Curva dritta. Piega trasversale piatta 1.1. Costruzione di diagrammi dei fattori di forza interni per travi 1.2. Costruzione dei diagrammi Q e M utilizzando le equazioni 1.3. Costruzione dei diagrammi Q e M mediante tratti caratteristici (punti) 1.4. Calcoli della resistenza a curva dritta travi 1.5. Principali sollecitazioni durante la flessione. Controllo completo della resistenza della trave 1.6. Il concetto di centro di flessione 1.7. Determinazione degli spostamenti nelle travi durante la flessione. Concetti di deformazione delle travi e condizioni della loro rigidezza 1.8. Equazione differenziale dell'asse curvo di una trave 1.9. Metodo integrazione diretta 1.10. Esempi di determinazione degli spostamenti nelle travi utilizzando il metodo dell'integrazione diretta 1.11. Significato fisico costanti di integrazione 1.12. Metodo dei parametri iniziali (equazione universale dell'asse curvo di una trave) 1.13. Esempi di determinazione degli spostamenti in una trave utilizzando il metodo dei parametri iniziali 1.14. Determinazione degli spostamenti mediante il metodo di Mohr. Regola A.K. Vereshchagina 1.15. Calcolo dell'integrale di Mohr secondo la regola di A.K. Vereshchagina 1.16. Esempi di determinazione degli spostamenti utilizzando l'integrale di Mohr Bibliografia 4 1. Piegatura diretta. Piega trasversale piatta. 1.1. Diagrammi di costruzione dei fattori di forza interni per travi La flessione diretta è un tipo di deformazione in cui si verificano due fattori di forza interni nelle sezioni trasversali dell'asta: un momento flettente e una forza trasversale. In un caso particolare, la forza di taglio può essere nulla, quindi la flessione è detta pura. Nella flessione trasversale piatta, tutte le forze si trovano in uno dei principali piani di inerzia dell'asta e perpendicolare al suo asse longitudinale, e i momenti si trovano nello stesso piano (Fig. 1.1, a, b). Riso. 1.1 La forza trasversale in una sezione trasversale arbitraria di una trave è numericamente uguale alla somma algebrica delle proiezioni sulla normale all'asse della trave di tutte le forze esterne agenti su un lato della sezione considerata. Forza di taglio in sezione m-n travi(Fig. 1.2, a) è considerato positivo se la risultante delle forze esterne a sinistra della sezione è diretta verso l'alto e a destra - verso il basso e negativa - nel caso opposto (Fig. 1.2, b). Riso. 1.2 Nel calcolo della forza trasversale in una data sezione, le forze esterne che giacciono a sinistra della sezione si prendono con un segno più se sono dirette verso l'alto e con un segno meno se sono dirette verso il basso. Per il lato destro della trave - viceversa. 5 Il momento flettente in una sezione trasversale arbitraria di una trave è numericamente uguale alla somma algebrica dei momenti attorno all'asse centrale z della sezione di tutte le forze esterne agenti su un lato della sezione considerata. Momento flettente a sezione trasversale m-n travi (Fig. 1.3, a) è considerato positivo se il momento risultante delle forze esterne a sinistra della sezione è diretto in senso orario e verso destra - in senso antiorario e negativo - nel caso opposto (Fig. 1.3, b). Riso. 1.3 Nel calcolare il momento flettente in una data sezione, i momenti delle forze esterne che giacciono a sinistra della sezione sono considerati positivi se sono diretti in senso orario. Per il lato destro della trave - viceversa. È conveniente determinare il segno del momento flettente in base alla natura della deformazione della trave. Il momento flettente è considerato positivo se, nella sezione considerata, la parte tagliata della trave si piega convessa verso il basso, cioè le fibre inferiori sono allungate. Nel caso opposto il momento flettente nella sezione è negativo. Tra il momento flettente M, la forza di taglio Q e l'intensità del carico q ci sono dipendenze differenziali. 1. La derivata prima della forza di taglio lungo l'ascissa della sezione è uguale all'intensità del carico distribuito, cioè . (1.1) 2. La derivata prima del momento flettente lungo l'ascissa della sezione è uguale alla forza trasversale, cioè (1.2) 3. La derivata seconda lungo l'ascissa della sezione è uguale all'intensità del carico distribuito, cioè (1.3) Consideriamo positivo il carico distribuito diretto verso l'alto. Dalle relazioni differenziali tra M, Q, q derivano alcune importanti conclusioni: 1. Se sulla sezione della trave: a) la forza trasversale è positiva, allora il momento flettente aumenta; b) la forza di taglio è negativa, quindi il momento flettente diminuisce; c) la forza trasversale è nulla, quindi il momento flettente ha valore costante (flessione pura); 6 d) la forza trasversale passa per lo zero, cambiando segno da più a meno, max M M, nel caso opposto M Mmin. 2. Se non c'è carico distribuito sulla sezione della trave, la forza trasversale è costante e il momento flettente cambia secondo una legge lineare. 3. Se c'è un carico uniformemente distribuito su una sezione della trave, la forza trasversale cambia secondo una legge lineare e il momento flettente - secondo la legge di una parabola quadrata, rivolta convessa nella direzione del carico ( nel caso di costruzione dello schema M dal lato delle fibre stirate). 4. Nella sezione sottoposta a una forza concentrata, il diagramma Q presenta un salto (dell'entità della forza), il diagramma M presenta una piega nella direzione della forza. 5. Nella sezione in cui si applica un momento concentrato, il diagramma M presenta un salto pari al valore di questo momento. Ciò non si riflette nel diagramma Q. Quando si caricano travi con carichi complessi, vengono disegnati i diagrammi forze di taglio Q e momenti flettenti M. Il diagramma Q(M) è un grafico che mostra la legge di variazione della forza trasversale (momento flettente) lungo la lunghezza della trave. In base all'analisi dei diagrammi M e Q si determinano le sezioni pericolose della trave. Le ordinate positive del diagramma Q sono disposte verso l'alto e le ordinate negative sono disposte dalla linea di base tracciata parallelamente all'asse longitudinale della trave. Le ordinate positive del diagramma M sono disposte e le ordinate negative sono disposte verso l'alto, cioè il diagramma M è costruito dal lato delle fibre allungate. La costruzione dei diagrammi Q e M per le travi dovrebbe iniziare con la determinazione delle reazioni vincolari. Per una trave con un'estremità vincolata e l'altra estremità libera, la costruzione dei diagrammi Q e M può essere iniziata dall'estremità libera, senza determinare le reazioni nell'incasso. 1.2. La costruzione dei diagrammi Q e M utilizzando le equazioni di Beam è divisa in sezioni all'interno delle quali le funzioni per il momento flettente e la forza di taglio rimangono costanti (non presentano discontinuità). I confini delle sezioni sono punti di applicazione di forze concentrate, coppie di forze e luoghi di variazione dell'intensità del carico distribuito. In ogni sezione, si prende una sezione arbitraria a una distanza x dall'origine delle coordinate, e per questa sezione vengono redatte le equazioni per Q e M. Usando queste equazioni, vengono costruiti i diagrammi di Q e M. Esempio 1.1 Costruisci i diagrammi della trasversale forze Q e momenti flettenti M per una data trave (Fig. 1.4,a). Soluzione: 1. Determinazione delle reazioni vincolari. Componiamo le equazioni di equilibrio: da cui otteniamo Le reazioni dei supporti sono determinate correttamente. La trave ha quattro sezioni Fig. 1.4 carichi: CA, AD, DB, BE. 2. Costruzione del diagramma Q. Sezione CA. Nella sezione CA 1 disegniamo una sezione arbitraria 1-1 a una distanza x1 dall'estremità sinistra della trave. Definiamo Q come la somma algebrica di tutte le forze esterne che agiscono a sinistra della sezione 1-1: 1 Q 3 0 kN. Si prende il segno meno perché la forza che agisce a sinistra della sezione è diretta verso il basso. L'espressione per Q non dipende dalla variabile x1. Il diagramma Q in questa sezione sarà rappresentato come una linea retta parallela all'asse delle ascisse. Sezione AD. Sulla sezione disegniamo una sezione arbitraria 2-2 a una distanza x2 dall'estremità sinistra della trave. Definiamo Q2 come la somma algebrica di tutte le forze esterne che agiscono a sinistra della sezione 2-2: Il valore di Q è costante lungo la sezione (non dipende dalla variabile x2). Il grafico Q sulla sezione è una linea retta parallela all'asse delle ascisse. Traccia DB. Sul sito disegniamo una sezione arbitraria 3-3 a una distanza x3 dall'estremità destra della trave. Definiamo Q3 come la somma algebrica di tutte le forze esterne che agiscono a destra della sezione 3-3: . L'espressione risultante è l'equazione di una retta inclinata. Sezione BE. In cantiere disegniamo un tratto 4-4 ad una distanza x4 dall'estremità destra della trave. Definiamo Q come la somma algebrica di tutte le forze esterne che agiscono a destra della sezione 4-4: qui viene preso il segno più perché il carico risultante a destra della sezione 4-4 è diretto verso il basso. Sulla base dei valori ottenuti, costruiamo diagrammi Q (Fig. 1.4, b). 3. Costruzione del diagramma M. Sezione CA m1. Definiamo il momento flettente nella sezione 1-1 come la somma algebrica dei momenti delle forze agenti a sinistra della sezione 1-1. – equazione di una retta. Complotto. 3Definiamo il momento flettente nella sezione 2-2 come la somma algebrica dei momenti delle forze agenti a sinistra della sezione 2-2. – equazione di una retta. Complotto. 4Definiamo il momento flettente nella sezione 3-3 come la somma algebrica dei momenti delle forze agenti a destra della sezione 3-3. – equazione di una parabola quadratica. 9 Troviamo tre valori alle estremità della sezione e nel punto con coordinata xk, dove da qui abbiamo kNm. Complotto. 1Definiamo il momento flettente nella sezione 4-4 come la somma algebrica dei momenti delle forze agenti a destra della sezione 4-4. – equazione di una parabola quadratica, troviamo tre valori di M4: Utilizzando i valori ottenuti, costruiamo un diagramma di M (Fig. 1.4, c). Nelle sezioni CA e AD il diagramma Q è limitato da rette parallele all'asse delle ascisse e nelle sezioni DB e BE da rette inclinate. Nelle sezioni C, A e B del diagramma Q ci sono salti nell'entità delle forze corrispondenti, che servono a verificare la correttezza del diagramma Q. Nelle sezioni in cui Q 0, i momenti aumentano da sinistra a destra. Nelle zone dove Q 0, i momenti diminuiscono. Sotto le forze concentrate ci sono delle pieghe nella direzione dell'azione delle forze. Sotto il momento concentrato c'è un salto nella grandezza del momento. Ciò indica la corretta costruzione del diagramma M. Esempio 1.2 Costruire i diagrammi Q e M per una trave su due supporti, caricata carico distribuito , la cui intensità varia secondo una legge lineare (Fig. 1.5, a). Soluzione Determinazione delle reazioni vincolari. La risultante del carico distribuito è uguale all'area del triangolo, che è un diagramma del carico ed è applicato al centro di gravità di questo triangolo. Compiliamo le somme dei momenti di tutte le forze relative ai punti A e B: diagramma di costruzione Q. Disegniamo una sezione arbitraria a una distanza x dal supporto sinistro. L'ordinata del diagramma di carico corrispondente alla sezione è determinata dalla somiglianza dei triangoli La risultante di quella parte del carico che si trova a sinistra della sezione La forza trasversale nella sezione è uguale La forza trasversale cambia secondo la legge di una parabola quadrata Uguagliando a zero l'equazione della forza trasversale, troviamo l'ascissa della sezione in cui passa per zero il diagramma Q: Il diagramma Q è mostrato in Fig. 1.5, b. Il momento flettente in una sezione arbitraria è uguale a. Il momento flettente varia secondo la legge di una parabola cubica: Il momento flettente ha un valore massimo nella sezione dove Q 0, cioè nel diagramma M mostrato in Fig. 1.5, c. 1.3. Costruire diagrammi di Q e M da sezioni caratteristiche (punti) Utilizzando le dipendenze differenziali tra M, Q, q e le conclusioni che ne derivano, è consigliabile costruire diagrammi di Q e M da sezioni caratteristiche (senza redigere equazioni). Utilizzando questo metodo, i valori di Q e M vengono calcolati in sezioni caratteristiche. Le sezioni caratteristiche sono le sezioni di confine delle sezioni, nonché le sezioni in cui un dato fattore di forza interna ha un valore estremo. Entro i limiti tra le sezioni caratteristiche, lo schema 12 del diagramma è stabilito sulla base delle dipendenze differenziali tra M, Q, q e le conclusioni che ne derivano. Esempio 1.3 Costruisci i diagrammi Q e M per la trave mostrata in Fig. 1.6, a. Iniziamo a costruire i diagrammi Q e M dall'estremità libera della trave, mentre non è necessario determinare le reazioni nell'incasso. La trave ha tre sezioni di carico: AB, BC, CD. Non è presente carico distribuito nelle sezioni AB e BC. Le forze di taglio sono costanti. Il diagramma Q è limitato alle linee rette parallele all'asse x. I momenti flettenti variano linearmente. Il diagramma M è limitato da rette inclinate rispetto all'asse delle ascisse. C'è un carico uniformemente distribuito sulla sezione CD. Le forze trasversali variano secondo una legge lineare e i momenti flettenti secondo la legge di una parabola quadrata con convessità nella direzione del carico distribuito. Al confine delle sezioni AB e BC, la forza trasversale cambia bruscamente. Al confine delle sezioni BC e CD, il momento flettente cambia bruscamente. 