Lezione 1

OSCILLAZIONI. ONDE. OTTICA

I primi scienziati a studiare le oscillazioni furono Galileo Galilei e Christiaan Huygens. Galileo stabilì l'indipendenza del periodo di oscillazione dall'ampiezza. Huygens ha inventato l'orologio a pendolo.

Qualsiasi sistema che, quando leggermente disturbato dalla sua posizione di equilibrio, presenta oscillazioni stabili è chiamato oscillatore armonico. Nella fisica classica, tali sistemi sono un pendolo matematico entro piccoli angoli di deflessione, un carico entro piccole ampiezze di oscillazione, un circuito elettrico costituito da elementi lineari di capacità e induttanza.

(1.1.1)

Dove X UN

Velocità di un punto materiale oscillante

UN

.

Se un processo che si ripete periodicamente è descritto da equazioni che non coincidono con la (1.1.1), è detto anarmonico. Un sistema che esegue oscillazioni anarmoniche è chiamato oscillatore anarmonico.

1.1.2 . Vibrazioni libere di sistemi ad un grado di libertà. Forma complessa di rappresentazione delle vibrazioni armoniche

In natura sono molto comuni le piccole oscillazioni che un sistema compie in prossimità della sua posizione di equilibrio. Se un sistema rimosso da una posizione di equilibrio viene lasciato a se stesso, cioè su di esso non agiscono forze esterne, allora tale sistema funzionerà liberamente oscillazioni non smorzate. Consideriamo un sistema ad un grado di libertà.

Q

,

Dove

, (1.1.4)

L'espressione (1.1.5) coincide con l'equazione (1.1.3) delle oscillazioni armoniche libere, a condizione che

,

, Dove A=Xe-iα

1.1.3 . Esempi di movimenti oscillatori di varia natura fisica

Oscillatore armonico. Pendoli a molla, fisici e matematici

Oscillatore armonico chiamato sistema che compie oscillazioni descritte da un'equazione della forma (140.6);

Le oscillazioni di un oscillatore armonico sono un importante esempio di movimento periodico e servono come modello esatto o approssimativo in molti problemi di fisica classica e quantistica. Esempi di oscillatore armonico sono la molla, i pendoli fisici e matematici e un circuito oscillatorio (per correnti e tensioni così piccole che gli elementi del circuito potrebbero essere considerati lineari).

1. Pendolo a molla- è un carico di massa T, sospeso su una molla perfettamente elastica e che esegue oscillazioni armoniche sotto l'azione di una forza elastica F = – kx, Dove K- rigidità della molla. Equazione del moto di un pendolo

Dalle espressioni (142.1) e (140.1) segue che il pendolo a molla esegue oscillazioni armoniche secondo la legge x=A con s (w 0 T + J) con frequenza ciclica

La formula (142.3) è valida per vibrazioni elastiche entro i limiti in cui è soddisfatta la legge di Hooke (vedi (21.3)), cioè quando la massa della molla è piccola rispetto alla massa del corpo. L'energia potenziale di un pendolo a molla, secondo (141.5) e (142.2), è pari a

2. Pendolo fisico- questo è un corpo rigido che, sotto l'influenza della gravità, oscilla attorno ad un asse orizzontale fisso passante per un punto DI, non coincidente con il centro di massa CON corpi (Fig. 201).

Se il pendolo viene inclinato rispetto alla sua posizione di equilibrio di un certo angolo UN, quindi, secondo l'equazione della dinamica del movimento rotatorio di un corpo rigido (18.3), il momento M la forza di ripristino può essere scritta come

Dove J- momento d'inerzia del pendolo rispetto all'asse passante per il punto di sospensione Oh, io - la distanza tra esso e il centro di massa del pendolo, F t = – mg sin a » – mga. - forza di ripristino (il segno meno è dovuto al fatto che le direzioni Piede E UN sempre opposto; peccato UN » UN corrisponde a piccole oscillazioni del pendolo, cioè piccole deviazioni del pendolo dalla posizione di equilibrio). L'equazione (142.4) può essere scritta come

identico alla (142.1), la cui soluzione (140.1) è nota:

Dall'espressione (142.6) segue che per piccole oscillazioni il pendolo fisico esegue oscillazioni armoniche con frequenza ciclica w 0 (vedi (142.5)) e periodo

Dove L=J/(ml) - lunghezza ridotta di un pendolo fisico.

Punto DI' sulla continuazione della retta sistema operativo, distante dal punto DI sospensione del pendolo ad una distanza pari alla lunghezza data L, chiamato centro altalena pendolo fisico (Fig. 201). Applicando il teorema di Steiner (16.1), otteniamo

cioè. OO' sempre di più sistema operativo. Punto di sospensione DI pendolo e centro oscillante DI' Avere proprietà di intercambiabilità: se il punto di sospensione viene spostato al centro dell'oscillazione, allora il punto precedente DI sospensione

diventerà il nuovo centro di oscillazione e il periodo di oscillazione del pendolo fisico non cambierà.

3. Pendolo matematico- Questo idealizzato sistema costituito da un punto materiale dotato di massa T, sospeso su un filo inestensibile senza peso e oscillante sotto l'influenza della gravità. Una buona approssimazione di un pendolo matematico è una pallina piccola e pesante sospesa su un filo lungo e sottile. Momento d'inerzia di un pendolo matematico

Dove l- lunghezza del pendolo.

Poiché un pendolo matematico può essere rappresentato come caso speciale pendolo fisico, supponendo che tutta la sua massa sia concentrata in un punto: il centro di massa, quindi, sostituendo l'espressione (142.8) nella formula (1417), otteniamo un'espressione per il periodo di piccole oscillazioni di un pendolo matematico

Confrontando le formule (142.7) e (142.9), vediamo che se la lunghezza ridotta l pendolo fisico è uguale alla lunghezza l pendolo matematico, allora i periodi di oscillazione di questi pendoli sono gli stessi. Quindi, lunghezza ridotta di un pendolo fisico- questa è la lunghezza di un tale pendolo matematico, il cui periodo di oscillazioni coincide con il periodo di oscillazioni di un dato pendolo fisico.

Oscillatore armonico ideale. L'equazione dell'oscillatore ideale e la sua soluzione. Ampiezza, frequenza e fase delle oscillazioni

OSCILLAZIONI

VIBRAZIONI ARMONICHE

Oscillatore armonico ideale. L'equazione oscillatore ideale e la sua decisione. Ampiezza, frequenza e fase delle oscillazioni

L'oscillazione è uno dei processi più comuni in natura e tecnologia. Le oscillazioni sono processi che si ripetono nel tempo. Esitare edifici alti e cavi dell'alta tensione sotto l'influenza del vento, il pendolo di un orologio a carica e un'auto sulle molle durante la guida, il livello del fiume durante tutto l'anno e la temperatura del corpo umano durante la malattia. Il suono è una fluttuazione della pressione atmosferica, le onde radio sono cambiamenti periodici nell'intensità della corrente elettrica e campo magnetico, anche la luce è vibrazioni elettromagnetiche. Terremoti - vibrazioni del suolo, flussi e riflussi - cambiamenti nel livello dei mari e degli oceani causati dall'attrazione della luna, ecc.

Le oscillazioni possono essere meccaniche, elettromagnetiche, chimiche, termodinamiche, ecc. Nonostante tale diversità, tutte le oscillazioni sono descritte dalle stesse equazioni differenziali.

Un oscillatore armonico può essere considerato lineare se lo spostamento dalla posizione di equilibrio è direttamente proporzionale alla forza perturbatrice. La frequenza di oscillazione di un oscillatore armonico non dipende dall'ampiezza. Per un oscillatore è soddisfatto il principio di sovrapposizione: se agiscono più forze perturbatrici, l'effetto della loro azione totale può essere ottenuto come risultato della somma degli effetti delle singole forze agenti.

Le oscillazioni armoniche sono descritte dall'equazione (Fig. 1.1.1)

(1.1.1)

Dove X-spostamento della quantità oscillante dalla posizione di equilibrio, UN– l’ampiezza delle oscillazioni, pari al valore dello spostamento massimo, – la fase delle oscillazioni, che determina lo spostamento in quel momento, – la fase iniziale, che determina il valore dello spostamento in momento iniziale tempo, è la frequenza ciclica delle oscillazioni.

Il tempo di un'oscillazione completa è chiamato periodo, dove è il numero di oscillazioni completate durante il tempo.

La frequenza di oscillazione determina il numero di oscillazioni compiute nell'unità di tempo ed è legata alla frequenza ciclica dalla relazione , quindi dal periodo.

Pertanto, anche la velocità e l'accelerazione dell'oscillatore armonico cambiano secondo la legge armonica con ampiezze e rispettivamente. In questo caso la velocità precede lo spostamento in fase di , e l'accelerazione di (Fig. 1.1.2).

Dal confronto delle equazioni del moto di un oscillatore armonico (1.1.1) e (1.1.2) segue che , o

Questa equazione differenziale del secondo ordine è chiamata equazione dell’oscillatore armonico. La sua soluzione contiene due costanti UN e , che sono determinati impostando le condizioni iniziali

.

