladigan o'q - deb belgilanadi.

Agar ilgari tekislikning har bir nuqtasi ikkita raqam - abscissa va ordinata bilan tavsiflangan bo'lsa, fazodagi har bir nuqta allaqachon uchta raqam bilan tasvirlangan - abscissa, ordinata, applikatsiya. Masalan:

Shunga ko'ra, nuqtaning abssissasi teng, ordinatasi , ilovasi esa .

Ba'zan nuqtaning abscissasi nuqtaning abscissa o'qiga proyeksiyasi, ordinata - nuqtaning y o'qiga proyeksiyasi, applikatsiya - nuqtaning qo'llaniladigan o'qga proyeksiyasi deb ham ataladi. Shunga ko'ra, agar nuqta berilgan bo'lsa, u holda koordinatali nuqta:

nuqtaning tekislikka proyeksiyasi deyiladi

nuqtaning tekislikka proyeksiyasi deyiladi

Tabiiy savol tug'iladi: ikki o'lchovli holat uchun olingan barcha formulalar kosmosda haqiqiymi? Javob ha, ular oddiy va bir xil ko'rinishga ega. Kichik tafsilot uchun. O'ylaymanki, siz qaysi birini allaqachon taxmin qilgansiz. Barcha formulalarda biz ilova o'qi uchun javobgar bo'lgan yana bitta atama qo'shishimiz kerak. Aynan.

1. Ikki nuqta berilgan bo'lsa: , keyin:

• Vektor koordinatalari:
• Ikki nuqta orasidagi masofa (yoki vektor uzunligi)
• Segmentning o'rtasida koordinatalar mavjud

2. Agar ikkita vektor berilgan bo'lsa: va, keyin:

• Ularning nuqta mahsuloti:
• Vektorlar orasidagi burchakning kosinusu:

Biroq, makon unchalik oddiy emas. Siz tushunganingizdek, yana bitta koordinataning qo'shilishi ushbu bo'shliqda "yashovchi" raqamlar spektrida sezilarli xilma-xillikni keltirib chiqaradi. Va keyingi rivoyat uchun men to'g'ri chiziqning ba'zi, taxminan aytganda, "umumlashtirish" bilan tanishtirishim kerak. Bu "umumlashtirish" samolyot bo'ladi. Samolyot haqida nimalarni bilasiz? Savolga javob berishga harakat qiling, samolyot nima? Buni aytish juda qiyin. Biroq, biz hammamiz intuitiv ravishda uning qanday ko'rinishini tasavvur qilamiz:

Taxminan aytganda, bu kosmosga cheksiz "barg" ning bir turi. "Cheksizlik" tekislikning barcha yo'nalishlarda cho'zilishi, ya'ni uning maydoni cheksizlikka teng ekanligini tushunish kerak. Biroq, bu "barmoqlar ustida" tushuntirish samolyotning tuzilishi haqida zarracha fikr bildirmaydi. Va biz bunga qiziqamiz.

Keling, geometriyaning asosiy aksiomalaridan birini eslaylik:

• To'g'ri chiziq tekislikning ikki xil nuqtasidan o'tadi, bundan tashqari, faqat bitta:

Yoki uning kosmosdagi analogi:

Albatta, siz ikkita berilgan nuqtadan to'g'ri chiziq tenglamasini qanday chiqarishni eslaysiz, bu unchalik qiyin emas: agar birinchi nuqta koordinatalarga ega bo'lsa: ikkinchisi esa, to'g'ri chiziq tenglamasi quyidagicha bo'ladi:

Siz 7-sinfda buni boshdan kechirdingiz. Fazoda to'g'ri chiziq tenglamasi quyidagicha ko'rinadi: koordinatali ikkita nuqtaga ega bo'lsin: , u holda ular orqali o'tadigan to'g'ri chiziq tenglamasi ko'rinishga ega bo'ladi:

Masalan, chiziq nuqtalardan o'tadi:

Buni qanday tushunish kerak? Buni quyidagicha tushunish kerak: nuqta koordinatalari quyidagi tizimga mos keladigan chiziq ustida joylashgan:

To'g'ri chiziq tenglamasi bizni unchalik qiziqtirmaydi, lekin biz to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorining juda muhim tushunchasiga e'tibor qaratishimiz kerak. - berilgan chiziqda yoki unga parallel yotgan har qanday nolga teng bo'lmagan vektor.

Masalan, ikkala vektor to'g'ri chiziqning yo'nalish vektorlaridir. To'g'ri chiziqda yotgan nuqta va uning yo'naltiruvchi vektori bo'lsin. Keyin to'g'ri chiziq tenglamasini quyidagi ko'rinishda yozish mumkin:

Yana bir bor to'g'ri chiziq tenglamasi meni unchalik qiziqtirmaydi, lekin yo'nalish vektori nima ekanligini eslab qolishingiz kerak! Yana bir marta: Bu chiziq ustida yoki unga parallel yotgan HAR QANDAY nolga teng vektor.

Olib tashlash tekislikning uch nuqtali tenglamasi endi unchalik ahamiyatsiz emas va odatda o'rta maktab kursida qamrab olinmaydi. Lekin behuda! Murakkab muammolarni hal qilish uchun koordinata usuliga murojaat qilganimizda, bu usul juda muhimdir. Biroq, menimcha, sizda yangi narsalarni o'rganish istagi bormi? Bundan tashqari, siz odatda analitik geometriya kursida o'rganiladigan texnikadan qanday foydalanishni allaqachon bilganingiz ma'lum bo'lganda, siz universitetdagi o'qituvchingizni hayratda qoldirishingiz mumkin. Shunday qilib, keling, boshlaylik.

Tekislik tenglamasi tekislikdagi to'g'ri chiziq tenglamasidan unchalik farq qilmaydi, ya'ni u quyidagi ko'rinishga ega:

ba'zi raqamlar (barchasi nolga teng emas), lekin o'zgaruvchilar, masalan: va hokazo. Ko'rib turganingizdek, tekislik tenglamasi to'g'ri chiziq tenglamasidan (chiziqli funktsiya) unchalik farq qilmaydi. Biroq, biz siz bilan nima bahslashganimizni eslaysizmi? Agar bizda bitta to'g'ri chiziqda yotmaydigan uchta nuqta bo'lsa, unda tekislik tenglamasi ulardan noyob tarzda tiklanadi, dedik. Lekin qanday? Men sizga tushuntirishga harakat qilaman.

Chunki tekislik tenglamasi:

Va nuqtalar ushbu tekislikka tegishli, keyin har bir nuqtaning koordinatalarini tekislik tenglamasiga almashtirganda, biz to'g'ri identifikatsiyani olishimiz kerak:

Shunday qilib, noma'lum bo'lgan uchta tenglamani hal qilish kerak! Dilemma! Biroq, biz har doim shunday deb taxmin qilishimiz mumkin (buning uchun biz bo'linishimiz kerak). Shunday qilib, biz uchta noma'lumli uchta tenglamani olamiz:

Biroq, biz bunday tizimni hal qilmaymiz, lekin undan kelib chiqadigan sirli ifodani yozamiz:

Berilgan uchta nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasi

\[\chap| (\begin(massiv)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(massiv)) \o'ng| = 0\]

To'xta! Bu yana nima? Juda noodatiy modul! Biroq, sizning oldingizda ko'rayotgan ob'ektning modulga hech qanday aloqasi yo'q. Bu obyekt uchinchi tartibli determinant deb ataladi. Bundan buyon, siz tekislikdagi koordinatalar usuli bilan shug'ullanganingizda, siz ko'pincha aynan shu determinantlarga duch kelasiz. Uchinchi tartibli determinant nima? Ajabo, bu shunchaki raqam. Determinant bilan qaysi aniq raqamni solishtirishni tushunish qoladi.

Avval uchinchi tartibli determinantni umumiyroq shaklda yozamiz:

Ba'zi raqamlar qayerda. Bundan tashqari, birinchi indeks deganda biz satr raqamini, indeks deganda esa ustun raqamini tushunamiz. Masalan, bu berilgan raqam ikkinchi qator va uchinchi ustunning kesishgan joyida ekanligini bildiradi. Keling, quyidagi savolni qo'yaylik: bunday determinantni qanday aniq hisoblaymiz? Ya'ni, qanday aniq raqam bilan solishtiramiz? Aniq uchinchi tartibning determinanti uchun evristik (vizual) uchburchak qoidasi mavjud, u quyidagicha ko'rinadi:

1. Asosiy diagonal elementlarining mahsuloti (yuqori chapdan pastki o'ngga) birinchi uchburchakni tashkil etuvchi elementlarning ko'paytmasi asosiy diagonalga "perpendikulyar" ikkinchi uchburchakni tashkil etuvchi elementlarning ko'paytmasi. diagonal
2. Ikkilamchi diagonal elementlarining ko'paytmasi (yuqori o'ngdan pastki chapga) birinchi uchburchakni tashkil etuvchi elementlarning ko'paytmasi ikkinchi darajali diagonalga "perpendikulyar" ikkinchi uchburchakni tashkil etuvchi elementlarning mahsulotiga "perpendikulyar". ikkilamchi diagonal
3. Keyin determinant va qadamda olingan qiymatlar orasidagi farqga teng bo'ladi

Agar bularning barchasini raqamlar bilan yozsak, quyidagi ifodani olamiz:

Biroq, ushbu shaklda hisoblash usulini eslab qolishning hojati yo'q, shunchaki uchburchaklarni boshingizda ushlab turish va nimaga nima qo'shilishi va nimadan nima ayirilishi haqidagi g'oyaning o'zi kifoya).

Keling, uchburchak usulini misol bilan ko'rsatamiz:

1. Aniqlovchini hisoblang:

Keling, nimani qo'shishimiz va nimani ayirishimizni aniqlaymiz:

"Plyus" bilan kelgan atamalar:

Bu asosiy diagonal: elementlarning mahsuloti

Birinchi uchburchak, "asosiy diagonalga perpendikulyar: elementlarning mahsuloti

Ikkinchi uchburchak, "asosiy diagonalga perpendikulyar: elementlarning mahsuloti

Biz uchta raqamni qo'shamiz:

"minus" bilan kelgan atamalar

Bu yon diagonal: elementlarning mahsuloti

Birinchi uchburchak, "ikkilamchi diagonalga perpendikulyar: elementlarning mahsuloti

Ikkinchi uchburchak, "ikkilamchi diagonalga perpendikulyar: elementlarning mahsuloti

Biz uchta raqamni qo'shamiz:

Bajarilishi kerak bo'lgan narsa ortiqcha shartlar yig'indisidan minus shartlar yig'indisini ayirishdir:

Shunday qilib,

Ko'rib turganingizdek, uchinchi darajali determinantlarni hisoblashda murakkab va g'ayritabiiy narsa yo'q. Uchburchaklar haqida eslash va arifmetik xatolarga yo'l qo'ymaslik juda muhimdir. Endi o'zingizni hisoblashga harakat qiling:

Biz tekshiramiz:

1. Asosiy diagonalga perpendikulyar bo'lgan birinchi uchburchak:
2. Asosiy diagonalga perpendikulyar bo'lgan ikkinchi uchburchak:
3. Plyus shartlar yig'indisi:
4. Yon diagonalga perpendikulyar birinchi uchburchak:
5. Yon diagonalga perpendikulyar bo'lgan ikkinchi uchburchak:
6. Minusli shartlar yig'indisi:
7. Ortiqcha shartlar yig‘indisidan minuslar yig‘indisi:

Mana siz uchun yana bir nechta aniqlovchilar, ularning qiymatlarini o'zingiz hisoblang va javoblar bilan solishtiring:

Javoblar:

Xo'sh, hammasi mos keldimi? Ajoyib, keyin davom eta olasiz! Agar qiyinchiliklar bo'lsa, mening maslahatim shunday: Internetda determinantni onlayn hisoblash uchun bir qator dasturlar mavjud. Sizga kerak bo'lgan narsa - o'zingizning determinantingizni o'ylab toping, uni o'zingiz hisoblang va keyin uni dastur hisoblagan narsa bilan solishtiring. Va shunga o'xshash natijalar mos kelguniga qadar. Ishonchim komilki, bu daqiqa uzoq kutilmaydi!

Keling, uchta berilgan nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasi haqida gapirganimda yozgan determinantga qaytaylik:

Buning uchun faqat uning qiymatini to'g'ridan-to'g'ri hisoblash (uchburchak usuli yordamida) va natijani nolga tenglashtirish kerak. Tabiiyki, ular o'zgaruvchilar bo'lgani uchun siz ularga bog'liq bo'lgan ba'zi ifodalarni olasiz. Aynan shu ifoda bitta to'g'ri chiziqda yotmaydigan uchta berilgan nuqtadan o'tuvchi tekislikning tenglamasi bo'ladi!

