Per una trave a sbalzo caricata carico distribuito intensità kN / me momento concentrato kN m (Fig. 3.12), è necessario: per costruire diagrammi delle forze di taglio e dei momenti flettenti, selezionare una trave tonda sezione trasversale alla sollecitazione normale ammissibile kN/cm2 e verificare la resistenza della trave in termini di sforzi di taglio alla sollecitazione di taglio ammissibile kN/cm2. Dimensioni trave m; m; m.

Schema di progetto per il problema della flessione trasversale diretta

Riso. 3.12

Risolvere il problema della "flessione trasversale diretta"

Determinazione delle reazioni di supporto

La reazione orizzontale nell'ancoraggio è zero, poiché i carichi esterni nella direzione dell'asse z non agiscono sulla trave.

Scegliamo le direzioni delle forze reattive rimanenti che sorgono nell'incastonatura: dirigiamo la reazione verticale, ad esempio, verso il basso e il momento - in senso orario. I loro valori sono determinati dalle equazioni della statica:

Compilando queste equazioni, consideriamo il momento positivo quando si ruota in senso antiorario e la proiezione della forza è positiva se la sua direzione coincide con la direzione positiva dell'asse y.

Dalla prima equazione troviamo il momento nella terminazione:

Dalla seconda equazione - reazione verticale:

ricevuto da noi valori positivi per il momento e la reazione verticale nella terminazione indicano che abbiamo intuito le loro direzioni.

In base alla natura del fissaggio e del carico della trave, dividiamo la sua lunghezza in due sezioni. Lungo i confini di ciascuna di queste sezioni, delineiamo quattro sezioni trasversali (vedi Fig. 3.12), in cui calcoleremo i valori delle forze di taglio e dei momenti flettenti con il metodo delle sezioni (ROZU).

Sezione 1. Scartiamo mentalmente il lato destro della trave. Sostituiamo la sua azione sul restante lato sinistro con una forza di taglio e un momento flettente. Per comodità di calcolarne i valori, chiudiamo il lato destro della trave da noi scartata con un pezzo di carta, allineando il bordo sinistro del foglio con la sezione in esame.

Ricordiamo che la forza di taglio che si genera in una qualsiasi sezione trasversale deve bilanciare tutte le forze esterne (attive e reattive) che agiscono sulla parte della trave che stiamo considerando (cioè visibile). Pertanto, la forza di taglio deve essere uguale alla somma algebrica di tutte le forze che vediamo.

Diamo anche la regola dei segni per la forza di taglio: una forza esterna che agisce sulla parte considerata della trave e che tende a “ruotare” questa parte rispetto alla sezione in senso orario provoca una forza di taglio positiva nella sezione. Tale forza esterna è inclusa nella somma algebrica per la definizione con un segno più.

Nel nostro caso vediamo solo la reazione del supporto, che ruota in senso antiorario la parte visibile della trave rispetto alla prima sezione (rispetto al bordo del foglio). Ecco perchè

kN.

Il momento flettente in ogni sezione deve bilanciare il momento creato dalle forze esterne che vediamo rispetto alla sezione in esame. Pertanto, è uguale alla somma algebrica dei momenti di tutti gli sforzi che agiscono sulla parte della trave che stiamo considerando, relativa alla sezione in esame (in altre parole, relativa al bordo del foglio). In questo caso, il carico esterno flettendo la parte considerata della trave con convessità verso il basso provoca un momento flettente positivo nella sezione. E il momento creato da un tale carico è incluso nella somma algebrica per la definizione con un segno più.

Vediamo due sforzi: la reazione e il momento della conclusione. Tuttavia, il braccio della forza rispetto alla sezione 1 è uguale a zero. Ecco perchè

kN m

Abbiamo preso il segno più perché il momento reattivo piega la parte visibile della trave con una convessità verso il basso.

Sezione 2. Come prima, copriremo l'intero lato destro della trave con un pezzo di carta. Ora, a differenza della prima sezione, la forza ha una spalla: M. Quindi

kN; kN m

Sezione 3. Chiudendo il lato destro della trave, troviamo

kN;

Sezione 4. Chiudiamo il lato sinistro della trave con una foglia. Quindi

kN m

kN m

.

Sulla base dei valori trovati, costruiamo diagrammi di forze di taglio (Fig. 3.12, b) e momenti flettenti (Fig. 3.12, c).

In sezioni non caricate, il diagramma delle forze di taglio è parallelo all'asse della trave, e sotto un carico distribuito q, lungo una retta inclinata verso l'alto. Sotto la reazione di supporto sul diagramma c'è un salto verso il basso del valore di questa reazione, cioè di 40 kN.

Sul diagramma dei momenti flettenti, vediamo un'interruzione sotto la reazione di supporto. L'angolo di frattura è diretto verso la reazione del supporto. Sotto un carico distribuito q, il diagramma cambia lungo una parabola quadratica, la cui convessità è diretta verso il carico. Nella sezione 6 del diagramma c'è un estremo, poiché il diagramma della forza di taglio in questo punto passa qui per il valore zero.

Determinare il diametro richiesto della sezione trasversale della trave

Condizione di forza secondo sollecitazioni normali sembra:

,

dove è il momento di resistenza della trave in flessione. Per una trave di sezione circolare è uguale a:

.

Il momento flettente con il valore assoluto maggiore si verifica nella terza sezione della trave: kNcm

Quindi il diametro del raggio richiesto è determinato dalla formula

centimetro.

Accettiamo mm. Quindi

kN/cm2 kN/cm2.

"Sovratensione" è

,

cosa è permesso.

Verifichiamo la forza della trave per le massime sollecitazioni tangenziali

Le maggiori sollecitazioni di taglio che si verificano nella sezione trasversale di una trave circolare sono calcolate dalla formula

,

dove è l'area della sezione trasversale.

Secondo il grafico, il valore algebrico più grande della forza di taglio è uguale a kN. Quindi

kN/cm2 kN/cm2,

cioè la condizione di resistenza e sforzi di taglio è soddisfatta, inoltre, con un ampio margine.

Un esempio per risolvere il problema "flessione trasversale diretta" n. 2

Condizione dell'esempio di problema per flessione trasversale diretta

Per una trave a cerniera caricata con un carico distribuito di intensità kN / m, una forza concentrata kN e un momento concentrato kN m (Fig. 3.13), è necessario tracciare i diagrammi della forza di taglio e del momento flettente e selezionare una sezione trasversale della trave a I con una sollecitazione normale ammissibile kN / cm2 e una sollecitazione di taglio ammessa kN/cm2. Luce del fascio m.

Un esempio di un'attività per una curva dritta: uno schema di progettazione

Riso. 3.13

Soluzione di un esempio di problema di curvatura rettilinea

Determinazione delle reazioni di supporto

Per una data trave incernierata, è necessario trovarne tre reazioni di supporto: , e . Poiché sulla trave agiscono solo carichi verticali, perpendicolarmente al suo asse, la reazione orizzontale del supporto incernierato fisso A è pari a zero: .

Le direzioni delle reazioni verticali e sono scelte arbitrariamente. Dirigiamo, ad esempio, entrambe le reazioni verticali verso l'alto. Per calcolare i loro valori, componiamo due equazioni di statica:

Ricordiamo che il carico lineare risultante, uniformemente distribuito su un tratto di lunghezza l, è uguale, cioè uguale all'area del diagramma di tale carico e si applica al baricentro di questo diagramma, cioè a metà della lunghezza.

;

kN.

Controlliamo: .

Ricordiamo che le forze la cui direzione coincide con la direzione positiva dell'asse y vengono proiettate (proiettate) su questo asse con un segno più:

è corretto.

Costruiamo diagrammi di forze di taglio e momenti flettenti

Dividi la lunghezza della trave in sezioni separate. I confini di queste sezioni sono i punti di applicazione delle forze concentrate (attive e/o reattive), nonché i punti corrispondenti all'inizio e alla fine del carico distribuito. Ci sono tre di queste aree nel nostro problema. Lungo i confini di queste sezioni, delineiamo sei sezioni trasversali, in cui calcoleremo i valori delle forze di taglio e dei momenti flettenti (Fig. 3.13, a).

Sezione 1. Scartiamo mentalmente il lato destro della trave. Per comodità di calcolo della forza di taglio e del momento flettente derivanti in questa sezione, chiudiamo la parte della trave da noi scartata con un pezzo di carta, allineando il bordo sinistro del pezzo di carta con la sezione stessa.

La forza di taglio nella sezione della trave è uguale alla somma algebrica di tutte le forze esterne (attive e reattive) che vediamo. In questo caso vediamo la reazione del supporto e del carico lineare q, distribuito su una lunghezza infinitamente piccola. Il carico lineare risultante è zero. Ecco perchè

kN.

Il segno più viene preso perché la forza ruota la parte visibile della trave rispetto alla prima sezione (il bordo del foglio) in senso orario.

Il momento flettente nella sezione della trave è uguale alla somma algebrica dei momenti di tutte le forze che vediamo, relative alla sezione in esame (cioè rispetto al bordo di un foglio di carta). Vediamo la reazione del supporto e del carico lineare q, distribuito su una lunghezza infinitamente piccola. Tuttavia, la leva della forza è zero. Anche il carico lineare risultante è uguale a zero. Ecco perchè

Sezione 2. Come prima, copriremo l'intero lato destro della trave con un pezzo di carta. Vediamo ora la reazione e il carico q che agiscono su un tratto di lunghezza. Il carico lineare risultante è uguale a . È attaccato al centro di una sezione con una lunghezza di . Ecco perchè

Ricordiamo che nel determinare il segno del momento flettente, svincoliamo mentalmente la parte della trave che vediamo da tutti i veri e propri fissaggi di sostegno e la immaginiamo come pizzicata nella sezione in esame (cioè il bordo sinistro del pezzo di la carta è rappresentata mentalmente da noi come un sigillo rigido).

Sezione 3. Chiudiamo la parte destra. Ottenere

Sezione 4. Chiudiamo il lato destro della trave con una foglia. Quindi

Ora, per controllare la correttezza dei calcoli, copriamo il lato sinistro della trave con un pezzo di carta. Vediamo la forza concentrata P, la reazione del giusto supporto e il carico lineare q, distribuito su una lunghezza infinitamente piccola. Il carico lineare risultante è zero. Ecco perchè

kN m

Cioè, tutto è corretto.

Sezione 5. Chiudere ancora il lato sinistro della trave. Avrà

kN;

kN m

Sezione 6. Chiudiamo di nuovo il lato sinistro della trave. Ottenere

kN;

Sulla base dei valori trovati, costruiamo diagrammi di forze di taglio (Fig. 3.13, b) e momenti flettenti (Fig. 3.13, c).

Siamo convinti che sotto la sezione scarica il diagramma della forza di taglio sia parallelo all'asse della trave e sotto un carico distribuito q - lungo una retta con pendenza verso il basso. Ci sono tre salti nel diagramma: sotto la reazione - su di 37,5 kN, sotto la reazione - su di 132,5 kN e sotto la forza P - giù di 50 kN.

Sul diagramma dei momenti flettenti, vediamo rotture sotto la forza concentrata P e sotto le reazioni di supporto. Gli angoli di frattura sono diretti verso queste forze. Sotto un carico distribuito di intensità q, il diagramma cambia lungo una parabola quadratica, la cui convessità è diretta verso il carico. Sotto il momento concentrato c'è un salto di 60 kN m, cioè dalla grandezza del momento stesso. Nella sezione 7 del diagramma c'è un estremo, poiché il diagramma della forza di taglio per questa sezione passa per il valore zero (). Determiniamo la distanza dalla sezione 7 al supporto sinistro.

ipotesi sezioni piatte quando si piega può essere spiegato con un esempio: applichiamo una griglia sulla superficie laterale di una trave indeformata, costituita da rette longitudinali e trasversali (perpendicolari all'asse). Come risultato della flessione della trave, prenderanno le linee longitudinali contorno curvilineo, e quelle trasversali rimarranno praticamente dritte e perpendicolari all'asse curvo della trave.

Formulazione dell'ipotesi della sezione planare: sezioni piatte e perpendicolari all'asse della trave prima, rimangono piatte e perpendicolari all'asse curvo dopo che è stata deformata.