1. Costruzione di un diagramma Q. Calcoliamo i valori delle forze trasversali Q nelle sezioni di confine delle sezioni: Sulla base dei risultati del calcolo, costruiamo un diagramma Q per la trave (Fig. 1, b). Dal diagramma Q segue che la forza trasversale nella sezione CD è uguale a zero nella sezione situata a distanza qa q  dall'inizio di questa sezione. In questa sezione il momento flettente ha il suo valore massimo. 2. Costruzione del diagramma M. Calcoliamo i valori dei momenti flettenti nelle sezioni al contorno delle sezioni: A Kx3, il momento massimo nella sezione. Sulla base dei risultati del calcolo, costruiamo il diagramma M (Fig. 5.6, c) . Esempio 1.4 Utilizzando un dato diagramma dei momenti flettenti (Fig. 1.7, a) per una trave (Fig. 1.7, b), determinare i carichi agenti e costruire il diagramma Q. Il cerchio indica il vertice di una parabola quadrata. Soluzione: determiniamo i carichi agenti sulla trave. La sezione AC è caricata con un carico uniformemente distribuito, poiché il diagramma M in questa sezione è una parabola quadrata. Nella sezione di riferimento B si applica alla trave un momento concentrato, agendo in senso orario, poiché nel diagramma M si ha un salto verso l'alto dell'entità del momento. Nella sezione NE la trave non è caricata, poiché il diagramma M in questa sezione è limitato da una retta inclinata. La reazione del supporto B è determinata dalla condizione che il momento flettente nella sezione C sia uguale a zero, ovvero per determinare l'intensità del carico distribuito, creiamo un'espressione per il momento flettente nella sezione A come somma dei momenti di forze a destra e equipararlo a zero. Ora determiniamo la reazione del supporto A. Per questo creiamo un'espressione per i momenti flettenti nella sezione come la somma dei momenti delle forze a sinistra, da dove Fig. 1.7 Verifica Lo schema di progetto della trave con carico è mostrato in Fig. 1.7, c. Partendo dall'estremità sinistra della trave si calcolano i valori delle forze trasversali nelle sezioni al contorno delle sezioni: il diagramma Q è riportato in Fig. 1.7, d. Il problema considerato può essere risolto elaborando dipendenze funzionali per M, Q in ciascuna sezione. Scegliamo l'origine delle coordinate all'estremità sinistra della trave. Nella sezione AC, il diagramma M è espresso da una parabola quadrata, la cui equazione ha la forma Le costanti a, b, c si trovano dalla condizione che la parabola passi per tre punti di coordinate note: Sostituendo le coordinate dei punti nell'equazione della parabola otteniamo: L'espressione del momento flettente sarà Differenziando la funzione M1 si ottiene la dipendenza per la forza trasversale Dopo aver differenziato la funzione Q si ottiene l'espressione dell'intensità del carico distribuito. Nella sezione NE l'espressione del momento flettente è presentata sotto forma di funzione lineare. Per determinare le costanti a e b utilizziamo la condizione che questa retta passi per due punti di cui sono note le coordinate. ottenere due equazioni: da cui abbiamo a 10, b  20. L'equazione per il momento flettente nella sezione NE sarà Dopo aver differenziato due volte M2, troveremo Utilizzando i valori trovati di M e Q, costruiamo diagrammi dei momenti flettenti e delle forze di taglio per la trave. Oltre al carico distribuito, alla trave vengono applicate forze concentrate in tre sezioni, dove si hanno salti sul diagramma Q e momenti concentrati nella sezione dove si verifica l'urto sul diagramma M. Esempio 1.5 Per una trave (Fig. 1.8, a), determinare la posizione razionale della cerniera C, in cui il momento flettente maggiore nella campata è uguale al momento flettente nell'incasso (in valore assoluto). Costruire diagrammi di Q e M. Soluzione Determinazione delle reazioni vincolari. Sebbene numero totale collegamenti di appoggio è pari a quattro, la trave è staticamente determinata. Il momento flettente nella cerniera C è zero, il che ci consente di creare un'equazione aggiuntiva: la somma dei momenti attorno alla cerniera di tutte le forze esterne che agiscono su un lato di questa cerniera è uguale a zero. Compiliamo la somma dei momenti di tutte le forze a destra della cerniera C. Il diagramma Q della trave è limitato da una retta inclinata, poiché q = cost. Determiniamo i valori delle forze trasversali nelle sezioni al contorno della trave: L'ascissa xK della sezione, dove Q = 0, è determinata dall'equazione dalla quale il diagramma M della trave è limitato da una parabola quadrata. Le espressioni per i momenti flettenti nelle sezioni, dove Q = 0, e nell'incasso si scrivono rispettivamente come segue: Dalla condizione di uguaglianza dei momenti si ottiene equazione quadrata relativo al parametro desiderato x: Valore reale. Determiniamo i valori numerici delle forze trasversali e dei momenti flettenti nelle sezioni caratteristiche della trave. La Figura 1.8, b mostra il diagramma Q, e in Fig. 1.8, c – schema M. Il problema considerato potrebbe essere risolto dividendo la trave incernierata nei suoi elementi costitutivi, come mostrato in Fig. 1.8, d. All'inizio vengono determinate le reazioni dei supporti VC e VB. I diagrammi Q e M sono costruiti per la trave sospesa SV dall'azione del carico applicato ad essa. Successivamente si spostano sulla trave principale AC, caricandola con una forza aggiuntiva VC, che è la forza di pressione della trave CB sulla trave AC. Successivamente vengono costruiti i diagrammi Q e M per la trave AC. 1.4. Calcoli di resistenza per la flessione diretta delle travi Calcoli di resistenza basati su sollecitazioni normali e di taglio. Quando una trave si piega direttamente nelle sue sezioni trasversali, si verificano tensioni normali e tangenziali (Fig. 1.9). Le sollecitazioni normali sono associate al momento flettente, le sollecitazioni di taglio sono associate alla forza di taglio. Con diretto curva pura le tensioni di taglio sono pari a zero. Tensioni normali in un punto arbitrario sezione trasversale le travi sono determinate dalla formula (1.4) dove M è il momento flettente in una data sezione; Iz – momento d'inerzia della sezione rispetto all'asse neutro z; y è la distanza dal punto in cui viene determinata la tensione normale all'asse z neutro. Le tensioni normali lungo l'altezza della sezione cambiano secondo una legge lineare e raggiungono il loro valore massimo nei punti più lontani dall'asse neutro. Se la sezione è simmetrica rispetto all'asse neutro (Fig. 1.11), allora Fig. 1.11 le maggiori sollecitazioni di trazione e compressione sono le stesse e sono determinate dalla formula - momento resistente assiale di una sezione durante la flessione. Per una sezione rettangolare di larghezza b e altezza h: (1.7) Per una sezione circolare di diametro d: (1.8) Per una sezione anulare (1.9) dove d0 e d sono rispettivamente i diametri interno ed esterno dell'anello. Per le travi in ​​materiali plastici, le più razionali sono le forme simmetriche a 20 sezioni (trave a I, scatolare, anulare). Per travi costituite da materiali fragili che non resistono equamente alla trazione e alla compressione, sono razionali le sezioni asimmetriche rispetto all'asse z neutro (trave a T, trave a U, trave a I asimmetrica). Per travi a sezione costante realizzate in materiali plastici con sezione trasversale simmetrica, la condizione di resistenza è scritta come segue: (1.10) dove Mmax è il momento flettente massimo in modulo; – sollecitazione ammissibile per il materiale. Per travi a sezione costante di materiali plastici con sezione asimmetrica, la condizione di resistenza si scrive nella seguente forma: Per travi di materiali fragili con sezioni asimmetriche rispetto all'asse neutro, se il diagramma M è inequivocabile (Fig. 1.12), devono essere scritte due condizioni di resistenza dove yP,max , yC,max – distanze dall'asse neutro ai punti più distanti delle zone tese e compresse della sezione pericolosa, rispettivamente; – sollecitazioni ammissibili rispettivamente in trazione e compressione. Fig.1.12. 21 Se il diagramma dei momenti flettenti presenta tratti di segno diverso (Fig. 1.13), allora oltre a verificare la sezione 1-1, dove agisce Mmax, è necessario calcolare le tensioni di trazione più elevate per la sezione 2-2 (con il valore più alto momento di segno opposto). Riso. 1.13 Insieme al calcolo principale per tensioni normali in alcuni casi è necessario verificare la resistenza della trave mediante tensioni tangenziali. Le tensioni tangenziali nelle travi sono calcolate utilizzando la formula di D.I. Zhuravsky (1.13) dove Q è la forza trasversale nella sezione trasversale della trave in esame; Szотс – momento statico relativo all'asse neutro dell'area della parte di sezione situata su un lato di una linea retta tracciata attraverso un dato punto e parallela all'asse z; b – larghezza della sezione a livello del punto in esame; Iz è il momento di inerzia dell'intera sezione rispetto all'asse z neutro. In molti casi, le massime sollecitazioni di taglio si verificano a livello dello strato neutro della trave (rettangolo, trave a I, cerchio). In tali casi, la condizione di resistenza per le tensioni tangenziali è scritta nella forma (1.14) dove Qmax è la forza trasversale maggiore in valore assoluto; – sollecitazione di taglio ammissibile per il materiale. Per una sezione rettangolare di una trave, la condizione di resistenza ha la forma 22 (1,15) A – area della sezione trasversale della trave. Per una sezione circolare, la condizione di resistenza è presentata nella forma (1.16) Per una sezione ad I, la condizione di resistenza è scritta come segue: (1.17) dove Szo,тmсax è il momento statico della semisezione rispetto al neutro asse; d – spessore della parete della trave a I. Tipicamente, le dimensioni della sezione trasversale di una trave sono determinate dalla condizione di resistenza sotto sollecitazioni normali. Il controllo della resistenza delle travi mediante sollecitazione di taglio è obbligatorio per travi corte e travi di qualsiasi lunghezza se vi sono forze concentrate di grande entità vicino ai supporti, nonché per travi in ​​legno, rivettate e saldate. Esempio 1.6 Controllare la resistenza di una trave a sezione scatolare (Fig. 1.14) mediante tensioni normali e tangenziali, se 0 MPa. Costruisci diagrammi nella sezione pericolosa della trave. Riso. 1.14 Soluzione 23 1. Costruire i diagrammi di Q e M utilizzando le sezioni caratteristiche. Considerando il lato sinistro della trave, otteniamo il diagramma delle forze trasversali è mostrato in Fig. 1.14, c. . Il diagramma dei momenti flettenti è mostrato in Fig. 5.14, lettera 2. Caratteristiche geometriche della sezione trasversale 3. Tensioni normali massime nella sezione C, dove agisce Mmax (modulo): Le tensioni normali massime nella trave sono quasi uguali a quelle ammissibili. 4. Le maggiori tensioni tangenziali nella sezione C (o A), dove agisce il momento statico della zona della semisezione rispetto all'asse neutro; b2 cm – larghezza della sezione a livello dell'asse neutro. 5. Sollecitazioni tangenziali in un punto (nel muro) della sezione C: Ecco il momento statico dell'area della parte della sezione situata sopra la linea passante per il punto K1; b2 cm – spessore della parete nel punto K1. Gli schemi per la sezione C della trave sono mostrati in Fig. 1.15. Esempio 1.7 Per la trave mostrata in Fig. 1.16, a, richiede: 1. Costruire diagrammi delle forze trasversali e dei momenti flettenti lungo sezioni caratteristiche (punti). 2. Determinare le dimensioni della sezione trasversale sotto forma di cerchio, rettangolo e trave a I dalla condizione di resistenza sotto sollecitazioni normali, confrontare le aree della sezione trasversale. 