L’equilibrio stabile corrisponde ad una posizione del sistema in cui la sua energia potenziale è minima ( Q– coordinata generalizzata del sistema). La deviazione del sistema dalla posizione di equilibrio porta all'emergere di una forza che tende a riportare indietro il sistema. Il valore della coordinata generalizzata corrispondente alla posizione di equilibrio è indicato con , quindi la deviazione dalla posizione di equilibrio

Conteremo l'energia potenziale dal valore minimo. Accettiamo la funzione risultante ed espandiamola in una serie di Maclaurin e lasciamo il primo termine dello sviluppo, abbiamo: o

,

Dove . Quindi, tenendo conto delle notazioni introdotte:

, (1.1.4)

Tenendo conto dell'espressione (1.1.4) per la forza agente sul sistema, otteniamo:

Secondo la seconda legge di Newton, l'equazione del moto del sistema ha la forma: ,

e ha due soluzioni indipendenti: e , quindi la soluzione generale è:

,

Dalla formula (1.1.6) segue che la frequenza è determinata solo dalle proprietà intrinseche del sistema meccanico e non dipende dall'ampiezza e dalle condizioni iniziali del movimento.

La dipendenza delle coordinate di un sistema oscillante dal tempo può essere determinata sotto forma della parte reale dell'espressione complessa , Dove A=Xe-iα– ampiezza complessa, il suo modulo coincide con l'ampiezza usuale, e il suo argomento coincide con la fase iniziale.

Manuale del chimico 21

Chimica e tecnologia chimica

Legge armonica del moto

Meccanico, in cui il movimento rotatorio viene convertito in movimento oscillatorio (principalmente meccanismi eccentrici e a camme). La legge di movimento del collegamento condotto può essere prossima all'armonica. Questi eccitatori vengono utilizzati in alcuni tipi di vagli, centrifughe vibranti e miscelatori a vite senza fine.

Nella meccanica classica, per trovare la legge del moto di un sistema di punti (coordinate qi in funzione del tempo), è necessario risolvere il sistema di equazioni di Newton. Con un sistema di coordinate scelto arbitrariamente, la soluzione generale di queste equazioni con potenziale (VII, 7) non porta alla forma armonica di q (t). Tuttavia, è facile dimostrare che con l'aiuto di combinazioni lineari delle coordinate q, - è possibile costruire nuove coordinate, ciascuna delle quali cambia secondo una legge armonica con una certa frequenza (c. Tali coordinate

Infatti, le vibrazioni di due atomi collegati da un legame sono simili alle vibrazioni di una coppia di sfere tenute insieme da una molla. Per piccoli spostamenti, la forza di ripristino è proporzionale allo spostamento e, se tale sistema viene messo in moto, le oscillazioni saranno descritte dalla legge del moto armonico semplice.

Le migliori condizioni di funzionamento del rigeneratore si creerebbero se il pistone non facesse un movimento armonico, ma si fermasse alla fine di ogni corsa. Tuttavia, un rendimento abbastanza elevato può essere ottenuto utilizzando, per la sua semplicità, la legge armonica del moto del pistone.

Quando esita ambiente di lavoro in una tubazione o in qualsiasi altro canale di pressione, la distribuzione delle velocità del flusso sulla sezione trasversale del flusso differisce dalla legge che descrive questa distribuzione nel caso di movimento stazionario del mezzo. Pertanto, quando il flusso laminare del liquido oscilla in un tubo cilindrico rotondo, viene interrotta la distribuzione parabolica delle velocità, che, come è noto dall'idraulica, è caratteristica del movimento laminare stazionario del liquido in un tubo. Con una variazione armonica del gradiente di pressione lungo il tubo, la distribuzione della velocità può essere trovata utilizzando la formula (9.42). Per fare questo, invece di (s), dovresti sostituire nella formula l'immagine di Laplace della legge armonica della variazione del gradiente di pressione e quindi eseguire la trasformazione inversa. La funzione (t, r) così ottenuta è riportata nel lavoro.

È chiaro che nei progetti non è necessario implementare un ciclo con movimento intermittente dei pistoni macchine industriali. Per qualsiasi legge del movimento del pistone, in particolare per quella armonica (per un azionamento a manovella), l'efficienza termodinamica di una macchina Stirling ideale uguale a uno.

In queste installazioni è stata adottata una legge di movimento delle aste semplificata, vicina all'armonica: il collegamento articolato a quattro barre della macchina pompante è stato sostituito da manovellismi. Questa ipotesi è generalmente accettata e, come hanno dimostrato gli esperimenti, è completamente giustificata dalle condizioni degli esperimenti.

Lo stato interno di una molecola biatomica è determinato se viene specificato lo stato del suo guscio elettronico, nonché le caratteristiche del movimento rotatorio della molecola nel suo insieme e il movimento vibrazionale dei nuclei. La rotazione e le vibrazioni sono considerate in prima approssimazione indipendenti dallo stato elettronico della molecola. Il modello più semplice per descrivere i movimenti rotazionali e vibrazionali di una molecola biatomica è il modello del rotatore rigido - oscillatore armonico, secondo il quale la rotazione della molecola come rotatore rigido e le vibrazioni dei nuclei secondo la legge armonica sono considerate indipendentemente. Descrizione classica per questo modello vedere il cap. IV., 5. Scriviamo con la stessa approssimazione l'espressione dell'energia di una molecola biatomica, utilizzando le formule quantomeccaniche (VII.19), (VII.20) e (UP.22).

Un cambiamento nell'ampiezza delle vibrazioni, nonché una transizione dalla modalità di vibrazione armonica a quella d'urto, si ottiene installando eccentrici sostituibili, il cui profilo è determinato dalla legge di movimento dello spintore con il piano di lavoro e un blocco di cilindri coassiali montati su di esso.

Nella sezione e si è notato che se l'energia delle molecole è espressa dalla somma di un certo numero di termini quadratici sia rispetto alle coordinate spaziali () sia rispetto ai momenti (/z), allora la forma della distribuzione la legge non dipende esattamente da quanti termini sono inclusi nell'espressione cinetica e quanti - nell'espressione energia potenziale. Tuttavia la derivazione della legge risulta semplificata se si considerano lo stesso numero di termini che esprimono energia cinetica potenziale. Fisicamente ciò corrisponde al presupposto che il movimento totale delle molecole sia rappresentato dal numero di 5 oscillatori armonici indipendenti. L’energia della molecola in questo caso può essere scritta come segue:

Negli spettrometri con accelerazione costante la velocità relativa di movimento della sorgente e dell'assorbitore cambia periodicamente secondo una legge lineare o armonica, che consente di registrare lo spettro in esame in un dato intervallo di velocità. Tipicamente, in tali spettrometri, le informazioni vengono registrate nella memoria di un analizzatore multicanale che opera in modalità temporale, quando i canali di memoria vengono aperti in sincronia con il ciclo di velocità.

Una delle espressioni delle leggi quantistiche è la discretezza dei livelli energetici di un corpo che esegue movimenti periodici. Consideriamo, ad esempio, l'oscillazione armonica di un oscillatore. L'energia di un oscillatore armonico classico può variare continuamente. Questa energia è uguale a yA 2 (il valore più alto dell'energia potenziale in x = A). Costante elastica

Vibrazioni forzate. Consideriamo le oscillazioni longitudinali di un sistema elastico lineare con un grado di libertà sotto l'azione di una forza motrice Pif), che cambiano secondo una legge armonica. Inizialmente, accettiamo l’ipotesi che non vi siano forze di resistenza anelastiche. L'equazione del moto in questo caso (Fig. 3.7, a) ha la forma tx = -Py + P (/), che dopo le sostituzioni P = cx, dm = sociale e P (/) = Po sin (oi) dà

Se avessimo a che fare con sistema classico, quindi, in determinate condizioni iniziali, in linea di principio, sarebbe possibile eccitare un movimento in cui cambierebbe solo una delle coordinate normali. Quindi, quando questa coordinata normale cambia, cambiano tutte le lunghezze di legame, gli angoli di legame, ecc., si osserverebbe proporzionale a questa coordinata con coefficienti Se le coordinate normali cambiassero secondo una legge armonica, allora anche tutti i parametri geometrici della molecola cambierebbero secondo una legge armonica, e tutti i parametri geometrici passerebbero attraverso i loro valori di equilibrio in stessa fase. Un esempio di vibrazioni normali per una molecola XY2 di tipo acqua è mostrato in Fig. 8 2

Se gli elettroni di una sostanza vengono leggermente spostati dalle loro posizioni di equilibrio, sono soggetti all'azione di un'azione riparatrice, la cui entità si presume proporzionale allo spostamento. In questo caso il movimento degli elettroni risulta essere una semplice oscillazione armonica. Il passaggio della luce attraverso un sistema contenente un numero di tali oscillatori elettrici equivale alla comparsa di un'ulteriore forza elettrica che, secondo la teoria di Maxwell, risulta essere una delle componenti delle oscillazioni elettromagnetiche della luce. Quando passa la luce, il campo elettrico cambia con una frequenza corrispondente e influenza il movimento dell'elettrone oscillante secondo la legge di conservazione dell'energia. Velocità (e quindi energia cinetica) la propagazione della luce nella materia è inferiore che nel vuoto, quindi aumenta l'energia cinetica degli elettroni che interagiscono con la luce. Pertanto, la luce tende a modificare il movimento degli elettroni in una molecola e agisce nella direzione opposta alla forza che tende a mantenere l'elettrone nella sua posizione originale.