Questa circostanza indica che quando ipotesi di sezione piatta, come con e

Oltre all'ipotesi di sezioni piatte, si fa un'ipotesi: le fibre longitudinali della trave non si premono tra loro quando questa viene piegata.

Si chiamano ipotesi di sezioni piane e ipotesi La congettura di Bernoulli.

Si consideri una trave di sezione rettangolare sottoposta a pura flessione (). Selezioniamo un elemento trave con una lunghezza (Fig. 7.8. a). Come risultato della flessione, le sezioni trasversali della trave ruoteranno, formando un angolo. Le fibre superiori sono in compressione e le fibre inferiori sono in tensione. Il raggio di curvatura della fibra neutra è indicato con .

Si consideri condizionatamente che le fibre cambino la loro lunghezza, pur rimanendo diritte (Fig. 7.8. b). Quindi l'allungamento assoluto e relativo della fibra, distanziata ad una distanza y dalla fibra neutra:

Dimostriamo che le fibre longitudinali, che non subiscono né trazione né compressione durante la curvatura della trave, passano per l'asse centrale principale x.

Poiché la lunghezza della trave non cambia durante la flessione, la forza longitudinale (N) che si forma nella sezione trasversale deve essere zero. Forza longitudinale elementare.

Data l'espressione :

Il moltiplicatore può essere estratto dal segno di integrale (non dipende da variabile di integrazione).

L'espressione rappresenta la sezione trasversale della trave rispetto all'asse x neutro. È zero quando l'asse neutro passa per il baricentro della sezione trasversale. Di conseguenza, l'asse neutro (linea zero) quando la trave è piegata passa per il baricentro della sezione trasversale.

Ovviamente: il momento flettente è associato alle normali sollecitazioni che si verificano nei punti della sezione trasversale dello stelo. Momento flettente elementare creato dalla forza elementare:

,

dove è il momento d'inerzia assiale della sezione trasversale attorno all'asse neutro x, e il rapporto è la curvatura dell'asse della trave.

Rigidità travi in ​​flessione(maggiore, minore è il raggio di curvatura).

La formula risultante rappresenta La legge di Hooke nel piegarsi per una canna: il momento flettente che si verifica nella sezione trasversale è proporzionale alla curvatura dell'asse della trave.

Esprimendo dalla formula della legge di Hooke per un'asta quando si piega il raggio di curvatura () e sostituendo il suo valore nella formula , otteniamo la formula per le sollecitazioni normali () in un punto arbitrario della sezione trasversale della trave, distanziata ad una distanza y dall'asse neutro x: .

Nella formula per le sollecitazioni normali () in un punto arbitrario della sezione trasversale della trave, devono essere sostituiti i valori assoluti del momento flettente () e la distanza dal punto all'asse neutro (coordinate y) . Se la sollecitazione in un dato punto sarà di trazione o di compressione è facile da stabilire dalla natura della deformazione della trave o dal diagramma dei momenti flettenti, le cui ordinate sono tracciate dal lato delle fibre compresse della trave.

Si può vedere dalla formula: le sollecitazioni normali () cambiano lungo l'altezza della sezione trasversale della trave secondo una legge lineare. Sulla fig. 7.8, viene mostrata la trama. Le maggiori sollecitazioni durante la flessione della trave si verificano nei punti più lontani dall'asse neutro. Se nella sezione trasversale della trave viene tracciata una linea parallela all'asse neutro x, si verificano le stesse sollecitazioni normali in tutti i suoi punti.

Analisi semplice diagrammi di sollecitazione normale mostra che quando la trave è piegata, il materiale situato vicino all'asse neutro praticamente non funziona. Pertanto, al fine di ridurre il peso della trave, si consiglia di scegliere forme trasversali in cui la maggior parte del materiale viene rimosso dall'asse neutro, come ad esempio un profilo a I.

Una curva è un tipo di deformazione in cui l'asse longitudinale della trave è piegato. Le travi diritte che lavorano sulla flessione sono chiamate travi. Una curva rettilinea è una curva in cui le forze esterne agenti sulla trave giacciono sullo stesso piano (piano della forza) passante per l'asse longitudinale della trave e l'asse di inerzia centrale principale della sezione trasversale.

La curva è chiamata pura, se si verifica un solo momento flettente in qualsiasi sezione trasversale della trave.

La flessione, in cui un momento flettente e una forza trasversale agiscono contemporaneamente nella sezione trasversale della trave, è chiamata trasversale. La linea di intersezione tra il piano della forza e il piano della sezione trasversale è chiamata linea della forza.

Fattori di forza interni nella flessione della trave.

Con una flessione trasversale piatta nelle sezioni della trave, sorgono due fattori di forza interni: la forza trasversale Q e il momento flettente M. Per determinarli, viene utilizzato il metodo della sezione (vedi lezione 1). La forza trasversale Q nella sezione della trave è uguale alla somma algebrica delle sporgenze sul piano della sezione di tutte le forze esterne agenti su un lato della sezione in esame.

Regola dei segni per forze trasversali Q:

Il momento flettente M nella sezione della trave è uguale alla somma algebrica dei momenti attorno al baricentro di questa sezione di tutte le forze esterne agenti su un lato della sezione in esame.

Regola dei segni per i momenti flettenti M:

Le dipendenze differenziali di Zhuravsky.

Tra l'intensità q del carico distribuito, le espressioni per la forza trasversale Q e il momento flettente M, si stabiliscono dipendenze differenziali:

Sulla base di queste dipendenze, si possono distinguere i seguenti schemi generali di diagrammi delle forze trasversali Q e dei momenti flettenti M:

Peculiarità dei diagrammi dei fattori di forza interni alla flessione.

1. Sulla sezione della trave dove non c'è carico distribuito, viene presentato il grafico Q retta , parallela alla base del diagramma, e il diagramma M è una retta inclinata (Fig. a).

2. Nella sezione in cui viene applicata la forza concentrata, sul diagramma Q dovrebbe esserci salto , pari al valore di questa forza, e sul diagramma M - punto di rottura (Fig. a).

3. Nella sezione in cui viene applicato un momento concentrato, il valore di Q non cambia e il diagramma M ha salto , pari al valore di questo momento, (Fig. 26, b).

4. Nella sezione della trave con carico distribuito di intensità q, il diagramma Q cambia secondo una legge lineare, e il diagramma M - secondo una parabolica, e la convessità della parabola è diretta nella direzione del carico distribuito (Fig. c, d).

5. Se all'interno della sezione caratteristica del diagramma Q interseca la base del diagramma, allora nella sezione dove Q = 0, il momento flettente ha un valore estremo M max o M min (Fig. d).

Normali sollecitazioni di flessione.

Determinato dalla formula:

Il momento di resistenza alla flessione della sezione è il valore:

Sezione pericolosa quando si piega, viene chiamata la sezione trasversale della trave, in cui si verifica la massima sollecitazione normale.

Tensioni tangenziali in flessione diretta.

Determinato da La formula di Zhuravsky per le sollecitazioni di taglio nella flessione diretta della trave:

dove S ots - momento statico dell'area trasversale dello strato tagliato di fibre longitudinali rispetto alla linea neutra.

Calcoli della resistenza alla flessione.

1. In calcolo di verifica viene determinata la massima sollecitazione di progetto, che viene confrontata con la sollecitazione ammissibile:

2. In calcolo del progetto la scelta della sezione della trave è effettuata dalla condizione:

3. Quando si determina il carico ammissibile, il momento flettente ammissibile è determinato dalla condizione:

Movimenti di flessione.

Sotto l'azione di un carico flettente, l'asse della trave viene piegato. In questo caso, c'è un allungamento delle fibre sul convesso e una compressione - sulle parti concave del raggio. Inoltre, vi è un movimento verticale dei centri di gravità delle sezioni trasversali e la loro rotazione rispetto all'asse neutro. Per caratterizzare la deformazione durante la piegatura, vengono utilizzati i seguenti concetti:

Deflessione del raggio Y- spostamento del baricentro della sezione trasversale della trave nella direzione perpendicolare al suo asse.

La deflessione è considerata positiva se il baricentro si sposta verso l'alto. La quantità di deflessione varia lungo la lunghezza del raggio, ad es. y=y(z)

Angolo di rotazione della sezione- l'angolo θ di cui ciascuna sezione viene ruotata rispetto alla sua posizione originaria. L'angolo di rotazione è considerato positivo quando la sezione viene ruotata in senso antiorario. Il valore dell'angolo di rotazione varia lungo la lunghezza della trave, essendo funzione di θ = θ (z).

Il modo più comune per determinare gli spostamenti è il metodo mora e La regola di Vereshchagin.

Metodo Mohr.

La procedura per determinare gli spostamenti secondo il metodo Mohr:

1. in costruzione" sistema ausiliario” e viene caricato con un solo carico nel punto in cui deve essere determinato lo spostamento. Se viene determinato uno spostamento lineare, viene applicata una forza unitaria nella sua direzione; quando si determinano gli spostamenti angolari, viene applicato un momento unitario.

2. Per ogni sezione del sistema vengono registrate le espressioni dei momenti flettenti M f dal carico applicato e M 1 - da un singolo carico.

3. Gli integrali di Mohr vengono calcolati e sommati su tutte le sezioni del sistema, ottenendo lo spostamento desiderato:

4. Se lo spostamento calcolato ha segno positivo, significa che la sua direzione coincide con la direzione della forza unitaria. segno negativo indica che lo spostamento effettivo è opposto alla direzione della forza unitaria.

La regola di Vereshchagin.

Nel caso in cui il diagramma dei momenti flettenti di un dato carico abbia un arbitrario e da un singolo carico - uno schema rettilineo, è conveniente utilizzare il metodo grafico-analitico o la regola di Vereshchagin.

dove A f è l'area del diagramma del momento flettente M f da un dato carico; y c è l'ordinata del diagramma da un singolo carico sotto il baricentro del diagramma M f ; EI x - rigidità della sezione della sezione della trave. I calcoli secondo questa formula vengono effettuati in sezioni, su ciascuna delle quali il diagramma a linee rette deve essere senza fratture. Il valore (A f *y c) è considerato positivo se entrambi i diagrammi sono posti sullo stesso lato della trave, negativo se sono posti su lati opposti. Un risultato positivo della moltiplicazione dei diagrammi significa che la direzione del movimento coincide con la direzione di una forza (o momento) unitaria. Un diagramma complesso M f deve essere suddiviso in figure semplici (si usa la cosiddetta "stratificazione epure"), per ognuna delle quali è facile determinare l'ordinata del baricentro. In questo caso, l'area della figura della spiaggia viene moltiplicata per l'ordinata sotto il suo baricentro.