3. Controllare le dimensioni selezionate delle sezioni della trave in base alla sollecitazione tangenziale. Soluzione: 1. Determinare le reazioni dei supporti della trave da dove Controllo: 2. Costruzione dei diagrammi Q e M. Valori delle forze trasversali nelle sezioni caratteristiche della trave Nelle sezioni CA e AD, intensità di carico q = cost. Di conseguenza in queste zone il diagramma Q è limitato a rette inclinate rispetto all'asse. Nella sezione DB l'intensità del carico distribuito è q = 0, pertanto in questa sezione il diagramma Q è limitato ad una retta parallela all'asse x. Il diagramma Q della trave è mostrato in Fig. 1.16, b. Valori dei momenti flettenti nelle sezioni caratteristiche della trave: Nella seconda sezione determiniamo l'ascissa x2 della sezione in cui Q = 0: Momento massimo nella seconda sezione Il diagramma M della trave è mostrato in Fig. 1.16, c. 2. Creiamo una condizione di resistenza basata sulle tensioni normali, dalla quale determiniamo il momento di resistenza assiale richiesto della sezione dall'espressione determinata dal diametro richiesto d di una trave a sezione circolare Area di una sezione circolare. Per una trave di sezione rettangolare Altezza richiesta della sezione Area di una sezione rettangolare Determinare il numero richiesto della trave a I. Utilizzando le tabelle di GOST 8239-89 troviamo il più vicino valore più alto momento di resistenza assiale che corrisponde alla trave a I n. 33 con caratteristiche: Controllo della tolleranza: (sottocarico dell'1% del 5% consentito) la trave a I n. 30 più vicina (L  472 cm3) porta a un sovraccarico significativo (più superiore al 5%). Accettiamo infine la trave a I n. 33. Confrontiamo le aree delle sezioni tonda e rettangolare con l'area più piccola A della trave a I: Delle tre sezioni considerate, la più economica è la sezione della trave a I. 3. Calcoliamo le tensioni normali più elevate nella sezione pericolosa 27 della trave a I (Fig. 1.17, a): Tensioni normali nella parete vicino all'ala della sezione della trave a I Il diagramma delle tensioni normali nella sezione pericolosa di la trave è mostrata in Fig. 1.17, b. 5. Determinare le sollecitazioni di taglio più elevate per le sezioni selezionate della trave. UN) sezione rettangolare travi: b) sezione rotonda travi: c) Sezione della trave a I: Sollecitazioni tangenziali nel muro in prossimità dell'ala della trave a I nella sezione pericolosa A (a destra) (al punto 2): Il diagramma delle tensioni tangenziali nelle sezioni pericolose della trave a I è mostrato in Fig . 1.17, c. Le massime sollecitazioni tangenziali nella trave non superano le sollecitazioni ammissibili. Esempio 1.8 Determinare il carico ammissibile sulla trave (Fig. 1.18, a) se vengono fornite le dimensioni della sezione trasversale (Fig. 1.19, a). Costruire un diagramma delle tensioni normali in una sezione pericolosa di una trave a carico ammissibile. Figura 1.18 1. Determinazione delle reazioni dei supporti della trave. A causa della simmetria del sistema VVB A8qa . 29 2. Costruzione dei diagrammi Q e M mediante sezioni caratteristiche. Forze trasversali nelle sezioni caratteristiche di una trave: il diagramma Q per una trave è mostrato in Fig. 5.18, b. Momenti flettenti nelle sezioni caratteristiche della trave Per la seconda metà della trave, le ordinate M sono lungo gli assi di simmetria. Il diagramma M della trave è mostrato in Fig. 1.18, b. 3. Caratteristiche geometriche della sezione (Fig. 1.19). Dividiamo la figura in due elementi semplici: trave a I - 1 e rettangolo - 2. Fig. 1.19 Secondo l'assortimento per la trave a I n. 20, abbiamo Per un rettangolo: Momento statico dell'area della sezione rispetto all'asse z1 Distanza dall'asse z1 al baricentro della sezione Momento di inerzia della sezione relativa all'asse centrale principale z dell'intera sezione secondo le formule per la transizione agli assi paralleli 4. Condizione di resistenza per tensioni normali per il punto pericoloso “a” (Fig. 1.19) nella sezione pericolosa I (Fig. 1.18): Dopo aver sostituito dati numerici 5. Con un carico ammissibile q in un tratto pericoloso, le tensioni normali nei punti “a” e “b” saranno uguali: Il diagramma tensioni normali per il tratto pericoloso 1-1 è mostrato in Fig. 1.19, b. Esempio 1.9 Determinare le dimensioni richieste della sezione trasversale di una trave in ghisa (Fig. 1.20), avendo precedentemente selezionato una posizione razionale della sezione. Prendere una decisione 1. Determinare le reazioni dei supporti della trave. 2. Costruzione dei diagrammi Q e M. I diagrammi sono presentati in Fig. 1,20, nel, g. Il momento flettente maggiore (in valore assoluto) si verifica nella sezione “b”. In questa sezione le fibre stirate si trovano nella parte superiore. La maggior parte del materiale dovrebbe trovarsi nella zona di tensione. Pertanto è razionale posizionare la sezione della trave come mostrato in Fig. 1.20, b. 3. Determinazione della posizione del baricentro della sezione (per analogia con l'esempio precedente): 4. Determinazione del momento di inerzia della sezione rispetto all'asse neutro: 5. Determinazione delle dimensioni richieste della trave sezione dalla condizione di resistenza sotto sollecitazioni normali. Indichiamo con y rispettivamente le distanze dall'asse neutro ai punti più distanti della zona tesa e della zona compressa (per la sezione B): allora sono pericolosi i punti della zona tesa più distanti dall'asse neutro. Creiamo una condizione di resistenza per il punto m nella sezione B: o dopo aver sostituito i valori numerici, in questo caso le tensioni nel punto n, il più distante dall'asse neutro nella zona compressa (nella sezione B), saranno MPa. Il diagramma M è ambiguo. È necessario verificare la resistenza della trave nella sezione C. Ecco il momento, ma le fibre inferiori sono allungate. Il punto pericoloso sarà il punto n: In questo caso le tensioni nel punto m saranno Dai calcoli infine accettati Il diagramma delle tensioni normali per la sezione pericolosa C è mostrato in Fig. 1.21. Riso. 1.211.5. Principali sollecitazioni durante la flessione. Verifica completa della resistenza delle travi Sopra, vengono discussi esempi di calcolo della resistenza delle travi utilizzando le sollecitazioni normali e di taglio. Nella stragrande maggioranza dei casi questo calcolo è sufficiente. Tuttavia, nelle travi a pareti sottili di travi a I, a T, a canale e a scatola, si verificano notevoli sollecitazioni di taglio nella giunzione della parete e della flangia. Ciò si verifica nei casi in cui alla trave è applicata una forza di taglio significativa e vi sono sezioni in cui M e Q sono contemporaneamente grandi. Una di queste sezioni sarà pericolosa e verrà controllata dalle tensioni principali utilizzando una delle teorie della resistenza. Il controllo della resistenza delle travi mediante sollecitazioni normali, tangenziali e principali è chiamato controllo completo della resistenza delle travi. Questo calcolo è discusso di seguito. La cosa principale è calcolare la trave utilizzando le sollecitazioni normali. La condizione di resistenza per travi, il cui materiale resiste equamente a trazione e compressione, ha la forma dove Mmax ─ momento flettente massimo (modulo), tratto dal diagramma M, Wz ─ momento resistente assiale della sezione rispetto all'asse neutro di il raggio; [ ]─ sollecitazione normale ammissibile per il materiale. Dalla condizione di forza (1) determiniamo dimensioni richieste sezione trasversale della trave. Le dimensioni selezionate della sezione della trave vengono verificate mediante sollecitazioni di taglio. La condizione di resistenza per le tensioni tangenziali ha la forma (formula di D.I. Zhuravsky): dove Qmax ─ forza trasversale massima presa dal diagramma Q; Szots.─ momento statico (rispetto all'asse neutro) della parte tagliata della sezione trasversale situata su un lato del livello al quale vengono determinate le sollecitazioni di taglio; I z ─ momento di inerzia dell'intera sezione trasversale rispetto all'asse neutro; b─ la larghezza della sezione della trave al livello in cui sono determinate le tensioni di taglio; ─ sollecitazione tangenziale ammissibile del materiale durante la piegatura. La prova di resistenza a fatica normale si riferisce al punto più lontano dall'asse neutro nella sezione dove agisce Mmax. La prova di resistenza allo sforzo di taglio si riferisce ad un punto situato sull'asse neutro nella sezione dove agisce Qmax. Nelle travi con sezione trasversale sottile (trave a I, ecc.), un punto situato nella parete in una sezione in cui M e Q sono entrambi grandi può essere pericoloso. In questo caso la resistenza viene verificata utilizzando le tensioni principali. Le tensioni tangenziali principali ed estreme sono determinate dalle dipendenze analitiche ottenute dalla teoria dello stato tensionale piano dei corpi: L'angolo di inclinazione delle aree principali è determinato dalla formula (1.22) Avendo i valori delle tensioni principali, resistenza le condizioni sono elaborate secondo l'una o l'altra teoria della forza. Ad esempio, secondo la terza teoria delle tensioni tangenziali massime, abbiamo Dopo aver sostituito i valori delle tensioni principali, otteniamo infine (1.23) Secondo la quarta teoria energetica della resistenza, la condizione di resistenza ha la forma (1.24 ) Dalle formule (1.6) e (1.7) risulta evidente che dipende la sollecitazione di progetto Eq. Di conseguenza è soggetto a verifica l'elemento materiale della trave per il quale risulterà contemporaneamente grande. Ciò si effettua nei seguenti casi: 1) raggiungimento del momento flettente e della forza di taglio valore più alto nella stessa sezione; 2) la larghezza della trave cambia bruscamente in prossimità dei bordi della sezione (trave a I, ecc.). Se le condizioni specificate non sono soddisfatte, è necessario considerare diverse sezioni in cui i valori più alti dell'eq. Esempio 1.10 Una trave saldata di sezione trasversale ad I con luce l = 5 m, semplicemente appoggiata alle estremità, è caricata con un carico uniformemente distribuito di intensità q e una forza concentrata P 5qa applicata ad una distanza a = 1 m dal supporto destro (Fig. 1.22). Determinare il carico ammissibile sulla trave dalla condizione di resistenza per sollecitazioni normali e verificare le sollecitazioni tangenziali e principali secondo la teoria della resistenza 36 4a (energia). Costruisci diagrammi in una sezione pericolosa utilizzando le tensioni principali ed esamina lo stato sollecitato di un elemento selezionato nella parete vicino alla flangia nella sezione indicata. Sollecitazione di trazione e compressione ammissibile: flessione 160 MPa; e taglio 100 MPa. Riso. 1.22 Soluzione 1. Determinazione delle reazioni dei supporti della trave: 2. Costruzione dei diagrammi M e Q utilizzando sezioni caratteristiche (punti): 3. Calcolo delle caratteristiche geometriche della sezione della trave. a) Momento assiale di inerzia della sezione rispetto all'asse neutro z: 37 b) Momento assiale di resistenza rispetto all'asse neutro z: 4. Determinazione del carico ammissibile sulla trave dalla condizione di resistenza mediante sollecitazioni normali: Ammissibile carico sulla trave 5. Verifica della resistenza della trave mediante sollecitazioni tangenziali utilizzando la formula D.I. Zhuravsky Momento statico della semisezione di una trave a I rispetto all'asse neutro z: Larghezza della sezione al livello del punto 3: Forza trasversale massima Massima tensioni di taglio nella trave 6. Verifica della resistenza della trave mediante tensioni principali. Pericolosa in termini di tensioni principali è la sezione D, in cui M e Q sono entrambi grandi, e i punti pericolosi in questa sezione sono i punti 2 e 4, dove  e  sono entrambi grandi (Fig. 1.23). Per i punti 2 e 4, controlliamo la resistenza mediante tensioni principali, utilizzando la 4a teoria della resistenza dove (2) e (2)─ sollecitazioni normali e di taglio al punto 2(4), rispettivamente (Fig. 1.2). Riso. 1.23 distanza dall'asse neutro al punto 2. dove Sz è il momento statico della flangia rispetto all'asse neutro z. cm ─ larghezza della sezione lungo una linea passante per il punto 3. Tensioni equivalenti secondo la 4a teoria della resistenza al punto 2 della sezione D: La condizione di resistenza secondo la 4a teoria della resistenza è soddisfatta. 