Buni oddiy misol bilan tushuntiramiz:

1. Nuqtalardan o`tuvchi tekislik tenglamasini tuzing

Ushbu uch nuqta uchun determinant tuzamiz:

Soddalash:

Endi biz uni to'g'ridan-to'g'ri uchburchaklar qoidasiga ko'ra hisoblaymiz:

\[(\left| (\begin(massiv)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(massiv)) \ o'ng| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \o'ng) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Shunday qilib, nuqtalardan o'tadigan tekislikning tenglamasi:

Endi bitta muammoni o'zingiz hal qilishga harakat qiling, keyin biz buni muhokama qilamiz:

2. Nuqtalardan o`tuvchi tekislik tenglamasini toping

Keling, endi yechimni muhokama qilaylik:

Biz determinant qilamiz:

Va uning qiymatini hisoblang:

Keyin tekislik tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

Yoki kamaytirsak, biz quyidagilarni olamiz:

Endi o'z-o'zini nazorat qilish uchun ikkita vazifa:

1. Uch nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasini tuzing:

Javoblar:

Hammasi mos keldimi? Shunga qaramay, agar ma'lum qiyinchiliklar mavjud bo'lsa, mening maslahatim shunday: siz boshingizdan uchta nuqtani olasiz (ular bitta to'g'ri chiziqda yotmaslik ehtimoli yuqori), ularning ustiga samolyot qurasiz. Va keyin o'zingizni onlayn tekshiring. Masalan, saytda:

Biroq, determinantlar yordamida biz nafaqat tekislikning tenglamasini tuzamiz. Esingizda bo'lsin, men sizga vektorlar uchun faqat nuqta mahsuloti aniqlanmaganligini aytdim. Bundan tashqari, vektor, shuningdek, aralash mahsulot mavjud. Va agar ikkita vektorning skalyar mahsuloti son bo'lsa, u holda ikkita vektorning vektor mahsuloti vektor bo'ladi va bu vektor berilganlarga perpendikulyar bo'ladi:

Bundan tashqari, uning moduli vektorlar ustida qurilgan parallelogramm maydoniga teng bo'ladi. Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani hisoblash uchun bizga bu vektor kerak bo'ladi. Vektorlarning o'zaro ko'paytmasini qanday hisoblashimiz mumkin va agar ularning koordinatalari berilgan bo'lsa? Uchinchi tartibning determinanti yana yordamimizga keladi. Biroq, ko'ndalang mahsulotni hisoblash algoritmiga o'tishdan oldin, men kichik lirik digressiya qilishim kerak.

Ushbu cheklash asosiy vektorlarga tegishli.

Sxematik ravishda ular rasmda ko'rsatilgan:

Nima uchun ular asosiy deb ataladi deb o'ylaysiz? Gap shundaki :

Yoki rasmda:

Ushbu formulaning to'g'riligi aniq, chunki:

vektor mahsuloti

Endi men o'zaro faoliyat mahsulotini kiritishni boshlashim mumkin:

Ikki vektorning vektor mahsuloti vektor bo'lib, quyidagi qoida bo'yicha hisoblanadi:

Keling, ko'ndalang mahsulotni hisoblashning ba'zi misollarini keltiramiz:

1-misol: Vektorlarning o‘zaro ko‘paytmasini toping:

Yechim: Men aniqlovchini yarataman:

Va men buni hisoblayman:

Endi, asosiy vektorlar orqali yozishdan boshlab, men odatiy vektor yozuviga qaytaman:

Shunday qilib:

Endi urinib ko'ring.

Tayyormisiz? Biz tekshiramiz:

Va an'anaviy ravishda ikkita nazorat qilish vazifalari:

1. Quyidagi vektorlarning oʻzaro koʻpaytmasini toping:
2. Quyidagi vektorlarning oʻzaro koʻpaytmasini toping:

Javoblar:

Uch vektorning aralash mahsuloti

Menga kerak bo'lgan oxirgi qurilish uchta vektorning aralash mahsulotidir. Bu, xuddi skaler kabi, raqam. Uni hisoblashning ikki yo'li mavjud. - aniqlovchi orqali, - aralash hosila orqali.

Aytaylik, bizda uchta vektor bor:

Shu bilan belgilangan uchta vektorning aralash mahsulotini quyidagicha hisoblash mumkin:

1. - ya'ni aralash mahsulot vektorning skalyar ko'paytmasi va boshqa ikkita vektorning vektor ko'paytmasidir.

Masalan, uchta vektorning aralash mahsuloti:

Vektor mahsuloti yordamida uni o'zingiz hisoblashga harakat qiling va natijalar mos kelishiga ishonch hosil qiling!

Va yana - mustaqil yechim uchun ikkita misol:

Javoblar:

Koordinatalar tizimini tanlash

Xo'sh, endi biz geometriyadagi murakkab stereometrik muammolarni hal qilish uchun barcha kerakli bilimlarga egamiz. Biroq, to'g'ridan-to'g'ri misollar va ularni hal qilish algoritmlariga o'tishdan oldin, men quyidagi savolga to'xtalib o'tish foydali bo'ladi deb o'ylayman: qanday qilib aniq ma'lum bir raqam uchun koordinatalar tizimini tanlang. Axir, koordinatalar tizimining nisbiy o'rnini va kosmosdagi raqamni tanlash, oxir-oqibat hisob-kitoblar qanchalik og'ir bo'lishini aniqlaydi.

Eslatib o'tamiz, ushbu bo'limda biz quyidagi shakllarni ko'rib chiqamiz:

1. kubsimon
2. To'g'ri prizma (uchburchak, olti burchakli ...)
3. Piramida (uchburchak, to'rtburchak)
4. Tetraedr (uchburchak piramida bilan bir xil)

Kuboid yoki kub uchun men quyidagi qurilishni tavsiya qilaman:

Ya'ni, men raqamni "burchakda" joylashtiraman. Kub va quti juda yaxshi raqamlar. Ular uchun siz har doim uning cho'qqilarining koordinatalarini osongina topishingiz mumkin. Masalan, agar (rasmda ko'rsatilganidek)

u holda tepalik koordinatalari:

Albatta, buni eslab qolishning hojati yo'q, lekin kub yoki to'rtburchaklar qutini qanday joylashtirishni eslab qolish maqsadga muvofiqdir.

to'g'ri prizma

Prizma ko'proq zararli raqamdir. Siz uni kosmosda turli yo'llar bilan tartibga solishingiz mumkin. Biroq, menimcha, quyidagi eng yaxshi variant:

Uchburchak prizma:

Ya'ni, biz uchburchakning bir tomonini to'liq o'qga qo'yamiz va cho'qqilardan biri koordinatali nuqtaga to'g'ri keladi.

Olti burchakli prizma:

Ya'ni, cho'qqilardan biri koordinataga to'g'ri keladi va tomonlardan biri o'qda yotadi.

To'rtburchak va olti burchakli piramida:

Kubga o'xshash vaziyat: biz asosning ikki tomonini koordinata o'qlari bilan birlashtiramiz, biz tepaliklardan birini kelib chiqishi bilan birlashtiramiz. Faqatgina kichik qiyinchilik nuqta koordinatalarini hisoblash bo'ladi.

Olti burchakli piramida uchun - olti burchakli prizma bilan bir xil. Asosiy vazifa yana tepaning koordinatalarini topishda bo'ladi.

Tetraedr (uchburchak piramida)

Vaziyat men uchburchak prizma uchun bergan holatga juda o'xshaydi: bir cho'qqi koordinata o'qiga to'g'ri keladi, bir tomoni koordinata o'qida yotadi.

Xo'sh, endi siz va men muammolarni hal qilishni boshlashga yaqinmiz. Maqolaning boshida aytganlarimdan siz quyidagi xulosaga kelishingiz mumkin: ko'pchilik C2 muammolari 2 toifaga bo'linadi: burchak uchun muammolar va masofa uchun muammolar. Birinchidan, burchakni topish uchun muammolarni ko'rib chiqamiz. Ular, o'z navbatida, quyidagi toifalarga bo'linadi (murakkablik ortishi bilan):

Burchaklarni topish bilan bog'liq muammolar

1. Ikki chiziq orasidagi burchakni topish
2. Ikki tekislik orasidagi burchakni topish

Keling, bu masalalarni ketma-ket ko'rib chiqaylik: ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchakni topishdan boshlaylik. Xo'sh, esingizdami, siz va men shunga o'xshash misollarni ilgari hal qilganmiz? Esingizdami, bizda allaqachon shunga o'xshash narsa bor edi ... Biz ikkita vektor orasidagi burchakni qidirdik. Sizga eslatib o'taman, agar ikkita vektor berilgan bo'lsa: va ular orasidagi burchak munosabatlardan topiladi:

Endi bizda maqsad bor - ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchakni topish. Keling, "tekis rasm" ga murojaat qilaylik:

Ikki chiziq kesishganda nechta burchak hosil qilamiz? Allaqachon narsalar. To'g'ri, ulardan faqat ikkitasi teng emas, boshqalari esa ularga vertikal (va shuning uchun ular bilan mos keladi). Xo'sh, ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchakni qaysi burchakni hisobga olishimiz kerak: yoki? Bu erda qoida: ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchak har doim gradusdan oshmaydi. Ya'ni, ikkita burchakdan biz har doim eng kichik daraja o'lchovi bilan burchakni tanlaymiz. Ya'ni, bu rasmda ikki chiziq orasidagi burchak teng. Har safar ikkita burchakning eng kichigini topish bilan ovora bo'lmaslik uchun ayyor matematiklar moduldan foydalanishni taklif qilishdi. Shunday qilib, ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchak quyidagi formula bilan aniqlanadi:

Diqqatli o'quvchi sifatida sizda savol tug'ilishi kerak edi: burchakning kosinusini hisoblashimiz kerak bo'lgan bu raqamlarni qaerdan olamiz? Javob: biz ularni chiziqlarning yo'nalish vektorlaridan olamiz! Shunday qilib, ikkita chiziq orasidagi burchakni topish algoritmi quyidagicha:

1. 1-formulani qo'llaymiz.

Yoki batafsilroq:

1. Birinchi to'g'ri chiziqning yo'nalish vektorining koordinatalarini qidiramiz
2. Biz ikkinchi chiziqning yo'nalish vektorining koordinatalarini qidiramiz
3. Ularning skalyar mahsulotining modulini hisoblang
4. Biz birinchi vektorning uzunligini qidiramiz
5. Biz ikkinchi vektorning uzunligini qidiramiz
6. 4-band natijalarini 5-band natijalariga ko'paytiring
7. 3-nuqta natijasini 6-nuqta natijasiga ajratamiz. Chiziqlar orasidagi burchakning kosinusini olamiz.
8. Agar bu natija burchakni aniq hisoblash imkonini beradigan bo'lsa, biz uni qidiramiz
9. Aks holda, arkkosinus orqali yozamiz

Xo'sh, endi vazifalarga o'tish vaqti keldi: men birinchi ikkitasining yechimini batafsil ko'rsataman, ikkinchisining yechimini qisqacha taqdim etaman va faqat oxirgi ikkita vazifaga javob beraman, siz buni qilishingiz kerak. ular uchun barcha hisob-kitoblarni o'zingiz bajaring.

Vazifalar:

1. To'g'ri tet-ra-ed-reda, siz-shuningdek-tet-ra-ed-ra va me-di-a-noy bo-ko-how tomoni orasidagi burchakni-di-te toping.

2. O'ngga oltita-ko'mir-pi-ra-mi-de, yuz-ro-na-os-no-va-niya qandaydir tarzda teng va yon qovurg'alar teng, to'g'ri orasidagi burchakni toping. chiziqlar va.

3. O'ng qo'l to'rt-you-rech-ko'mir-noy pi-ra-mi-dy barcha qirralarning uzunligi bir-biriga teng. To'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni toping va agar from-re-zok - you-so-bu berilgan pi-ra-mi-dy, nuqta uning bo-ko- th qovurg'asida se-re-di-da bo'ladi.

4. Kubning chetida-me-che-dan nuqtaga, shundayki, to'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni toping.

5. Nuqta - kubning chetlarida se-re-di-to'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni Nai-di-te va.

Vazifalarni shunday tartibda joylashtirganim bejiz emas. Koordinatalar usulida harakat qilishni boshlashga hali vaqtingiz yo'q bo'lsa-da, men o'zim eng "muammoli" raqamlarni tahlil qilaman va sizni eng oddiy kub bilan shug'ullanish uchun qoldiraman! Asta-sekin siz barcha raqamlar bilan ishlashni o'rganishingiz kerak, men mavzudan mavzuga vazifalarning murakkabligini oshiraman.

Keling, muammolarni hal qilishni boshlaylik:

1. Tetraedrni chizing, uni ilgari taklif qilganimdek koordinatalar tizimiga joylashtiring. Tetraedr muntazam bo'lganligi sababli, uning barcha yuzlari (shu jumladan asos) muntazam uchburchaklardir. Bizga tomonning uzunligi berilmaganligi sababli, men uni teng qabul qila olaman. O'ylaymanki, burchak bizning tetraedrimiz qanchalik "cho'zilgan"ligiga bog'liq emasligini tushunasizmi? Tetraedrda balandlik va medianani ham chizaman. Yo'lda men uning asosini chizaman (u bizga ham yordam beradi).

va orasidagi burchakni topishim kerak. Biz nimani bilamiz? Biz faqat nuqtaning koordinatasini bilamiz. Shunday qilib, biz nuqtalarning ko'proq koordinatalarini topishimiz kerak. Endi biz o'ylaymiz: nuqta - bu uchburchakning balandliklari (yoki bissektrisalari yoki medianlari) kesishish nuqtasi. Nuqta ko'tarilgan nuqtadir. Nuqta segmentning o'rta nuqtasidir. Keyin nihoyat topishimiz kerak: nuqtalarning koordinatalarini: .