Curva dritta. Curva trasversale piatta 1.1. Costruzione dei diagrammi dei fattori di forza interni per le travi 1.2. Costruzione dei diagrammi Q e M secondo le equazioni 1.3. Costruzione dei diagrammi Q e M su tratti caratteristici (punti) 1.4. Calcoli per la resistenza alla flessione diretta delle travi 1.5. Principali sollecitazioni flettenti. Verifica della piena forza delle travi 1.6. Il concetto del centro della curva 1.7. Determinazione degli spostamenti nelle travi durante la flessione. Concetti di deformazione delle travi e condizioni della loro rigidità 1.8. L'equazione differenziale dell'asse di flessione della trave 1.9. Metodo integrazione diretta 1.10. Esempi di determinazione degli spostamenti nelle travi mediante integrazione diretta 1.11. significato fisico costanti di integrazione 1.12. Metodo dei parametri iniziali (equazione universale dell'asse di flessione della trave) 1.13. Esempi di determinazione degli spostamenti in una trave utilizzando il metodo dei parametri iniziali 1.14. Determinazione dei movimenti con il metodo di Mohr. La regola di A.K Vereschagin 1.15. Calcolo dell'integrale di Mohr secondo A.K. Vereschagin 1.16. Esempi di determinazione degli spostamenti mediante integrale di Mohr Riferimenti 4 1. Curva rettilinea. Piegatura trasversale piatta. 1.1. Diagrammi di tracciamento dei fattori di forza interni per le travi La flessione diretta è un tipo di deformazione in cui si verificano due fattori di forza interni nelle sezioni trasversali della barra: un momento flettente e una forza trasversale. In un caso particolare, la forza trasversale può essere uguale a zero, quindi la curva si chiama pura. Con una flessione trasversale piatta, tutte le forze si trovano su uno dei principali piani di inerzia dell'asta e sono perpendicolari al suo asse longitudinale, i momenti si trovano sullo stesso piano (Fig. 1.1, a, b). Riso. 1.1 La forza trasversale in una sezione trasversale arbitraria della trave è numericamente uguale alla somma algebrica delle sporgenze sulla normale all'asse della trave di tutte le forze esterne agenti su un lato della sezione in esame. Forza di taglio all'interno sezione m-n le travi (Fig. 1.2, a) sono considerate positive se la risultante delle forze esterne a sinistra della sezione è diretta verso l'alto ea destra - verso il basso e negativa - nel caso opposto (Fig. 1.2, b). Riso. 1.2 Quando si calcola la forza trasversale in una determinata sezione, le forze esterne che giacciono a sinistra della sezione sono prese con un segno più se sono dirette verso l'alto e con un segno meno se verso il basso. Per il lato destro della trave - viceversa. 5 Il momento flettente in una sezione trasversale di trave arbitraria è numericamente uguale alla somma algebrica dei momenti attorno all'asse centrale z della sezione di tutte le forze esterne agenti su un lato della sezione in esame. Momento flettente in sezione m-n travi (Fig. 1.3, a) è considerato positivo se il momento risultante delle forze esterne a sinistra della sezione è diretto in senso orario e a destra - in senso antiorario e negativo - nel caso opposto (Fig. 1.3, b). Riso. 1.3 Quando si calcola il momento flettente in una determinata sezione, i momenti delle forze esterne che giacciono a sinistra della sezione sono considerati positivi se diretti in senso orario. Per il lato destro della trave - viceversa. È conveniente determinare il segno del momento flettente in base alla natura della deformazione della trave. Il momento flettente è considerato positivo se, nella sezione in esame, la parte tagliata della trave è piegata con una convessità verso il basso, cioè le fibre inferiori sono tese. In caso contrario, il momento flettente nella sezione è negativo. Tra il momento flettente M, la forza trasversale Q e l'intensità del carico q esistono dipendenze differenziali. 1. La prima derivata della forza trasversale lungo l'ascissa della sezione è uguale all'intensità del carico distribuito, cioè . (1.1) 2. La derivata prima del momento flettente lungo l'ascissa della sezione è uguale alla forza trasversale, cioè (1.2) 3. La derivata seconda dell'ascissa della sezione è uguale all'intensità del carico distribuito, cioè (1.3) Consideriamo positivo il carico distribuito diretto verso l'alto. Dalle dipendenze differenziali tra M, Q, q derivano alcune importanti conclusioni: 1. Se sulla sezione della trave: a) la forza trasversale è positiva, allora il momento flettente aumenta; b) la forza trasversale è negativa, quindi il momento flettente diminuisce; c) la forza trasversale è zero, quindi il momento flettente ha valore costante (flessione pura); 6 d) la forza trasversale passa per zero, cambiando segno da più a meno, max M M, altrimenti M Mmin. 2. Se non c'è carico distribuito sulla sezione della trave, la forza trasversale è costante e il momento flettente cambia linearmente. 3. Se c'è un carico uniformemente distribuito sulla sezione della trave, la forza trasversale cambia secondo una legge lineare e il momento flettente - secondo la legge di una parabola quadrata, convessa invertita verso il carico (nel caso del tracciamento M dal lato delle fibre tese). 4. Nella sezione sotto la forza concentrata, il diagramma Q ha un salto (per l'entità della forza), il diagramma M ha un'interruzione nella direzione della forza. 5. Nella sezione in cui viene applicato un momento concentrato, il diagramma M presenta un salto pari al valore di questo momento. Questo non si riflette nel grafico Q. Sotto carico complesso, le travi creano diagrammi delle forze trasversali Q e dei momenti flettenti M. Il grafico Q (M) è un grafico che mostra la legge di variazione della forza trasversale (momento flettente) lungo la lunghezza della trave. Sulla base dell'analisi dei diagrammi M e Q, vengono stabilite le sezioni pericolose della trave. Le ordinate positive del diagramma Q sono tracciate verso l'alto e le ordinate negative verso il basso dalla linea di base tracciata parallelamente all'asse longitudinale della trave. Le ordinate positive del diagramma M sono stabilite e le ordinate negative sono tracciate verso l'alto, cioè il diagramma M è costruito dal lato delle fibre tese. La costruzione dei diagrammi Q e M per le travi dovrebbe iniziare con la definizione delle reazioni di appoggio. Per una trave con un'estremità fissa e l'altra estremità libera, il tracciamento di Q e M può essere avviato dall'estremità libera senza definire le reazioni nell'incastonatura. 1.2. La costruzione dei diagrammi Q e M secondo le equazioni di Balk è suddivisa in sezioni, all'interno delle quali le funzioni del momento flettente e della forza di taglio rimangono costanti (non presentano discontinuità). I confini delle sezioni sono i punti di applicazione di forze concentrate, coppie di forze e luoghi di variazione dell'intensità del carico distribuito. Viene presa una sezione arbitraria in ciascuna sezione a una distanza x dall'origine e per questa sezione vengono elaborate le equazioni per Q e M. I grafici Q e M sono costruiti utilizzando queste equazioni Esempio 1.1 Costruire i grafici delle forze di taglio Q e dei momenti flettenti M per una data trave (Fig. 1.4a). Soluzione: 1. Determinazione delle reazioni dei supporti. Componiamo le equazioni di equilibrio: da cui otteniamo Le reazioni degli appoggi sono definite correttamente. La trave ha quattro sezioni Fig. 1.4 caricamenti: CA, AD, DB, BE. 2. Tracciare Q. Tracciare SA. Sulla sezione CA 1, disegniamo una sezione arbitraria 1-1 a una distanza x1 dall'estremità sinistra della trave. Definiamo Q come la somma algebrica di tutte le forze esterne che agiscono a sinistra della sezione 1-1: 1 Q 3 0 kN. Viene preso il segno meno perché la forza che agisce a sinistra della sezione è diretta verso il basso. L'espressione per Q non dipende dalla variabile x1. Il grafico Q in questa sezione sarà rappresentato come una linea retta parallela all'asse x. Trama d.C. Sul sito, disegniamo una sezione arbitraria 2-2 a una distanza x2 dall'estremità sinistra della trave. Definiamo Q2 come la somma algebrica di tutte le forze esterne agenti a sinistra della sezione 2-2: Il valore di Q è costante sulla sezione (non dipende dalla variabile x2). Il grafico Q sul grafico è una linea retta parallela all'asse x. Sito DB. Sul sito, disegniamo una sezione arbitraria 3-3 a una distanza x3 dall'estremità destra della trave. Definiamo Q3 come la somma algebrica di tutte le forze esterne che agiscono a destra della sezione 3-3: . L'espressione risultante è l'equazione di una retta inclinata. Trama BE Sul sito, disegniamo una sezione 4-4 a una distanza x4 dall'estremità destra della trave. Definiamo Q come la somma algebrica di tutte le forze esterne che agiscono a destra della sezione 4-4: qui si assume il segno più perché il carico risultante a destra della sezione 4-4 è diretto verso il basso. Sulla base dei valori ottenuti, costruiamo i diagrammi Q (Fig. 1.4, b). 3. Tracciamento M. Plot SA m1. Definiamo il momento flettente nella sezione 1-1 come la somma algebrica dei momenti delle forze agenti a sinistra della sezione 1-1. è l'equazione di una retta. Complotto. 3Definiamo il momento flettente nella sezione 2-2 come la somma algebrica dei momenti delle forze agenti a sinistra della sezione 2-2. è l'equazione di una retta. Complotto. 4Definiamo il momento flettente nella sezione 3-3 come la somma algebrica dei momenti delle forze agenti a destra della sezione 3-3. è l'equazione di una parabola quadrata. 9 Troviamo tre valori alle estremità della sezione e nel punto con la coordinata xk, dove da qui abbiamo kNm. Complotto. 1Definiamo il momento flettente nella sezione 4-4 come la somma algebrica dei momenti delle forze agenti a destra della sezione 4-4. - dall'equazione di una parabola quadrata troviamo tre valori di M4: Sulla base dei valori ottenuti, costruiamo un grafico M (Fig. 1.4, c). Nelle sezioni CA e AD, il grafico Q è limitato da rette parallele all'asse delle ascisse, e nelle sezioni DB e BE, da rette oblique. Nelle sezioni C, A e B del diagramma Q ci sono salti dell'entità delle forze corrispondenti, che servono come verifica della correttezza della costruzione del diagramma Q. Nelle sezioni in cui Q 0, i momenti aumentano da sinistra a destra. Nelle sezioni in cui Q 0, i momenti diminuiscono. Sotto le forze concentrate ci sono nodi nella direzione dell'azione delle forze. Sotto il momento concentrato, c'è un salto del valore del momento. Ciò indica la correttezza della costruzione del diagramma M. Esempio 1.2 Costruire i diagrammi Q e M per una trave su due supporti, caricata con un carico distribuito, la cui intensità varia secondo una legge lineare (Fig. 1.5, a). Soluzione Determinazione delle reazioni di supporto. La risultante del carico distribuito è uguale all'area del triangolo che rappresenta il diagramma di carico e viene applicata al baricentro di questo triangolo. Componiamo la somma dei momenti di tutte le forze relative ai punti A e B: Tracciando Q. Tracciamo una sezione arbitraria a una distanza x dal supporto sinistro. L'ordinata del diagramma di carico corrispondente alla sezione è determinata dalla somiglianza dei triangoli. La risultante di quella parte del carico che si trova a sinistra della sezione zero: Il grafico Q è mostrato in fig. 1.5, b. Il momento flettente in una sezione arbitraria è uguale a Il momento flettente cambia secondo la legge di una parabola cubica: Il momento flettente ha il valore massimo nella sezione, dove Q 0, cioè e. al diagramma M è mostrato in fig. 1.5, c. 1.3. Tracciare i diagrammi Q e M per sezioni caratteristiche (punti) Utilizzando le relazioni differenziali tra M, Q, q e le conclusioni che ne derivano, è consigliabile costruire diagrammi Q e M per sezioni caratteristiche (senza formulare equazioni). Utilizzando questo metodo, i valori di Q e M vengono calcolati in sezioni caratteristiche. Le sezioni caratteristiche sono le sezioni di confine delle sezioni, nonché le sezioni in cui il dato fattore di forza interna ha un valore estremo. Entro i limiti tra le sezioni caratteristiche, lo schema 12 del diagramma è stabilito sulla base delle dipendenze differenziali tra M, Q, q e le conclusioni che ne derivano. Esempio 1.3 Costruire i diagrammi Q e M per la trave mostrata in fig. 1.6, a. Iniziamo a tracciare i diagrammi Q e M dall'estremità libera della trave, mentre le reazioni nell'infissione possono essere omesse. La trave ha tre aree di carico: AB, BC, CD. Non c'è carico distribuito nelle sezioni AB e BC. Le forze trasversali sono costanti. Il grafico Q è limitato da linee rette parallele all'asse x. I momenti flettenti cambiano linearmente. Il grafico M è limitato a linee rette inclinate rispetto all'asse x. Sulla sezione CD c'è un carico distribuito uniformemente. Le forze trasversali cambiano linearmente e i momenti flettenti cambiano secondo la legge di una parabola quadrata con una convessità nella direzione del carico distribuito. Al confine delle sezioni AB e BC, la forza trasversale cambia bruscamente. Al limite delle sezioni BC e CD, il momento flettente cambia bruscamente. 