Questa opzione di misurazione può essere implementata anche durante le vibrazioni torsionali di un campione tubolare, se il cilindro esterno è installato immobile, il cilindro interno è montato su una barra di torsione e la coppia che agisce su di esso è impostata secondo la legge armonica. Se ora misuriamo la differenza di fase tra il momento e l'angolo di rotazione del cilindro, nonché l'ampiezza dell'angolo di rotazione, allora schema di progettazione la definizione di O sarà ridotta alle formule (VI. 15) e (VI. 16) discusse sopra. Tuttavia, se misuriamo il rapporto tra la coppia e la velocità angolare del cilindro, questo corrisponde al problema circa, b definizione impedenza del sistema.

In conclusione, notiamo che dal punto di vista di una descrizione quantitativa completa e fisicamente ragionevole della dinamica dei liquidi, tutti i modelli considerati sono solo una prima approssimazione per descrivere la diffusione e le oscillazioni nell'acqua, poiché in la loro costruzione. Solo nel limite di lunghi periodi di vita sedentaria (questo può verificarsi a basse temperature) o con forte elettrostrizione delle molecole d'acqua nel guscio di idratazione degli ioni, l'approssimazione armonica e un semplice modello di diffusione saltellante [equazione (4-5) tabella. 4] sono legali. A alte temperature e nelle soluzioni in cui i legami tra le molecole d'acqua sono indeboliti dagli ioni, le vibrazioni diventano nettamente anarmoniche, rallentate dai movimenti di rilassamento e diffusione. In questo caso il comportamento del liquido è più coerente con il comportamento di un sistema di particelle libere [equazione (37)]. Anche il presupposto che non esiste alcuna correlazione tra moti diffusivi e oscillatori è una questione controversa. Recentemente, Raman et al.

Nella sezione successiva. 11.3 verranno analizzati alcuni semplici esempi che permettono di stimare i contributi alla capacità termica dei singoli gradi di libertà scomposti. In questo caso, verrà prestata maggiore attenzione a un sistema costituito da particelle con due possibili stati energetici e un oscillatore armonico, poiché utilizzando il loro esempio è possibile analizzare in modo relativamente semplice e allo stesso tempo abbastanza completo la relazione tra il movimento molecolare e la capacità termica del sistema. Per i sistemi più complessi, è spesso facile stimare la capacità termica a temperature medie da diritto classico distribuzione uniforme per gradi di libertà.

Le leggi del moto delle microparticelle nella meccanica quantistica differiscono significativamente da quelle classiche. Da un lato si comportano (ad esempio durante le collisioni) come particelle che possiedono cariche e massa indivisibili, dall'altro come onde con una certa frequenza (lunghezza d'onda) e caratterizzate dalla funzione d'onda a13 - una proprietà tratta da Vedi pagine dove viene menzionato il termine Legge movimento armonico Notai a Novoalekseevka Annunci gratuiti nella sezione Notai a Novoalekseevka. Non ci sono ancora annunci, sii il primo! I predecessori dei notai moderni si possono trovare nell’antico Egitto, […]

Oscillatore armonico(nella meccanica classica) - un sistema che, quando spostato da una posizione di equilibrio, sperimenta una forza di ripristino F, proporzionale allo spostamento X(secondo la legge di Hooke):

F = − k x (\displaystyle F=-kx)

Dove K- coefficiente di rigidità del sistema.

Se Fè l'unica forza che agisce sul sistema, allora il sistema si chiama semplice O oscillatore armonico conservativo. Le oscillazioni libere di un tale sistema rappresentano un movimento periodico attorno alla posizione di equilibrio (oscillazioni armoniche). La frequenza e l'ampiezza sono costanti e la frequenza non dipende dall'ampiezza.

Esempi meccanici di oscillatore armonico sono un pendolo matematico (con piccoli angoli di deflessione), un pendolo di torsione e Sistemi acustici. Tra gli altri analoghi dell'oscillatore armonico, vale la pena evidenziare l'oscillatore armonico elettrico (vedi circuito LC).

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Oscillazioni forzate di un oscillatore lineare | Fisica generale. Meccanica | Evgenij Butikov

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Oscillatori: cosa sono e come utilizzarli? Formazione per i commercianti di I-TT.RU

Sytrus 01 di 16 Lavorare con la forma dell'oscillatore

Sottotitoli

Vibrazioni libere

Oscillatore armonico conservativo

Come modello di oscillatore armonico conservativo, prendiamo un carico di massa M, fissato alla molla mediante rigidità K .

Permettere X- spostamento del carico rispetto alla posizione di equilibrio. Quindi, secondo la legge di Hooke, su di esso agirà una forza ripristinatrice:

F = − k X . (\displaystyle F=-kx.)

Sostituisci nell'equazione differenziale.

x ¨ (t) = − A ω 2 sin ⁡ (ω t + φ) , (\displaystyle (\ddot (x))(t)=-A\omega ^(2)\sin(\omega t+\varphi) ,) − A ω 2 sin ⁡ (ω t + φ) + ω 0 2 A sin ⁡ (ω t + φ) = 0. (\displaystyle -A\omega ^(2)\sin(\omega t+\varphi)+\ omega _(0)^(2)A\sin(\omega t+\varphi)=0.)

L'ampiezza è ridotta. Ciò significa che può avere qualsiasi valore (incluso zero - ciò significa che il carico è a riposo nella posizione di equilibrio). Puoi anche ridurre in base al seno, poiché l'uguaglianza deve essere vera in qualsiasi momento T. Pertanto, la condizione per la frequenza di oscillazione rimane:

− ω 2 + ω 0 2 = 0 , (\displaystyle -\omega ^(2)+\omega _(0)^(2)=0,) ω = ± ω 0 . (\displaystyle \omega =\pm \omega _(0).) U = 1 2 k x 2 = 1 2 k A 2 sin 2 ⁡ (ω 0 t + φ) , (\displaystyle U=(\frac (1)(2))kx^(2)=(\frac (1) (2))kA^(2)\sin ^(2)(\omega _(0)t+\varphi),)

Poi energia totale Esso ha valore costante

E = 1 2 k UN 2 . (\displaystyle E=(\frac (1)(2))kA^(2).)

Moto armonico semplice- questo è il movimento di un semplice oscillatore armonico, movimento periodico che non è né forzato né smorzato. Un corpo in moto armonico semplice è esposto ad un'unica forza variabile, che in valore assoluto è direttamente proporzionale allo spostamento X dalla posizione di equilibrio ed è diretto nella direzione opposta.

Questo movimento è periodico: il corpo oscilla attorno alla posizione di equilibrio secondo una legge sinusoidale. Ogni oscillazione successiva è uguale alla precedente e il periodo, la frequenza e l'ampiezza delle oscillazioni rimangono costanti. Se assumiamo che la posizione di equilibrio sia in un punto con una coordinata uguale a zero, allora lo spostamento X corpo dalla posizione di equilibrio in qualsiasi momento è data dalla formula:

x (t) = A cos ⁡ (2 π f t + φ) , (\displaystyle x(t)=A\cos \left(2\pi \!ft+\varphi \right),)

Dove UN- ampiezza delle oscillazioni, F- frequenza, φ - fase iniziale.

La frequenza del movimento è determinata proprietà caratteristiche sistema (ad esempio, la massa di un corpo in movimento), mentre l'ampiezza e la fase iniziale sono determinate dalle condizioni iniziali: lo spostamento e la velocità del corpo nel momento in cui iniziano le oscillazioni. Anche l'energia cinetica e potenziale del sistema dipendono da queste proprietà e condizioni.

Il moto armonico semplice può essere pensato come modello matematico vari tipi movimenti, come l'oscillazione di una molla. Altri casi che possono essere considerati grossolanamente come moto armonico semplice sono il moto di un pendolo e le vibrazioni delle molecole.

Il moto armonico semplice è la base di alcuni modi di analizzare tipi di movimento più complessi. Uno di questi metodi è un metodo basato sulla trasformata di Fourier, la cui essenza si riduce alla scomposizione di un tipo di movimento più complesso in una serie di movimenti armonici semplici.

Un tipico esempio di un sistema in cui si verifica un movimento armonico semplice è un sistema massa-molla idealizzato in cui una massa è attaccata a una molla. Se la molla non viene compressa o allungata, sul carico non agiscono forze variabili e il carico si trova in uno stato di equilibrio meccanico. Tuttavia, se il carico viene rimosso dalla posizione di equilibrio, la molla si deformerà e dal suo lato agirà sul carico una forza che tenderà a riportare il carico nella posizione di equilibrio. Nel caso di un sistema carico-molla tale forza è la forza elastica della molla, che obbedisce alla legge di Hooke:

F = − k x , (\displaystyle F=-kx,) F- forza ripristinante, X- movimento del carico (deformazione della molla), K- coefficiente di rigidezza della molla.

Qualsiasi sistema in cui si verifica un movimento armonico semplice ha due proprietà chiave:

1. Quando un sistema viene sbilanciato, deve esserci una forza di ripristino che tende a riportare il sistema in equilibrio.
2. La forza di ripristino deve essere esattamente o approssimativamente proporzionale allo spostamento.

Il sistema di carico-molla soddisfa entrambe queste condizioni.

Una volta sottoposto ad una forza di richiamo, il carico spostato lo accelera e tende a riportarlo al punto di partenza, cioè alla posizione di equilibrio. Quando il carico si avvicina alla posizione di equilibrio, la forza di ripristino diminuisce e tende a zero. Tuttavia, nella situazione X = 0 il carico ha una certa quantità di movimento (impulso), acquisito a causa dell'azione della forza di ripristino. Pertanto, il carico supera la posizione di equilibrio, cominciando a deformare nuovamente la molla (ma nella direzione opposta). La forza di richiamo tenderà a rallentarlo fino a portare la velocità a zero; e la forza cercherà nuovamente di riportare il carico nella sua posizione di equilibrio.