7. Costruzione dei diagrammi delle tensioni normali, tangenziali, principali e tangenziali estreme nella sezione pericolosa D (basati sulle tensioni principali). a) calcolare le tensioni nei punti (1-5) della sezione D utilizzando le apposite formule. Punto 2 (nel muro) In precedenza sono stati calcolati i valori delle tensioni normali e di taglio al punto 2. Troviamo le tensioni di taglio principali ed estreme nello stesso punto 2: Punto 3. Sollecitazioni normali e di taglio al punto 3: Principale e sollecitazioni di taglio estreme nel punto 3: Allo stesso modo si trovano le tensioni nei punti 4 e 5. Sulla base dei dati ottenuti, costruiamo diagrammi, max. 8. Lo stato tensionale dell'elemento selezionato in prossimità del punto 2 della sezione D è mostrato in Fig. 1.24, angolo di inclinazione delle piattaforme principali 1.6. Il concetto di centro di flessione Come accennato in precedenza, le sollecitazioni tangenziali nelle sezioni trasversali delle aste a pareti sottili durante la flessione (ad esempio, una trave a I o un canale) sono determinate dalla formula in Fig. 194 mostra i diagrammi delle tensioni tangenziali in una sezione a I. Utilizzando la tecnica descritta al paragrafo 63 è possibile costruire lo schema 41 anche per il canale. Consideriamo il caso in cui il canale è incassato in un muro, e all'altra estremità è caricato con una forza P applicata al baricentro della sezione. Riso. 1.25 La vista generale del diagramma τ in qualsiasi sezione è mostrata in Fig. 1,25, a. Le tensioni tangenziali τу si formano nella parete verticale. Come risultato dell'azione delle sollecitazioni τу, si forma una forza di taglio totale T2 (Fig. 1.25, b). Se trascuriamo le tensioni tangenziali τу nelle flange, allora possiamo scrivere l'uguaglianza approssimativa. Nelle flange orizzontali si verificano tensioni tangenziali τх, che sono dirette orizzontalmente. La massima sollecitazione di taglio nella flangia τx max è uguale a Qui S1OTS è il momento statico dell'area della flangia rispetto all'asse Ox: Di conseguenza, la forza di taglio totale nella flangia sarà determinata come l'area del diagramma dello sforzo di taglio moltiplicato per lo spessore della flangia. Sulla flangia inferiore agisce esattamente la stessa forza di taglio che su quella superiore, ma è diretta nella direzione opposta. Due forze T1 formano una coppia con un momento (1.25). Pertanto, a causa delle tensioni tangenziali τу e τх, si formano tre forze tangenziali interne, mostrate in Fig. 1,25, b. Da questa figura è chiaro che le forze T1 e T2 tendono a ruotare la sezione del canale rispetto al baricentro nella stessa direzione. Riso. 1.25 Di conseguenza, nella sezione del canale appare una coppia interna, diretta in senso orario. Pertanto, quando una trave a canale viene piegata da una forza applicata al centro di gravità della sezione, la trave si torce simultaneamente. Tre forze tangenziali possono essere ridotte a un vettore principale e a un momento principale. L'entità del momento principale dipende dalla posizione del punto in cui vengono portate le forze. Risulta che è possibile scegliere un punto A rispetto al quale il momento principale è pari a zero. Questo punto è chiamato centro della curva. Uguagliando a zero il momento delle forze tangenziali: otteniamo Tenendo conto dell'espressione (1.25), troveremo infine la distanza dall'asse della parete verticale al centro di flessione: Se viene applicata una forza esterna non al baricentro della sezione, ma al centro della flessione, allora si creerà lo stesso momento rispetto al baricentro delle forze tangenziali interne, ma solo di segno opposto. Con un tale carico (Fig. 1.25, c), il canale non si torcerà, ma si piegherà solo. Ecco perché il punto A è chiamato centro della curva. Una descrizione dettagliata del calcolo delle aste a pareti sottili è fornita nel capitolo. XIII. 1.7. Determinazione degli spostamenti nelle travi durante la flessione. Concetti di deformazione delle travi e condizioni per la loro rigidità Sotto l'influenza di un carico esterno, la trave si deforma e il suo asse si piega. La curva in cui gira l'asse della trave dopo aver applicato un carico è detta linea elastica, a condizione che le sollecitazioni della trave non superino il limite di proporzionalità. A seconda della direzione del carico, della posizione dei diagrammi, la linea elastica può avere una convessità verso l'alto (Fig. 1.26, a), verso il basso (Fig. 1.26, b) o una combinazione (Fig. 1.26, c). In questo caso, i baricentri delle sezioni trasversali si spostano rispettivamente verso l'alto o verso il basso, e le sezioni stesse ruotano rispetto all'asse neutro, rimanendo perpendicolari all'asse curvo della trave (Fig. 1.26, a). A rigor di termini, anche i baricentri delle sezioni trasversali si muovono nella direzione dell'asse longitudinale della trave. Tuttavia, a causa dell'esiguità di questi movimenti per le travi, essi vengono trascurati, cioè si presuppone che il baricentro della sezione si sposti perpendicolarmente all'asse della trave. Indichiamo questo movimento con y, e in futuro comprenderemo con esso la deflessione della trave (vedi Fig. 1.26). La deflessione di una trave in una determinata sezione è lo spostamento del baricentro della sezione in direzione perpendicolare all'asse della trave. Riso. 1.26 Le deformazioni nelle varie sezioni di una trave dipendono dalla posizione delle sezioni e sono un valore variabile. Quindi, per una trave (Fig. 1.26, a) nel punto B la deflessione avrà un valore massimo e nel punto D sarà zero. Come già notato, insieme allo spostamento del baricentro della sezione, le sezioni ruotano rispetto all'asse neutro della sezione. L'angolo di cui la sezione viene ruotata rispetto alla sua posizione originale è chiamato angolo di rotazione della sezione. Indicheremo l'angolo di rotazione con (Fig. 1.26, a). Poiché quando una trave viene piegata, la sezione trasversale rimane sempre perpendicolare al suo asse curvo, l'angolo di rotazione può essere rappresentato come l'angolo tra la tangente all'asse curvo in un dato punto e l'asse originario della trave (Fig. 1.26 , a) o perpendicolare agli assi originari e curvi della trave nel punto in questione. Anche l'angolo di rotazione della sezione per travi è un valore variabile. Ad esempio, per una trave (Fig. 1.26, b), ha un valore massimo nei supporti incernierati e un valore minimo pari a 0 per la sezione in cui la freccia ha un valore massimo. Per una trave a sbalzo (Fig. 1.26, a) l'angolo massimo di rotazione sarà alla sua estremità libera, cioè nel punto B. Fornire operazione normale le travi non sono sufficienti a soddisfare la condizione di resistenza. È inoltre necessario che le travi abbiano una rigidità sufficiente, ovvero che la deflessione massima e l'angolo di rotazione non superino i valori consentiti determinati dalle condizioni operative delle travi. Questa situazione è chiamata condizione di rigidità della trave durante la flessione. In una breve forma di notazione matematica, le condizioni di rigidezza hanno la forma: dove [y] e, di conseguenza, la deflessione e l'angolo di rotazione consentiti. 45 La freccia ammissibile è solitamente specificata come parte della distanza tra gli appoggi della trave (lunghezza della campata l), cioè dove m è un coefficiente che dipende dal valore e dalle condizioni operative del sistema in cui viene utilizzata questa trave. In ogni ramo dell'ingegneria meccanica, questo valore è determinato dagli standard di progettazione e varia ampiamente. Come segue: - per travi gru m = 400 - 700; - Per ponti ferroviari m = 1000; - per mandrini di torni m= 1000-2000. Gli angoli di rotazione consentiti per le travi solitamente non superano 0,001 rad. Il lato sinistro delle equazioni (1.26) comprende la deflessione massima ymax e l'angolo di rotazione max, che sono determinati mediante calcoli basati su metodi noti: analitico, grafico e grafico-analitico, alcuni dei quali sono discussi di seguito. 1.8. Equazione differenziale per l'asse curvo di una trave Sotto l'influenza di forze esterne, l'asse della trave viene piegato (vedi Fig. 1.26, a). Quindi l'equazione dell'asse curvo della trave può essere scritta nella forma e l'angolo di rotazione  per qualsiasi sezione sarà uguale all'angolo l'inclinazione della tangente all'asse curvo in un dato punto. La tangente di questo angolo è numericamente uguale alla derivata della deflessione lungo l'ascissa della sezione corrente x, cioè poiché le deflessioni della trave sono piccole rispetto alla sua lunghezza l (vedi sopra), possiamo supporre che l'angolo di rotazione (1.27) Derivando la formula della sollecitazione normale durante la flessione, si è riscontrato che esiste la seguente relazione tra la curvatura dello strato neutro e il momento flettente: Questa formula mostra che la curvatura cambia lungo la lunghezza della trave secondo la stessa legge in base al quale cambia il valore Mz. Se una trave di sezione costante subisce una flessione pura (Fig. 5.27), in cui il momento lungo la lunghezza non cambia, la sua curvatura è: Pertanto, per tale trave, anche il raggio di curvatura è un valore costante e il la trave in questo caso si piegherà lungo un arco circolare. Tuttavia, nel caso generale, non è possibile applicare direttamente la legge della variazione della curvatura per determinare le deflessioni. Per risolvere il problema analiticamente, utilizziamo la nota espressione matematica per la curvatura. (1.29) Sostituendo la (1.28) nella (1.29), otteniamo l'esatto equazione differenziale asse della trave curva: . (1.30) L'equazione (1.30) non è lineare e la sua integrazione è associata a grandi difficoltà. Considerando che le deflessioni e gli angoli di rotazione delle travi reali utilizzate nell'ingegneria meccanica, nell'edilizia, ecc. sono piccoli, il valore può essere trascurato. Tenendo conto di questo, e anche del fatto che per il sistema di coordinate destro il momento flettente e la curvatura hanno lo stesso segno (Fig. 1.26), allora per il sistema di coordinate destro il segno meno nell'equazione (1.26) può essere omesso. Allora l'equazione differenziale approssimata avrà la forma 1.9. Metodo di integrazione diretta Questo metodo si basa sull'integrazione dell'equazione (1.31) e consente di ottenere l'equazione dell'asse elastico della trave sotto forma di deflessioni y f (x) e l'equazione degli angoli di rotazione. Avendo integrato l'equazione (1.31 ) per la prima volta otteniamo l'equazione degli angoli di rotazione (1.32) dove C è la costante di integrazione . Integrando una seconda volta, otteniamo l'equazione della deflessione dove D è la seconda costante di integrazione. Le costanti C e D sono determinate dalle condizioni al contorno dell'appoggio della trave e dalle condizioni al contorno delle sue sezioni. Quindi per una trave (Fig. 1.26, a), nel punto di inserimento (x l), la deflessione e l'angolo di rotazione della sezione sono uguali a zero, e per una trave (vedi Fig. 1.26, b) la deflessione y e freccia yD 0, in x .l Per trave appoggiata incernierata con mensole (Fig. 1.28), quando l'origine delle coordinate è allineata con l'estremità del supporto sinistro e la scelta del sistema di coordinate destro, le condizioni al contorno hanno la forma Tenendo conto delle condizioni al contorno, vengono determinate le costanti di integrazione. Dopo aver sostituito le costanti di integrazione nelle equazioni degli angoli di rotazione (1.32) e delle deflessioni (1.33), vengono calcolati gli angoli di rotazione e le deflessioni di una determinata sezione. 1.10. Esempi di determinazione degli spostamenti nelle travi utilizzando il metodo dell'integrazione diretta Esempio 1.11 Determinare la deflessione massima e l'angolo di rotazione per una trave a sbalzo (Fig. 1.26, a). Soluzione L'origine delle coordinate è allineata con l'estremità sinistra della trave. Il momento flettente in una sezione arbitraria a distanza x dall'estremità sinistra della trave si calcola utilizzando la formula Tenendo conto del momento, l'equazione differenziale approssimata ha la forma Integrando per la prima volta, abbiamo (1.34) Integrando per la secondo tempo Condizioni al contorno Tenendo conto della seconda condizione, da cui Allo stesso modo, dalla prima condizione avremo Tenendo conto delle costanti di integrazione trovate C e D, l'equazione per gli angoli di rotazione e deflessione avrà la forma: Quando ( vedere Fig. 1.26, a) l'angolo di rotazione e la deflessione hanno valori massimi: Un valore positivo dell'angolo  indica che la sezione quando si piega la trave ruota nella direzione opposta al movimento in senso orario. Un valore y negativo indica che il centro di gravità della sezione si sta spostando verso il basso. 1.11. Significato fisico delle costanti di integrazione Se consideriamo le equazioni (1.32), (1.33) e (1.34), (1.35), gli esempi considerati sopra, allora è facile notare che per x 0 ne consegue. si può concludere che le costanti di integrazione C e D rappresentano il prodotto della rigidezza della trave, rispettivamente, per l'angolo: rotazione 0 e deflessione y0 all'origine. Le dipendenze (1.36) e (1.37) risultano sempre valide per travi che hanno una sezione di carico, se calcoliamo il momento flettente dalle forze situate tra la sezione e l'origine. Lo stesso vale per travi con un numero qualsiasi di sezioni di carico, se vengono utilizzate tecniche particolari per l'integrazione dell'equazione differenziale dell'asse curvo della trave, di cui si parlerà in seguito. 