1. Tracciamento Q. Calcoliamo i valori delle forze trasversali Q nelle sezioni di confine delle sezioni: sulla base dei risultati dei calcoli, costruiamo un diagramma Q per la trave (Fig. 1, b). Segue dal grafico Q che la forza trasversale nella sezione CD è uguale a zero nella sezione distanziata ad una distanza qa a q  dall'inizio di questa sezione. In questa sezione, il momento flettente ha un valore massimo. 2. Costruzione del diagramma M. Calcoliamo i valori dei momenti flettenti nelle sezioni di confine delle sezioni: A Kx3, il momento massimo sulla sezione Sulla base dei risultati dei calcoli, costruiamo il diagramma M (Fig. 5.6, c). Esempio 1.4 Secondo il diagramma dato dei momenti flettenti (Fig. 1.7, a) per la trave (Fig. 1.7, b), determinare i carichi agenti e tracciare Q. Il cerchio indica il vertice della parabola quadrata. Soluzione: determinare i carichi agenti sulla trave. La sezione AC è caricata con un carico uniformemente distribuito, poiché il diagramma M in questa sezione è una parabola quadrata. Nella sezione di riferimento B si applica alla trave un momento concentrato, agendo in senso orario, poiché sul diagramma M si ha un salto verso l'alto della grandezza del momento. Nella sezione NE la trave non è caricata, in quanto il diagramma M in questa sezione è limitato da una retta inclinata. La reazione del supporto B è determinata dalla condizione che il momento flettente nella sezione C sia uguale a zero, ovvero per determinare l'intensità del carico distribuito, componiamo un'espressione per il momento flettente nella sezione A come somma dei momenti di forze a destra e equivalgono a zero, determiniamo ora la reazione dell'appoggio A. Per fare ciò comporremo un'espressione per i momenti flettenti nella sezione come somma dei momenti delle forze a sinistra da cui la Fig. 1.7 Verifica Schema di progettazione travi con carico è mostrato in fig. 1.7, c. Partendo dall'estremità sinistra della trave, calcoliamo i valori delle forze trasversali nelle sezioni di confine delle sezioni: Il diagramma Q è mostrato in fig. 1.7, d.Il problema considerato può essere risolto compilando dipendenze funzionali per M, Q in ogni sezione. Scegliamo l'origine delle coordinate all'estremità sinistra della trave. Sulla sezione AC, il grafico M è espresso da una parabola quadrata, la cui equazione è della forma Costanti a, b, c, si ricava dalla condizione che la parabola passa per tre punti di coordinate note: Sostituendo le coordinate di i punti nell'equazione della parabola, otteniamo: L'espressione per il momento flettente sarà Differenziando la funzione M1 , otteniamo la dipendenza per la forza trasversale Dopo aver differenziato la funzione Q, otteniamo un'espressione per l'intensità del carico distribuito. Nella sezione NE, l'espressione per il momento flettente è rappresentata come una funzione lineare. Per determinare le costanti aeb, utilizziamo le condizioni che questa retta passa per due punti di cui si conoscono le coordinate.Si ottengono due equazioni: da cui si abbiamo a 10, b  20. L'equazione per il momento flettente nella sezione NE sarà Dopo una duplice differenziazione di M2, troveremo Sulla base dei valori trovati di M e Q, costruiamo diagrammi di flessione momenti e forze di taglio per la trave. Oltre al carico distribuito, alla trave vengono applicate forze concentrate in tre sezioni, dove ci sono salti sul diagramma Q, e momenti concentrati nella sezione in cui c'è un salto sul diagramma M. Esempio 1.5 Per una trave (Fig. 1.8, a), determinare la posizione razionale della cerniera C, in cui il momento flettente maggiore nella campata è uguale al momento flettente nell'incasso (in valore assoluto). Costruire diagrammi Q e M. Soluzione Determinazione delle reazioni dei supporti. Sebbene numero totale ci sono quattro maglie di sostegno, la trave è staticamente determinata. Il momento flettente nella cerniera C è uguale a zero, il che ci consente di fare un'ulteriore equazione: la somma dei momenti attorno alla cerniera di tutte le forze esterne che agiscono su un lato di questa cerniera è uguale a zero. Componi la somma dei momenti di tutte le forze a destra della cerniera C. Il diagramma Q per la trave è limitato da una retta inclinata, poiché q = cost. Determiniamo i valori delle forze trasversali nelle sezioni di confine della trave: L'ascissa xK della sezione, dove Q = 0, è determinata dall'equazione da cui Plot M per la trave è limitato da una parabola quadrata. Le espressioni per i momenti flettenti nelle sezioni, dove Q = 0, e nella terminazione si scrivono rispettivamente come segue: Dalla condizione di uguaglianza dei momenti si ottiene equazione quadrata rispetto al parametro desiderato x: valore reale. Determiniamo i valori numerici delle forze trasversali e dei momenti flettenti nelle sezioni caratteristiche della trave. 1.8, c - plot M. Il problema considerato può essere risolto dividendo la trave incernierata nei suoi elementi costitutivi, come mostrato in fig. 1.8, d) All'inizio si determinano le reazioni degli appoggi VC e VB. Le trame Q e M sono costruite per la trave di sospensione SV dall'azione del carico ad essa applicato. Quindi si spostano sulla trave principale AC, caricandola di una forza aggiuntiva VC, che è la forza di pressione della trave CB sulla trave AC. Successivamente, vengono costruiti i diagrammi Q e M per la trave AC. 1.4. Calcoli di resistenza per flessione diretta di travi Calcolo di resistenza per sollecitazioni normali e di taglio. Con una flessione diretta di una trave, si verificano sollecitazioni normali e di taglio nelle sue sezioni trasversali (Fig. 1.9). Le sollecitazioni normali sono correlate al momento flettente, le sollecitazioni di taglio sono correlate alla forza di taglio. Nella flessione diretta pura, le sollecitazioni di taglio sono pari a zero. Le sollecitazioni normali in un punto arbitrario della sezione trasversale della trave sono determinate dalla formula (1.4) dove M è il momento flettente nella sezione data; Iz è il momento d'inerzia della sezione rispetto all'asse neutro z; y è la distanza dal punto in cui è determinata la sollecitazione normale all'asse z neutro. Le sollecitazioni normali lungo l'altezza della sezione cambiano linearmente e raggiungono il valore massimo nei punti più distanti dall'asse neutro Se la sezione è simmetrica rispetto all'asse neutro (Fig. 1.11), allora 1.11 le maggiori sollecitazioni di trazione e compressione sono le stesse e sono determinate dalla formula - modulo di sezione assiale in flessione. Per una sezione rettangolare di larghezza b e altezza h: (1.7) Per una sezione circolare di diametro d: (1.8) Per una sezione anulare (1.9) dove d0 e d sono rispettivamente i diametri interno ed esterno dell'anello. Per travi da materie plastiche le più razionali sono 20 forme trasversali simmetriche (trave a I, scatolare, anulare). Per le travi realizzate con materiali fragili che non resistono allo stesso modo alla trazione e alla compressione, le sezioni asimmetriche rispetto all'asse neutro z (ta-br., a forma di U, trave a I asimmetrica) sono razionali. Per travi a sezione costante in materiale plastico a sezione simmetrica, la condizione di resistenza è scritta come segue: (1.10) dove Mmax è il momento flettente massimo modulo; - sollecitazione ammissibile per il materiale. Per travi a sezione costante in materiale plastico a sezione asimmetrica, la condizione di resistenza è scritta nella forma seguente: Per travi in materiali fragili con tratti asimmetrici rispetto all'asse neutro, se il diagramma M è univoco (Fig. 1.12), si devono scrivere due condizioni di resistenza dove yP,max, yC,max sono le distanze dall'asse neutro ai punti più distanti del rispettivamente le zone allungate e compresse della sezione pericolosa; - sollecitazioni ammissibili rispettivamente in trazione e compressione. Fig.1.12. 21 Se il diagramma del momento flettente presenta tratti di segno diverso (Fig. 1.13), oltre alla verifica del tratto 1-1, dove agisce Mmax, è necessario calcolare le sollecitazioni massime di trazione per il tratto 2-2 (con il momento massimo del segno opposto). Riso. 1.13 Insieme al calcolo di base per le sollecitazioni normali, in alcuni casi è necessario controllare la resistenza della trave per le sollecitazioni di taglio. Le sollecitazioni di taglio nelle travi sono calcolate con la formula di D. I. Zhuravsky (1.13) dove Q è la forza trasversale nella sezione trasversale considerata della trave; Szots è il momento statico attorno all'asse neutro dell'area della parte della sezione situata su un lato della retta tracciata attraverso il punto dato e parallela all'asse z; b è la larghezza della sezione al livello del punto considerato; Iz è il momento d'inerzia dell'intera sezione attorno all'asse neutro z. In molti casi, le massime sollecitazioni di taglio si verificano a livello dello strato neutro della trave (rettangolo, trave a I, cerchio). In questi casi, la condizione di resistenza per le sollecitazioni di taglio è scritta come (1.14) dove Qmax è la forza trasversale con il modulo più alto; - sforzo di taglio ammissibile per il materiale. Per una sezione di trave rettangolare, la condizione di resistenza ha la forma 22 (1.15) A - l'area della sezione trasversale della trave. Per una sezione circolare, la condizione di resistenza è rappresentata come (1.16) Per una sezione I, la condizione di resistenza è scritta come segue: (1.17) d è lo spessore della parete della trave a I. Di solito, le dimensioni della sezione trasversale della trave sono determinate dalla condizione di resistenza per sollecitazioni normali. Il controllo della resistenza delle travi alle sollecitazioni di taglio è obbligatorio per travi corte e travi di qualsiasi lunghezza, se ci sono forze concentrate di grande entità vicino ai supporti, nonché per travi in ​​legno, rivettate e saldate. Esempio 1.6 Verificare la resistenza di una trave a sezione scatolare (Fig. 1.14) per le sollecitazioni normali e di taglio, se 0 MPa. Costruisci appezzamenti sezione pericolosa travi. Riso. 1.14 Decisione 23 1. Tracciare trame Q e M da sezioni caratteristiche. Considerando il lato sinistro della trave, otteniamo Il diagramma delle forze trasversali è mostrato in fig. 1.14, c. . Il grafico dei momenti flettenti è mostrato in fig. 5.14, g. 2. Caratteristiche geometriche della sezione trasversale 3. Le sollecitazioni normali più elevate nella sezione C, dove agisce Mmax (modulo): Le sollecitazioni normali massime nella trave sono pressoché uguali a quelle ammissibili. 4. Le maggiori sollecitazioni di taglio nella sezione C (o A), dove agisce - il momento statico dell'area della semisezione rispetto all'asse neutro; b2 cm è la larghezza della sezione a livello dell'asse neutro. 5. Tensioni tangenziali in un punto (in una parete) nella sezione C: Ecco il momento statico dell'area della parte della sezione situata al di sopra della linea passante per il punto K1; b2 cm è lo spessore della parete al livello del punto K1. Gli schemi per la sezione C della trave sono mostrati in fig. 1.15. Esempio 1.7 Per la trave mostrata in fig. 1.16, a, è richiesto: 1. Costruire diagrammi di forze trasversali e momenti flettenti lungo sezioni caratteristiche (punti). 2. Determinare le dimensioni della sezione trasversale sotto forma di cerchio, rettangolo e trave a I dalla condizione di resistenza per sollecitazioni normali, confrontare le aree della sezione trasversale. 3. Verificare le dimensioni selezionate delle sezioni della trave per le sollecitazioni di taglio. Soluzione: 1. Determinare le reazioni dei supporti delle travi da dove Verificare: 2. Tracciare i diagrammi Q e M. Pertanto, in queste sezioni, il diagramma Q è limitato a rette inclinate rispetto all'asse. Nella sezione DB, l'intensità del carico distribuito q \u003d 0, quindi, in questa sezione, il diagramma Q è limitato a una retta parallela all'asse x. Il diagramma Q per la trave è mostrato in fig. 1.16b. Valori dei momenti flettenti nelle sezioni caratteristiche della trave: Nella seconda sezione determiniamo l'ascissa x2 della sezione, in cui Q = 0: Il momento massimo nella seconda sezione Il diagramma M per la trave è mostrato in fig . 