Finché non vi è alcuna perdita di energia nel sistema, il carico oscillerà come sopra descritto; tale movimento è chiamato periodico.

Ulteriori analisi mostreranno che nel caso di un sistema carico-molla, il movimento è armonico semplice.

Dinamica del moto armonico semplice

Per le vibrazioni nello spazio unidimensionale, tenendo conto della Seconda Legge di Newton ( F= M  d² X/D T² ) e la legge di Hooke ( F = −kx, come descritto sopra), abbiamo un'equazione differenziale lineare del secondo ordine:

m d 2 x d t 2 = − k x , (\displaystyle m(\frac (\mathrm (d) ^(2)x)(\mathrm (d) t^(2)))=-kx,) M- massa corporea, X- il suo movimento rispetto alla posizione di equilibrio, K- costante (coefficiente di rigidezza della molla).

La soluzione di questa equazione differenziale è sinusoidale; una soluzione è:

x (t) = UN cos ⁡ (ω t + φ) , (\displaystyle x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),)

Dove UN, ω e φ sono quantità costanti e la posizione di equilibrio è considerata quella iniziale. Ognuna di queste costanti rappresenta un aspetto importante proprietà fisica movimenti: UNè l'ampiezza, ω = 2π F- frequenza circolare e φ - fase iniziale.

U (t) = 1 2 k x (t) 2 = 1 2 k A 2 cos 2 ⁡ (ω t + φ) . (\displaystyle U(t)=(\frac (1)(2))kx(t)^(2)=(\frac (1)(2))kA^(2)\cos ^(2)(\ omega t+\varphi).)

Movimento circolare universale

Il moto armonico semplice può in alcuni casi essere considerato come una proiezione unidimensionale del moto circolare universale.

Se un oggetto si muove con una velocità angolare costante ω lungo una circonferenza di raggio R, il cui centro è l'origine delle coordinate del piano x−y, allora tale movimento lungo ciascuno degli assi coordinati è semplice armonico con l'ampiezza R e frequenza circolare ω.

Un peso come un semplice pendolo

Nell'approssimazione di piccoli angoli, il moto di un pendolo semplice è prossimo al semplice armonico. Il periodo di oscillazione di un tale pendolo attaccato ad un'asta di lunghezza ℓ con accelerazione di caduta libera Gè dato dalla formula

T = 2 π ℓ g . (\displaystyle T=2\pi (\sqrt (\frac (\ell )(g))).)

Ciò dimostra che il periodo di oscillazione non dipende dall'ampiezza e dalla massa del pendolo, ma dipende dall'accelerazione di gravità G, quindi, a parità di lunghezza del pendolo, sulla Luna oscillerà più lentamente, poiché lì la gravità è più debole e meno valore accelerazione di caduta libera.

Questa approssimazione è corretta solo per piccoli angoli di deflessione, poiché l'espressione dell'accelerazione angolare è proporzionale al seno della coordinata:

ℓ m g peccato ⁡ θ = io α , (\displaystyle \ell mg\sin \theta =I\alpha,)

Dove IO- momento d'inerzia ; in questo caso IO = mℓ 2 .

ℓ m g θ = io α (\displaystyle \ell mg\theta =I\alpha ),

che rende l'accelerazione angolare direttamente proporzionale all'angolo θ, e questo soddisfa la definizione di moto armonico semplice.

Oscillatore armonico con smorzamento

Prendendo come base lo stesso modello, aggiungeremo ad esso la forza dell'attrito viscoso. La forza dell'attrito viscoso è diretta contro la velocità di movimento del carico rispetto al mezzo ed è direttamente proporzionale a questa velocità. Quindi la forza totale agente sul carico si scrive come segue:

F = - K X - α v (\displaystyle F=-kx-\alpha v)

Eseguendo azioni simili, otteniamo un'equazione differenziale che descrive un oscillatore smorzato:

x ¨ + 2 γ x ˙ + ω 0 2 x = 0 (\displaystyle (\ddot (x))+2\gamma (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x=0)

La notazione è introdotta qui: 2 γ = α m (\displaystyle 2\gamma =(\frac (\alpha )(m))). Coefficiente γ (\displaystyle \gamma )è detta costante di smorzamento. Ha anche la dimensione della frequenza.

La soluzione si divide in tre casi.

x (t) = A e - γ t s io n (ω f t + φ) (\displaystyle x(t)=Ae^(-\gamma t)sin(\omega _(f)t+\varphi)),

Dove ω f = ω 0 2 − γ 2 (\displaystyle \omega _(f)=(\sqrt (\omega _(0)^(2)-\gamma ^(2))))- frequenza delle oscillazioni libere.

x (t) = (A + B t) e − γ t (\displaystyle \ x(t)=(A+Bt)e^(-\gamma t)) x (t) = A e − β 1 t + B e − β 2 t (\displaystyle x(t)=Ae^(-\beta _(1)t)+Be^(-\beta _(2)t )),

Dove β 1 , 2 = γ ± γ 2 − ω 0 2 (\displaystyle \beta _(1,2)=\gamma \pm (\sqrt (\gamma ^(2)-\omega _(0)^(2) ))).

Lo smorzamento critico è notevole in quanto è nello smorzamento critico che l'oscillatore tende più rapidamente alla posizione di equilibrio. Se l'attrito è inferiore a quello critico, raggiungerà la posizione di equilibrio più velocemente, ma la “supererà” a causa dell'inerzia e oscillerà. Se l'attrito è maggiore del limite critico, l'oscillatore tenderà esponenzialmente alla posizione di equilibrio, ma più lentamente, maggiore sarà l'attrito.

Pertanto, nei comparatori (ad esempio negli amperometri), di solito cercano di introdurre un'attenuazione critica in modo che l'ago si calmi il più rapidamente possibile per leggere le sue letture.

Lo smorzamento di un oscillatore è spesso caratterizzato anche da un parametro adimensionale chiamato fattore di qualità. Il fattore qualità è solitamente indicato con la lettera Q (\displaystyle Q). Per definizione il fattore qualità è pari a:

Q = ω 0 2 γ (\displaystyle Q=(\frac (\omega _(0))(2\gamma )))

Maggiore è il fattore di qualità, più lento sarà il decadimento delle oscillazioni dell'oscillatore.

Un oscillatore con smorzamento critico ha un fattore di qualità di 0,5. Di conseguenza, il fattore di qualità indica il comportamento dell'oscillatore. Se il fattore di qualità è maggiore di 0,5, allora il libero movimento dell'oscillatore rappresenta oscillazioni; teoricamente, nel tempo attraverserà la posizione di equilibrio un numero illimitato di volte. Un fattore di qualità inferiore o uguale a 0,5 corrisponde a movimento non oscillatorio dell'oscillatore; in movimento libero attraverserà la posizione di equilibrio non più di una volta.

Il fattore di qualità è talvolta chiamato guadagno dell'oscillatore, poiché con alcuni metodi di eccitazione, quando la frequenza di eccitazione coincide con la frequenza di oscillazione risonante, la loro ampiezza è impostata a circa Q (\displaystyle Q) volte di più rispetto a quando eccitato con la stessa intensità a bassa frequenza.

Inoltre, il fattore di qualità è approssimativamente uguale al numero di cicli oscillatori durante i quali l'ampiezza delle oscillazioni diminuisce di e (\displaystyle e) volte moltiplicato per π (\displaystyle \pi ).

Nel caso del movimento oscillatorio, lo smorzamento è caratterizzato anche da parametri quali:

• Tutta la vita vibrazioni (es tempo di decadimento, è lo stesso momento di relax) τ - tempo durante il quale l'ampiezza delle oscillazioni diminuirà e una volta.

τ = 1/γ. (\displaystyle \tau =1/\gamma .) Questo tempo è considerato come il tempo necessario per l'attenuazione (cessazione) delle oscillazioni (sebbene le oscillazioni formalmente libere continuino indefinitamente).

Vibrazioni forzate

Le oscillazioni dell'oscillatore vengono chiamate forzate quando ad esso viene applicata un'ulteriore influenza esterna. Questo effetto può essere prodotto con vari mezzi e secondo varie leggi. Ad esempio, l'eccitazione della forza è l'effetto su un carico di una forza che dipende solo dal tempo secondo una determinata legge. L'eccitazione cinematica è l'effetto sull'oscillatore del movimento del punto di attacco della molla secondo una determinata legge. È anche possibile essere affetti da attrito, quando, ad esempio, il mezzo con cui il carico sperimenta l'attrito si muove secondo una determinata legge.