1.12. Metodo dei parametri iniziali (equazione universale dell'asse curvo di una trave) Quando si determinano le deflessioni e gli angoli di rotazione con il metodo dell'integrazione diretta, è necessario trovare due costanti di integrazione C e D, anche nei casi in cui la trave ha una sezione di carico . In pratica si utilizzano travi che presentano più sezioni di carico. In questi casi, la legge del momento flettente sarà diversa nelle diverse aree di carico. Successivamente bisognerà compilare l'equazione differenziale dell'asse curvo per ciascuna sezione della trave e per ciascuna di esse si dovranno trovare le sue costanti di integrazione C e D. Ovviamente, se una trave ha n sezioni portanti, allora il numero di costanti di integrazione sarà pari al doppio del numero di sezioni. Per determinarli, dovrai risolvere 2 equazioni. Questo compito richiede molto tempo. Per risolvere problemi che hanno più di una zona di carico si è diffuso il metodo dei parametri iniziali, che è uno sviluppo del metodo dell'integrazione diretta. Si scopre che osservando determinate condizioni e tecniche per comporre e integrare equazioni su sezioni, è possibile ridurre il numero di costanti di integrazione, indipendentemente dal numero di sezioni di carico, a due, che rappresentano la deflessione e l'angolo di rotazione nell'origine. Consideriamo l'essenza di questo metodo usando l'esempio di una trave a sbalzo (Fig. 1.28), caricata con un carico arbitrario, ma creando punto positivo in qualsiasi sezione della trave. Sia data una trave di sezione trasversale costante e la sezione trasversale abbia un asse di simmetria coincidente con l'asse y e l'intero carico si trovi in ​​un piano passante per questo asse. Impostiamo il compito di stabilire le dipendenze che determinano l'angolo di rotazione e la deflessione di una sezione arbitraria di una trave. Riso. 1.29 Durante la risoluzione dei problemi, concordiamo: 1. L'origine delle coordinate sarà associata all'estremità sinistra della trave ed è comune a tutte le sezioni. 2. Il momento flettente in una sezione arbitraria sarà sempre calcolato per la sezione della trave situata a sinistra della sezione, cioè tra l'origine e la sezione. 3. Integreremo l'equazione differenziale dell'asse curvo in tutte le sezioni senza aprire le parentesi di alcune espressioni contenenti parentesi. Quindi, ad esempio, l'integrazione di un'espressione della forma P x(b) viene eseguita senza aprire le parentesi, vale a dire secondo la seguente formula.L'integrazione secondo questa formula differisce dall'integrazione con l'apertura preliminare delle parentesi solo nella valore di una costante arbitraria. 4. Quando comporremo un'espressione per il momento flettente in una sezione arbitraria causata da un momento concentrato esterno M, aggiungeremo il fattore (x)a0 1. Seguendo queste regole, comporremo e integreremo un'equazione differenziale approssimata per ciascuna delle cinque sezioni della trave indicate in Fig. 1,28 in numeri romani. L'equazione differenziale approssimata per le sezioni indicate ha la stessa forma: (1.38) ma per ciascuna sezione il momento flettente ha una propria legge di variazione. I momenti flettenti per le sezioni hanno la forma: Sostituendo le espressioni del momento flettente nell'equazione (1.38), per ciascuna delle sezioni dopo l'integrazione otteniamo due equazioni: l'equazione degli angoli di rotazione e l'equazione delle deflessioni, che includeranno la loro due costanti di integrazione Ci e Di. Poiché la trave ha cinque sezioni, ci saranno dieci costanti di integrazione di questo tipo. Tenendo però conto che l'asse curvo della trave è una linea continua ed elastica, allora ai confini di sezioni adiacenti la freccia e l'angolo di rotazione hanno gli stessi valori, cioè, ecc. Per questo motivo, da un confronto di dalle equazioni per gli angoli di rotazione e le deflessioni delle sezioni vicine, otteniamo che le costanti di integrazione Pertanto, invece di dieci costanti di integrazione, per risolvere il problema posto, è necessario determinare solo due costanti di integrazione C e D. Dalla considerazione delle equazioni integrali della prima sezione segue che in x 0: cioè rappresentano le stesse dipendenze (1. 36) e (1.37). I parametri iniziali 0 e y0 ® sono determinati dalle condizioni al contorno discusse nella sezione precedente. Analizzando le espressioni ottenute per gli angoli di rotazione e le deflessioni y, lo vediamo di più forma generale equazioni corrisponde alla quinta sezione. Tenendo conto delle costanti di integrazione, queste equazioni hanno la forma: La prima di queste equazioni rappresenta l'equazione degli angoli di rotazione e la seconda rappresenta l'equazione delle deflessioni. Poiché su una trave può agire più di una forza concentrata, un momento o una trave può avere più di una sezione con un carico distribuito, allora per il caso generale le equazioni (1.38), (1.39) saranno scritte nella forma: Equazioni (1.41), (1.42) sono chiamate equazioni universali l'asse curvo della trave. La prima di queste equazioni è l'equazione degli angoli di rotazione e la seconda è l'equazione delle deflessioni. Usando queste equazioni, è possibile determinare le deflessioni e gli angoli di rotazione delle sezioni per qualsiasi trave staticamente determinata la cui rigidezza lungo la loro lunghezza è costante EI  const. Nelle equazioni (1.41), (1.42): M, P, q, qx ─ carico esterno situato tra l'origine delle coordinate e la sezione in cui sono determinati gli spostamenti (angolo di rotazione e deflessione); a, b, c, d ─ distanze dall'origine delle coordinate ai punti di applicazione, rispettivamente, del momento M, della forza concentrata P, dell'inizio di un carico uniformemente distribuito e dell'inizio di un carico distribuito in modo non uniforme. È necessario prestare attenzione: 53 1. Nella direzione opposta del carico esterno, che è accettata quando si derivano equazioni universali, davanti al termine corrispondente delle equazioni il segno cambia nell'opposto, cioè in meno. 2. Gli ultimi due termini delle equazioni (1.41), (1.42) sono validi solo se il carico distribuito non termina prima della sezione in cui si determinano la freccia e l'angolo di rotazione. Se il carico non raggiunge questa sezione, allora si deve proseguire fino a questa sezione e allo stesso tempo aggiungere sulla sezione estesa lo stesso carico distribuito, ma di segno opposto, questa idea è spiegata in Fig. 1.30. La linea tratteggiata mostra il carico distribuito aggiunto sulla sezione estesa. Riso. 1.30 Nel determinare gli angoli di rotazione  e le deflessioni y, l'origine delle coordinate dovrebbe essere posizionata all'estremità sinistra della trave, dirigendo l'asse y verso l'alto e l'asse x verso destra. L'equazione compilata per gli angoli di rotazione e le deflessioni include solo quelle forze che si trovano a sinistra della sezione, ad es. sulla sezione della trave compresa tra l'origine delle coordinate e la sezione in cui si determinano la freccia e l'angolo di rotazione (comprese le forze agenti nella sezione coincidente con l'origine delle coordinate). 1.13. Esempi di determinazione degli spostamenti in una trave utilizzando il metodo dei parametri iniziali Esempio 1.12 Per una trave (Fig. 1.31), bloccata all'estremità sinistra e caricata con una forza concentrata P, determinare l'angolo di rotazione e la deflessione nel punto di applicazione della forza, nonché l'estremità libera (sezione D). Rigidità della trave Fig. 1.31 Soluzione dell'equazione dell'equilibrio statico: 1) Si noti che la coppia reattiva è diretta in senso antiorario, quindi entrerà nell'equazione dell'asse curvo con un segno meno. 2. Combinare l'origine delle coordinate con il punto B e impostare i parametri iniziali. Nel pinching ()B non vi è né deflessione né angolo di rotazione, cioè 0 0. Scriviamo l'equazione degli angoli di rotazione e delle deflessioni per una sezione arbitraria della seconda sezione, ad es. situato a una distanza x dall'origine delle coordinate Tenendo conto delle forze reattive, nonché dell'uguaglianza a zero dei parametri iniziali, queste equazioni hanno la forma Per x l abbiamo l'angolo di rotazione e la deflessione della sezione C , rispettivamente 55 Per la sezione D, x1l 12(1)2 Esempio 1.13 Determinare la massima freccia e angolo di rotazione sull'appoggio destro della trave, caricata al centro della campata con una forza concentrata (Fig. 1.32). Soluzione 1. Definire reazioni di sostegno Dalle equazioni statiche abbiamo B 2. Posizioniamo l'origine delle coordinate all'estremità sinistra della trave (punto B). Riso. 1.32 3. Impostare i parametri iniziali. Flessione all'origine By0, poiché il supporto non consente il movimento verticale. Va notato che se il supporto fosse caricato a molla, la deflessione all'origine sarebbe uguale alla deformazione della molla. L'angolo di rotazione nell'origine delle coordinate non è uguale a zero, ovvero 4. Determinare l'angolo di rotazione nell'origine delle coordinate 0. Per fare ciò, utilizziamo la condizione che in x l la freccia è uguale a zero yD 0: 3 Poiché la trave è simmetrica rispetto al carico P, l'angolo di rotazione sul supporto destro è uguale all'angolo di rotazione sul sinistro supporto. 2 BD 16z Pl EI . La deflessione massima sarà al centro della trave in x. Pertanto, Esempio 1.14 Determinare la freccia al centro della campata e all'estremità destra della trave (Fig. 1.33), se la trave è costituita dalla trave a I n. 10 (momento di inerzia Iz 198 scm4), caricata con un carico distribuito q 2.N/m, concentrato da un momento M forza. PkkNN Fig. 1.33 Soluzione 1. Determinazione delle reazioni vincolari Da dove: Verifica della correttezza della determinazione delle reazioni 2. Combinare l'origine delle coordinate con il punto B e impostare i parametri iniziali. Dalla fig. 1.33 ne consegue che all'origine delle coordinate la deflessione y0 0 e l'angolo di rotazione. 57 3. Determinare i parametri iniziali y0 e 0. Per fare ciò, utilizziamo le condizioni al contorno che quando: Per implementare le condizioni al contorno, creiamo un'equazione per l'asse curvo. per due sezioni: sezione BC 0 mm1: Nello scrivere questa equazione si è tenuto conto che il carico distribuito era interrotto nel punto C, quindi, secondo quanto detto sopra, è stato continuato ed un carico compensatore della stessa entità, ma in direzione opposta, è stato introdotto nella sezione continua. Tenendo conto delle condizioni al contorno (punto 3) e del carico, le equazioni (1.43) e (1.44) hanno la forma: Dalla soluzione congiunta di queste equazioni si ottiene 4. Determiniamo la freccia nelle sezioni K ed E. Per la sezione K a x 2 mm abbiamo 1.14. Determinazione degli spostamenti utilizzando il metodo di Mohr Regola A.K. Il metodo Mohr di Vereshchagin lo è metodo generale determinazione degli spostamenti in sistemi di aste linearmente deformabili. La determinazione degli spostamenti (lineari, angolari) nelle sezioni di progetto viene effettuata utilizzando la formula di Mohr (integrale), facilmente ottenibile in base al teorema sulla reciprocità dei lavori (teorema di Betti) e al teorema sulla reciprocità degli spostamenti ( teorema di Maxwell). Consideriamo, ad esempio, un sistema elastico piatto a forma di trave (Fig. 1.34), caricato con un carico arbitrario piatto bilanciato. Chiameremo carico il dato stato del sistema e lo indicheremo con la lettera P. Sotto l'influenza di un carico esterno, si verificherà una deformazione e si verificheranno spostamenti nel punto K, in particolare, nella direzione perpendicolare all'asse - deflessione cr. Introduciamo un nuovo stato (ausiliario) dello stesso sistema, ma caricato nel punto K nella direzione dello spostamento desiderato (cr) da una forza unitaria adimensionale (Fig. 1.34). Indicheremo tale stato del sistema con la lettera i e lo chiameremo stato unico. 59fig. 1.34 Basato sul teorema di Betti lavoro possibile le forze dello stato di carico pi A e le forze di un singolo stato pi A sono pari a (1.45) Il possibile lavoro delle forze dello stato di carico, espresso in termini di forze interne, è determinato dalla formula e dalle forze di un singolo stato - con la formula (1.47) Tenendo conto di (1.46), (1.47) da ( 1.45) abbiamo (1.48) dove M p, Qp, Np ─ rispettivamente il momento flettente, le forze trasversali e longitudinali che si presentano nel sistema dal carico esterno; Mi, Qi, Ni ─ rispettivamente, momento flettente, forze trasversali e longitudinali derivanti nel sistema da un carico unitario applicato nella direzione dello spostamento determinato; k ─ coefficiente che tiene conto della disuniformità delle tensioni tangenziali attraverso la sezione; I ─ momento d'inerzia assiale rispetto all'asse centrale principale; A─ area della sezione trasversale dell'asta nell'area; 60 E, G ─ moduli elastici del materiale. La distribuzione non uniforme delle tensioni tangenziali in una sezione dipende dalla forma della sezione. Per sezioni rettangolari e triangolari k 1.2, sezione circolare k 1.11, sezione anulare circolare k 2. La formula (1.48) consente di determinare lo spostamento in qualsiasi punto di un sistema elastico piano. Quando determiniamo la deflessione nella sezione (K), applichiamo in questo punto una forza unitaria (adimensionale). Nel caso di determinazione dell'angolo di rotazione della sezione nel punto K, è necessario applicare un momento adimensionale unitario