Eng oddiyidan boshlaylik: nuqta koordinatalari. Rasmga qarang: nuqtaning ilovasi nolga teng ekanligi aniq (nuqta tekislikda yotadi). Uning ordinatasi teng (chunki u mediana). Uning abtsissasini topish qiyinroq. Biroq, bu Pifagor teoremasi asosida osonlik bilan amalga oshiriladi: uchburchakni ko'rib chiqing. Uning gipotenuzasi teng va oyoqlaridan biri teng bo'lsa:

Nihoyat bizda:

Endi nuqtaning koordinatalarini topamiz. Ko'rinib turibdiki, uning qo'llanilishi yana nolga teng va uning ordinatasi nuqta bilan bir xil, ya'ni. Keling, uning absissasini topamiz. Agar kimdir buni eslab qolsa, bu juda ahamiyatsiz tarzda amalga oshiriladi teng tomonli uchburchakning balandliklari kesishish nuqtasiga nisbatda bo'linadi yuqoridan hisoblash. Chunki:, u holda segment uzunligiga teng nuqtaning kerakli absissasi: ga teng. Shunday qilib, nuqtaning koordinatalari:

Nuqtaning koordinatalarini topamiz. Ko'rinib turibdiki, uning abssissa va ordinatasi nuqtaning abscissa va ordinatasiga to'g'ri keladi. Va applikatsiya segmentning uzunligiga teng. - bu uchburchakning oyoqlaridan biri. Uchburchakning gipotenuzasi segment - oyoqdir. Men qalin harf bilan ta'kidlagan sabablar uchun qidiriladi:

Nuqta segmentning o'rta nuqtasidir. Keyin segmentning o'rtasi koordinatalari formulasini eslab qolishimiz kerak:

Hammasi shunday, endi biz yo'nalish vektorlarining koordinatalarini izlashimiz mumkin:

Xo'sh, hamma narsa tayyor: biz barcha ma'lumotlarni formulaga almashtiramiz:

Shunday qilib,

Javob:

Bunday "dahshatli" javoblardan qo'rqmaslik kerak: C2 muammolari uchun bu odatiy amaliyotdir. Men bu qismdagi "chiroyli" javobdan hayratda qolgan bo'lardim. Bundan tashqari, siz ta'kidlaganingizdek, men amalda Pifagor teoremasi va teng qirrali uchburchakning balandliklari xususiyatidan boshqa hech narsaga murojaat qilmadim. Ya'ni, stereometrik muammoni hal qilish uchun men eng minimal stereometriyadan foydalandim. Bu boradagi daromad ancha mashaqqatli hisob-kitoblar bilan qisman "o'chirilgan". Ammo ular juda algoritmik!

2. Muntazam olti burchakli piramidani koordinatalar tizimi bilan bir qatorda uning asosini ham chizing:

Biz va chiziqlar orasidagi burchakni topishimiz kerak. Shunday qilib, bizning vazifamiz nuqtalarning koordinatalarini topishga qisqartiriladi: . Kichik chizmadan oxirgi uchtasining koordinatalarini topamiz va nuqta koordinatasi orqali tepaning koordinatasini topamiz. Ko'p ish, lekin boshlash kerak!

a) Koordinata: uning ilovasi va ordinatasi nolga teng ekanligi aniq. Keling, abtsissani topamiz. Buning uchun to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqing. Afsuski, unda biz faqat teng bo'lgan gipotenuzani bilamiz. Biz oyoqni topishga harakat qilamiz (chunki oyoqning ikki barobar uzunligi bizga nuqtaning abscissasini berishi aniq). Uni qanday izlashimiz mumkin? Keling, piramidaning tagida qanday shakl borligini eslaylik? Bu oddiy olti burchakli. Bu nima degani? Bu barcha tomonlar va barcha burchaklar teng ekanligini anglatadi. Biz shunday burchakni topishimiz kerak. Har qanday fikr bormi? Ko'p fikrlar bor, lekin formula bor:

Muntazam n-burchak burchaklarining yig'indisi .

Shunday qilib, muntazam olti burchakli burchaklar yig'indisi darajaga teng. Keyin burchaklarning har biri teng bo'ladi:

Keling, rasmga yana qaraylik. Segment burchakning bissektrisasi ekanligi aniq. Keyin burchak gradusdir. Keyin:

Keyin qayerda.

Demak, uning koordinatalari bor

b) Endi nuqtaning koordinatasini bemalol topamiz: .

v) nuqtaning koordinatalarini toping. Uning abscissasi segment uzunligiga to'g'ri kelganligi sababli, u tengdir. Ordinatni topish ham unchalik qiyin emas: agar biz nuqtalarni birlashtirsak va chiziqning kesishish nuqtasini belgilasak, deylik. (oddiy qurilishni o'zingiz bajaring). Shunday qilib, B nuqtaning ordinatasi segmentlar uzunliklarining yig'indisiga teng. Keling, yana uchburchakni ko'rib chiqaylik. Keyin

O'shandan beri nuqta koordinatalariga ega

d) Endi nuqtaning koordinatalarini toping. To'g'ri to'rtburchakni ko'rib chiqing va nuqtaning koordinatalari quyidagicha ekanligini isbotlang:

e) Tepaning koordinatalarini topish qoladi. Ko'rinib turibdiki, uning abssissa va ordinatasi nuqtaning abscissa va ordinatasiga to'g'ri keladi. Keling, ilova topamiz. O'shandan beri. To'g'ri uchburchakni ko'rib chiqing. Muammoning shartiga ko'ra, lateral chekka. Bu mening uchburchakning gipotenuzasi. Keyin piramidaning balandligi oyoqdir.

Keyin nuqta koordinatalariga ega:

Hammasi, meni qiziqtirgan barcha nuqtalarning koordinatalari bor. Men to'g'ri chiziqlarning yo'naltiruvchi vektorlarining koordinatalarini qidiryapman:

Biz ushbu vektorlar orasidagi burchakni qidiramiz:

Javob:

Shunga qaramay, bu masalani hal qilishda men oddiy n-burchak burchaklarining yig'indisi formulasidan, shuningdek, to'g'ri burchakli uchburchakning kosinus va sinusini aniqlashdan tashqari, hech qanday murakkab hiyla ishlatmadim.

3. Bizga yana piramidada qirralarning uzunliklari berilmagani uchun ularni bittaga teng deb hisoblayman. Shunday qilib, nafaqat yon tomonlari, balki HAMMA qirralari bir-biriga teng bo'lganligi sababli, piramida va men poydevorida kvadrat yotadi va yon yuzlari muntazam uchburchaklardir. Keling, masalaning matnida keltirilgan barcha ma'lumotlarni belgilab, bunday piramidani, shuningdek uning asosini tekislikda tasvirlaylik:

Biz va orasidagi burchakni qidiramiz. Men nuqtalar koordinatalarini qidirayotganda juda qisqa hisob-kitoblarni amalga oshiraman. Ularni "shifrini ochish" kerak bo'ladi:

b) - segmentning o'rtasi. Uning koordinatalari:

c) uchburchakda Pifagor teoremasidan foydalanib segment uzunligini topaman. Men uchburchakda Pifagor teoremasi orqali topaman.

Koordinatalar:

d) - segmentning o'rtasi. Uning koordinatalari

e) Vektor koordinatalari

f) Vektor koordinatalari

g) burchakni izlash:

Kub eng oddiy figuradir. Ishonchim komilki, siz buni o'zingiz aniqlay olasiz. 4 va 5-masalalarning javoblari quyidagicha:

Chiziq va tekislik orasidagi burchakni topish

Xo'sh, oddiy jumboqlarning vaqti tugadi! Endi misollar yanada qiyinroq bo'ladi. Chiziq va tekislik orasidagi burchakni topish uchun biz quyidagicha harakat qilamiz:

1. Uch nuqtadan foydalanib, biz tekislikning tenglamasini tuzamiz
   ,
   uchinchi tartibli determinant yordamida.
2. Ikki nuqta orqali biz to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorining koordinatalarini qidiramiz:
3. To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchakni hisoblash uchun formuladan foydalanamiz:

Ko'rib turganingizdek, bu formula biz ikkita chiziq orasidagi burchaklarni topishda foydalangan formulaga juda o'xshaydi. O'ng tomonning tuzilishi xuddi shunday va chap tomonda biz avvalgidek kosinus emas, balki sinusni qidirmoqdamiz. Xo'sh, bitta jirkanch harakat qo'shildi - samolyot tenglamasini qidirish.

To'xtamaylik Yechish misollari:

1. Os-no-va-ni-em to'g'ridan-to'g'ri mening mukofotim-biz-la-et-xia teng-lekin-kambag'al-ren-ny uchburchak-nik siz-o'sha sovrin-biz tengmiz. To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchakni toping

2. G'arbiy Nai-di-tedan to'rtburchak pa-ral-le-le-pi-pe-de to'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchak.

3. O'ng qo'lli oltita ko'mir prizmasida barcha qirralar teng. To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchakni toping.

4. To'g'ri uchburchakli pi-ra-mi-de bilan os-but-va-ni-em g'arbiy tomondan qovurg'a Nai-di-te burchak, osning ob-ra-zo-van -ny tekisligi. -no-va-niya va to'g'ri-my, qovurg'alarning se-re-di-nasidan o'tib va

5. O'ng to'rtburchak pi-ra-mi-dy tepasi bilan barcha qirralarning uzunliklari bir-biriga teng. Agar nuqta pi-ra-mi-dyning bo-ko-in-chi chetida se-re-di-bo'lsa, to'g'ri chiziq bilan tekislik orasidagi burchakni toping.

Yana birinchi ikkita muammoni batafsil hal qilaman, uchinchisini - qisqacha va oxirgi ikkitasini o'zingiz hal qilishingiz uchun qoldiraman. Bundan tashqari, siz allaqachon uchburchak va to'rtburchak piramidalar bilan shug'ullanishingiz kerak edi, lekin hali prizmalar bilan emas.

Yechimlar:

1. Prizmani, shuningdek uning asosini chizing. Keling, uni koordinatalar tizimi bilan birlashtiramiz va muammo bayonida berilgan barcha ma'lumotlarni belgilaymiz:

Men mutanosibliklarga rioya qilmaslik uchun uzr so'rayman, lekin muammoni hal qilish uchun bu, aslida, unchalik muhim emas. Samolyot mening prizmaning "orqa devori" dir. Bunday tekislikning tenglamasi quyidagi shaklga ega ekanligini taxmin qilish kifoya:

Biroq, bu to'g'ridan-to'g'ri ko'rsatilishi mumkin:

Biz bu tekislikda ixtiyoriy uchta nuqtani tanlaymiz: masalan, .

Samolyot tenglamasini tuzamiz:

Siz uchun mashq: bu determinantni o'zingiz hisoblang. Muvaffaqiyatga erishdingizmi? Keyin tekislik tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

Yoki oddiygina

Shunday qilib,

Misolni hal qilish uchun men to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorining koordinatalarini topishim kerak. Nuqta koordinata boshiga to'g'ri kelganligi sababli vektorning koordinatalari nuqta koordinatalari bilan oddiygina mos tushadi.Buning uchun avvalo nuqtaning koordinatalarini topamiz.

Buning uchun uchburchakni ko'rib chiqing. Yuqoridan balandlikni (u ham mediana va bissektrisa) chizamiz. Chunki, u holda nuqtaning ordinatasi teng bo'ladi. Ushbu nuqtaning abssissasini topish uchun biz segmentning uzunligini hisoblashimiz kerak. Pifagor teoremasi bo'yicha bizda:

Keyin nuqta koordinatalariga ega:

Nuqta - bu nuqta ustidagi "ko'tarilgan":

Keyin vektorning koordinatalari:

Javob:

Ko'rib turganingizdek, bunday muammolarni hal qilishda tubdan qiyin narsa yo'q. Aslida, prizma kabi raqamning "to'g'riligi" jarayonni biroz soddalashtiradi. Endi keyingi misolga o'tamiz:

2. Biz parallelepiped chizamiz, unga tekislik va to'g'ri chiziq chizamiz, shuningdek, uning pastki asosini alohida chizamiz:

Birinchidan, biz tekislikning tenglamasini topamiz: undagi uchta nuqtaning koordinatalari:

(birinchi ikkita koordinata aniq tarzda olinadi va siz nuqtadan rasmdan oxirgi koordinatani osongina topishingiz mumkin). Keyin tekislik tenglamasini tuzamiz:

Biz hisoblaymiz:

Biz yo'nalish vektorining koordinatalarini qidiramiz: Uning koordinatalari nuqta koordinatalari bilan mos kelishi aniq, shunday emasmi? Koordinatalarni qanday topish mumkin? Bular ilova o'qi bo'ylab bittaga ko'tarilgan nuqtaning koordinatalari! . Keyin biz kerakli burchakni qidiramiz:

Javob:

3. Muntazam olti burchakli piramida chizing, so‘ngra unga tekislik va to‘g‘ri chiziq chizing.

Bu erda hatto tekislikni chizish muammoli, bu muammoni hal qilish haqida gapirmasa ham, koordinata usuliga ahamiyat bermaydi! Uning asosiy afzalligi uning ko'p qirraliligidadir!

Samolyot uchta nuqtadan o'tadi: . Biz ularning koordinatalarini qidiramiz:

biri). Oxirgi ikki nuqtaning koordinatalarini o'zingiz ko'rsating. Buning uchun muammoni olti burchakli piramida bilan hal qilishingiz kerak bo'ladi!

2) Biz tekislikning tenglamasini tuzamiz:

Biz vektorning koordinatalarini qidiramiz: . (Yana uchburchak piramida muammosiga qarang!)