2a. Spazio. Tempo. Movimento Feynman Richard Phillips

Capitolo 21 OSCILLATORE ARMONICO

Capitolo 21

OSCILLATORE ARMONICO

§ 1. Equazioni differenziali lineari

§ 4. Condizioni iniziali

§ 1. Equazioni differenziali lineari

Di solito, la fisica come scienza è divisa in diverse sezioni: meccanica, elettricità, ecc., E noi "esaminiamo" queste sezioni una dopo l'altra. Adesso, ad esempio, stiamo “percorrendo” soprattutto la meccanica. Ma ogni tanto accadono cose strane: passando a nuovi rami della fisica e anche ad altre scienze, ci troviamo di fronte a equazioni che non sono quasi diverse da quelle che abbiamo già studiato prima. Pertanto, molti fenomeni presentano analogie in aree scientifiche completamente diverse. L'esempio più semplice: La propagazione delle onde sonore è molto simile alla propagazione delle onde luminose. Se studiamo l'acustica in modo sufficientemente dettagliato, scopriremo poi di aver “superato” gran parte dell'ottica. Pertanto, lo studio dei fenomeni in un'area della fisica può essere utile nello studio di altre branche. È bene anticipare fin dall'inizio questa possibile “espansione dell'ambito della sezione”, altrimenti potrebbe rimanere perplesso il motivo per cui dedichiamo così tanto tempo e sforzi allo studio di un piccolo problema di meccanica.

L'oscillatore armonico, allo studio del quale stiamo ora procedendo, lo incontreremo quasi ovunque; anche se inizieremo con esempi puramente meccanici di un peso su una molla, piccole deviazioni di un pendolo o altro dispositivi meccanici, infatti, ne studieremo alcuni equazione differenziale. Questa equazione si incontra costantemente in fisica e in altre scienze e in realtà descrive così tanti fenomeni che, davvero, vale la pena studiarla meglio. Questa equazione descrive le oscillazioni di un peso su una molla, le oscillazioni di una carica che scorre avanti e indietro circuito elettrico, vibrazioni di un diapason che generano onde sonore, vibrazioni simili degli elettroni in un atomo che generano onde luminose. A ciò si aggiungono le equazioni che descrivono le azioni dei regolatori, come quelli che mantengono una determinata temperatura del termostato, le complesse interazioni nelle reazioni chimiche e (in modo del tutto inaspettato) equazioni relative alla crescita di una colonia di batteri che vengono sia nutriti che avvelenati , o la riproduzione di volpi che si nutrono di conigli che a loro volta mangiano erba, ecc. Abbiamo fornito un elenco molto incompleto di fenomeni che sono descritti quasi dalle stesse equazioni di un oscillatore meccanico. Queste equazioni sono chiamate equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. Si tratta di equazioni costituite dalla somma di più termini, ciascuno dei quali rappresenta la derivata della grandezza dipendente rispetto a quella indipendente, moltiplicata per un coefficiente costante. Così,

è detta equazione differenziale lineare dell’ordine n a coefficienti costanti (all UN N - costante).

§ 2. Oscillatore armonico

Forse il sistema meccanico più semplice, il cui movimento è descritto da un'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti, è una massa su una molla. Dopo aver attaccato un peso alla molla, questo si allungherà leggermente per bilanciare la forza di gravità. Seguiamo ora gli scostamenti verticali della massa dalla posizione di equilibrio (Fig. 21.1).

Fico. 21.1. Un peso sospeso su una molla.

Un semplice esempio di oscillatore armonico.

Indichiamo le deviazioni verso l'alto dalla posizione di equilibrio con X e supponiamo di avere a che fare con una molla perfettamente elastica. In questo caso le forze che si oppongono allo stiramento sono direttamente proporzionali allo stiramento. Ciò significa che la forza è: kx(il segno meno ci ricorda che la forza si oppone allo spostamento). Pertanto, l'accelerazione per la massa deve essere uguale a - kx

m(d2x/dt2) =-kx.(21.2)

Per semplicità, supponiamo che sia andata così (o we nella giusta direzione ha cambiato il sistema di unità) quello k/m = 1. Dobbiamo risolvere l'equazione

d2x/dt2 =-x. (21.3)

Successivamente torniamo all'equazione (21.2), in cui K E M sono esplicitamente contenuti.

Abbiamo già incontrato l'equazione (21.3) quando abbiamo appena iniziato a studiare la meccanica. Lo abbiamo risolto numericamente [vedi problema 1, equazione (9.12)] per trovare il movimento. Mediante integrazione numerica abbiamo trovato una curva (vedi Fig. 9.4, problema 1), che mostra che se la particella m viene inizialmente portata fuori dall'equilibrio, ma è a riposo, allora ritorna nella posizione di equilibrio. Non abbiamo seguito la particella dopo aver raggiunto la posizione di equilibrio, ma è chiaro che non si fermerà lì, ma lo farà fluttuare (oscillare). Utilizzando l'integrazione numerica, abbiamo trovato il tempo per tornare al punto di equilibrio: t= 1.570. La durata di un ciclo completo è quattro volte più lunga: T 0 =6,28 "sec". Tutto questo l’abbiamo trovato tramite integrazione numerica, perché non sapevamo come risolverlo meglio. Ma i matematici ci hanno dato una certa funzione, che, se differenziata due volte, si trasforma in se stessa, moltiplicata per -1. (Naturalmente puoi calcolare direttamente tali funzioni, ma questo è molto più difficile che trovare semplicemente la risposta.)

Questa funzione è: x=costo. Distinguiamolo: dx/dt=-sint, UN D 2 x/dt 2 =-peso=-x. Nell'istante iniziale t=0, x=1 e la velocità iniziale è zero; Queste sono esattamente le ipotesi che abbiamo fatto durante l'integrazione numerica. Adesso lo so x=costo, troveremo esatto il valore temporale in cui z=0. Risposta: t=p/2, o 1.57108. Abbiamo commesso un errore prima nell'ultimo segno perché l'integrazione numerica era approssimativa, ma l'errore è molto piccolo!

Per andare oltre, torniamo a un sistema di unità in cui il tempo viene misurato in secondi reali. Quale sarà la soluzione in questo caso? Forse prenderemo in considerazione le costanti K E T, moltiplicando per il fattore di costo corrispondente? Proviamo. Permettere x=Acosto, Poi dx/dt=-Asint E D 2 t/dt 2 =-Acosto=-x. Con nostro grande dispiacere, non siamo riusciti a risolvere l'equazione (21.2), ma siamo tornati di nuovo alla (21.3). Ma abbiamo scoperto la proprietà più importante delle equazioni differenziali lineari: se moltiplichiamo la soluzione dell'equazione per una costante, otteniamo nuovamente la soluzione. Il motivo è matematicamente chiaro. Se Xè una soluzione dell'equazione, quindi dopo aver moltiplicato entrambi i membri dell'equazione per UN anche i derivati ​​verranno moltiplicati per UN e quindi OH soddisferà l'equazione altrettanto bene X. Ascoltiamo cosa ha da dire il fisico a riguardo. Se il peso allunga la molla il doppio di prima, allora la forza raddoppierà, l'accelerazione raddoppierà, la velocità acquisita sarà doppia, e nello stesso tempo il peso percorrerà una distanza doppia. Ma questa è il doppio della distanza, esattamente la stessa distanza necessario trasferire il peso nella posizione di equilibrio. Pertanto, per raggiungere l'equilibrio, è necessario la stessa quantità di tempo e non dipende dall'offset iniziale. In altre parole, se il movimento è descritto da un'equazione lineare, indipendentemente dalla “forza” si svilupperà nel tempo allo stesso modo.

L'errore ci ha avvantaggiato: abbiamo appreso che moltiplicando la soluzione per una costante otterremmo la soluzione dell'equazione precedente. Dopo diversi tentativi ed errori, potresti giungere alla conclusione che invece di manipolare con Xè necessario modificare la scala tempo. In altre parole, l'equazione (21.2) deve avere una soluzione della forma

x=cos w 0 t. (21.4)

(Qui w 0 non è affatto la velocità angolare di un corpo rotante, ma non avremo abbastanza di tutti gli alfabeti se denotiamo ciascun valore con una lettera speciale.) Abbiamo fornito qui w indice 0, perché dobbiamo incontrare ancora molti altri omega: ricordatelo w 0 corrisponde al movimento naturale dell'oscillatore. Cercare di utilizzare (21.4) come soluzione ha più successo perché dx/dt=-(w 0 peccato w 0 t e D 2 x/dt 2 =-w 2 0 w S w 0 t=-w 2 0x. Alla fine abbiamo risolto l'equazione che volevamo risolvere. Questa equazione coincide con la (21.2) se w 2 0 =k/m.

Ora dobbiamo capire il significato fisico w 0 . Sappiamo che il coseno "si ripete" dopo che l'angolo diventa 2i. Ecco perché x=cosw 0 T Volere movimento periodico; ciclo completo Questo movimento corrisponde a una variazione dell '"angolo" di 2p. Misurare w 0 T chiamano spesso fase movimenti. per cambiare w 0t alle 14:00 , bisogno di cambiare T SU T 0 (periodo oscillazione completa); Certamente, T 0 si trova dall'equazione w 0 T 0 = 2p. Significa che w 0 t 0 deve essere calcolato per un ciclo e tutto verrà ripetuto se si aumenta T SU T 0 ; in questo caso aumenteremo la fase di 2p. Così,

Ciò significa che maggiore è il peso, più lentamente la molla oscillerà avanti e indietro. In questo caso l'inerzia sarà maggiore e, se la forza non cambia, sarà necessario più tempo per accelerare e decelerare il carico. Se prendi una molla più rigida, il movimento dovrebbe avvenire più velocemente; infatti il ​​periodo diminuisce all'aumentare della rigidezza della molla.