1.16, c. 2. Comporre la condizione di resistenza alle sollecitazioni normali, da cui si determina il modulo di sezione assiale richiesto dall'espressione determinato il diametro d richiesto di una trave a sezione circolare Area di sezione circolare Per una trave rettangolare Altezza di sezione richiesta Area di sezione rettangolare Secondo le tabelle di GOST 8239-89, troviamo il più vicino maggior valore momento di resistenza assiale corrispondente alla trave a I n. 33 con le caratteristiche: Controllo della tolleranza: (sottocarico dell'1% del 5% ammissibile) la trave a I più vicina n. 30 (W  472 cm3) provoca un sovraccarico significativo (oltre il 5%). Infine accettiamo la trave a I n. 33. Confrontiamo le aree delle sezioni circolari e rettangolari con l'area A più piccola della trave a I: Delle tre sezioni considerate, la sezione a I è la più economica. 3. Calcoliamo le maggiori sollecitazioni normali nella sezione pericolosa 27 della trave a I (Fig. 1.17, a): Sollecitazioni normali nella parete vicino alla flangia della sezione della trave a I. 1.17b. 5. Determiniamo le maggiori sollecitazioni di taglio per le sezioni selezionate della trave. un) sezione rettangolare travi: b) sezione rotonda travi: c) Sezione trave a I: Tensioni di taglio nella parete in prossimità dell'ala della trave a I nella sezione pericolosa A (a destra) (al punto 2): Il diagramma delle tensioni di taglio nelle sezioni pericolose della I -beam è mostrato in fig. 1.17, a. Le sollecitazioni di taglio massime nella trave non superano le sollecitazioni ammissibili. Esempio 1.8 Determinare il carico ammissibile sulla trave (Fig. 1.18, a), se sono fornite le dimensioni della sezione trasversale (Fig. 1.19, a). Costruire un diagramma delle sollecitazioni normali nella sezione pericolosa della trave sotto il carico ammissibile. Fig 1.18 1. Determinazione delle reazioni degli appoggi delle travi. A causa della simmetria del sistema VVB A8qa . 29 2. Costruzione dei diagrammi Q e M per sezioni caratteristiche. Forze di taglio nelle sezioni caratteristiche della trave: il diagramma Q per la trave è mostrato in fig. 5.18b. Momenti flettenti nelle sezioni caratteristiche della trave Per la seconda metà della trave, le ordinate M sono lungo gli assi di simmetria. Il diagramma M per la trave è mostrato in fig. 1.18b. 3. Caratteristiche geometriche della sezione (Fig. 1.19). Dividiamo la figura in due semplici elementi: una trave a I - 1 e un rettangolo - 2. Fig. 1.19 Secondo l'assortimento per la trave a I n. 20, abbiamo Per un rettangolo: Momento statico dell'area della sezione rispetto all'asse z1 Distanza dall'asse z1 al baricentro della sezione Momento d'inerzia della sezione relativa all'asse centrale principale z dell'intera sezione secondo le formule per il passaggio ad assi paralleli punto pericoloso "a" (Fig. 1.19) nella sezione pericolosa I (Fig. 1.18): Dopo aver sostituito i dati numerici 5. Con un ammissibile carico q nella sezione pericolosa, le sollecitazioni normali ai punti "a" e "b" saranno uguali: Il diagramma delle sollecitazioni normali per la sezione pericolosa 1-1 è mostrato in fig. 1.19b. Esempio 1.9 Determinare le dimensioni della sezione trasversale richieste di una trave in ghisa (Fig. 1.20.), Avendo precedentemente scelto una disposizione razionale della sezione. Prendere la decisione 1. Determinazione delle reazioni dei supporti delle travi. 2. Costruzione dei lotti Q e M. I lotti sono mostrati in fig. 1.20, in, g. Il momento flettente (modulo) maggiore si verifica nella sezione "b". In questa sezione, le fibre tese si trovano nella parte superiore. La maggior parte del materiale dovrebbe trovarsi nella zona elastica. Pertanto, è razionale disporre la sezione della trave come mostrato in Fig. 1.20, b. 3. Determinazione della posizione del baricentro della sezione (per analogia con l'esempio precedente): 4. Determinazione del momento d'inerzia della sezione rispetto all'asse neutro: 5. Determinazione delle dimensioni richieste della trave sezione dalla condizione di resistenza per sollecitazioni normali. Indichiamo con y, rispettivamente, le distanze dall'asse neutro ai punti più distanti nelle zone di trazione e compressione (per la sezione B): , allora i punti della zona tesa più distanti dall'asse neutro sono pericolosi. Componiamo la condizione di resistenza per il punto m nella sezione B: o dopo aver sostituito i valori numerici In questo caso, le sollecitazioni nel punto n, il più distante dall'asse neutro nella zona compressa (nella sezione B), saranno, MPa . La trama M è ambigua. È necessario verificare la forza della trave nella sezione C. Ecco il momento B ma le fibre inferiori sono tese. Il punto n sarà un punto pericoloso: In questo caso, le sollecitazioni al punto m saranno infine tratte dai calcoli Il diagramma delle sollecitazioni normali per un tratto pericoloso C è mostrato in fig. 1.21. Riso. 1.21 1.5. Principali sollecitazioni flettenti. Verifica completa della resistenza delle travi Sopra, vengono considerati esempi di calcolo della resistenza delle travi in ​​base alle sollecitazioni normali e di taglio. Nella stragrande maggioranza dei casi, questo calcolo è sufficiente. Tuttavia, nelle travi a parete sottile delle sezioni di trave a I, trave a T, canale e scatola, si verificano notevoli sollecitazioni di taglio alla giunzione della parete con la flangia. Ciò avviene nei casi in cui alla trave viene applicata una forza trasversale significativa e ci sono sezioni in cui M e Q sono simultaneamente grandi. Una di queste sezioni sarà pericolosa ed è controllata 34 dalle principali sollecitazioni utilizzando una delle teorie della resistenza. Il controllo della resistenza delle travi per le sollecitazioni normali, tangenziali e principali è chiamato controllo della resistenza completa delle travi. Tale calcolo è discusso di seguito. Il principale è il calcolo della trave in base alle sollecitazioni normali. La condizione di resistenza per le travi, il cui materiale resiste ugualmente alla tensione e alla compressione, ha la forma [ ]─ sollecitazione normale ammissibile per il materiale. Dalla condizione di forza (1) determinare dimensioni richieste sezione della trave. Le dimensioni selezionate della sezione della trave vengono verificate per le sollecitazioni di taglio. La condizione di resistenza per le sollecitazioni di taglio ha la forma (formula di D. I. Zhuravsky): dove Qmax è la forza trasversale massima presa dal diagramma Q; Szots.─ momento statico (relativo all'asse neutro) della parte di taglio della sezione trasversale, situata su un lato del livello in cui vengono determinate le sollecitazioni di taglio; I z ─ momento d'inerzia dell'intera sezione trasversale rispetto all'asse neutro; b─ larghezza della sezione della trave al livello in cui sono determinate le sollecitazioni di taglio; ─ sollecitazione di taglio ammissibile del materiale durante la flessione. Lo stress test normale si riferisce al punto più lontano dall'asse neutro nella sezione in cui è valido Mmax. La prova di resistenza al taglio si riferisce ad un punto situato sull'asse neutro nella sezione in cui è valido Qmax. Nelle travi con sezione a parete sottile (trave a I, ecc.), un punto situato nel muro nella sezione in cui M e Q sono entrambi grandi può essere pericoloso. In questo caso, la prova di resistenza viene eseguita in base alle principali sollecitazioni. Le sollecitazioni di taglio principali ed estreme sono determinate dalle dipendenze analitiche ottenute dalla teoria dello stato tensionale piano dei corpi: Ad esempio, secondo la terza teoria delle maggiori sollecitazioni di taglio, abbiamo Dopo aver sostituito i valori delle principali sollecitazioni, otteniamo infine (1.23) Secondo la quarta teoria energetica della forza, la condizione di resistenza ha la forma (1.24 ) Dalle formule (1.6) e (1.7) si può vedere che la sollecitazione di progetto Eqv dipende. Pertanto, un elemento del materiale della trave è soggetto a verifica, per la quale saranno contemporaneamente di grandi dimensioni. Ciò avviene in questi casi: 1) il momento flettente e la forza trasversale raggiungono il valore più grande nella stessa sezione; 2) la larghezza della trave cambia drasticamente vicino ai bordi della sezione (trave a I, ecc.). Se queste condizioni non si verificano, è necessario considerare diverse sezioni in cui i valori più alti di equiv. Esempio 1.10 Una trave saldata di sezione trasversale di trave a I con una luce di l = 5 m, liberamente supportata alle estremità, è caricata con un carico uniformemente distribuito di intensità q e una forza concentrata P 5qa, applicata ad una distanza a = 1 m dal supporto destro (Fig. 1.22). Determinare il carico ammissibile sulla trave dalla condizione di resistenza per sollecitazioni normali e verificare le sollecitazioni tangenziali e principali secondo 36 della 4a (energia) teoria della resistenza. Costruire diagrammi in una sezione pericolosa in base alle principali sollecitazioni e indagare lo stato tensionale dell'elemento selezionato nella parete in prossimità della flangia nella sezione specificata. Sollecitazione di trazione e compressione ammessa: alla flessione 160 MPa; e per un turno di 100 MPa. Riso. 1.22 Soluzione 1. Determinazione delle reazioni degli appoggi della trave: 2. Costruzione dei diagrammi M e Q per sezioni caratteristiche (punti): 3. Calcolo delle caratteristiche geometriche della sezione della trave. a) Momento d'inerzia assiale della sezione rispetto all'asse neutro z: 37 b) Momento di resistenza assiale rispetto all'asse neutro z: 4. Determinazione del carico ammissibile sulla trave dalla condizione di resistenza per sollecitazioni normali: Carico ammissibile sulla trave 5. Verifica della resistenza della trave per sollecitazioni di taglio secondo la formula D.I.Zhuravsky Momento statico di semisezione di una trave a I rispetto all'asse neutro z: Larghezza della sezione al livello del punto 3: Forza trasversale massima Sollecitazione di taglio massima nella trave 6. Verifica della resistenza della trave in funzione delle principali sollecitazioni. Pericoloso in termini di sollecitazioni principali è il tratto D, in cui M e Q sono entrambi grandi, ei punti pericolosi in questo tratto sono i punti 2 e 4, dove  e  sono contemporaneamente grandi (Fig. 1.23). Per i punti 2 e 4, controlliamo la resistenza per le sollecitazioni principali utilizzando la 4a teoria della resistenza dove  (2) e (2) sono le sollecitazioni normali e di taglio rispettivamente al punto 2 (4) (Fig. 1.2). Riso. 1.23 distanza dall'asse neutro al punto 2. dove Sz po(lk ─) è il momento statico dello scaffale rispetto all'asse neutro z. cm ─ larghezza della sezione lungo la linea passante per il punto 3. Sollecitazioni equivalenti secondo la 4a teoria della resistenza al punto 2 della sezione D: La condizione di resistenza secondo la 4a teoria della resistenza è soddisfatta. 