3) Biz burchakni qidiramiz:

Javob:

Ko'rib turganingizdek, bu vazifalarda g'ayritabiiy qiyin narsa yo'q. Siz faqat ildizlar bilan juda ehtiyot bo'lishingiz kerak. Oxirgi ikkita muammoga men faqat javob beraman:

Ko'rib turganingizdek, masalalarni yechish texnikasi hamma joyda bir xil: asosiy vazifa cho'qqilarning koordinatalarini topish va ularni ba'zi formulalarga almashtirishdir. Burchaklarni hisoblash uchun muammolarning yana bir sinfini ko'rib chiqish biz uchun qoladi, xususan:

Ikki tekislik orasidagi burchaklarni hisoblash

Yechim algoritmi quyidagicha bo'ladi:

1. Uch nuqta uchun biz birinchi tekislikning tenglamasini qidiramiz:
2. Qolgan uchta nuqta uchun biz ikkinchi tekislikning tenglamasini qidiramiz:
3. Biz formulani qo'llaymiz:

Ko'rib turganingizdek, formula oldingi ikkitasiga juda o'xshaydi, uning yordamida biz to'g'ri chiziqlar orasidagi va to'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchaklarni qidirdik. Shuning uchun buni eslab qolish siz uchun qiyin bo'lmaydi. Keling, darhol muammoga o'taylik:

1. To‘g‘ri burchakli uchburchak prizma asosidagi yuz-ro- teng, yon yuzining dia-go-nali esa teng. Sovrin asosining tekisligi va tekisligi orasidagi burchakni toping.

2. O'ngga to'rt-you-re-ko'mir-noy pi-ra-mi-de, birovning barcha qirralari teng, tekislik bilan Ko-Stu tekisligi orasidagi burchakning sinusini toping, orqali o'ting. per-pen-di-ku-lyar-lekin to'g'ri-my nuqtasi.

3. Muntazam to'rtta ko'mir prizmasida os-no-va-niyaning tomonlari teng, yon qirralari esa teng. Chetda dan-me-che-nuqta shunday qilib. va tekisliklari orasidagi burchakni toping

4. To'g'ri to'rtburchak prizmada asoslarning tomonlari teng, yon qirralari esa teng. Chetda dan-me-che-nuqtaga shunday tekisliklar orasidagi burchakni toping va.

5. Kubda va tekisliklar orasidagi burchakning ko-si-nusini toping

Muammoni hal qilish usullari:

1. Muntazam (poyasida - teng yonli uchburchak) uchburchak prizma chizaman va unga masala shartida paydo bo'ladigan tekisliklarni belgilayman:

Ikkita tekislikning tenglamalarini topishimiz kerak: Asosiy tenglama arzimas tarzda olinadi: siz uchta nuqta uchun mos determinantni yaratishingiz mumkin, lekin men darhol tenglamani tuzaman:

Endi tenglamani topamiz Nuqta koordinatalariga ega Nuqta - Uchburchakning medianasi va balandligi bo'lgani uchun uni uchburchakda Pifagor teoremasi orqali topish oson. Keyin nuqta koordinatalariga ega bo'ladi: Nuqtaning ilovasini toping Buning uchun to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqing

Keyin quyidagi koordinatalarni olamiz: Tekislik tenglamasini tuzamiz.

Biz tekisliklar orasidagi burchakni hisoblaymiz:

Javob:

2. Chizma yasash:

Eng qiyin narsa, perpendikulyar nuqtadan o'tadigan qanday sirli tekislik ekanligini tushunishdir. Xo'sh, asosiy narsa - bu nima? Asosiysi, diqqat! Darhaqiqat, chiziq perpendikulyar. Chiziq ham perpendikulyar. Keyin bu ikki chiziqdan o'tuvchi tekislik to'g'ri chiziqqa perpendikulyar bo'ladi va, aytmoqchi, nuqtadan o'tadi. Bu tekislik ham piramidaning tepasidan o'tadi. Keyin kerakli samolyot - Va samolyot allaqachon bizga berilgan. Biz nuqtalarning koordinatalarini qidiramiz.

Nuqta orqali nuqtaning koordinatasini topamiz. Kichik chizmadan nuqtaning koordinatalari quyidagicha bo'lishini osonlik bilan xulosa qilish mumkin: Piramida tepasining koordinatalarini topish uchun endi nima topiladi? Hali ham uning balandligini hisoblash kerak. Bu xuddi shu Pifagor teoremasi yordamida amalga oshiriladi: birinchi navbatda, buni isbotlang (poydevorda kvadrat hosil qiluvchi kichik uchburchaklardan). Shartga ko'ra, bizda:

Endi hamma narsa tayyor: vertex koordinatalari:

Biz tekislikning tenglamasini tuzamiz:

Siz allaqachon determinantlarni hisoblash bo'yicha mutaxassissiz. Siz osongina olasiz:

Yoki aks holda (agar ikkala qismni ikkitaning ildiziga ko'paytirsak)

Endi tekislikning tenglamasini topamiz:

(Samolyot tenglamasini qanday olishimizni unutmadingiz, to'g'rimi? Agar bu minus qaerdan kelganini tushunmasangiz, unda tekislik tenglamasining ta'rifiga qayting! Bu har doim undan oldin bo'lgan. mening samolyotim kelib chiqishiga tegishli edi!)

Determinantni hisoblaymiz:

(Samolyot tenglamasi nuqtalardan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasiga toʻgʻri kelganini payqadingiz va nima uchun oʻylab koʻring!)

Endi burchakni hisoblaymiz:

Biz sinusni topishimiz kerak:

Javob:

3. Qiziqarli savol: to'rtburchak prizma nima, siz qanday fikrdasiz? Bu sizga shunchaki taniqli parallelepiped! Darhol chizish! Siz hatto bazani alohida tasvirlay olmaysiz, bu erda undan kam foydalanish mumkin:

Samolyot, yuqorida aytib o'tganimizdek, tenglama sifatida yoziladi:

Endi biz samolyot qilamiz

Biz darhol tekislikning tenglamasini tuzamiz:

Burchak qidirmoqda

Endi oxirgi ikkita muammoga javoblar:

Xo'sh, dam olish vaqti keldi, chunki siz va men ajoyibmiz va ajoyib ish qildik!

Koordinatalar va vektorlar. Yuqori daraja

Ushbu maqolada biz siz bilan koordinata usuli yordamida hal qilinishi mumkin bo'lgan yana bir toifadagi masalalarni muhokama qilamiz: masofaviy masalalar. Ya'ni, biz quyidagi holatlarni ko'rib chiqamiz:

1. Egri chiziqlar orasidagi masofani hisoblash.

Berilgan vazifalarni ularning murakkabligi oshgani sayin buyurtma qildim. Eng oson - topish nuqtadan tekislik masofasiga va eng qiyin qismi topishdir kesishgan chiziqlar orasidagi masofa. Garchi, albatta, imkonsiz narsa yo'q! Keling, kechiktirmaylik va darhol birinchi sinf muammolarini ko'rib chiqishga o'tamiz:

Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani hisoblash

Bu muammoni hal qilish uchun bizga nima kerak?

1. Nuqta koordinatalari

Shunday qilib, barcha kerakli ma'lumotlarni olishimiz bilan biz formulani qo'llaymiz:

Oxirgi qismda tahlil qilgan oldingi muammolardan samolyot tenglamasini qanday qurishimizni allaqachon bilishingiz kerak. Keling, darhol ishga kirishaylik. Sxema quyidagicha: 1, 2 - men sizga qaror qabul qilishda yordam beraman va ba'zi tafsilotlarda 3, 4 - faqat javob, siz qarorni o'zingiz qabul qilasiz va solishtirasiz. Boshlandi!

Vazifalar:

1. Kub berilgan. Kubning chetining uzunligi Se-re-di-ny dan kesikdan tekisgacha bo'lgan masofani toping

2. Berilgan o'ng-vil-naya to'rt-you-rekh-ko'mir-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe chekka yuz-ro-on os-no-va-nia teng. Bir nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofalarni toping, bu erda - qirralarning se-re-di-da.

3. Os-but-va-ni-em bilan to'g'ri uchburchak pi-ra-mi-de, boshqa chekka teng, yuz-ro-on os-no-vaniya teng. Yuqoridan tekislikgacha bo'lgan masofalarni toping.

4. O'ng qo'lli oltita ko'mir prizmasida barcha qirralar teng. Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofalarni toping.

Yechimlar:

1. Yagona qirrali kub chizing, segment va tekislik quring, segmentning o'rtasini harf bilan belgilang.

.

Birinchidan, oson narsadan boshlaylik: nuqta koordinatalarini toping. O'shandan beri (segmentning o'rtasi koordinatalarini eslang!)

Endi biz uch nuqtada tekislik tenglamasini tuzamiz

\[\chap| (\begin(massiv)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(massiv)) \o'ng| = 0\]

Endi masofani topishni boshlashim mumkin:

2. Biz yana chizilgan rasm bilan boshlaymiz, unda biz barcha ma'lumotlarni belgilaymiz!

Piramida uchun uning asosini alohida chizish foydali bo'ladi.

Tovuq panjasidek chizishim ham bu muammoni osonlikcha hal qilishimizga to'sqinlik qilmaydi!

Endi nuqtaning koordinatalarini topish oson

Nuqtaning koordinatalari beri

2. A nuqtaning koordinatalari segmentning o'rtasi bo'lgani uchun, u holda

Tekislikdagi yana ikkita nuqtaning koordinatalarini osongina topamiz.Teklik tenglamasini tuzamiz va uni soddalashtiramiz:

\[\chap| (\left| (\begin(massiv)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(massiv)) \right|) \right| = 0\]

Nuqta koordinatalariga ega bo'lgani uchun: , u holda masofani hisoblaymiz:

Javob (juda kamdan-kam!):

Xo'sh, tushundingizmi? Menimcha, bu erda hamma narsa oldingi qismda siz bilan ko'rib chiqqan misollardagi kabi texnikdir. Shuning uchun ishonchim komilki, agar siz ushbu materialni o'zlashtirgan bo'lsangiz, qolgan ikkita muammoni hal qilish siz uchun qiyin bo'lmaydi. Men sizga faqat javoblarni beraman:

Chiziqdan tekislikgacha bo'lgan masofani hisoblash

Aslida, bu erda hech qanday yangilik yo'q. Chiziq va tekislikni bir-biriga nisbatan qanday joylashtirish mumkin? Ularda barcha imkoniyatlar mavjud: kesishish yoki tekislikka parallel bo'lgan to'g'ri chiziq. Sizningcha, berilgan chiziq kesishgan chiziqdan tekislikgacha bo'lgan masofa qancha? Menimcha, bunday masofa nolga teng ekanligi aniq. Qiziqarsiz holat.

Ikkinchi holat qiyinroq: bu erda masofa allaqachon nolga teng. Biroq, chiziq tekislikka parallel bo'lganligi sababli, chiziqning har bir nuqtasi ushbu tekislikdan teng masofada joylashgan:

Shunday qilib:

Va bu mening vazifam avvalgisiga qisqartirilganligini anglatadi: biz chiziqdagi istalgan nuqtaning koordinatalarini qidiramiz, biz tekislik tenglamasini qidiramiz, nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani hisoblaymiz. Aslida, imtihonda bunday vazifalar juda kam uchraydi. Men faqat bitta muammoni topishga muvaffaq bo'ldim va undagi ma'lumotlar shunday ediki, koordinata usuli unga unchalik mos kelmadi!

Endi muammolarning boshqa, ancha muhim sinfiga o‘tamiz:

Nuqtadan chiziqqa masofani hisoblash

Bizga nima kerak bo'ladi?

1. Biz masofani izlayotgan nuqtaning koordinatalari:

2. To'g'ri chiziqda yotgan har qanday nuqtaning koordinatalari

3. To'g'ri chiziqning yo'nalish vektor koordinatalari

Biz qanday formuladan foydalanamiz?

Ushbu kasrning maxraji siz uchun nimani anglatadi va shuning uchun aniq bo'lishi kerak: bu to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorining uzunligi. Mana juda qiyin hisoblagich! Ifoda vektorlarning vektor mahsulotining moduli (uzunligi) degan ma'noni anglatadi va vektor mahsulotini qanday hisoblash mumkin, biz ishning oldingi qismida o'rganib chiqdik. Bilimingizni yangilang, bu hozir biz uchun juda foydali bo'ladi!

Shunday qilib, muammolarni hal qilish algoritmi quyidagicha bo'ladi:

1. Biz masofani izlayotgan nuqtaning koordinatalarini qidiramiz:

2. Biz masofani qidirayotgan chiziqdagi istalgan nuqtaning koordinatalarini qidiramiz:

3. Vektorni qurish

4. To'g'ri chiziqning yo'nalish vektorini quramiz

5. Ko‘paytmani hisoblang

6. Olingan vektor uzunligini qidiramiz:

7. Masofani hisoblang:

Bizda juda ko'p ish bor va misollar juda murakkab bo'ladi! Shunday qilib, endi barcha e'tiboringizni qarating!

1. Dana o'ng qo'lli uchburchak pi-ra-mi-da cho'qqisi bilan. Bir yuz-ro-on os-no-va-niya pi-ra-mi-dy teng, siz-so-ta teng. Bo-ko-chi qirraning se-re-di-nysidan to to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofalarni toping, bu erda va nuqtalar qovurg'a va ko'- vetning se-re-di-ny bo'ladi. -stven-lekin.

2. Qovurg'alarning uzunliklari va to'g'ri burchakli-no-para-ral-le-le-pi-pe-da mos ravishda teng va top-shi-ny dan to'g'ri-mygacha bo'lgan masofani toping-di-te.