Notiamo ora che il periodo di oscillazione della massa sulla molla non dipende da Come iniziano le fluttuazioni. Non sembra importare alla primavera quanto la allunghiamo. L'equazione del moto (21.2) determina periodo oscillazioni, ma non dice nulla sull'ampiezza delle oscillazioni. L'ampiezza dell'oscillazione, ovviamente, può essere determinata, e di questo ci occuperemo ora, ma per questo dobbiamo impostare condizioni iniziali.

Il fatto è che non abbiamo ancora trovato la soluzione più generale dell'equazione (21.2). Esistono diversi tipi di soluzioni. Soluzione x=acosw 0 T corrisponde al caso in cui nell'istante iniziale la molla è allungata e la sua velocità è nulla. Puoi far muovere la molla in modo diverso, ad esempio, cogliere l'attimo in cui una molla equilibrata è a riposo (x=0), e colpì bruscamente il peso; ciò significherà che nell'istante t=0 viene impressa una certa velocità alla molla. Questo movimento corrisponderà ad un'altra soluzione (21.2): il coseno deve essere sostituito con il seno. Lanciamo un'altra pietra al coseno: se x=cos w 0 t-soluzione, quindi, entrando nella stanza dove oscilla la molla, in quel momento (chiamiamolo “t=0”) in cui il peso passa per la posizione di equilibrio (x=0), saremo costretti a sostituire questa soluzione con un'altra. Quindi, x=cosw 0 T non può essere decisione generale; la soluzione generale deve consentire, per così dire, di spostare l'origine del tempo. Ad esempio, la soluzione ha questa proprietà x=acosw 0 (t-t 1 ), dove t 1 è una sorta di costante. Successivamente, possiamo espandere

cos(w 0 t+D)=cos w 0 T cos D-peccato w 0 T peccato D e scrivi

x=A cos w 0 T+IN peccato w 0 T,

dove A=acos D E B=- come in D. Ognuna di queste forme può essere utilizzata per scrivere la soluzione generale (21.2): una qualsiasi delle soluzioni dell'equazione differenziale esistente nel mondo

D 2 x/dt 2 =-w 2 0 X può essere scritto nella forma

x=acosw 0 (t-t 1 ), (21.6a)

x=acos(w 0 t+D), (21.6b)

x=A cos w 0 t+B peccato w 0 T.(21,6v)

Alcune delle quantità trovate nella (21.6) hanno nomi: w 0 chiamata frequenza angolare;è il numero di radianti di cui cambia la fase in 1 sez.È determinato da un'equazione differenziale. Altre quantità non sono determinate dall'equazione, ma dipendono dalle condizioni iniziali. Costante UN serve come misura della deflessione massima del carico e viene chiamato ampiezza fluttuazioni. Costante D a volte chiamato fase oscillazioni, ma qui sono possibili malintesi, perché altri chiamano la fase w 0 t+D e dicono che la fase dipende dal tempo. Possiamo dire che D lo è sfasamento rispetto ad alcuni presi come zero. Non discutiamo sulle parole. D diverse corrispondono ai movimenti con diverse fasi. Questo è vero, ma se chiamare D una fase oppure no è un'altra questione.

§ 3. Moto armonico e moto circolare

Il coseno nella soluzione dell'equazione (21.2) suggerisce che il moto armonico ha qualcosa a che fare con il moto circolare. Questo confronto, ovviamente, è artificiale, perché nel movimento lineare non c'è nessun posto dove ottenere un cerchio: il peso si muove rigorosamente su e giù. Possiamo giustificarci dicendo che abbiamo già risolto l'equazione del moto armonico quando abbiamo studiato la meccanica del moto circolare. Se una particella si muove in un cerchio a velocità costante v, quindi il raggio vettore dal centro del cerchio alla particella ruota di un angolo la cui grandezza è proporzionale al tempo. Indichiamo questo angolo q =vt/R(Fig. 21.2).

Fico. 21.2. Una particella che si muove in circolo a velocità costante.

Poi D Q /dt= w 0 =v/R.È noto che l'accelerazione a=v 2 /R=w 2 0 R ed è diretta verso il centro. Le coordinate di un punto in movimento in un dato momento sono uguali

X=R cosq, y=Rsinq.

E l'accelerazione? Qual è la componente x dell'accelerazione? D 2 x/dt 2 . N Questo valore si può trovare in modo puramente geometrico: è pari al valore dell'accelerazione moltiplicato per il coseno dell'angolo di proiezione; Devi mettere un segno meno davanti all'espressione risultante, perché l'accelerazione è diretta verso il centro:

UN X =- acosq=-wRcosq=-w 2 0 X.(21.7)

In altre parole, quando una particella si muove in circolo, la componente orizzontale del moto ha un'accelerazione proporzionale allo spostamento orizzontale dal centro. Naturalmente conosciamo le soluzioni per il caso del moto circolare: x=Rcos w 0 T. L'equazione (21.7) non contiene il raggio del cerchio; è lo stesso quando ci si muove attorno a qualsiasi cerchio con lo stesso w 0.

Pertanto, ci sono diverse ragioni per cui dovremmo aspettarci che la deflessione del peso sulla molla sia proporzionale a cosw 0 t e che il movimento sembrerà come se stessimo seguendo la coordinata x di una particella che si muove su un cerchio con velocità angolare w0. Ciò può essere verificato eseguendo un esperimento per dimostrare che il movimento di un peso su e giù su una molla corrisponde esattamente al movimento di un punto lungo una circonferenza. Nella fig. 21.3, la luce di una lampada ad arco proietta sullo schermo le ombre di un ago in movimento conficcato in un disco rotante e di un peso oscillante verticalmente che si muove nelle vicinanze.

Fico. 21.3. Dimostrazione dell'equivalenza del moto armonico semplice e del moto circolare uniforme.

Se puntuale e con il posto giusto fai oscillare il peso, quindi seleziona attentamente la velocità del disco in modo che le frequenze dei loro movimenti coincidano, le ombre sullo schermo si seguiranno esattamente una dopo l'altra. Ecco un altro modo per essere sicuri che, quando si trova una soluzione numerica, siamo quasi vicini al coseno.

Si può qui sottolineare che poiché la matematica del movimento circolare uniforme è molto simile alla matematica del movimento oscillatorio su e giù, l'analisi del movimento oscillatorio sarà notevolmente semplificata se immaginiamo questo movimento come una proiezione del movimento circolare. In altre parole, possiamo integrare l'equazione (21.2), che sembrerebbe essere un'equazione del tutto inutile per A e consideriamo entrambe le equazioni insieme. Fatto ciò, riduciamo le oscillazioni unidimensionali al movimento attorno alla circonferenza, che ci eviterà di risolvere l'equazione differenziale. Un altro trucco che puoi fare è introdurre numeri complessi, ma ne parleremo più avanti nel prossimo capitolo.

§ 4. Condizioni iniziali

Scopriamo qual è il significato A e B oppure a e D. Naturalmente mostrano come è iniziato il movimento. Se il movimento inizia con una piccola deviazione, otterremo un tipo di oscillazione; Se allunghi leggermente la molla e poi colpisci il peso, sarà diverso. Permanente UN E IN o a e D, o altre due costanti, sono determinate dalle circostanze in cui è iniziato il movimento o, come si dice di solito, condizioni iniziali. Devi imparare a determinare le costanti in base alle condizioni iniziali. Sebbene qualsiasi relazione nella (21.6) possa essere utilizzata a questo scopo, è meglio trattare la (21.6c). Supponiamo che nel momento iniziale t=0 il peso venga spostato dalla posizione di equilibrio della quantità X 0 e ha velocità v 0 . Questa è la situazione più comune a cui puoi pensare. (Non è possibile impostare l'iniziale accelerazione, perché dipende dalle proprietà della sorgente; possiamo solo disporre della grandezza X 0 .) Calcoliamo ora UN E IN. Cominciamo con l'equazione per

x=Acosw o t+B peccato w 0t;

poiché abbiamo bisogno anche di velocità, differenziamo X e otteniamo

v=- w 0 Asin w 0t+ w 0 Bcos w 0 t.

Queste espressioni valgono per tutti T, ma abbiamo ulteriori informazioni sulle quantità X E v a t=0. Quindi, se poniamo t=0, dovremmo spostarci a sinistra X 0 E v 0 , perché questo è ciò in cui si trasformano X E v a t=0. Inoltre, sappiamo che il coseno di zero è uguale a uno e il seno di zero è uguale a zero. Quindi,

X 0 =A· 1+V· 0=A

v tu =-w 0A0+ w 0B1= w 0 B.

Quindi, in questo caso speciale

A=x 0 , V=v 0 /w 0 .

Conoscere UN E IN, possiamo, se lo desideriamo, trovare a e D.

Quindi il problema del movimento dell'oscillatore è stato risolto, ma ce n'è uno cosa interessante, che deve essere controllato. Dobbiamo scoprire se l’energia si conserva. Se non esistono forze di attrito, l’energia deve essere conservata. Adesso ci conviene usare le formule

x=a cos( w ot+D) e v=-w 0 così( w 0t+D).

Troviamo l'energia cinetica T ed energia potenziale U. L'energia potenziale in qualsiasi momento è pari a 1/2 kx 2 , Dove X - compensazione, a K- costante elastica della molla. Sostituendo invece X l'espressione scritta sopra, troviamo

U= 1 / 2 kx 2 = 1 / 2 ka 2 cos2 ( w 0t+D).