Calcolare trave di flessione Ci sono diverse opzioni:
1. Calcolo carico massimo che sopporterà
2. Selezione della sezione di questa trave
3. Calcolo basato sulle sollecitazioni massime ammissibili (per verifica)
consideriamo principio generale scelta della sezione della trave su due supporti caricati con un carico uniformemente distribuito o una forza concentrata.
Per cominciare, dovrai trovare il punto (sezione) in cui ci sarà un momento massimo. Ciò dipende dal fatto che la trave sia supportata o incastrata. Di seguito sono riportati i diagrammi dei momenti flettenti per gli schemi più comuni.

Dopo aver trovato il momento flettente, dobbiamo trovare il momento resistente Wx di questa sezione utilizzando la formula riportata in tabella:

Inoltre, dividendo il momento flettente massimo per il momento resistente in una data sezione, otteniamo sollecitazione massima nella trave e dobbiamo confrontare questa sollecitazione con la sollecitazione che la nostra trave di un dato materiale può generalmente sopportare.

Per materie plastiche(acciaio, alluminio, ecc.) la tensione massima sarà pari a carico di snervamento del materiale, UN per fragile(ghisa) – resistenza alla trazione. Possiamo trovare il carico di snervamento e il carico di rottura dalle tabelle seguenti.

Diamo un'occhiata ad un paio di esempi:
1. [i]Vuoi verificare se una trave a I n. 10 (acciaio St3sp5) lunga 2 metri, incastrata rigidamente nel muro, ti sosterrà se ti appendi ad essa. Lascia che la tua massa sia 90 kg.
Innanzitutto, dobbiamo selezionare uno schema di progettazione.

Questo diagramma mostra che il momento massimo sarà al sigillo, e poiché la nostra trave a I lo ha sezione uguale su tutta la lunghezza, la tensione massima sarà nella terminazione. Troviamolo:

P = m*g = 90*10 = 900 N = 0,9 kN

M = P * l = 0,9 kN * 2 m = 1,8 kN * m

Utilizzando la tabella di assortimento delle travi a I, troviamo il momento di resistenza della trave a I n. 10.

Sarà pari a 39,7 cm3. Convertiamoci in Metri cubi e otteniamo 0,0000397 m3.
Successivamente, utilizzando la formula, troviamo le sollecitazioni massime che si presentano nella trave.

b = M / L = 1,8 kN/m / 0,0000397 m3 = 45340 kN/m2 = 45,34 MPa

Dopo aver individuato la massima sollecitazione che si manifesta nella trave, possiamo confrontarla con la massima sollecitazione ammissibile pari al carico di snervamento dell'acciaio St3sp5 - 245 MPa.

45,34 MPa è corretto, il che significa che questa trave a I resisterà a una massa di 90 kg.

2. [i] Poiché disponiamo di una scorta piuttosto ampia, risolveremo il secondo problema, in cui troveremo la massa massima possibile che la stessa trave a I n. 10, lunga 2 metri, sosterrà.
Se vogliamo trovare peso massimo, allora dobbiamo uguagliare i valori del carico di snervamento e dello stress che si presenterà nella trave (b = 245 MPa = 245.000 kN*m2).

La flessione è un tipo di deformazione in cui l'asse longitudinale della trave viene piegato. Le travi diritte che si piegano sono chiamate travi. La flessione diretta è una piega in cui le forze esterne che agiscono sulla trave giacciono su un piano (piano di forza) che passa attraverso l'asse longitudinale della trave e l'asse centrale principale di inerzia della sezione trasversale.

La curva si chiama pura, se si verifica un solo momento flettente in qualsiasi sezione trasversale della trave.

La flessione, nella quale nella sezione trasversale di una trave agiscono contemporaneamente un momento flettente e una forza trasversale, è detta trasversale. La linea di intersezione del piano di forza e del piano di sezione trasversale è chiamata linea di forza.

Fattori di forza interni durante la flessione della trave.

Durante la flessione trasversale piana, nelle sezioni della trave si verificano due fattori di forza interni: la forza trasversale Q e il momento flettente M. Per determinarli, viene utilizzato il metodo delle sezioni (vedi lezione 1). La forza trasversale Q nella sezione della trave è pari alla somma algebrica delle proiezioni sul piano della sezione di tutte le forze esterne agenti su un lato della sezione considerata.

Regola dei segni per le forze di taglio Q:

Il momento flettente M in una sezione di trave è uguale alla somma algebrica dei momenti relativi al baricentro di questa sezione di tutte le forze esterne agenti su un lato della sezione considerata.

Regola dei segni per i momenti flettenti M:

Dipendenze differenziali di Zhuravsky.

Sono state stabilite relazioni differenziali tra l'intensità q del carico distribuito, le espressioni per la forza trasversale Q e il momento flettente M:

Sulla base di queste dipendenze si possono individuare i seguenti schemi generali di diagrammi delle forze trasversali Q e dei momenti flettenti M:

Caratteristiche dei diagrammi dei fattori di forza interni durante la flessione.

1. Nella sezione della trave dove non è presente carico distribuito viene presentato il diagramma Q retta , parallelo alla base del diagramma, e il diagramma M - una linea retta inclinata (Fig. a).

2. Nella sezione in cui viene applicata una forza concentrata, Q dovrebbe essere sul diagramma salto , pari al valore di questa forza, e sul diagramma M - punto di rottura (Fig.a).

3. Nella sezione in cui viene applicato un momento concentrato, il valore di Q non cambia, ma il diagramma M sì salto , uguale al valore di questo momento (Fig. 26, b).