3. To'g'ri oltita ko'mir prizmasida to'daning barcha qirralari nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani toping.

Yechimlar:

1. Biz chiroyli chizilgan chizamiz, unda biz barcha ma'lumotlarni belgilaymiz:

Siz uchun juda ko'p ishimiz bor! Men birinchi navbatda nimani va qanday tartibda izlashimizni so'z bilan tasvirlab bermoqchiman:

1. Nuqtalarning koordinatalari va

2. Nuqta koordinatalari

3. Nuqtalarning koordinatalari va

4. Vektorlarning koordinatalari va

5. Ularning ko‘paytmasi

6. Vektor uzunligi

7. Vektor mahsulotining uzunligi

8. dan gacha bo'lgan masofa

Xo'sh, bizda juda ko'p ish bor! Keling, yeng shimalaylik!

1. Piramida balandligining koordinatalarini topish uchun nuqtaning koordinatalarini bilishimiz kerak.Uning ilovasi nolga teng, ordinatasi esa abssissasiga teng. Nihoyat, biz koordinatalarni oldik:

Nuqta koordinatalari

2. - segmentning o'rtasi

3. - segmentning o'rtasi

o'rta nuqta

4. Koordinatalar

Vektor koordinatalari

5. Vektor mahsulotini hisoblang:

6. Vektorning uzunligi: eng oson yo'li - segment uchburchakning o'rta chizig'i ekanligini almashtirish, ya'ni u asosning yarmiga teng. Shunday qilib.

7. Vektor mahsulotining uzunligini ko'rib chiqamiz:

8. Nihoyat, masofani toping:

Voy, hammasi shu! Rostini aytganda, men sizga aytaman: bu muammoni an'anaviy usullar bilan (konstruktsiyalar orqali) hal qilish ancha tezroq bo'ladi. Lekin bu erda men hamma narsani tayyor algoritmga qisqartirdim! Menimcha, yechim algoritmi siz uchun tushunarlimi? Shuning uchun qolgan ikkita muammoni o'zingiz hal qilishingizni so'rayman. Javoblarni solishtiring?

Yana takror aytaman: bu muammolarni koordinata usuliga murojaat qilishdan ko'ra, konstruktsiyalar orqali hal qilish osonroq (tezroq). Men sizga "hech narsani tugatmaslik" imkonini beradigan universal usulni ko'rsatish uchungina ushbu hal qilish usulini ko'rsatdim.

Va nihoyat, muammolarning oxirgi sinfini ko'rib chiqing:

Egri chiziqlar orasidagi masofani hisoblash

Bu erda muammolarni hal qilish algoritmi avvalgisiga o'xshash bo'ladi. Bizda nima bor:

3. Birinchi va ikkinchi chiziqlar nuqtalarini tutashtiruvchi har qanday vektor:

Chiziqlar orasidagi masofani qanday topamiz?

Formula quyidagicha:

Numerator aralash mahsulotning moduli (biz uni avvalgi qismda kiritganmiz) va maxraj - oldingi formulada bo'lgani kabi (chiziqlarning yo'naltiruvchi vektorlarining vektor mahsulotining moduli, biz ko'rib turgan masofa). uchun).

Men buni sizga eslataman

keyin masofa formulasi sifatida qayta yozilishi mumkin:

Bu aniqlovchini aniqlovchiga bo'ling! Rostini aytsam, bu yerda hazilga moyil emasman! Bu formula, aslida, juda og'ir va juda murakkab hisob-kitoblarga olib keladi. Agar men sizning o'rningizda bo'lganimda, men buni faqat oxirgi chora sifatida ishlatardim!

Keling, yuqoridagi usul yordamida bir nechta muammolarni hal qilishga harakat qilaylik:

1. To'g'ri uchburchak prizmada barcha qirralar qandaydir tarzda teng, to'g'ri chiziqlar orasidagi masofani toping va.

2. To‘g‘ri old shaklidagi uchburchak prizma berilgan bo‘lsa, birovning os-no-va-niyasining barcha qirralari Se-che-tionga teng, boshqa qovurg‘a orqali o‘tadi va se-re-di-nu qovurg‘a. yav-la-et-sya kvadrat-ra-tom. Find-di-te dis-sto-I-nie to'g'ridan-to'g'ri-we-mi va

Birinchisini men hal qilaman, shunga asoslanib, ikkinchisini siz hal qilasiz!

1. Prizma chizaman va chiziqlarni belgilayman va

C nuqtasi koordinatalari: keyin

Nuqta koordinatalari

Vektor koordinatalari

Nuqta koordinatalari

Vektor koordinatalari

Vektor koordinatalari

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \o'ng) = \left| (\begin(massiv)(*(20)(l))(\begin(massiv)(*(20)(c))0&1&0\end(massiv))\\(\begin(massiv)(*(20) (c))0&0&1\end(massiv))\\(\begin(massiv)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(massiv))\end(massiv)) \o'ng| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Biz vektorlar orasidagi o'zaro ko'paytmani ko'rib chiqamiz

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \chap| \begin(massiv)(l)\begin(massiv)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(massiv)\\\begin(massiv) )(*(20)(c))0&0&1\end(massiv)\\\begin(massiv)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(massiv)\end(massiv) \o'ng| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Endi biz uning uzunligini ko'rib chiqamiz:

Javob:

Endi ikkinchi vazifani diqqat bilan bajarishga harakat qiling. Bunga javob quyidagicha bo'ladi:.

Koordinatalar va vektorlar. Qisqacha tavsif va asosiy formulalar

Vektor yo'naltirilgan segmentdir. - vektorning boshi, - vektorning oxiri.
Vektor yoki bilan belgilanadi.

Mutlaq qiymat vektor - vektorni ifodalovchi segment uzunligi. Sifatida belgilangan.

Vektor koordinatalari:

,
\displaystyle a vektorining uchlari qayerda.

Vektorlar yig'indisi: .

Vektorlarning mahsuloti:

Vektorlarning nuqta mahsuloti:

Fazodagi istalgan uchta nuqtadan bitta tekislik o'tkazilishi uchun bu nuqtalar bitta to'g'ri chiziqda yotmasligi kerak.

Umumiy Dekart koordinata sistemasidagi M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) nuqtalarni ko‘rib chiqaylik.

Ixtiyoriy M(x, y, z) nuqta M 1, M 2, M 3 nuqtalar bilan bir tekislikda yotishi uchun vektorlar koplanar boʻlishi kerak.

(
) = 0

Shunday qilib,

Uch nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasi:

Tekislikning ikki nuqtaga va tekislikka kollinear vektorga nisbatan tenglamasi.

M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) nuqtalar va vektor bo'lsin.
.

Berilgan M 1 va M 2 nuqtalardan va vektorga parallel bo‘lgan ixtiyoriy M (x, y, z) nuqtadan o‘tuvchi tekislik tenglamasini tuzamiz. .

Vektorlar
va vektor
koplanar bo'lishi kerak, ya'ni.

(
) = 0

Tekis tenglama:

Bir nuqta va ikkita vektorga nisbatan tekislikning tenglamasi,

kollinear tekislik.

Ikki vektor berilgan bo'lsin
va
, kollinear tekisliklar. U holda tekislikka tegishli ixtiyoriy M(x, y, z) nuqta uchun vektorlar.
mutanosib bo'lishi kerak.

Tekis tenglama:

Nuqta va normal vektor bo'yicha tekislik tenglamasi .

Teorema. Agar fazoda M nuqta berilgan bo'lsa 0 (X 0 , y 0 , z 0 ), keyin M nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasi 0 normal vektorga perpendikulyar (A, B, C) kabi ko'rinadi:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Isbot. Tekislikka tegishli ixtiyoriy M(x, y, z) nuqta uchun vektor tuzamiz. Chunki vektor - normal vektor, u holda u tekislikka perpendikulyar va shuning uchun vektorga perpendikulyar.
. Keyin skalyar mahsulot

= 0

Shunday qilib, biz tekislikning tenglamasini olamiz

Teorema isbotlangan.

Tekislikning segmentlardagi tenglamasi.

Agar umumiy tenglamada Ax + Wu + Cz + D \u003d 0 bo'lsa, ikkala qismni (-D) ga bo'ling.

,

almashtirish
, biz segmentlardagi tekislik tenglamasini olamiz:

a, b, c raqamlari mos ravishda tekislikning x, y, z o'qlari bilan kesishgan nuqtalaridir.

Vektor ko'rinishidagi tekislik tenglamasi.

qayerda

- joriy nuqtaning radius-vektori M(x, y, z),

Bosh nuqtadan tekislikka tushirilgan perpendikulyar yo'nalishiga ega bo'lgan birlik vektor.

,  va  - bu vektor tomonidan x, y, z o'qlari bilan hosil qilingan burchaklar.

p - bu perpendikulyarning uzunligi.

Koordinatalarda bu tenglama quyidagi ko'rinishga ega:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa.

Ixtiyoriy M 0 (x 0, y 0, z 0) nuqtadan Ax + Vy + Cz + D \u003d 0 tekisligiga masofa:

Misol. P (4; -3; 12) nuqta koordinata boshidan shu tekislikka tushirilgan perpendikulyarning asosi ekanligini bilib, tekislik tenglamasini toping.

Shunday qilib, A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, formuladan foydalaning:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Misol. P(2; 0; -1) va ikkita nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasini toping

Q(1; -1; 3) 3x + 2y - z + 5 = 0 tekislikka perpendikulyar.

3x + 2y - z + 5 = 0 tekislikka normal vektor
kerakli tekislikka parallel.

Biz olamiz:

Misol. A(2, -1, 4) va nuqtalardan o`tuvchi tekislik tenglamasini toping

V(3, 2, -1) tekislikka perpendikulyar X + da + 2z – 3 = 0.

Istalgan tekislik tenglamasi quyidagi shaklga ega: A x+ B y+ C z+ D = 0, bu tekislikning normal vektori (A, B, C). Vektor
(1, 3, -5) tekislikka tegishli. Bizga berilgan tekislik, kerakliga perpendikulyar, normal vektorga ega (1, 1, 2). Chunki A va B nuqtalari ikkala tekislikka tegishli va tekisliklar o'zaro perpendikulyar, demak

Shunday qilib, normal vektor (11, -7, -2). Chunki nuqta A kerakli tekislikka tegishli, keyin uning koordinatalari bu tekislikning tenglamasini qondirishi kerak, ya'ni. 112 + 71 - 24 + D= 0;D= -21.

Hammasi bo'lib, biz tekislikning tenglamasini olamiz: 11 x - 7y – 2z – 21 = 0.

Misol. P(4, -3, 12) nuqta koordinata boshidan shu tekislikka tushirilgan perpendikulyarning asosi ekanligini bilib, tekislik tenglamasini toping.

Normal vektorning koordinatalarini topish
= (4, -3, 12). Tekislikning kerakli tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega: 4 x – 3y + 12z+ D = 0. D koeffitsientini topish uchun R nuqtaning koordinatalarini tenglamaga almashtiramiz:

16 + 9 + 144 + D = 0

Hammasi bo'lib biz kerakli tenglamani olamiz: 4 x – 3y + 12z – 169 = 0

Misol. Piramida cho'qqilarining koordinatalari A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1) berilgan,

A 1 A 2 chetining uzunligini toping.

A 1 A 2 va A 1 A 4 qirralari orasidagi burchakni toping.

A 1 A 4 qirrasi bilan A 1 A 2 A 3 yuzi orasidagi burchakni toping.

Birinchidan, A 1 A 2 A 3 yuzining normal vektorini toping vektorlarning o'zaro mahsuloti sifatida
va
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Normal vektor va vektor orasidagi burchakni toping
.

-4 – 4 = -8.

Vektor va tekislik orasidagi kerakli burchak   = 90 0 -  ga teng bo'ladi.

Yuz maydonini toping A 1 A 2 A 3 .

Piramidaning hajmini toping.

A 1 A 2 A 3 tekislik tenglamasini toping.

Uch nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasi uchun formuladan foydalanamiz.

2x + 2y + 2z - 8 = 0

x + y + z - 4 = 0;

Kompyuter versiyasidan foydalanganda " Oliy matematika kursi” siz piramida cho'qqilarining istalgan koordinatalari uchun yuqoridagi misolni hal qiladigan dasturni ishga tushirishingiz mumkin.

Dasturni ishga tushirish uchun belgini ikki marta bosing:

Ochilgan dastur oynasida piramida cho'qqilarining koordinatalarini kiriting va Enter tugmasini bosing. Shunday qilib, barcha qaror nuqtalarini birma-bir olish mumkin.

Eslatma: Dasturni ishga tushirish uchun kompyuteringizda MapleV Release 4 bilan boshlangan istalgan versiyada Maple ( Waterloo Maple Inc.) o‘rnatilgan bo‘lishi kerak.

Ushbu material doirasida biz tekislikning bir to'g'ri chiziqda yotmaydigan uch xil nuqtasining koordinatalarini bilsak, uning tenglamasini qanday topishni tahlil qilamiz. Buning uchun uch o'lchamli fazoda to'rtburchaklar koordinatalar tizimi nima ekanligini eslab qolishimiz kerak. Birinchidan, biz ushbu tenglamaning asosiy printsipini kiritamiz va uni aniq muammolarni hal qilishda qanday ishlatishni ko'rsatamiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Boshlash uchun biz bitta aksiomani eslab qolishimiz kerak, bu shunday eshitiladi:

Ta'rif 1

Agar uchta nuqta bir-biriga to'g'ri kelmasa va bitta to'g'ri chiziqda yotmasa, u holda uch o'lchovli fazoda ular orqali faqat bitta tekislik o'tadi.