Naturalmente l'energia potenziale dipende dal tempo; è sempre positivo, anche questo è comprensibile: dopo tutto, l'energia potenziale è l'energia della primavera, e cambia con X. L'energia cinetica lo è 1 / 2 mv 2 ; utilizzando l'espressione per v, noi abbiamo

T = 1 / 2 mv 2 = 1 / 2 mw 2 0 UN 2 peccato 2 (w 0 t+D).

L'energia cinetica è zero al massimo x, perché in questo caso il peso si ferma; quando il peso supera la posizione di equilibrio (x = 0), l'energia cinetica raggiunge il massimo, perché è allora che il peso si muove più velocemente. Una variazione di energia cinetica è quindi opposta a una variazione di energia potenziale. L'energia totale deve essere costante. Infatti, se lo ricordiamo k=mw 2 0 , Quello

T+U= 1 / 2 m w 2 0 a 2 = 1/2 rn w 2 0 a 2 .

L'energia dipende dal quadrato dell'ampiezza: se raddoppi l'ampiezza della vibrazione, l'energia quadruplicherà. Media l'energia potenziale è pari alla metà di quella massima e, quindi, alla metà di quella totale; anche l'energia cinetica media è pari alla metà dell'energia totale.

§ 5. Oscillazioni sotto l'influenza di una forza esterna

Resta da considerare Oscillazioni dell'oscillatore armonico sotto l'influenza di una forza esterna. Il movimento in questo caso è descritto dall'equazione

md 2 x/dt 2 =-kx+F(t).(21.8)

Pensiamo a come si comporterà il peso in queste circostanze. Esterno forza motrice può dipendere in alcun modo dal tempo. Cominciamo con la dipendenza più semplice. Supponiamo che la forza oscilli

F(t)=F 0 coswt.(21.9)

notare che w- non è obbligatorio w 0: assumeremo che possiamo cambiare w, facendo sì che la forza agisca a frequenze diverse. Quindi, dobbiamo risolvere l'equazione (21.8) nel caso di una forza appositamente selezionata (21.9). Quale sarà la soluzione (21.8)? Una delle soluzioni particolari (di quella generale la tratteremo più avanti) si presenta così:

z=Ccoswt, (21.10)

dov'è la costante CON deve ancora essere determinato. In altre parole, nel cercare di trovare una soluzione in questa forma, assumiamo che se tiriamo il peso avanti e indietro, alla fine inizierà a oscillare avanti e indietro con una frequenza forza agente. Vediamo se questo può essere il caso. Sostituendo la (21.10) nella (21.9), otteniamo

Mw 2 CON coswt=-mw 2 0 Сcoswt+F 0 coswt. (21.11)

Abbiamo già sostituito K per mw 2 0, perché è più conveniente confrontare due frequenze. L'equazione (21.11) può essere divisa per il coseno contenuto in ciascun termine e assicurarsi che con un valore selezionato correttamente CON l'espressione (21.10) sarà la soluzione. Questo valore CON dovrebbe essere così:

Quindi, il peso T oscilla con la frequenza della forza che agisce su di esso, ma l'ampiezza dell'oscillazione dipende dal rapporto tra la frequenza della forza e la frequenza di libero movimento dell'oscillatore. Se ñ è molto piccolo rispetto a w 0, allora il peso si sposta dopo la forza. Se si cambia la direzione degli shock troppo velocemente, il peso inizia a muoversi nella direzione opposta alla forza. Ciò segue dall'uguaglianza (21.12), che ci dice che la quantità CON negativo se w è maggiore Proprio frequenza dell'oscillatore armonico w 0 . (Chiameremo w 0 la frequenza naturale dell'oscillatore armonico e w la frequenza applicata.) Per molto alta frequenza il denominatore diventa molto grande e il peso praticamente non si sposta.

La soluzione da noi trovata è valida solo nel caso in cui sia già stato stabilito l'equilibrio tra l'oscillatore e la forza agente; ciò si verifica dopo che altri movimenti si sono estinti. Questi movimenti morenti vengono chiamati transitorio risposta alla forza F(t), e il movimento descritto da (21.10) e (21.12) è equilibrio risposta.

Osservando più da vicino la formula (21.12), noteremo una cosa curiosa: se la frequenza co è quasi uguale a w 0, allora CON si avvicina all'infinito. Pertanto, se si regola la forza “in sintonia” con la sua stessa frequenza, si otterrà la deflessione del peso dimensione gigantesca. Chiunque abbia mai dovuto spingere un bambino sull'altalena lo sa. Questo è abbastanza difficile da fare se chiudi gli occhi e spingi l'altalena in modo casuale. Ma se troviamo il ritmo giusto, allora è facile far oscillare l'altalena, tuttavia, non appena perdiamo di nuovo il ritmo, gli shock inizieranno a rallentare l'altalena e tale lavoro sarà di scarsa utilità.

Se la frequenza co è esattamente uguale a w 0, l'ampiezza dovrebbe diventare infinito, il che, ovviamente, è impossibile. Abbiamo commesso un errore perché stavamo risolvendo un'equazione che non era del tutto corretta. Nel comporre l'equazione (21.8), ci siamo dimenticati della forza di attrito e di molte altre forze. Quindi l'ampiezza non raggiungerà mai l'infinito; Forse la primavera scoppierà molto prima!

Dal libro Cristallo vivente autore Geguzin Yakov Evseevich

Dal libro Il principe dalla terra delle nuvole autore Galfar Christophe

Capitolo 11 La porta si aprì e Myrtille si immobilizzò sul posto. Ha perso il fiato. Questo era davanti a lei bella donna come non aveva mai visto prima. Tratti La signora Drake erano sorprendentemente sottili: la brezza che sventolava il suo bel viso, e sembrava toccarlo

Dal libro NIKOLA TESLA. LEZIONI. ARTICOLI. di Tesla Nikola

Capitolo 12 La signora Drake sedeva di fronte alla principessa. Le narici di Myrtil erano solleticate dall'odore dolciastro dell'infuso che fumava nelle tazze. Inalando gli aromi di paesi lontani, lei, che non aveva mai lasciato Myrtilville, sembrò trasportata in terre sconosciute e si precipitò nell'aria sopra il fuoco scarlatto

Dal libro L'occhio e il sole autore Vavilov Sergej Ivanovic

Capitolo 14 Agitando inosservato la mano verso Tom, Tristam prese il suo posto solito posto V ultima riga. Myrtille diede una rapida occhiata alla sua mano: l'ustione del giorno prima era guarita. Jerry, seduto accanto a Tom, era fuori di sé dalla rabbia. Ancora una volta questo Tristam è riuscito a scadere! Bruttezza! È giunto il momento

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Capitolo 15 "Non voglio assolutamente andare dalla preside", disse Tristam, non appena lui e Tom furono nel corridoio. "Avrei dovuto pensarci prima", obiettò Tom. - Adesso non c'è più niente da fare. Dovremo andare! E gli amici si sono trascinati nell'ufficio del direttore. Tristam non se ne accorse

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Capitolo 16 Il vento soffiava sempre più forte. Gli steli delle pannocchie di riso frustarono senza pietà Tom e Tristam mentre fuggivano dai loro inseguitori. Pazzi di paura, i ragazzi pensavano solo a raggiungere la signora Drake. Era già vicino alla recinzione protettiva. Vicino ai confini della città, la madre di Tristam

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Capitolo 17 Mezz'ora prima, nel momento stesso in cui il colonnello si era imbattuto nella classe di Lazurro, Mirtil si era accorta che erano arrivate le ultime ore per la loro città. "Ci hanno trovato", disse con fermezza il colonnello. - Sono già qui. Myrtil, Tristam, venite con me, dovete scappare

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Capitolo 7 - Sai qualcosa di aerodinamica? - chiese al risveglio. "Aroe... cosa?" Si udì nelle cuffie un pesante sospiro di Tom, che stava volando con Rob. La loro macchina era separata dalla rondine del risveglio di diversi chilometri: questa è la scienza delle proprietà dell'aria che scorre attorno ad aeroplani e razzi

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Capitolo 10 – Tutto è perduto! - esclamò Tom. - Rob non verrà! Pensi che il tenente avesse un piano per questo caso? Tristam ne dubitava chiaramente, ma rimase in silenzio. Osservò disperato l'atterraggio di dieci automobili, una dopo l'altra. In alcuni, particolarmente grandi

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Capitolo 13 Era impossibile respirare dentro quella terribile nuvola. Una fitta nebbia grigia accecò Myrtille e Tristam, un vento rafficato, che diventava ogni momento più forte, scagliò l'auto come un pezzo di legno, e quasi subito cessarono di capire dove venivano trascinati. Il potere del mostro nel cui grembo si ritrovarono,

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Capitolo 16 Attraversarono la foresta e Myrtille raccontò a Tristam tutto quello che le era successo: l'incontro con il tiranno, il ciclone tropicale e la scelta che quest'uomo, che non nascondeva la sua follia, le offrì. Hai scelto la morte?" - chiese Tristam, scioccato. E

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PRIMO TENTATIVO DI OTTENERE UN MOTORE AUTOMATICO - OSCILLATORE MECCANICO - LAVORO DI DEWARD E LINDE - ARIA LIQUIDA Rendendosi conto di questa verità, ho iniziato a cercare modi per realizzare la mia idea e, dopo aver riflettuto a lungo, finalmente sono arrivato con un apparato che potrebbe ricevere

Dal libro dell'autore

SVILUPPO DI UN NUOVO PRINCIPIO - L'OSCILLATORE ELETTRICO - LA PRODUZIONE DI COLOSSALI MOVITI ELETTRICI - LA TERRA RISPONDE ALL'UOMO - LA COMUNICAZIONE INTERPLANETARIA È ORA POSSIBILE Ho deciso di concentrare i miei sforzi su questo compito un po' rischioso, anche se promettente

Un sistema descritto dall'equazione , dove , lo chiameremo oscillatore armonico. La soluzione di questa equazione, come è noto, ha la forma:

.