7. Costruzione di diagrammi delle sollecitazioni di taglio normali, tangenziali, principali ed estreme nella sezione pericolosa D (basate sulle sollecitazioni principali). a) calcoliamo le sollecitazioni nei punti (1-5) della sezione D secondo le formule corrispondenti. Punto 2 (nella parete) In precedenza sono stati calcolati i valori delle sollecitazioni normali e di taglio al punto 2. Troviamo le sollecitazioni di taglio principali ed estreme nello stesso punto 2: Punto 3. Tensioni normali e di taglio al punto 3: Il sollecitazioni di taglio principali ed estreme al punto 3: Allo stesso modo, le tensioni si trovano ai punti 4 e 5. Sulla base dei dati ottenuti, costruiamo diagrammi, max. 8. Lo stato tensionale dell'elemento selezionato in prossimità del punto 2 della sezione D è mostrato in fig. 1.24, l'angolo di inclinazione delle piattaforme principali 1.6. Il concetto del centro di flessione Come accennato in precedenza, le sollecitazioni di taglio nelle sezioni trasversali delle barre a parete sottile durante la flessione (ad esempio una trave a I o un canale) sono determinate dalla formula In fig. 194 mostra i diagrammi delle sollecitazioni di taglio in una sezione a I. Utilizzando la tecnica descritta nel paragrafo 63, è possibile tracciare 41 anche per il canale. Si consideri il caso in cui il canale è incassato nel muro e all'altra estremità è caricato con una forza P applicata al baricentro della sezione. Riso. 1.25 La vista generale del diagramma τ in ogni sezione è mostrata in fig. 1.25 a. Le sollecitazioni di taglio τу compaiono nella parete verticale. Come risultato dell'azione delle sollecitazioni τу, si genera una forza di taglio totale T2 (Fig. 1.25, b). Se trascuriamo le sollecitazioni tangenziali τу negli scaffali, allora possiamo scrivere un'uguaglianza approssimativa Negli scaffali orizzontali, sorgono le sollecitazioni di taglio τx, che sono dirette orizzontalmente. La maggiore sollecitazione di taglio nella flangia τx max è Qui S1OTS è il momento statico dell'area della flangia rispetto all'asse Ox: Pertanto, la forza di taglio totale nella flangia è determinata come l'area del diagramma della sollecitazione di taglio moltiplicata per il spessore della flangia Esattamente la stessa forza di taglio agisce sulla flangia inferiore come sopra, ma è diretta nella direzione opposta. Due forze T1 formano una coppia con il momento (1.25) Pertanto, a causa delle sollecitazioni di taglio τу e τх, compaiono tre forze di taglio interne, che sono mostrate in Fig. 1.25 b. Si può vedere da questa figura che le forze T1 e T2 tendono a ruotare la sezione del canale rispetto al baricentro nella stessa direzione. Riso. 1.25 Pertanto, nella sezione del canale è presente una coppia interna diretta in senso orario. Quindi, quando una trave del canale viene piegata da una forza applicata al baricentro della sezione, la trave si attorciglia contemporaneamente. Le tre forze tangenziali possono essere ridotte al vettore principale e al momento principale. L'entità del momento principale dipende dalla posizione del punto in cui vengono portate le forze. Si scopre che si può scegliere un punto A rispetto al quale il momento principale è uguale a zero. Questo punto è chiamato centro della curva. Uguagliando il momento delle forze tangenziali a zero: otteniamo Tenendo conto dell'espressione (1.25), troviamo infine la distanza dall'asse della parete verticale al centro della curva: Se viene applicata una forza esterna non al baricentro della sezione, ma al centro della curva, creerà lo stesso momento relativo al baricentro per creare le forze tangenziali interne, ma solo di segno opposto. Con tale carico (Fig. 1.25, c), il canale non si torce, ma si piega solo. Ecco perché il punto A è chiamato il centro della curva. Una presentazione dettagliata del calcolo delle aste a parete sottile è data nel cap. XIII. 1.7. Determinazione degli spostamenti nelle travi durante la flessione. Concetti di deformazione delle travi e condizioni della loro rigidità Sotto l'azione di un carico esterno, la trave si deforma e il suo asse è piegato. La curva in cui gira l'asse della trave dopo l'applicazione del carico è chiamata linea elastica, a condizione che le sollecitazioni della trave non superino il limite proporzionale. A seconda della direzione del carico, della posizione dei diagrammi, la linea elastica può avere un rigonfiamento verso l'alto (Fig. 1.26, a), verso il basso (Fig. 1.26, b) o un aggregato (Fig. 1.26, c). In questo caso, i baricentro delle sezioni trasversali si spostano rispettivamente verso l'alto o verso il basso e le sezioni stesse ruotano rispetto all'asse neutro, rimanendo perpendicolari all'asse curvo della trave (Fig. 1.26, a). A rigor di termini, anche i baricentro delle sezioni trasversali si muovono nella direzione dell'asse longitudinale della trave. Tuttavia, vista l'esiguità di questi spostamenti per le travi, essi vengono trascurati, ovvero considerano che il baricentro della sezione si muova perpendicolarmente all'asse della trave. Indichiamo questo spostamento con y, e in futuro lo capiremo come la deflessione del raggio (vedi Fig. 1.26). La deflessione di una trave in una determinata sezione è lo spostamento del baricentro della sezione in una direzione perpendicolare all'asse della trave. Riso. 1.26 Le flessioni nelle varie sezioni della trave dipendono dalla posizione delle sezioni e hanno un valore variabile. Quindi, per una trave (Fig. 1.26, a) nel punto B, la deflessione avrà un valore massimo e nel punto D sarà zero. Come già notato, insieme allo spostamento del baricentro della sezione, le sezioni ruotano rispetto all'asse neutro della sezione. L'angolo di rotazione della sezione rispetto alla sua posizione originale è chiamato angolo di rotazione della sezione. Indicheremo l'angolo di rotazione attraverso (Fig. 1.26a). Poiché, quando una trave è piegata, la sezione trasversale rimane sempre perpendicolare al suo asse piegato, l'angolo di rotazione può essere rappresentato come l'angolo tra la tangente all'asse piegato in un dato punto e l'asse originario della trave (Fig. 1.26, a) o perpendicolare all'asse originario e piegato della trave nel punto in questione. Anche l'angolo di rotazione della sezione per le travi è una variabile. Ad esempio, per una trave (Fig. 1.26, b), ha un valore massimo negli appoggi incernierati e un valore minimo pari a 0 per una sezione in cui la deflessione ha un valore massimo. Per una trave a sbalzo (Fig. 1.26, a) l'angolo massimo di rotazione sarà alla sua estremità libera, cioè al punto B. Fornire operazione normale non ci sono abbastanza travi per soddisfare la condizione di resistenza. È inoltre necessario che le travi abbiano una rigidità sufficiente, ovvero che la deflessione e l'angolo di rotazione massimi non superino i valori consentiti determinati dalle condizioni operative delle travi. Questa posizione è chiamata condizione di rigidità delle travi in ​​flessione. In una breve forma matematica, le condizioni di rigidità hanno la forma: dove [y] e, di conseguenza, la deflessione e l'angolo di rotazione consentiti. 45 La deflessione ammissibile è solitamente data come parte della distanza tra gli appoggi della trave (lunghezza campata l), ovvero dove m è un coefficiente dipendente dal valore e dalle condizioni operative del sistema in cui questa trave viene utilizzata. In ogni ramo dell'ingegneria meccanica, questo valore è determinato da standard di progettazione e varia in un'ampia gamma. Come segue: - per travi gru m = 400 - 700; - per ponti ferroviari m = 1000; - per mandrini tornio m= 1000-2000. Gli angoli di rotazione consentiti per le travi di solito non superano 0,001 rad. Il lato sinistro delle equazioni (1.26) include la deflessione massima ymax e l'angolo di rotazione max, che sono determinati mediante calcolo sulla base di metodi noti: analitici, grafici e grafici, alcuni dei quali sono discussi di seguito. 1.8. L'equazione differenziale dell'asse piegato della trave Sotto l'azione di forze esterne, l'asse della trave viene piegato (vedi Fig. 1.26, a). Quindi l'equazione dell'asse piegato della trave può essere scritta nella forma e l'angolo di rotazione  per ogni sezione sarà uguale all'angolo la pendenza della tangente all'asse curvo in un dato punto. La tangente di questo angolo è numericamente uguale alla derivata della deflessione lungo l'ascissa della sezione corrente x, cioè poiché le deviazioni della trave sono piccole rispetto alla sua lunghezza l (vedi sopra), si può presumere che l'angolo di rotazione (1.27) Nel derivare la formula per le sollecitazioni normali durante la flessione, si è riscontrato che esiste la seguente relazione tra la curvatura dello strato neutro e il momento flettente: Questa formula mostra che la curvatura cambia lungo la lunghezza della trave secondo il stessa legge che cambia il valore di Mz. Se una trave di sezione costante subisce una flessione pura (Fig. 5.27), in cui il momento lungo la lunghezza non cambia, la sua curvatura: Pertanto, per tale trave, anche il raggio di curvatura è un valore costante e la trave in questo il caso si piegherà lungo un arco di cerchio. Tuttavia, nel caso generale, non è possibile applicare direttamente la legge di variazione della curvatura per determinare le deviazioni. Per la soluzione analitica del problema, utilizziamo l'espressione di curvatura nota dalla matematica. (1.29) Sostituendo (1.28) in (1.29), otteniamo l'esatto equazione differenziale asse della trave curva: . (1.30) L'equazione (1.30) non è lineare e la sua integrazione è associata a grandi difficoltà. Considerando che le flessioni e gli angoli di rotazione per le travi reali utilizzate nell'ingegneria meccanica, nell'edilizia, ecc. piccolo, il valore può essere trascurato. Tenendo presente questo, oltre al fatto che per il sistema di coordinate corretto, il momento flettente e la curvatura hanno lo stesso segno (Fig. 1.26), quindi per il sistema di coordinate corretto, il segno meno nell'equazione (1.26) può essere omesso . Allora l'equazione differenziale approssimativa avrà la forma 1.9. Metodo di integrazione diretta Questo metodo si basa sull'integrazione dell'equazione (1.31) e consente di ottenere l'equazione dell'asse elastico della trave sotto forma di deflessioni y f (x) e l'equazione degli angoli di rotazione Integrando l'equazione (1.31) per la prima volta otteniamo l'equazione degli angoli di rotazione (1.32) dove C è la costante di integrazione . Integrando una seconda volta, otteniamo l'equazione di deflessione dove D è la seconda costante di integrazione. Le costanti C e D sono determinate dalle condizioni al contorno del supporto della trave e dalle condizioni al contorno delle sue sezioni. Quindi per una trave (Fig. 1.26, a), nel punto di inclusione (x l), la deflessione e l'angolo di rotazione della sezione sono uguali a zero, e per la trave (vedi Fig. 1.26, b) la deflessione y e deflessione yD 0, a x .l di una trave appoggiata con mensole (Fig. 1.28), quando l'origine delle coordinate è allineata con l'estremità del supporto sinistro e viene scelto il sistema di coordinate destro, le condizioni al contorno assumono la forma Taking into tenendo conto delle condizioni al contorno, si determinano le costanti di integrazione. Dopo aver sostituito le costanti di integrazione nelle equazioni degli angoli di rotazione (1.32) e delle flessioni (1.33), vengono calcolati gli angoli di rotazione e le flessioni della sezione data. 1.10. Esempi di determinazione degli spostamenti nelle travi mediante integrazione diretta Esempio 1.11 Determinare la massima deflessione e angolo di rotazione per una trave a sbalzo (Fig. 1.26, a). Soluzione L'origine delle coordinate è allineata con l'estremità sinistra della trave. Il momento flettente in una sezione arbitraria ad una distanza x dall'estremità sinistra della trave è calcolato con la formula Tenendo conto del momento, l'equazione differenziale approssimativa ha la forma Integrando per la prima volta, abbiamo (1.34) Integrando per il la seconda volta che si trovano le costanti di integrazione C e D, l'equazione degli angoli di rotazione e di deviazione sarà simile a: Quando (vedi Fig. 1.26, a) l'angolo di rotazione e la deviazione hanno valori massimi: lancetta delle ore. Un valore y negativo significa che il baricentro della sezione si sposta verso il basso. 1.11. Il significato fisico delle costanti di integrazione Se passiamo alle equazioni (1.32), (1.33) e (1.34), (1.35) degli esempi sopra considerati, è facile vedere che per x 0 seguono Quindi, possiamo concludere che le costanti di integrazione C e D sono il prodotto della rigidezza della trave, rispettivamente, per l'angolo di rotazione 0 e la deflessione y0 all'origine. Le dipendenze (1.36) e (1.37) sono sempre valide per travi con una sezione di carico, se calcoliamo il momento flettente dalle forze poste tra la sezione e l'origine. Lo stesso vale per le travi con un numero qualsiasi di sezioni di carico, se utilizziamo metodi speciali per integrare l'equazione differenziale dell'asse di flessione della trave, che verrà discussa di seguito. 