Boshqacha qilib aytganda, agar bizda koordinatalari bir-biriga to‘g‘ri kelmaydigan va to‘g‘ri chiziq bilan tutashtirib bo‘lmaydigan uch xil nuqta bo‘lsa, u holda u orqali o‘tuvchi tekislikni aniqlash mumkin.

Aytaylik, bizda to'rtburchaklar koordinatalar tizimi mavjud. Uni O x y z deb belgilaymiz. U koordinatalari M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2, y 2, z 2) , M 3 (x 3, y 3, z 3) boʻlgan uchta M nuqtani oʻz ichiga oladi, ularni toʻgʻridan-toʻgʻri bogʻlab boʻlmaydi. chiziq. Ushbu shartlarga asoslanib, biz kerakli tekislikning tenglamasini yozishimiz mumkin. Ushbu muammoni hal qilishda ikkita yondashuv mavjud.

1. Birinchi yondashuvda tekislikning umumiy tenglamasidan foydalaniladi. Harfiy shaklda u A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 shaklida yoziladi. Uning yordamida siz to'rtburchaklar koordinatalar tizimida birinchi berilgan M 1 (x 1 , y 1 , z 1) nuqtadan o'tadigan ma'lum bir alfa tekisligini o'rnatishingiz mumkin. Ma'lum bo'lishicha, normal tekislik vektor a A , B , C koordinatalariga ega bo'ladi.

N ta'rifi

Oddiy vektorning koordinatalarini va tekislik o'tadigan nuqtaning koordinatalarini bilib, biz ushbu tekislikning umumiy tenglamasini yozishimiz mumkin.

Bundan keyin biz davom etamiz.

Shunday qilib, masalaning shartlariga ko'ra, biz kerakli nuqtaning (hatto uchta) koordinatalariga ega bo'lamiz, ular orqali tekislik o'tadi. Tenglamani topish uchun uning normal vektorining koordinatalarini hisoblash kerak. Uni n → ni belgilang.

Qoidani eslang: berilgan tekislikning nolga teng bo'lmagan har qanday vektori bir xil tekislikning normal vektoriga perpendikulyar. U holda biz n → M 1 M 2 → va M 1 M 3 → boshlang'ich nuqtalaridan tashkil topgan vektorlarga perpendikulyar bo'ladi. U holda n → ni M 1 M 2 → · M 1 M 3 → ko‘rinishdagi vektor ko‘paytma sifatida belgilashimiz mumkin.

M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) va M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 bo'lgani uchun (bu tengliklarning dalillari vektorning koordinatalarini nuqtalar koordinatalaridan hisoblashga bag'ishlangan maqolada keltirilgan), keyin ma'lum bo'ladi:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z bitta

Agar determinantni hisoblasak, biz normal vektor n → bizga kerak bo'lgan koordinatalarni olamiz. Endi berilgan uchta nuqtadan o'tuvchi tekislik uchun kerakli tenglamani yozishimiz mumkin.

2. M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2, y 2, z 2) , M 3 (x 3, y 3, z 3) dan oʻtuvchi tenglamani topishning ikkinchi usuli. vektorlarning solishtirmaligi kabi tushunchaga asoslanadi.

Agar bizda M (x, y, z) nuqtalar to'plami bo'lsa, u holda to'rtburchaklar koordinatalar tizimida ular berilgan M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2, y) nuqtalar uchun tekislikni aniqlaydilar. 2 , z 2 ), M 3 (x 3 , y 3 , z 3) faqat M 1 M   → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1) , M 1 M 2   → = vektorlari bo‘lsa. ( x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) va M 1 M 3   → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) koplanar bo'ladi.

Diagrammada u quyidagicha ko'rinadi:

Bu M 1 M →, M 1 M 2 →, M 1 M 3 → vektorlarining aralash mahsuloti nolga teng bo‘lishini bildiradi: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , chunki bu taqqoslashning asosiy sharti: M 1 M   → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1) , M 1 M 2   → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 ) , z 2 - z 1 ) va M 1 M 3   → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) .

Olingan tenglamani koordinata shaklida yozamiz:

Determinantni hisoblab chiqqanimizdan so'ng, bitta to'g'ri chiziqda yotmaydigan uchta nuqta uchun zarur bo'lgan tekislik tenglamasini olishimiz mumkin M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2, y 2, z). 2) , M 3 (x 3, y 3, z 3) .

Olingan tenglamadan tekislikning segmentlardagi tenglamasiga yoki masalaning shartlari talab qilsa, tekislikning normal tenglamasiga o'tish mumkin.

Keyingi paragrafda biz ko'rsatgan yondashuvlar amalda qanday tatbiq etilishiga misollar keltiramiz.

3 nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasini tuzish bo'yicha topshiriqlarga misollar

Ilgari biz kerakli tenglamani topish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ikkita yondashuvni aniqladik. Keling, ular muammoni hal qilishda qanday qo'llanilishini va har birini qachon tanlashni ko'rib chiqaylik.

1-misol

Bitta toʻgʻri chiziqda yotmaydigan uchta nuqta mavjud boʻlib, ularning koordinatalari M 1 (- 3 , 2 , - 1) , M 2 (- 1 , 2 , 4) , M 3 (3 , 3 , - 1) . Ulardan o‘tuvchi tekislik tenglamasini yozing.

Yechim

Biz ikkala usulni navbatma-navbat ishlatamiz.

1. Bizga kerak bo‘lgan M 1 M 2 → , M 1 M 3 → ikkita vektorning koordinatalarini toping:

M 1 M 2 → = - 1 - - 3, 2 - 2, 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2, 0, 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3, 3 - 2, - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6, 1, 0

Endi biz ularning vektor mahsulotini hisoblaymiz. Bunday holda, biz determinantning hisoblarini tasvirlamaymiz:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

Bizda uchta kerakli nuqtadan o'tadigan tekislikning normal vektori bor: n → = (- 5 , 30 , 2) . Keyinchalik, nuqtalardan birini olishimiz kerak, masalan, M 1 (- 3 , 2 , - 1) va vektori n → = (- 5 , 30 , 2) bo'lgan tekislik uchun tenglamani yozishimiz kerak. Biz shuni olamiz: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

Bu bizga kerak bo'lgan tekislikning tenglamasi, uch nuqtadan o'tadi.

2. Biz boshqacha yondashuvdan foydalanamiz. M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2, y 2, z 2) , M 3 (x 3, y 3, z 3) uchta nuqtali tekislik tenglamasini yozamiz. quyidagi shakl:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Bu erda siz muammoning holatidan ma'lumotlarni almashtirishingiz mumkin. Chunki x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, natijada biz quyidagilarni olamiz:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73

Biz kerakli tenglamani oldik.

Javob:- 5x + 30y + 2z - 73 .

Ammo berilgan nuqtalar hali ham bir xil to'g'ri chiziqda yotsa va biz ular uchun tekislik tenglamasini tuzishimiz kerak bo'lsa-chi? Bu erda darhol aytish kerakki, bu shart mutlaqo to'g'ri bo'lmaydi. Bunday nuqtalardan cheksiz ko'p samolyotlar o'tishi mumkin, shuning uchun bitta javobni hisoblash mumkin emas. Savolning bunday shakllantirilishining noto'g'riligini isbotlash uchun bunday muammoni ko'rib chiqaylik.

2-misol

Bizda 3D fazoda M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) koordinatali uchta nuqtadan iborat to'rtburchaklar koordinatalar tizimi mavjud. U orqali o'tadigan tekislik uchun tenglama yozish kerak.

Yechim

Biz birinchi usuldan foydalanamiz va M 1 M 2 → va M 1 M 3 → ikkita vektorning koordinatalarini hisoblashdan boshlaymiz. Ularning koordinatalarini hisoblaymiz: M 1 M 2 → = (- 4 , 6 , 2) , M 1 M 3 → = - 6 , 9 , 3 .

Vektor mahsuloti quyidagilarga teng bo'ladi:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 → bo'lganligi sababli, bizning vektorlarimiz kollinear bo'ladi (agar siz ushbu tushunchaning ta'rifini unutgan bo'lsangiz, ular haqidagi maqolani qayta o'qing). Demak, M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) boshlangʻich nuqtalari bir xil toʻgʻri chiziqda boʻlib, masalamiz cheksiz boʻladi. javob variantlari ko'p.

Agar ikkinchi usuldan foydalansak, biz quyidagilarni olamiz:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

Olingan tenglikdan, shuningdek, berilgan M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) nuqtalar bir xil toʻgʻrida ekanligi kelib chiqadi.

Agar siz ushbu muammoning cheksiz ko'p variantlari orasidan kamida bitta javob topmoqchi bo'lsangiz, quyidagi amallarni bajarishingiz kerak:

1. M 1 M 2, M 1 M 3 yoki M 2 M 3 to'g'ri chiziq tenglamasini yozing (agar kerak bo'lsa, ushbu harakat haqidagi materialga qarang).

2. M 1 M 2 to‘g‘rida yotmaydigan M 4 (x 4, y 4, z 4) nuqtani oling.

3. Bitta to‘g‘ri chiziqda yotmaydigan uch xil M 1, M 2 va M 4 nuqtalardan o‘tuvchi tekislik tenglamasini yozing.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing

U turli yo'llar bilan aniqlanishi mumkin (bir nuqta va vektor, ikkita nuqta va vektor, uch nuqta va boshqalar). Aynan shuni hisobga olgan holda tekislik tenglamasi turli ko'rinishga ega bo'lishi mumkin. Shuningdek, muayyan sharoitlarda tekisliklar parallel, perpendikulyar, kesishuvchi va hokazo bo'lishi mumkin. Bu haqda ushbu maqolada gaplashamiz. Biz nafaqat tekislikning umumiy tenglamasini yozishni o'rganamiz.

Tenglamaning normal shakli

Aytaylik, XYZ to'rtburchaklar koordinata tizimiga ega bo'lgan R 3 fazo mavjud. Biz a vektorni o'rnatamiz, u boshlang'ich O nuqtadan chiqariladi. a vektorning oxiri orqali unga perpendikulyar bo'lgan P tekislikni o'tkazamiz.

Ixtiyoriy Q=(x, y, z) nuqtani P bilan belgilaymiz. Q nuqtaning radius vektorini p harfi bilan belgilaymiz. a vektorning uzunligi p=IaI va Ʋ=(cosa,cosb,cosy) ga teng.

Bu xuddi a vektori kabi yon tomonga qaraydigan birlik vektor. a, b va g - Ʋ vektori va mos ravishda x, y, z fazo o'qlarining musbat yo'nalishlari o'rtasida hosil bo'ladigan burchaklar. Ayrim QsP nuqtaning Ʋ vektorga proyeksiyasi r ga teng doimiy qiymat: (r,Ʋ) = r(r≥0).

Bu tenglama p=0 bo'lganda mantiqiy bo'ladi. Yagona narsa shundaki, bu holda P tekislik koordinata boshi bo‘lgan O (a=0) nuqtani kesib o‘tadi va O nuqtadan chiqarilgan Ʋ birlik vektori yo‘nalishidan qat’i nazar, P ga perpendikulyar bo‘ladi. demak, Ʋ vektor aniqlik belgisidan aniqlanadi. Oldingi tenglama vektor shaklida ifodalangan P tekisligimiz tenglamasi. Ammo koordinatalarda u quyidagicha ko'rinadi:

Bu yerda P 0 dan katta yoki teng. Fazodagi tekislik tenglamasini uning normal ko‘rinishida topdik.

Umumiy tenglama

Agar biz koordinatadagi tenglamani nolga teng bo'lmagan istalgan songa ko'paytirsak, berilganga ekvivalent tenglamani olamiz, bu esa o'sha tekislikni aniqlaydi. Bu shunday ko'rinadi:

Bu erda A, B, C - bir vaqtning o'zida noldan farq qiladigan raqamlar. Bu tenglama umumiy tekislik tenglamasi deb ataladi.

Tekis tenglamalar. Maxsus holatlar

Umumiy shakldagi tenglama qo'shimcha shartlar mavjud bo'lganda o'zgartirilishi mumkin. Keling, ulardan ba'zilarini ko'rib chiqaylik.

Faraz qilaylik, A koeffitsienti 0. Bu berilgan tekislik berilgan Ox o'qiga parallel ekanligini bildiradi. Bunda tenglamaning ko'rinishi o'zgaradi: Vu+Cz+D=0.

Xuddi shunday, tenglamaning shakli quyidagi sharoitlarda o'zgaradi:

• Birinchidan, agar B = 0 bo'lsa, u holda tenglama Ax + Cz + D = 0 ga o'zgaradi, bu Oy o'qiga parallellikni ko'rsatadi.
• Ikkinchidan, agar S=0 bo'lsa, tenglama Ax+Vu+D=0 ga aylantiriladi, bu esa berilgan Oz o'qiga parallellikni bildiradi.
• Uchinchidan, agar D=0 boʻlsa, tenglama Ax+By+Cz=0 koʻrinishida boʻladi, yaʼni tekislik O ni (koordinata boshini) kesib oʻtishini bildiradi.
• To'rtinchidan, agar A=B=0 bo'lsa, u holda tenglama Cz+D=0 ga o'zgaradi, bu Oksi ga parallel bo'ladi.
• Beshinchidan, agar B=C=0 boʻlsa, tenglama Ax+D=0 boʻladi, yaʼni Oyzgacha boʻlgan tekislik parallel.
• Oltinchidan, agar A=C=0 bo'lsa, tenglama Vu+D=0 ko'rinishini oladi, ya'ni Oxz ga parallellik haqida xabar beradi.