Pertanto, un oscillatore armonico è un sistema che esegue oscillazioni armoniche attorno a una posizione di equilibrio.

Per un oscillatore armonico valgono tutti i risultati ottenuti in precedenza per un'oscillazione armonica.

Consideriamo e discutiamo due ulteriori questioni.

Lo troveremo impulso oscillatore armonico. Differenziamo l'espressione per t e, moltiplicando il risultato per la massa dell'oscillatore, otteniamo:

Ad ogni posizione caratterizzata da una deviazione “x”, l'oscillatore ha un certo valore “p”. Per trovare "p" in funzione di "x", è necessario escludere "t" dalle equazioni scritte per "p" e "x". Rappresentiamo queste equazioni nella forma:

(8.9)

Elevando al quadrato queste espressioni e sommandole, otteniamo:

. (8.10)

Disegniamo un grafico che mostra la dipendenza dell'impulso “p” dell'oscillatore armonico dalla deviazione “x” (Fig. 8.6). Piano coordinato(“p”, “x”) viene solitamente chiamato piano di fase, e il grafico corrispondente è traiettoria di fase. La traiettoria di fase di un oscillatore armonico è un'ellisse con semiassi “A” e “A m w 0”. Ogni punto della traiettoria di fase rappresenta lo stato dell'oscillatore per un certo momento nel tempo (cioè la sua deviazione e la sua quantità di moto). Nel tempo, il punto che rappresenta lo stato si muove lungo la traiettoria della fase, compiendo un circuito completo durante il periodo di oscillazione. Inoltre, questo movimento avviene in senso orario [vale a dire, se ad un certo punto nel tempo t¢ x=A, p=0, allora a momento successivo il tempo “x” diminuirà e “p” assumerà un modulo crescente valori negativi, cioè. lo spostamento del punto pittorico (cioè del punto che rappresenta lo stato) avverrà in senso orario].

Troviamo ora l'area dell'ellisse. O

.

Qui , dove n 0 è la frequenza naturale dell'oscillatore, che è un valore costante per un dato oscillatore.

Quindi, . Dove

Pertanto, l'energia totale di un oscillatore armonico è proporzionale all'area dell'ellisse e il coefficiente di proporzionalità è la frequenza naturale dell'oscillatore.

8.6. Piccole oscillazioni del sistema in prossimità della posizione di equilibrio.

Consideriamo un sistema meccanico arbitrario, la cui posizione può essere specificata utilizzando una singola quantità “x”. La grandezza “x” che determina la posizione del sistema può essere un angolo misurato da un certo piano oppure una distanza misurata lungo una data curva.

L'energia potenziale di un tale sistema sarà funzione di una variabile “x”: E p = E p (x).

Scegliamo l'origine in modo che nella posizione di equilibrio x=0. Allora la funzione E p (x) avrà un minimo in x=0.

(a causa della piccolezza di “x” trascuriamo i restanti termini)

Perché E p (x) a x=0 ha un minimo, quindi , e . Denotiamo E p(x) = b e , Poi .

Questa espressione è identica all'espressione per l'energia potenziale di un sistema in cui agisce una forza quasi elastica (la costante “b” può essere posta uguale a 0).

La forza che agisce sul sistema può essere determinata dalla formula: . Ottenuto tenendo conto che il lavoro viene svolto a causa della perdita di energia potenziale.

Quindi, l'energia potenziale del sistema per piccole deviazioni dalla posizione di equilibrio risulta essere funzione quadratica spostamento e la forza che agisce sul sistema ha la forma di una forza quasi elastica. Di conseguenza, con piccole deviazioni dalla posizione di equilibrio, qualsiasi sistema meccanico eseguirà vibrazioni prossime all'armonica.

8.7. Pendolo matematico.

DEFINIZIONE: pendolo matematico chiameremo sistema idealizzato costituito da un filo senza peso e inestensibile su cui è sospesa una massa concentrata in un punto.

La deviazione del pendolo dalla posizione di equilibrio sarà caratterizzata dall'angolo j (Fig. 8.7). Quando il pendolo si discosta dalla posizione di equilibrio si verifica un momento rotatorio , ha una direzione tale che tende a riportare il pendolo nella posizione di equilibrio, quindi bisogna assegnare segni diversi al momento M e allo spostamento angolare j.

Il modello più semplice del movimento vibrazionale degli atomi in una molecola biatomica può essere un sistema di due masse T/ e w?, collegati da una molla elastica. La vibrazione di due atomi rispetto al centro di massa può essere sostituita dalla vibrazione di un equivalente

massa rispetto al punto zero iniziale R= 0, dove

R- distanza tra le masse, Rif- posizione del punto di equilibrio.

Nella considerazione classica si assume che la molla sia ideale - la forza elastica F è direttamente proporzionale alla deformazione - lo scostamento dall'equilibrio x = R-R e, secondo la legge di Hooke:

Dove A- costante di elasticità. Pertanto, la forza è diretta verso il ritorno alla posizione di equilibrio.

Utilizzando insieme le leggi di Hooke e di Newton (F-ta), si può scrivere:

(indicando ). È noto che la soluzione di tale equazione è

svolgere funzioni armoniche

Dove xo- ampiezza e

Utilizzando la massa ridotta /l noi abbiamo:

Una misura dell'energia potenziale di un sistema V serve lavoro

Nella meccanica quantistica, l'analisi del moto oscillatorio per un semplice modello di oscillatore armonico è piuttosto complessa. Si basa sulla risoluzione dell'equazione di Schrödinger

(sì/- funzione d'onda vibrazionale, E - energia totale particelle) e va oltre lo scopo della nostra presentazione.

Per un oscillatore quantistico, secondo la formula è possibile solo una serie discreta di valori di energia E e frequenze E=hv. Inoltre, il valore minimo dell'energia dell'oscillatore non è zero. Questa quantità è chiamata energia di punto zero, corrisponde al livello energetico più basso dell'oscillatore ed è pari a , la sua esistenza può essere spiegata in base alla relazione di indeterminazione di Heisenberg.

Pertanto, in conformità con meccanica quantistica l'energia dell'oscillatore armonico è quantizzata:

Dove v- oscillatorio numero quantico, che può assumere il valore y=0, 1, 2, 3,....

Quando un oscillatore interagisce con i quanti radiazioni elettromagnetiche Dovrebbero essere presi in considerazione tre fattori: 1) popolazione di livelli (la probabilità che una molecola si trovi a un dato livello energetico); 2) la regola della frequenza (Bohr), secondo la quale l'energia di un quanto deve corrispondere alla differenza nell'energia di due livelli qualsiasi;

3) regola di selezione per transizioni quantistiche: probabilità di transizione, ovvero l'intensità delle linee nello spettro di assorbimento è determinata dalla quantità momento di dipolo di transizione (vedi introduzione teorica). Nel caso dell'oscillatore armonico più semplice, la regola di selezione si ottiene considerando le funzioni d'onda. Afferma che le transizioni possono avvenire solo tra livelli adiacenti (“un passo”): il numero quantico vibrazionale cambia di uno Avv= 1. Poiché le distanze tra livelli adiacenti sono le stesse, lo spettro di assorbimento di un oscillatore armonico dovrebbe contenere solo una linea con frequenza

Poiché, secondo la distribuzione di Boltzmann, a temperature ambiente e inferiori è popolato il livello vibrazionale più basso, la transizione dal livello più basso (d = 0) è più intensa, e la frequenza di questa linea coincide con la frequenza delle transizioni più deboli da livelli più alti al vicino, livello più alto.

Grafici delle funzioni d'onda dell'oscillatore armonico per significati diversi le energie sono mostrate nella Figura 2.3. Rappresentano soluzioni dell'equazione di Schrödinger per un oscillatore armonico

Dove N, - fattore normalizzante, H0- Polinomi di Hermite, x = R-R e- deviazione dalla posizione di equilibrio.

Momento dipolare di transizione per transizioni vibrazionali, R0(O M") uguale a:

Dove ju- momento dipolare della molecola; esitazione

corpo funzioni d'onda rispettivamente stati iniziali e finali. Dalla formula è chiaro che la transizione è consentita,

se nel punto di equilibrio - il momento dipolare della molecola

cambia vicino alla posizione del punto di equilibrio, (curva ju=f(R) non passa attraverso il massimo a questo punto). Anche l'integrale (il secondo fattore nella formula) non deve essere uguale a zero. Si può dimostrare che questa condizione è soddisfatta se la transizione avviene tra livelli adiacenti, da qui la regola di selezione aggiuntiva Ai = 1.

Nel caso delle molecole biatomiche, gli spettri vibrazionali possono essere osservati solo per le molecole eteronucleari; per le molecole omonucleari non esiste momento dipolare e non cambia durante le vibrazioni. Gli spettri vibrazionali della CO2 mostrano vibrazioni (stiramento e flessione antisimmetrici), in cui il momento dipolare cambia, ma non compaiono vibrazioni simmetriche, in cui rimane invariato.