4. In una sezione di una trave con un carico distribuito di intensità q, il diagramma Q cambia secondo una legge lineare, e il diagramma M cambia secondo una legge parabolica, e la convessità della parabola è diretta nella direzione del carico distribuito (Fig. c, d).

5. Se, all'interno di una sezione caratteristica, il diagramma Q interseca la base del diagramma, allora nella sezione in cui Q = 0, il momento flettente ha un valore estremo M max o M min (Fig. d).

Sollecitazioni di flessione normali.

Determinato dalla formula:

Il momento resistente di una sezione a flessione è la quantità:

Sezione pericolosa durante la flessione viene chiamata la sezione trasversale della trave in cui si verifica la massima sollecitazione normale.

Sforzi di taglio durante la flessione rettilinea.

Determinato da La formula di Zhuravsky per le sollecitazioni di taglio durante la flessione della trave diritta:

dove S ots è il momento statico dell'area trasversale dello strato tagliato di fibre longitudinali rispetto alla linea neutra.

Calcoli della resistenza alla flessione.

1. A calcolo di verifica La sollecitazione massima di progetto viene determinata e confrontata con la sollecitazione ammissibile:

2. A calcolo progettuale la scelta della sezione della trave è fatta dalla condizione:

3. Quando si determina il carico ammissibile, il momento flettente ammissibile è determinato dalla condizione:

Movimenti di flessione.

Sotto l'influenza del carico di flessione, l'asse della trave si piega. In questo caso si osserva tensione delle fibre sulla parte convessa e compressione sulla parte concava della trave. Inoltre si verifica un movimento verticale dei baricentri delle sezioni trasversali e la loro rotazione rispetto all'asse neutro. Per caratterizzare la deformazione a flessione, vengono utilizzati i seguenti concetti:

Deflessione del raggio Y- spostamento del baricentro della sezione trasversale della trave nella direzione perpendicolare al suo asse.

La deflessione è considerata positiva se il baricentro si sposta verso l'alto. La quantità di deflessione varia lungo la lunghezza della trave, ad es. y = y(z)

Angolo di rotazione della sezione- angolo θ di cui ruota ciascuna sezione rispetto alla sua posizione originale. L'angolo di rotazione è considerato positivo quando la sezione viene ruotata in senso antiorario. L'entità dell'angolo di rotazione varia lungo la lunghezza della trave, essendo una funzione di θ = θ (z).

Il metodo più comune per determinare gli spostamenti è il metodo Mora E La regola di Vereshchagin.

Il metodo di Mohr.

La procedura per determinare gli spostamenti utilizzando il metodo di Mohr:

1. In costruzione " sistema di assistenza"ed è caricato con un carico unitario nel punto in cui è necessario determinare lo spostamento. Se viene determinato lo spostamento lineare, viene applicata una forza unitaria nella sua direzione; quando vengono determinati gli spostamenti angolari, viene applicato un momento unitario.

2. Per ciascuna sezione del sistema vengono scritte le espressioni dei momenti flettenti M f dal carico applicato e M 1 dal carico unitario.

3. Su tutte le sezioni del sistema, gli integrali di Mohr vengono calcolati e sommati, ottenendo lo spostamento desiderato:

4. Se lo spostamento calcolato ha segno positivo significa che la sua direzione coincide con la direzione della forza unitaria. Segno negativo indica che lo spostamento effettivo è opposto alla direzione della forza unitaria.

La regola di Vereshchagin.

Nel caso in cui il diagramma dei momenti flettenti da un dato carico ha un contorno arbitrario, e da un carico unitario – un contorno rettilineo, è conveniente utilizzare il metodo grafico-analitico, o la regola di Vereshchagin.

dove A f è l'area del diagramma del momento flettente M f da un dato carico; y c – ordinata del diagramma da un'unità di carico sotto il baricentro del diagramma M f; EI x è la rigidezza della sezione della trave. I calcoli utilizzando questa formula vengono effettuati in sezioni, in ciascuna delle quali il diagramma lineare dovrebbe essere senza fratture. Il valore (A f *y c) è considerato positivo se entrambi i diagrammi si trovano sullo stesso lato della trave, negativo se si trovano su lati diversi. Un risultato positivo della moltiplicazione dei diagrammi significa che la direzione del movimento coincide con la direzione di una forza (o momento) unitaria. Un diagramma complesso M f dovrebbe essere suddiviso in figure semplici (viene utilizzata la cosiddetta “stratificazione della trama”), per ciascuna delle quali è facile determinare l'ordinata del baricentro. In questo caso, l'area di ciascuna figura viene moltiplicata per l'ordinata sotto il suo baricentro.

Momento flettente e forza di taglio

Concetti base sulla flessione. Piegatura pura e trasversale della trave

La flessione pura è un tipo di deformazione in cui si verifica solo un momento flettente in qualsiasi sezione trasversale della trave.
Si verificherà, ad esempio, una pura deformazione da flessione trave dritta nel piano passante per l'asse si applicano due coppie di forze uguali in grandezza e opposte in segno.
Travi, assi, alberi e altre parti strutturali lavorano per la flessione. Se la trave ha almeno un asse di simmetria e il piano di azione dei carichi coincide con esso, allora curva dritta , se questa condizione non è soddisfatta, allora piega obliqua .

Studiando la deformazione a flessione, immagineremo mentalmente che la trave (legno) sia costituita da un numero innumerevole di fibre longitudinali parallele all'asse.
Per visualizzare la deformazione di una curva diritta, condurremo un esperimento con una barra di gomma su cui è applicata una griglia di linee longitudinali e trasversali.
Avendo sottoposto tale trave a flessione rettilinea, puoi vedere che (Fig. 1):
- le linee trasversali rimarranno diritte durante la deformazione, ma gireranno ad angolo l'una rispetto all'altra;
- le sezioni della trave si espanderanno in direzione trasversale sul lato concavo e si restringeranno sul lato convesso;
- le linee rette longitudinali si piegheranno.

Da questa esperienza possiamo concludere che:
- con flessione pura l'ipotesi è valida sezioni piane;
- le fibre che giacciono sul lato convesso sono allungate, sul lato concavo sono compresse e al confine tra loro c'è uno strato neutro di fibre che si piegano solo senza modificare la loro lunghezza.

Assumendo valida l'ipotesi dell'assenza di pressione sulle fibre, si può sostenere che in caso di flessione pura nella sezione trasversale della trave si creano solo normali tensioni di trazione e compressione, distribuite in modo disomogeneo sulla sezione trasversale.
Viene chiamata la linea di intersezione dello strato neutro con il piano della sezione trasversale asse neutro . È ovvio che sull'asse neutro le tensioni normali sono pari a zero.

Momento flettente e forza di taglio

Come è noto dalla meccanica teorica, le reazioni vincolari delle travi vengono determinate componendo e risolvendo equazioni di equilibrio statico per l'intera trave. Nel risolvere i problemi di resistenza dei materiali e nel determinare i fattori di forza interni nelle travi, abbiamo tenuto conto delle reazioni delle connessioni insieme ai carichi esterni agenti sulle travi.
Per determinare i fattori di forza interni, utilizzeremo il metodo della sezione e rappresenteremo la trave con una sola linea, l'asse a cui vengono applicate le forze attive e reattive (carichi e reazioni di reazione).

Consideriamo due casi:

1. Alla trave vengono applicate due coppie di forze di segno uguale e opposto.
Considerando l'equilibrio della parte della trave situata a sinistra o a destra della sezione 1-1 (Fig. 2), vediamo che in tutte le sezioni trasversali si verifica solo un momento flettente M e , uguale al momento esterno. Quindi, questo è un caso di pura flessione.

Il momento flettente è il momento risultante attorno all'asse neutro delle forze normali interne agenti nella sezione trasversale della trave.
Prestiamo attenzione al fatto che il momento flettente ha direzione diversa per le parti sinistra e destra della trave. Ciò indica l'inadeguatezza della regola del segno statico nel determinare il segno del momento flettente.

2. Alla trave vengono applicate forze attive e reattive (carichi e reazioni di reazione) perpendicolari all'asse (Figura 3). Considerando l'equilibrio delle parti della trave poste a sinistra e a destra, vediamo che nelle sezioni trasversali deve agire un momento flettente M e e forza di taglio Q .
Ne consegue che nel caso in esame, nei punti delle sezioni trasversali sono presenti non solo tensioni normali corrispondenti al momento flettente, ma anche tensioni tangenti corrispondenti alla forza trasversale.

La forza trasversale è la risultante delle forze tangenziali interne nella sezione trasversale della trave.
Prestiamo attenzione al fatto che la forza trasversale ha direzione opposta per le parti sinistra e destra della trave, il che indica che la regola dei segni statici non è adatta per determinare il segno della forza trasversale.
La flessione, in cui un momento flettente e una forza di taglio agiscono nella sezione trasversale della trave, è detta trasversale.

Per una trave che è in equilibrio sull'acqua sotto l'azione di un sistema di forze piano, la somma algebrica dei momenti di tutte le forze attive e reattive relative a qualsiasi punto è uguale a zero; pertanto, la somma dei momenti delle forze esterne agenti sulla trave a sinistra della sezione è numericamente uguale alla somma dei momenti di tutte le forze esterne agenti sulla trave a destra della sezione.
Pertanto il momento flettente nella sezione della trave è numericamente uguale alla somma algebrica dei momenti relativi al baricentro della sezione di tutte le forze esterne agenti sulla trave a destra o a sinistra della sezione.

Per una trave in equilibrio sotto l'azione di un sistema piano di forze perpendicolare all'asse (cioè un sistema di forze parallele), la somma algebrica di tutte le forze esterne è uguale a zero; pertanto, la somma delle forze esterne agenti sulla trave a sinistra della sezione è numericamente uguale alla somma algebrica delle forze agenti sulla trave a destra della sezione.
Pertanto, la forza trasversale nella sezione della trave è numericamente uguale alla somma algebrica di tutte le forze esterne agenti a destra o a sinistra della sezione.

Poiché le regole dei segni statici non sono accettabili per stabilire i segni del momento flettente e della forza di taglio, stabiliremo per essi altre regole dei segni, vale a dire: Se un carico esterno tende a piegare la trave con la sua convessità verso il basso, allora il momento flettente nel sezione è considerata positiva, e viceversa, se il carico esterno tende a flettere la trave con una convessità verso l'alto, allora il momento flettente nella sezione è considerato negativo (Figura 4a).

Se la somma delle forze esterne giacenti sul lato sinistro della sezione dà una risultante diretta verso l'alto, allora la forza trasversale nella sezione è considerata positiva; se la risultante è diretta verso il basso, allora la forza trasversale nella sezione è considerata negativa; per la parte della trave posta a destra della sezione i segni della forza di taglio saranno opposti (Fig. 4b). Usando queste regole, dovresti immaginare mentalmente la sezione della trave come rigidamente fissata e le connessioni come scartate e sostituite da reazioni.

Notiamo ancora una volta che per determinare le reazioni dei legami vengono utilizzate le regole dei segni di statica e per determinare i segni del momento flettente e della forza trasversale vengono utilizzate le regole dei segni di resistenza dei materiali.
Talvolta viene chiamata la regola dei segni per i momenti flettenti "regola della pioggia" , tenendo presente che in caso di convessità verso il basso si forma un imbuto in cui il acqua piovana(il segno è positivo) e viceversa - se sotto l'influenza dei carichi la trave si piega verso l'alto descrivendo un arco, l'acqua non indugia su di essa (il segno dei momenti flettenti è negativo).

Diagrammi delle forze interne durante la flessione rettilinea.