1.12. Metodo dei parametri iniziali (equazione universale dell'asse di flessione della trave) Quando si determinano le flessioni e gli angoli di rotazione per integrazione diretta, è necessario trovare due costanti di integrazione C e D anche nei casi in cui la trave ha una sezione di carico. In pratica si utilizzano travi con più zone di carico. In questi casi, la legge del momento flettente sarà diversa nelle diverse aree di carico. Quindi l'equazione differenziale dell'asse curvo dovrà essere compilata per ciascuna delle sezioni della trave e per ciascuna di esse trovare le proprie costanti di integrazione C e D. Ovviamente, se la trave ha n sezioni di carico, il numero di costanti di integrazione sarà pari al doppio del numero di sezioni. Per determinarli, sarà necessario risolvere 2 equazioni. Questo compito è ad alta intensità di lavoro. Per risolvere problemi che hanno più di un'area di carico, si è diffuso il metodo dei parametri iniziali, che è uno sviluppo del metodo dell'integrazione diretta. Si scopre che osservando determinate condizioni, metodi di compilazione e integrazione di equazioni su sezioni, è possibile ridurre il numero di costanti di integrazione, indipendentemente dal numero di sezioni di carico, a due, che rappresentano la deflessione e l'angolo di rotazione al origine. Considera l'essenza di questo metodo usando l'esempio di una trave a sbalzo (Fig. 1.28), caricata con un carico arbitrario, ma creando momento positivo in qualsiasi sezione della trave. Sia data una trave di sezione costante, mentre la sezione ha un asse di simmetria coincidente con l'asse y, e l'intero carico si trova su un piano passante per questo asse. Impostiamo l'attività per stabilire le dipendenze che determinano l'angolo di rotazione e la deflessione di una sezione arbitraria della trave. Riso. 1.29 Quando si risolvono i problemi, concorderemo: 1. L'origine delle coordinate sarà associata all'estremità sinistra della trave ed è comune a tutte le sezioni. 2. Il momento flettente in una sezione arbitraria sarà sempre calcolato per la sezione della trave situata a sinistra della sezione, cioè tra l'origine e la sezione. 3. L'integrazione dell'equazione differenziale dell'asse curvo su tutti i segmenti sarà effettuata senza aprire le parentesi di alcune espressioni contenenti parentesi. Quindi, ad esempio, l'integrazione di un'espressione della forma P x(b) viene eseguita senza aprire parentesi, cioè secondo la formula seguente. L'integrazione con questa formula differisce dall'integrazione con l'apertura preliminare di parentesi solo per il valore di un costante arbitraria. 4. Quando si compila l'espressione per il momento flettente in una sezione arbitraria, causata dal momento concentrato esterno M, si aggiunge il fattore (x)a0 1. Aderendo a queste regole, componiamo e integriamo un'equazione differenziale approssimativa per ciascuna delle cinque sezioni della trave indicate in Fig. 1,28 in numeri romani. L'equazione differenziale approssimativa per queste sezioni ha la stessa forma: (1.38) ma per ogni sezione il momento flettente ha una sua legge di variazione. I momenti flettenti per le sezioni hanno la forma: Sostituendo le espressioni del momento flettente nell'equazione (1.38), per ciascuna delle sezioni dopo l'integrazione si ottengono due equazioni: l'equazione degli angoli di rotazione e l'equazione di deflessione, che includerà la loro due costanti di integrazione Ci e Di . In considerazione del fatto che la trave ha cinque sezioni, ci saranno dieci di queste costanti di integrazione. Tuttavia, tenendo conto che l'asse piegato della trave è una linea continua ed elastica, quindi ai confini delle sezioni vicine, la deflessione e l'angolo di rotazione hanno gli stessi valori, cioè a ecc. Per questo motivo, da un confrontando le equazioni degli angoli di rotazione e delle inflessioni di sezioni adiacenti, otteniamo che le costanti di integrazione Quindi, invece di dieci costanti di integrazione, per risolvere il problema, è necessario determinare solo due costanti di integrazione C e D . Dalla considerazione delle equazioni integrali della prima sezione segue che per x 0: i.e. rappresentano le stesse dipendenze (1. 36) e (1.37). I parametri iniziali 0 e y0 о sono determinati dalle condizioni al contorno, che sono state discusse nella sezione precedente. Analizzando le espressioni ottenute per gli angoli di rotazione e le deviazioni y, vediamo che la maggior parte forma generale equazioni corrisponde alla quinta sezione. Tenendo conto delle costanti di integrazione, queste equazioni hanno la forma: la prima di queste equazioni rappresenta l'equazione degli angoli di rotazione e la seconda - le deviazioni. Poiché più di una forza concentrata può agire su una trave, un momento o una trave può avere più di una sezione con carico distribuito, allora per il caso generale le equazioni (1.38), (1.39) saranno scritte nella forma: Equazioni ( 1.41), (1.42) sono dette equazioni universali dell'asse curvo della trave. La prima di queste equazioni è l'equazione dell'angolo di rotazione e la seconda è l'equazione della deflessione. Con l'aiuto di queste equazioni, è possibile determinare le flessioni e gli angoli di rotazione delle sezioni per eventuali travi staticamente determinate, per le quali la rigidezza lungo la loro lunghezza è costante EI  cost. Nelle equazioni (1.41), (1.42): M , P , q , qx ─ carico esterno posto tra l'origine delle coordinate e la sezione in cui sono determinati gli spostamenti (angolo di rotazione e deflessione); a, b, c, d ─ distanze dall'origine delle coordinate ai punti di applicazione, rispettivamente, del momento M, della forza concentrata P, dell'inizio di un carico distribuito uniformemente e dell'inizio di un carico distribuito in modo non uniforme. È necessario prestare attenzione a: 53 1. Con la direzione opposta del carico esterno, che è accettata quando si ricavano equazioni universali, il segno davanti al termine corrispondente delle equazioni cambia nel contrario, cioè in meno. 2. Gli ultimi due termini delle equazioni (1.41), (1.42) sono validi solo se il carico distribuito non si rompe prima della sezione in cui sono determinati la deflessione e l'angolo di rotazione. Se il carico non raggiunge questa sezione, è necessario continuare in questa sezione e allo stesso tempo aggiungere lo stesso carico distribuito, ma di segno opposto, alla sezione estesa, questa idea è spiegata in Fig. 1.30. La linea tratteggiata mostra il carico distribuito aggiunto sulla sezione estesa. Riso. 1.30 Quando si determinano gli angoli di rotazione  e le deviazioni y, l'origine delle coordinate deve essere posizionata all'estremità sinistra della trave, dirigendo l'asse y verso l'alto e l'asse x ─ verso destra. Nell'equazione degli angoli di rotazione e delle deviazioni sono incluse solo le forze che si trovano a sinistra della sezione, ad es. sulla sezione della trave compresa tra l'origine e la sezione in cui si determina la deflessione e l'angolo di rotazione (comprese le forze agenti nella sezione coincidente con l'origine). 1.13. Esempi di determinazione degli spostamenti in una trave utilizzando il metodo dei parametri iniziali Esempio 1.12 Per una trave (Fig. 1.31), schiacciata dall'estremità sinistra e caricata con una forza concentrata P, determinare l'angolo di rotazione e deflessione nel punto di applicazione di la forza, così come l'estremità libera (sezione D). Rigidità della trave Fig. 1.31 Soluzione dell'equazione di equilibrio della statica: 1) Si noti che il momento reattivo è diretto in senso antiorario, quindi entrerà nell'equazione dell'asse curvo con un segno meno. 2. Combiniamo l'origine delle coordinate con il punto B e impostiamo i parametri iniziali. Nel pinching ()B, la deflessione e l'angolo di rotazione sono assenti, cioè 0 0. Scriviamo l'equazione degli angoli di rotazione e delle deviazioni per una sezione arbitraria della seconda sezione, poste ad una distanza x dall'origine delle coordinate Tenendo conto delle forze reattive, oltre che dei parametri iniziali zero, queste equazioni hanno la forma girando sul supporto destro di una trave caricata a metà della campata con una forza concentrata ( Fig. 1.32). Soluzione 1. Determinare le reazioni del supporto Dalle equazioni della statica abbiamo B 2. Posizionare l'origine all'estremità sinistra della trave (punto B). Riso. 1.32 3. Impostare i parametri iniziali. Flessione all'origine By0, poiché il supporto non consente il movimento verticale. Va notato che se il supporto fosse caricato a molla, la deflessione all'origine sarebbe uguale allo sformo della deformazione della molla. L'angolo di rotazione all'origine non è uguale a zero, cioè 4. Determinare l'angolo di rotazione all'origine 0 . Per fare ciò utilizziamo la condizione che in x l la deflessione sia uguale a zero yD 0: 3 Poiché la trave è simmetrica rispetto al carico P, l'angolo di rotazione sul supporto destro è uguale all'angolo di rotazione sul supporto sinistro. 2 BD 16z Pl EI . La deflessione massima sarà al centro della trave in x. Pertanto, Esempio 1.14 Determinare la deflessione al centro della campata e all'estremità destra della trave (Fig. 1.33), se la trave è costituita da una trave a I n. 10 (momento di inerzia Iz 198 csmm4), caricata con un carico distribuito q 2, N / m, momento concentrato M forza. P kkNN Fig. 1.33 Soluzione 1 . Determiniamo le reazioni di supporto Da dove Verifica della correttezza della determinazione delle reazioni 2. Uniamo l'origine delle coordinate con il punto B e impostiamo i parametri iniziali. Dalla fig. 1.33 ne consegue che all'origine delle coordinate la deflessione y0 0 e l'angolo di rotazione. 57 3. Determinare i parametri iniziali y0 e 0 . Per fare ciò, utilizziamo le condizioni al contorno, che in: Per implementare le condizioni al contorno, componiamo l'equazione di un asse curvo. per due sezioni: sezione BC 0 mm1: Nella scrittura di questa equazione si è tenuto conto che il carico distribuito è stato tagliato nel punto C, quindi, secondo quanto sopra, si è proseguito ed è stato introdotto un carico di compensazione della stessa entità nella sezione estesa, ma nella direzione opposta. Tenendo conto delle condizioni al contorno (punto 3) e del carico, le equazioni (1.43) e (1.44) hanno la forma: Dalla soluzione congiunta di queste equazioni abbiamo 4. Determiniamo la deflessione nelle sezioni K ed E. Per la sezione K a x 2 mm abbiamo 1.14. Determinazione dei movimenti con il metodo di Mohr Regola A.K. Il metodo di Vereshchagin Mohr è metodo generale determinazione degli spostamenti in sistemi a stelo deformabili linearmente. La definizione degli spostamenti (lineari, angolari) nelle sezioni calcolate viene effettuata secondo la formula di Mohr (integrale), che è facilmente ottenibile in base al teorema della reciprocità del lavoro (teorema di Betti) e al teorema della reciprocità degli spostamenti (teorema di Maxwell). Sia dato, ad esempio, un sistema elastico piatto sotto forma di una trave (Fig. 1.34), caricato con un carico arbitrario piatto e bilanciato. Lo stato dato del sistema sarà chiamato stato del carico e indicato con la lettera P . Sotto l'azione di un carico esterno, si verificherà una deformazione e si verificheranno spostamenti nel punto K, in particolare, nella direzione perpendicolare all'asse - deflessione cr. Introduciamo un nuovo stato (ausiliario) dello stesso sistema, ma caricato nel punto K nella direzione dello spostamento desiderato  (cr) da un'unica forza adimensionale (Fig. 1.34). Questo stato del sistema sarà indicato dalla lettera i e sarà chiamato stato singolo. 59 fig. 1.34 Basato sul teorema di Betti lavoro possibile le forze di stato del carico pi A e le forze di stato singolo pi A sono uguali a (1.45) 1.45) abbiamo (1.48) dove M p , Qp, Np ─, rispettivamente, il momento flettente, le forze trasversali e longitudinali derivanti nel sistema da un esterno carico; Mi, Qi, Ni sono, rispettivamente, il momento flettente, le forze trasversali e longitudinali derivanti nel sistema da un carico unitario applicato nella direzione dello spostamento che si sta determinando; k ─ coefficiente che tiene conto della non uniformità delle sollecitazioni di taglio sulla sezione; I ─ momento d'inerzia assiale rispetto all'asse centrale principale; A─ area della sezione trasversale dell'asta nella sezione; 60 E , G ─ moduli di elasticità del materiale. La distribuzione irregolare delle sollecitazioni di taglio nella sezione dipende dalla forma della sezione. Per sezioni rettangolari e triangolari k 1.2, sezione circolare k 1.11, sezione circolare anulare k 2. La formula (1.48) consente di determinare lo spostamento in qualsiasi punto di un sistema elastico piatto. Quando determiniamo la deflessione nella sezione (K), applichiamo a questo punto una forza unitaria (adimensionale). Nel caso di determinazione dell'angolo di rotazione della sezione nel punto K, è necessario applicare un unico momento adimensionale