Segmentlardagi tenglamalar turi

Agar A, B, C, D raqamlari nolga teng bo'lmasa, (0) tenglamaning shakli quyidagicha bo'lishi mumkin:

x/a + y/b + z/c = 1,

unda a \u003d -D / A, b \u003d -D / B, c \u003d -D / C.

Natijada, shuni ta'kidlash kerakki, bu tekislik Ox o'qini (a,0,0), Oy - (0,b,0) va Oz - (0,0,c) koordinatalari bo'lgan nuqtada kesishadi. .

x/a + y/b + z/c = 1 tenglamasini hisobga olgan holda, berilgan koordinata tizimiga nisbatan tekislikning joylashishini vizual tarzda tasvirlash oson.

Oddiy vektor koordinatalari

P tekislikka normal vektor n berilgan tekislikning umumiy tenglamasining koeffitsientlari bo'lgan koordinatalarga ega, ya'ni n (A, B, C).

Normal n ning koordinatalarini aniqlash uchun berilgan tekislikning umumiy tenglamasini bilish kifoya.

X/a + y/b + z/c = 1 ko'rinishga ega bo'lgan segmentlarda tenglamadan foydalanganda, shuningdek umumiy tenglamadan foydalanganda, berilgan tekislikning istalgan normal vektorining koordinatalarini yozish mumkin: (1) /a + 1/b + 1/ Bilan).

Shunisi e'tiborga loyiqki, normal vektor turli muammolarni hal qilishga yordam beradi. Eng keng tarqalganlari tekisliklarning perpendikulyarligi yoki parallelligini isbotlashdan iborat bo'lgan vazifalar, tekisliklar orasidagi burchaklarni yoki tekisliklar va chiziqlar orasidagi burchaklarni topish masalalari.

Tekislik tenglamasining nuqta va normal vektor koordinatalari bo'yicha ko'rinishi

Berilgan tekislikka perpendikulyar n nolga teng bo'lmagan vektor berilgan tekislik uchun normal (normal) deyiladi.

Faraz qilaylik, koordinatalar fazosida (to'rtburchaklar koordinatalar tizimi) Oxyz berilgan:

• koordinatali Mₒ nuqtasi (xₒ,yₒ,zₒ);
• nol vektor n=A*i+B*j+C*k.

Oddiy n ga perpendikulyar Mₒ nuqtadan o'tadigan tekislik uchun tenglama tuzish kerak.

Fazoda istalgan ixtiyoriy nuqtani tanlaymiz va uni M (x y, z) bilan belgilaymiz. Har qanday M (x, y, z) nuqtaning radius vektori r=x*i+y*j+z*k, Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) nuqtaning radius vektori - rₒ=xₒ* bo‘lsin. i+yₒ *j+zₒ*k. MₒM vektor n vektorga perpendikulyar bo'lsa, M nuqta berilgan tekislikka tegishli bo'ladi. Ortogonallik shartini skalyar mahsulot yordamida yozamiz:

[MₒM, n] = 0.

MₒM \u003d r-rₒ bo'lgani uchun tekislikning vektor tenglamasi quyidagicha ko'rinadi:

Bu tenglama boshqa shaklda bo'lishi mumkin. Buning uchun skalyar ko'paytmaning xossalari qo'llaniladi va tenglamaning chap tomoni o'zgartiriladi. = -. Agar c sifatida belgilangan bo'lsa, unda quyidagi tenglama olinadi: - c \u003d 0 yoki \u003d c, bu tekislikka tegishli berilgan nuqtalarning radius vektorlarining normal vektoriga proektsiyalarning doimiyligini ifodalaydi.

Endi tekisligimiz vektor tenglamasini yozishning koordinata shaklini olishingiz mumkin = 0. Chunki r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, va n = A*i+B *j+C*k, bizda:

Ma’lum bo‘lishicha, bizda normal n ga perpendikulyar nuqtadan o‘tuvchi tekislik tenglamasi mavjud:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Tekislik tenglamasining ikki nuqta va vektorning tekislikka to'g'ri keladigan koordinatalari bo'yicha ko'rinishi

Biz ikkita ixtiyoriy M′ (x′,y′,z′) va M″ (x″,y″,z″), shuningdek a (a′,a″,a‴) vektorini aniqlaymiz.

Endi biz berilgan tekislik uchun tenglama tuzishimiz mumkin, u mavjud M′ va M″ nuqtalardan, shuningdek, berilgan a vektoriga parallel ravishda koordinatalari (x, y, z) bo‘lgan istalgan M nuqtadan o‘tadi.

Bunda M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) va M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) vektorlari vektor bilan mutanosib boʻlishi kerak. a=(a′,a″,a‴), ya’ni (M′M, M″M, a)=0.

Shunday qilib, bizning fazodagi tekislik tenglamamiz quyidagicha ko'rinadi:

Uch nuqtani kesishgan tekislik tenglamasining turi

Faraz qilaylik, bizda uchta nuqta bor: (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), ular bir xil toʻgʻri chiziqqa tegishli emas. Berilgan uch nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasini yozish kerak. Geometriya nazariyasi shuni ta'kidlaydiki, bunday tekislik haqiqatan ham mavjud, faqat u yagona va tengsizdir. Bu tekislik (x', y', z') nuqtani kesib o'tganligi sababli, uning tenglama shakli quyidagicha bo'ladi:

Bu erda A, B, C bir vaqtning o'zida noldan farq qiladi. Shuningdek, berilgan tekislik yana ikkita nuqtani kesib o'tadi: (x″,y″,z″) va (x‴,y‴,z‴). Shu munosabat bilan quyidagi shartlar bajarilishi kerak:

Endi u, v, w noma’lumlari bilan bir jinsli sistema tuzishimiz mumkin:

Bizning holatimizda x, y yoki z (1) tenglamani qanoatlantiradigan ixtiyoriy nuqtadir. (1) tenglamani va (2) va (3) tenglamalar tizimini hisobga olgan holda, yuqoridagi rasmda ko'rsatilgan tenglamalar tizimi notrivial bo'lgan N (A, B, C) vektorini qanoatlantiradi. Shuning uchun bu sistemaning determinanti nolga teng.

Biz olgan (1) tenglama tekislikning tenglamasidir. U aniq 3 nuqtadan o'tadi va buni tekshirish oson. Buning uchun biz birinchi qatordagi elementlarga determinantimizni kengaytirishimiz kerak. Determinantning mavjud xususiyatlaridan kelib chiqadiki, bizning tekisligimiz bir vaqtning o'zida uchta dastlabki berilgan nuqtani (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) kesib o'tadi. . Ya'ni, oldimizga qo'yilgan vazifani hal qildik.

Samolyotlar orasidagi dihedral burchak

Ikki burchakli burchak - bu bitta to'g'ri chiziqdan chiqadigan ikkita yarim tekislikdan hosil bo'lgan fazoviy geometrik figura. Boshqacha qilib aytganda, bu kosmosning bu yarim tekisliklar bilan chegaralangan qismidir.

Aytaylik, bizda quyidagi tenglamalarga ega ikkita tekislik bor:

Biz bilamizki, N=(A,B,C) va N¹=(A¹,B¹,C¹) vektorlari berilgan tekisliklarga muvofiq perpendikulyar. Shu munosabat bilan N va N¹ vektorlari orasidagi ph burchagi bu tekisliklar orasidagi burchakka (dihedral) teng. Skayar mahsulot quyidagi shaklga ega:

NN¹=|N||N¹|cos ph,

aniq, chunki

cosph= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/(√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

0≤ph≤p ekanligini hisobga olish kifoya.

Aslida, kesishgan ikkita tekislik ikkita (dihedral) burchak hosil qiladi: ph 1 va ph 2 . Ularning yig'indisi p ga teng (ph 1 + ph 2 = p). Ularning kosinuslariga kelsak, ularning mutlaq qiymatlari teng, lekin ular belgilarida farqlanadi, ya'ni cos ph 1 =-cos ph 2. Agar (0) tenglamada A, B va C raqamlarini mos ravishda -A, -B va -C raqamlariga almashtirsak, u holda olingan tenglama bir xil tekislikni aniqlaydi, tenglamadagi yagona ph burchak cos ph= NN. 1 /| N||N 1 | p-ph bilan almashtiriladi.

Perpendikulyar tekislik tenglamasi

Agar ular orasidagi burchak 90 gradus bo'lsa, tekisliklar perpendikulyar deyiladi. Yuqorida keltirilgan materialdan foydalanib, boshqasiga perpendikulyar tekislikning tenglamasini topishimiz mumkin. Aytaylik, bizda ikkita tekislik bor: Ax+By+Cz+D=0 va A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Agar cosph=0 bo'lsa, ular perpendikulyar bo'lishini aytishimiz mumkin. Bu NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0 ekanligini bildiradi.

Parallel tekislik tenglamasi

Parallel - umumiy nuqtalarni o'z ichiga olmaydigan ikkita tekislik.

Shart (ularning tenglamalari oldingi paragrafdagi kabi) ularga perpendikulyar bo'lgan N va N¹ vektorlari kollinear bo'lishidir. Bu shuni anglatadiki, quyidagi mutanosiblik shartlari bajariladi:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Agar mutanosiblik shartlari kengaytirilsa - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

bu bu samolyotlarning mos kelishini ko'rsatadi. Demak, Ax+By+Cz+D=0 va A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 tenglamalari bitta tekislikni tasvirlaydi.

Nuqtadan samolyotgacha bo'lgan masofa

Aytaylik, bizda P tekislik bor, u (0) tenglama bilan berilgan. (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ koordinatali nuqtadan unga masofani topish kerak. Buning uchun siz P tekislik tenglamasini normal ko'rinishga keltirishingiz kerak:

(r,v)=p (p≥0).

Bunda r(x,y,z) - P nuqtada joylashgan Q nuqtamizning radius vektori, p - nol nuqtadan chiqarilgan perpendikulyar P uzunligi, v - birlik vektor, bu yo'nalishda joylashgan.

P ga tegishli bo'lgan ba'zi Q \u003d (x, y, z) nuqta radius vektorining r-rº farqi, shuningdek, berilgan Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) nuqtaning radius vektori shunday: v ga proyeksiyasining mutlaq qiymati d masofasiga teng bo'lgan vektor, uni Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) dan P gacha topish kerak:

D=|(r-r 0 ,v)|, lekin

(r-r 0 ,v)= (r,v)-(r 0 ,v) =r-(r 0 ,v).

Shunday qilib chiqadi

d=|(r 0 ,v)-p|.

Shunday qilib, hosil bo'lgan ifodaning mutlaq qiymatini, ya'ni kerakli d ni topamiz.

Parametrlar tilidan foydalanib, biz aniq narsani olamiz:

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).

Agar berilgan Q 0 nuqta P tekislikning narigi tomonida, shuningdek, koordinata nuqtasida bo'lsa, u holda r-r 0 va v vektor o'rtasida bo'ladi:

d=-(r-r 0 ,v)=(r 0 ,v)-p>0.

Agar Q 0 nuqtasi koordinata bilan birga P ning bir tomonida joylashgan bo'lsa, yaratilgan burchak o'tkir, ya'ni:

d \u003d (r-r 0, v) \u003d p - (r 0, v)>0.

Natijada, birinchi holatda (r 0 ,v)> r, ikkinchi holatda (r 0 ,v) bo'lishi ma'lum bo'ladi.<р.

Tangens tekislik va uning tenglamasi

Mº aloqa nuqtasida sirtga teginish tekisligi - bu sirtdagi bu nuqta orqali chizilgan egri chiziqlarga barcha mumkin bo'lgan teglarni o'z ichiga olgan tekislik.

F (x, y, z) \u003d 0 sirt tenglamasining ushbu shakli bilan Mº (xº, yº, zº) teginish nuqtasidagi tangens tekisligining tenglamasi quyidagicha ko'rinadi:

F x (xº, yº, zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº, zº)(z-zº)=0.

Agar siz sirtni aniq z=f (x, y) shaklida ko'rsatsangiz, u holda teginish tekisligi tenglama bilan tavsiflanadi:

z-zº = f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y-yº).

Ikki tekislikning kesishishi

Koordinatalar tizimida (to'rtburchaklar) Oxyz joylashgan, kesishgan va bir-biriga to'g'ri kelmaydigan ikkita P′ va P″ tekisliklari berilgan. To'g'ri to'rtburchaklar koordinatalar tizimida joylashgan har qanday tekislik umumiy tenglama bilan aniqlanganligi sababli, biz P′ va P″ A′x+B′y+C′z+D′=0 va A″x tenglamalar bilan berilgan deb faraz qilamiz. +B″y+ S″z+D″=0. Bunday holda, bizda P' tekislikning normal n' (A', B', C') va P' tekisligining normal n' (A', B', C') mavjud. Samolyotlarimiz parallel bo'lmagani va bir-biriga to'g'ri kelmasligi sababli, bu vektorlar kollinear emas. Matematika tilidan foydalanib, bu shartni quyidagicha yozishimiz mumkin: n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (l*A″,l*B″,l*C″), lsR. P′ va P″ kesishmasida joylashgan chiziq a harfi bilan belgilansin, bu holda a = P′ ∩ P″.

a - P′ va P″ (umumiy) tekisliklarning barcha nuqtalari toʻplamidan iborat toʻgʻri chiziq. Bu shuni anglatadiki, a chizig'iga tegishli har qanday nuqtaning koordinatalari bir vaqtning o'zida A′x+B′y+C′z+D′=0 va A″x+B″y+C″z+D″= tenglamalarini qondirishi kerak. 0. Bu shuni anglatadiki, nuqta koordinatalari quyidagi tenglamalar tizimining ma'lum bir yechimi bo'ladi:

Natijada, ma'lum bo'lishicha, ushbu tenglamalar tizimining (umumiy) yechimi to'g'ri chiziqning har bir nuqtasining koordinatalarini aniqlaydi, bu P′ va P″ kesishish nuqtasi vazifasini bajaradi va to'g'ri chiziqni aniqlaydi. fazoda Oxyz (to'rtburchak) koordinatalar sistemasidagi a chiziq.

Fazodagi istalgan uchta nuqtadan bitta tekislik o'tkazilishi uchun bu nuqtalar bitta to'g'ri chiziqda yotmasligi kerak.

Umumiy Dekart koordinata sistemasidagi M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) nuqtalarni ko‘rib chiqaylik.

Ixtiyoriy M(x, y, z) nuqta M 1, M 2, M 3 nuqtalar bilan bir tekislikda yotishi uchun vektorlar koplanar boʻlishi kerak.

Ta'rif 2.1.

Fazodagi ikkita to'g'ri chiziq bir tekislikda yotsa va umumiy nuqtalari bo'lmasa, parallel deyiladi.

Agar a va b ikkita chiziq parallel bo'lsa, u holda, planimetriyada bo'lgani kabi, || yozing b. Kosmosda chiziqlar kesishmasligi va parallel bo'lmasligi uchun joylashtirilishi mumkin. Bu holat stereometriya uchun maxsus hisoblanadi.

Ta'rif 2.2.

Umumiy nuqtalari bo'lmagan va parallel bo'lmagan chiziqlar egri chiziq deyiladi.

2.1 teorema.

Berilgan chiziqdan tashqaridagi nuqta orqali berilgan chiziqqa parallel chiziq o'tkazish mumkin, bundan tashqari, faqat bitta.

Parallel chiziqlar belgisi

Fazodagi ikkita chiziq bir tekislikda yotsa va kesishmasa, parallel deyiladi. Berilgan chiziqdan tashqaridagi nuqta orqali bu chiziqqa parallel chiziq o'tkazish mumkin, bundan tashqari, faqat bitta. Ushbu bayonot tekislikdagi parallellar haqidagi aksiomaga qisqartiradi. Teorema. Uchinchi chiziqqa parallel bo'lgan ikkita chiziq parallel. b va c chiziqlar a chiziqqa parallel bo'lsin. Pado buni isbotlaydi b || Bilan. Planimetriyada a, b va bir tekislikda yotadigan chiziqlar ko'rib chiqilsa, biz buni o'tkazib yuboramiz. Faraz qilaylik, a, b va c bir tekislikda yotmaydi. Ammo ikkita parallel chiziq bir tekislikda joylashganligi sababli, a va b ni va tekisliklarni, a b va c - tekislikda joylashgan deb taxmin qilishimiz mumkin (61-rasm). c to'g'rida (ixtiyoriy) M nuqtani belgilaymiz va b to'g'ri va M nuqta orqali tekislik o'tkazamiz. U, , l toʻgʻri chiziq boʻylab kesishadi. l chizig'i tekislikni kesib o'tmaydi, chunki agar l kesishsa, ularning kesishish nuqtasi a (a va l - bir tekislikda) va b (b va l - bir xil tekislikda) ustida yotishi kerak. Shunday qilib, kesishishning bir nuqtasi l va ham a to'g'rida, ham b to'g'rida yotishi kerak, bu mumkin emas: a || b. Shuning uchun, va || , l || a, l || b. a va l bir tekislikda yotganligi sababli, l c chiziqqa (parallellik aksiomasi bo'yicha) to'g'ri keladi, demak, || b. Teorema isbotlangan.

25.To'g'ri chiziq va tekislikning parallellik belgisi

Teorema

Agar tekislikka tegishli bo'lmagan chiziq shu tekislikdagi qandaydir chiziqqa parallel bo'lsa, u holda u tekislikning o'ziga ham parallel bo'ladi.

Isbot

a tekislik, unda yotmaydigan chiziq va a1 tekislikdagi a to'g'ri chiziqqa parallel bo'lsin. a va a1 to’g’rilar orqali a1 tekislikni o’tkazamiz. a va a1 tekisliklar a1 to'g'ri chiziq bo'ylab kesishadi. Agar a chiziq a tekislikni kesib o'tgan bo'lsa, u holda kesishish nuqtasi a1 to'g'riga tegishli bo'lar edi. Ammo bu mumkin emas, chunki a va a1 chiziqlari parallel. Demak, a chiziq a tekislikni kesmaydi va demak, a tekislikka parallel. Teorema isbotlangan.

27.Berilgan tekislikka parallel tekislikning mavjudligi

Teorema

Berilgan tekislikdan tashqaridagi nuqta orqali berilgan tekislikka parallel, bundan tashqari, faqat bitta tekislik o'tkazish mumkin.

Isbot

Berilgan a tekislikda ikkita kesishuvchi a va b chiziq chizamiz. Berilgan A nuqta orqali ularga parallel a1 va b1 chiziqlarni o'tkazamiz. a1 va b1 chiziqlardan o'tuvchi b tekislik parallellik teoremasi bo'yicha a tekislikka parallel.

Faraz qilaylik, A nuqtadan a tekislikka parallel boshqa b1 tekislik ham o'tadi. b1 tekisligida b tekislikda yotmaydigan qandaydir C nuqtani belgilaymiz. a tekislikning A, C nuqtalari va ba'zi B nuqtalari orqali g tekislikni o'tkazamiz. Bu tekislik a, b va b1 tekisliklarni b, a va c to'g'rilar bo'ylab kesib o'tadi. a va c chiziqlar b to'g'rini kesib o'tmaydi, chunki ular a tekislikni kesib o'tmaydi. Shuning uchun ular b chiziqqa parallel. Lekin A nuqta orqali g tekislikda b to'g'riga parallel faqat bitta chiziq bo'lishi mumkin. bu taxminga ziddir. Teorema isbotlangan.

28.Samolyotning parallel xossalari th

29.

Fazodagi perpendikulyar chiziqlar. Kosmosdagi ikkita chiziq, agar ular orasidagi burchak 90 gradus bo'lsa, perpendikulyar deyiladi. c. m. k. k. m. c. k. Kesishuvchi. Oʻtgan.

Teorema 1. TOʻGʻRIS VA TAKSIKLIKNING PERPENDİKULYARLIK BELGISI. Agar tekislikni kesib o'tuvchi chiziq ushbu tekislikdagi berilgan chiziq bilan tekislikning kesishish nuqtasidan o'tuvchi ikkita chiziqqa perpendikulyar bo'lsa, u holda tekislikka perpendikulyar bo'ladi.

Isbot: a tekislikdagi b va c chiziqlarga perpendikulyar chiziq bo'lsin. Keyin a to'g'ri chiziq b va c to'g'rilar kesishuvining A nuqtasidan o'tadi. a chiziq tekislikka perpendikulyar ekanligini isbotlaylik. Tekislikdagi A nuqta orqali ixtiyoriy x chiziqni o'tkazing va uning a to'g'riga perpendikulyar ekanligini ko'rsating. Tekislikda A nuqtadan o'tmaydigan va b, c va x to'g'rilarni kesib o'tuvchi ixtiyoriy chiziq chizamiz. Kesishish nuqtalari B, C va X bo'lsin. A to'g'ri chiziqni A nuqtadan turli yo'nalishlarda teng AA 1 va AA 2 segmentlarini qo'yaylik. A 1 CA 2 uchburchagi teng yonlidir, chunki AC segmenti teorema bo'yicha balandlik va qurilish bo'yicha medianadir (AA 1 \u003d AA 2) Xuddi shu sababga ko'ra, A 1 BA 2 uchburchak ham teng yon tomonli. Demak, A 1 BC va A 2 BC uchburchaklar uchta tomoni teng. A 1 BC va A 2 BC uchburchaklar tengligidan A 1 BX va A 2 BX burchaklar tengligi va demak, ikki tomondagi A 1 BX va A 2 BX uchburchaklar va ular orasidagi burchak tengligi kelib chiqadi. Bu uchburchaklarning A 1 X va A 2 X tomonlari tengligidan A 1 XA 2 uchburchak teng yon tomonli degan xulosaga kelamiz. Shuning uchun uning medianasi XA ham balandlikdir. Demak, x chiziq a ga perpendikulyar. Ta'rifga ko'ra, a chiziq tekislikka perpendikulyar. Teorema isbotlangan.

2-teorema PERPEDİKULAR TO'G'RILAR VA TAKSIMLIKLARNING 1-XOSASI. Agar tekislik ikkita parallel to'g'ri chiziqdan biriga perpendikulyar bo'lsa, u boshqasiga ham perpendikulyar bo'ladi.
Isbot: a 1 va 2 ikkita parallel to‘g‘ri va a 1 to‘g‘riga perpendikulyar tekislik bo‘lsin. Bu tekislik a 2 to'g'ri chiziqqa ham perpendikulyar ekanligini isbotlaylik. A 2 nuqta orqali a 2 chiziqning tekislik bilan kesishgan joyini tekislikda ixtiyoriy x 2 chiziq chizamiz. A 1 nuqta orqali tekislikda a 1 chiziqning x 2 to'g'riga parallel bo'lgan x 1 to'g'ri chiziq bilan kesishuvini o'tkazamiz. a 1 chiziq tekislikka perpendikulyar bo'lgani uchun a 1 va x 1 chiziqlar perpendikulyar bo'ladi. Va 1-teoremaga ko'ra, ularga parallel bo'lgan kesishuvchi a2 va x2 chiziqlar ham perpendikulyardir. Shunday qilib, a 2 chiziq tekislikdagi istalgan x 2 chiziqqa perpendikulyar. Va bu (ta'rif bo'yicha) a 2 chizig'i tekislikka perpendikulyar ekanligini anglatadi. Teorema isbotlangan. Shuningdek qarang: №2 qo‘llab-quvvatlash muammosi.
3-teorema PERPEDİKULAR CHIZIQLAR VA TAKSIMLIKLARNING 2-XOSASI. Xuddi shu tekislikka perpendikulyar ikkita chiziq parallel.
Isbot: a va b tekislikka perpendikulyar 2 chiziq bo'lsin. Faraz qilaylik, a va b chiziqlar parallel emas. b to'g'rida tekislikda yotmaydigan C nuqtani tanlaymiz. C nuqta orqali a chiziqqa parallel b 1 chiziq o'tkazamiz. 2-teorema bo'yicha b 1 to'g'ri tekislikka perpendikulyar. B va B 1 to'g'ri tekislik bilan b va b 1 to'g'ri kesishish nuqtalari bo'lsin. Keyin BB 1 chizig'i kesishgan b va b 1 chiziqlarga perpendikulyar. Va bu mumkin emas. Biz qarama-qarshilikka keldik. Teorema isbotlangan.

33.Perpendikulyar, berilgan nuqtadan berilgan tekislikka tushirilgan, berilgan nuqtani tekislikdagi nuqta bilan bog'lovchi va tekislikka perpendikulyar to'g'ri chiziqda yotgan segment deyiladi. Ushbu segmentning tekislikda yotgan oxiri deyiladi perpendikulyarning asosi.
qiyshiq, berilgan nuqtadan berilgan tekislikka chizilgan, berilgan nuqtani tekislikning tekislikka perpendikulyar bo'lmagan nuqtasi bilan bog'laydigan har qanday segment. Tekislikda yotgan segmentning oxiri deyiladi moyillikning asosi. Bir xil nuqtadan o'tkazilgan qiya chiziqning perpendikulyar asoslarini bog'lovchi segment deyiladi. qiya proyeksiya.

AB - a tekislikka perpendikulyar.
AC - qiya, CB - proyeksiya.

Teoremaning bayoni

Agar qiya chiziq asosi orqali tekislikda o'tkazilgan to'g'ri chiziq uning proyeksiyasiga perpendikulyar bo'lsa, u qiya chiziqqa perpendikulyar bo'ladi.

Isbot

Mayli AB- a tekislikka perpendikulyar, AC- qiya va c- nuqtadan o'tuvchi a tekislikdagi to'g'ri chiziq C va perpendikulyar proyeksiya Miloddan avvalgi. Keling, to'g'ri chiziq chizamiz CK to'g'ri chiziqqa parallel AB. To'g'riga CK a tekislikka perpendikulyar (chunki u ga parallel AB) va shuning uchun bu tekislikning har qanday chizig'i, shuning uchun CK chiziqqa perpendikulyar c. Parallel chiziqlar orqali chizing AB va CK tekislik b (parallel chiziqlar tekislikni belgilaydi va faqat bitta). To'g'riga c b tekislikda yotgan ikkita kesishuvchi chiziqqa perpendikulyar, bu Miloddan avvalgi sharti bo'yicha va CK konstruksiya bilan, ya'ni bu tekislikka tegishli har qanday chiziqqa perpendikulyar, ya'ni u ham chiziqqa perpendikulyar. AC.