Costruire un diagramma Q.

Costruiamo un diagramma M metodo punti caratteristici. Disponiamo i punti sulla trave: questi sono i punti di inizio e fine della trave ( D,A ), momento concentrato ( B ), e notare anche come punto caratteristico il centro di un carico uniformemente distribuito ( K ) è un punto aggiuntivo per la costruzione di una curva parabolica.

Determina i momenti flettenti nei punti. Regola dei segni centimetro. - .

Il momento dentro A sarà definito come segue. Per prima cosa definiamo:

punto Per entriamo mezzo zona a carico uniformemente distribuito.

Costruire un diagramma M . Complotto AB – curva parabolica(regola dell'"ombrello"), trama BD – linea obliqua diritta.

Per una trave, determinare le reazioni del supporto e tracciare i diagrammi del momento flettente ( M) e forze di taglio ( Q).

1. Designiamo supporta lettere MA e A e dirigere le reazioni di supporto RA e RB .

Compilazione equazioni di equilibrio.

Visita medica

Annota i valori RA e RB sul schema di calcolo.

2. Tracciare forze trasversali metodo sezioni. Inseriamo le sezioni zone caratteristiche(tra le modifiche). Secondo il filo dimensionale - 4 sezioni, 4 sezioni.

sec. 1-1 muoversi sinistra.

La sezione passa attraverso la sezione con carico distribuito uniformemente, nota la dimensione z 1 a sinistra della sezione prima dell'inizio della sezione. Lunghezza terreno 2 m. Regola dei segni per Q - centimetro.

Costruiamo sul valore trovato diagrammaQ.

sec. 2-2 si sposta a destra.

La sezione attraversa nuovamente l'area con un carico uniformemente distribuito, notare la dimensione z 2 a destra della sezione all'inizio della sezione. Lunghezza terreno 6 m.

Costruire un diagramma Q.

sec. 3-3 si sposta a destra.

sec. 4-4 si sposta a destra.

Stiamo costruendo diagrammaQ.

3. Costruzione diagrammi M metodo punti caratteristici.

punto caratteristico- un punto, qualsiasi visibile sulla trave. Questi sono i punti MA, A, DA, D , così come il punto Per , in cui Q=0 e il momento flettente ha un estremo. anche in mezzo console ha inserito un punto aggiuntivo e, poiché in quest'area sotto un carico uniformemente distribuito il diagramma M descritto storto linea, ed è costruito, almeno, secondo 3 punti.

Quindi, posizionati i punti, procediamo a determinare i valori in essi momenti flettenti. Regola dei segni - vedi..

Trame NA, d.C – curva parabolica(la “regola dell'ombrello” per le specialità meccaniche o la “regola della vela” per l'edilizia), sezioni CC, SW – linee rette oblique.

Momento ad un punto D dovrebbe essere determinato sia a sinistra che a destra dal punto D . Il momento stesso in queste espressioni Escluso. Al punto D noi abbiamo Due valori da differenza per l'importo m – salto alle sue dimensioni.

Ora dobbiamo determinare il momento nel punto Per (Q=0). Tuttavia, prima definiamo posizione del punto Per , che denota la distanza da esso all'inizio della sezione con l'ignoto X .

T. Per appartiene secondo zona caratteristica, equazione della forza di taglio(vedi sopra)

Ma la forza trasversale in t. Per è uguale a 0 , un z 2 è uguale a sconosciuto X .

Otteniamo l'equazione:

Ora sapendo X, determinare il momento in un punto Per dal lato giusto.

Costruire un diagramma M . La costruzione è fattibile per meccanico specialità, rimandando i valori positivi su dalla linea zero e utilizzando la regola "ombrello".

Per un dato schema di una trave a sbalzo, è necessario tracciare i diagrammi della forza trasversale Q e del momento flettente M, eseguire un calcolo di progetto selezionando una sezione circolare.

Materiale - legno, resistenza di progetto del materiale R=10MPa, M=14kN m, q=8kN/m

Ci sono due modi per costruire diagrammi in una trave a sbalzo con terminazione rigida - quello usuale, avendo preventivamente determinato le reazioni di appoggio, e senza determinare le reazioni di appoggio, se consideriamo le sezioni, partendo dall'estremità libera della trave e scartando le parte sinistra con la risoluzione. Costruiamo diagrammi ordinario modo.

1. Definisci reazioni di supporto.

Carico distribuito uniformemente q sostituire la forza condizionale Q=q 0,84=6,72 kN

In un inserimento rigido, ci sono tre reazioni di supporto: verticale, orizzontale e momento, nel nostro caso, la reazione orizzontale è 0.

Cerchiamo verticale reazione di supporto RA e momento di riferimento M UN dalle equazioni di equilibrio.

Nelle prime due sezioni a destra non c'è forza trasversale. All'inizio di una sezione con carico uniformemente distribuito (a destra) Q=0, nella parte posteriore - l'entità della reazione RA.
3. Per costruire, comporremo espressioni per la loro definizione su sezioni. Tracciamo il diagramma del momento sulle fibre, ad es. fino in fondo.

(la trama dei singoli momenti è già stata costruita in precedenza)

Risolviamo l'equazione (1), riduciamo di EI

Indeterminatezza statica rivelata, viene trovato il valore della reazione "extra". Puoi iniziare a tracciare i diagrammi Q e M per una trave staticamente indeterminata... Disegnamo lo schema della trave dato e indichiamo il valore di reazione Rb. In questo raggio, le reazioni nella terminazione non possono essere determinate se si va a destra.

Costruzione trame Q per un raggio staticamente indeterminato

Trama Q.

Complotto M

Definiamo M al punto di extremum - al punto Per. Per prima cosa, definiamo la sua posizione. Indichiamo la distanza ad esso come sconosciuta " X". Quindi

Tracciamo M.

Determinazione delle sollecitazioni di taglio in una sezione a I. Considera la sezione Io-fascio. S x \u003d 96,9 cm 3; Yx=2030 cm 4; Q=200 kN

Per determinare lo sforzo di taglio, viene utilizzato formula, dove Q è la forza trasversale nella sezione, S x 0 è il momento statico della parte della sezione trasversale situata su un lato dello strato in cui sono determinate le sollecitazioni di taglio, I x è il momento d'inerzia dell'intera croce sezione, b è la larghezza della sezione nel punto in cui viene determinata la sollecitazione di taglio

Calcolare massimo sforzo di taglio:

Calcoliamo il momento statico per ripiano superiore:

Ora calcoliamo sforzi di taglio:

Stiamo costruendo diagramma delle sollecitazioni di taglio:

Calcoli di progettazione e verifica. Per una trave con diagrammi costruiti delle forze interne, selezionare una sezione sotto forma di due canali dalla condizione di resistenza per sollecitazioni normali. Verificare la forza della trave utilizzando la condizione di resistenza al taglio e il criterio di resistenza all'energia. Dato:

Mostriamo una trave con built trame Q e M

Secondo il diagramma dei momenti flettenti, il pericoloso è sezione C, in cui M C \u003d M max \u003d 48,3 kNm.

Condizione di forza per sollecitazioni normali poiché questo raggio ha la forma σ max \u003d M C / W X ≤σ amm .È necessario selezionare una sezione da due canali.

Determinare il valore calcolato richiesto modulo di sezione assiale:

Per una sezione sotto forma di due canali, secondo accettare due canali №20a, il momento di inerzia di ciascun canale I x = 1670 cm 4, poi momento di resistenza assiale dell'intera sezione:

Sovratensione (sottotensione) nei punti pericolosi, calcoliamo secondo la formula: Allora otteniamo sottotensione:

Ora controlliamo la forza del raggio, in base a condizioni di resistenza alle sollecitazioni di taglio. Secondo diagramma delle forze di taglio pericoloso sono sezioni nella sezione BC e nella sezione D. Come si può vedere dal diagramma, Q max \u003d 48,9 kN.

Condizione di resistenza alle sollecitazioni di taglio sembra:

Per il canale n. 20 a: momento statico dell'area S x 1 \u003d 95,9 cm 3, momento d'inerzia della sezione I x 1 \u003d 1670 cm 4, spessore della parete d 1 \u003d 5,2 mm, spessore medio del ripiano t 1 \u003d 9,7 mm , altezza canale h 1 \u003d 20 cm, larghezza ripiano b 1 \u003d 8 cm.

Per trasversale sezioni di due canali:

S x \u003d 2S x 1 \u003d 2 95,9 \u003d 191,8 cm 3,

I x \u003d 2I x 1 \u003d 2 1670 \u003d 3340 cm 4,

b \u003d 2d 1 \u003d 2 0,52 \u003d 1,04 cm.

Determinazione del valore sforzo di taglio massimo:

τ max \u003d 48,9 10 3 191,8 10 -6 / 3340 10 -8 1,04 10 -2 \u003d 27 MPa.

Come visto, τmax<τ adm (27MPa<75МПа).

Di conseguenza, condizione di forza è soddisfatta.

Verifichiamo la forza del raggio secondo il criterio energetico.

Per considerazione diagrammi Q e M segue quello la sezione C è pericolosa, in quale M C =M max =48,3 kNm e Q C =Q max =48,9 kN.

Spendiamo analisi dello stato tensionale nei punti della sezione C

Definiamo sollecitazioni normali e di taglio a più livelli (contrassegnati nel diagramma di sezione)

Livello 1-1: y 1-1 =h 1 /2=20/2=10cm.

Normale e tangente voltaggio:

Principale voltaggio:

Livello 2-2: y 2-2 \u003d h 1 / 2-t 1 \u003d 20 / 2-0,97 \u003d 9,03 cm.

Principali sollecitazioni:

Livello 3-3: y 3-3 \u003d h 1 / 2-t 1 \u003d 20 / 2-0,97 \u003d 9,03 cm.

Sollecitazioni normali e di taglio:

Principali sollecitazioni:

Sollecitazioni di taglio estreme:

Livello 4-4: y 4-4 =0.

(al centro le sollecitazioni normali sono pari a zero, le sollecitazioni tangenziali sono massime, sono state riscontrate nella prova di resistenza per le sollecitazioni tangenziali)

Principali sollecitazioni:

Sollecitazioni di taglio estreme:

Livello 5-5:

Sollecitazioni normali e di taglio:

Principali sollecitazioni:

Sollecitazioni di taglio estreme:

Livello 6-6:

Sollecitazioni normali e di taglio:

Principali sollecitazioni:

Sollecitazioni di taglio estreme:

Livello 7-7:

Sollecitazioni normali e di taglio:

Principali sollecitazioni:

Sollecitazioni di taglio estreme:

Secondo i calcoli eseguiti diagrammi di sollecitazione σ, τ, σ 1 , σ 3 , τ max e τ min sono presentati in fig.

Analisi queste diagramma mostra, che si trova nella sezione trasversale della trave i punti pericolosi sono al livello 3-3 (o 5-5), in quale:

Usando criterio energetico di forza, noi abbiamo

Da un confronto delle sollecitazioni equivalenti e ammissibili, ne consegue che anche la condizione di resistenza è soddisfatta

(135,3 MPa<150 МПа).

La trave continua viene caricata in tutte le campate. Costruisci i diagrammi Q e M per una trave continua.

1. Definisci grado di incertezza statica travi secondo la formula:

n= Sop -3= 5-3 =2, dove Sop - il numero di reazioni sconosciute, 3 - il numero di equazioni di statica. Per risolvere questo raggio, è necessario due ulteriori equazioni.

2. Denota numeri supporta con zero In ordine ( 0,1,2,3 )

3. Denota numeri di intervallo dal primo In ordine ( v 1, v 2, v 3)

4. Ogni campata è considerata come raggio semplice e costruire diagrammi per ogni semplice trave Q e M. Di cosa si tratta raggio semplice, indicheremo con indice "0", che si riferisce a continuo raggio, indicheremo senza questo indice. Quindi, è la forza trasversale e il momento flettente per una trave semplice.

Ritenere trave della 1a campata

Definiamo reazioni fittizie per la trave della prima campata secondo formule tabulari (vedi tabella "Reazioni di supporto fittizie....»)

Trave 2a campata

Trave 3a campata

5. Componi 3 x equazione del momento per due punti– supporti intermedi – supporto 1 e supporto 2. Questo sarà due equazioni mancanti per risolvere il problema.

L'equazione dei 3 momenti in forma generale:

Per il punto (supporto) 1 (n=1):

Per il punto (supporto) 2 (n=2):

Sostituiamo tutti i valori noti, tenendo conto di ciò il momento sull'appoggio zero e sul terzo appoggio sono pari a zero, M 0 =0; M3=0

Quindi otteniamo:

Dividi la prima equazione per il fattore 4 per M 2

Dividiamo la seconda equazione per il fattore 20 per M 2

Risolviamo questo sistema di equazioni:

Sottraendo la seconda equazione dalla prima, otteniamo:

Sostituiamo questo valore in una qualsiasi delle equazioni e troviamo M2