La flessione diretta è un tipo di resistenza semplice quando le forze esterne vengono applicate perpendicolarmente all'asse longitudinale della trave (trave) e si trovano in uno dei piani principali secondo la configurazione della sezione trasversale della trave.

Come è noto, durante la flessione diretta nella sezione trasversale si verificano due tipi di forze interne: forza trasversale e momento flettente interno.

Consideriamo un esempio di diagramma di progetto di una trave a sbalzo con una forza concentrata R, riso. 1 a., ...

a) diagramma di progetto, b) lato sinistro, c) lato destro, d) diagramma delle forze trasversali, e) diagramma dei momenti flettenti

Fig. 1. Costruzione dei diagrammi delle forze trasversali e dei momenti flettenti interni durante la flessione diretta:

La sezione più razionale è da considerarsi quella avente l'area minima per un dato carico (momento flettente) sulla trave. In questo caso, il consumo di materiale per la fabbricazione della trave sarà minimo. Per ottenere una trave con un consumo di materiale minimo bisogna sforzarsi di garantire che il maggior volume possibile di materiale lavori a sollecitazioni pari o prossime a quelle ammissibili. Innanzitutto deve soddisfare la sezione razionale della trave durante la flessione la condizione di uguale resistenza delle zone tese e compresse della trave.Altri In altre parole, è necessario che le maggiori tensioni di trazione ( massimo) n massima sollecitazione di compressione ( massimo) hanno raggiunto contemporaneamente le sollecitazioni ammissibili e .

Pertanto, per un raggio di materiale plastico(lavorando equamente in tensione e compressione: ), la condizione di uguale resistenza è soddisfatta per le sezioni simmetriche rispetto all'asse neutro. Tali sezioni includono, ad esempio, una sezione rettangolare (Fig. 6, UN), in base al quale è assicurata la condizione di uguaglianza . Tuttavia, in questo caso, il materiale, distribuito uniformemente lungo l'altezza della sezione, viene scarsamente utilizzato nella zona dell'asse neutro. Per ottenere una sezione più razionale è necessario spostare quanto più materiale possibile in zone il più distanti dall'asse neutro. Arriviamo così razionale per il materiale plastico sezione nel modulo trave a I simmetrica(Fig. 6): 2 lastre massicce orizzontali collegate da una parete (lamiera verticale), il cui spessore è determinato in base alle condizioni di resistenza della parete in termini di tensioni tangenziali, nonché da considerazioni sulla sua stabilità. Secondo il criterio di razionalità, la sezione cosiddetta scatolare è prossima alla sezione ad I (Fig. 6, V).

Fig.6. Distribuzione delle tensioni normali in sezioni simmetriche

Ragionando in modo simile, arriviamo alla conclusione che per le travi costituite da materiale fragile la sezione più razionale sarebbe quella di una trave a I asimmetrica, che soddisfi la condizione di uguale resistenza in trazione e compressione (Fig. 27):

che consegue dal requisito

Fig.7. Distribuzione delle sollecitazioni di un profilo asimmetrico di una sezione di trave.

L'idea della sezione trasversale razionale delle aste durante la piegatura è implementata nei profili standard a parete sottile ottenuti mediante pressatura a caldo o laminazione di acciai strutturali ordinari e legati di alta qualità, nonché alluminio e leghe di alluminio, ampiamente utilizzato nell'edilizia, nell'ingegneria meccanica e nell'ingegneria aeronautica. Quelli mostrati in Fig. 7: UN- I-raggio, B- canale, V- angolo disuguale, G- angolo equilatero. Meno comuni sono il profilo tavr, tavroshveller, zeta, ecc.

Fig.8. Profili di sezione utilizzati: a) trave a I, b) canale, c) angolo disuguale, d) angolo equilatero

Formula per il momento resistente assiale durante la flessioneè derivato semplicemente. Quando la sezione trasversale della trave è simmetrica rispetto all'asse neutro, le tensioni normali nei punti più distanti (in ) sono determinate dalla formula:

Si chiama la caratteristica geometrica della sezione trasversale di una trave pari a momento resistente flettente assiale. Il momento resistente assiale durante la flessione viene misurato in unità di lunghezza al cubo (solitamente cm3). Poi .

Per una sezione trasversale rettangolare: ;

formula per il momento resistente assiale durante la flessione per sezione trasversale rotonda: .

Costruire un diagramma Q.

Costruiamo un diagramma M metodo punti caratteristici. Posizioniamo punti sulla trave: questi sono i punti dell'inizio e della fine della trave ( D,A ), momento concentrato ( B ), e segnare anche il centro di un carico uniformemente distribuito come punto caratteristico ( K ) è un punto aggiuntivo per costruire una curva parabolica.

Determiniamo i momenti flettenti nei punti. Regola dei segni cm. - .

Il momento dentro IN lo definiremo come segue. Per prima cosa definiamo:

Punto A prendiamo dentro mezzo zona con carico uniformemente distribuito.

Costruire un diagramma M . Complotto AB – curva parabolica(regola dell'ombrello), area ВD – linea retta obliqua.

Per una trave, determinare le reazioni del vincolo e costruire diagrammi dei momenti flettenti ( M) e forze di taglio ( Q).

1. Designiamo supporta lettere UN E IN e reazioni di supporto diretto RA E R B .

Compilazione equazioni di equilibrio.

Visita medica

Annotare i valori RA E R B SU schema di progettazione.

2. Costruire un diagramma forze di taglio metodo sezioni. Organizziamo le sezioni su zone caratteristiche(tra i cambiamenti). Secondo il filo dimensionale - 4 sezioni, 4 sezioni.

sez. 1-1 mossa Sinistra.

La sezione attraversa l'area con carico uniformemente distribuito, segnare la dimensione z 1 a sinistra della sezione prima dell'inizio della sezione. La lunghezza della sezione è di 2 m. Regola dei segni Per Q - cm.

Costruiamo in base al valore trovato diagrammaQ.

sez. 2-2 si sposta a destra.

La sezione attraversa nuovamente la zona con carico uniformemente distribuito, segnare la dimensione z 2 a destra dalla sezione all'inizio della sezione. La lunghezza della sezione è di 6 m.

Costruire un diagramma Q.

sez. 3-3 spostarsi a destra.

sez. 4-4 si spostano a destra.

Stiamo costruendo diagrammaQ.

3. Costruzione diagrammi M metodo punti caratteristici.

Punto caratteristico- un punto abbastanza evidente sulla trave. Questi sono i punti UN, IN, CON, D , e anche un punto A , in cui Q=0 E il momento flettente ha un estremo. anche in mezzo console inseriremo un punto aggiuntivo E, poiché in quest'area sotto un carico uniformemente distribuito il diagramma M descritto storto linea, ed è costruito almeno secondo 3 punti.

Quindi, i punti sono posizionati, iniziamo a determinare i valori in essi contenuti momenti flettenti. Regola dei segni - vedi.

Siti NA, d.C – curva parabolica(la “regola dell'ombrello” per le specialità meccaniche o la “regola della vela” per le specialità delle costruzioni), sez DC, SV – linee rette oblique.

Un momento ad un certo punto D dovrebbe essere determinato sia a destra che a sinistra dal punto D . Il momento stesso in queste espressioni Escluso. Al punto D noi abbiamo due valori con differenza per l'importo M – salto per la sua dimensione.

Ora dobbiamo determinare il momento del punto A (Q=0). Tuttavia, prima definiamo posizione del punto A , designando come sconosciuta la distanza da esso all'inizio della sezione X .

T. A appartiene secondo zona caratteristica, la sua equazione per la forza di taglio(vedi sopra)

Ma la forza di taglio incl. A uguale a 0 , UN z 2 equivale a sconosciuto X .

Otteniamo l'equazione:

Ora lo so X, determiniamo il momento al punto A dal lato giusto.

Costruire un diagramma M . La costruzione può essere eseguita per meccanico specialità, rinviando valori positivi su dalla linea dello zero e utilizzando la regola dell’“ombrello”.

Per un dato progetto di una trave a sbalzo, è necessario costruire i diagrammi della forza trasversale Q e del momento flettente M ed eseguire un calcolo di progetto selezionando una sezione circolare.

Materiale - legno, resistenza di progetto del materiale R=10MPa, M=14kN·m, q=8kN/m

Esistono due modi per costruire diagrammi in una trave a sbalzo con incastro rigido: il modo consueto, dopo aver determinato in precedenza le reazioni vincolari e senza determinare le reazioni vincolari, se si considerano le sezioni, partendo dall'estremità libera della trave e scartando la parte sinistra con l'incorporamento. Costruiamo diagrammi ordinario modo.

1. Definiamo reazioni di sostegno.

Carico uniformemente distribuito Q sostituire con forza condizionale Q= q·0,84=6,72 kN

In un incastro rigido ci sono tre reazioni del vincolo: verticale, orizzontale e momento; nel nostro caso, la reazione orizzontale è 0.

Lo troveremo verticale reazione del terreno RA E momento di sostegno M UN dalle equazioni di equilibrio.

Nelle prime due sezioni a destra non è presente alcuna forza di taglio. All'inizio di una sezione con un carico uniformemente distribuito (a destra) Q=0, sullo sfondo: l'entità della reazione RA.
3. Per costruire, comporremo le espressioni per la loro determinazione in sezioni. Costruiamo un diagramma dei momenti sulle fibre, ovvero giù.

(il diagramma dei singoli momenti è già stato costruito in precedenza)

Risolviamo l'equazione (1), riduciamo di EI

Rivelata l’indeterminazione statica, è stato trovato il valore della reazione “extra”. Puoi iniziare a costruire diagrammi di Q e M per una trave staticamente indeterminata... Disegniamo il diagramma dato della trave e indichiamo l'entità della reazione Rb. In questa trave le reazioni nell'ancoraggio non possono essere determinate se ci si sposta da destra.

Costruzione Q complotti per una trave staticamente indeterminata

Tracciamo Q.

Costruzione del diagramma M

Definiamo M nel punto estremo - nel punto A. Innanzitutto, determiniamo la sua posizione. Indichiamo la distanza come sconosciuta " X" Poi

Stiamo costruendo un diagramma di M.

Determinazione delle tensioni di taglio in una sezione ad I. Consideriamo la sezione I-raggio Sx=96,9 cm3; Yх=2030 cm 4 ; Q=200kN

Per determinare lo stress di taglio, viene utilizzato formula,dove Q è la forza di taglio nella sezione, S x 0 è il momento statico della parte della sezione posta su un lato dello strato in cui si determinano le tensioni tangenziali, I x è il momento di inerzia dell'intero sezione trasversale, b è la larghezza della sezione nel punto in cui viene determinata la sollecitazione di taglio

Calcoliamo massimo sforzo di taglio:

Calcoliamo il momento statico per ripiano superiore:

Ora calcoliamo sforzo di taglio:

Stiamo costruendo diagramma dello sforzo di taglio:

Calcoli di progettazione e verifica. Per una trave con diagrammi costruiti delle forze interne, selezionare una sezione sotto forma di due canali dalla condizione di resistenza sotto sollecitazioni normali. Verificare la resistenza della trave utilizzando la condizione di resistenza allo sforzo di taglio e il criterio di resistenza energetica. Dato:

Mostriamo una trave con costruito diagrammi Q e M

Secondo il diagramma dei momenti flettenti, è pericoloso sezione C, in quale M C = M max = 48,3 kNm.

Condizione normale di resistenza allo stress poiché questa trave ha la forma σ max =M C /W X ≤σ adm .È necessario selezionare una sezione da due canali.

Determiniamo il valore calcolato richiesto momento resistente assiale della sezione:

Per una sezione sotto forma di due canali, accettiamo secondo due canali n. 20a, momento di inerzia di ciascun canale I x = 1670 cm 4, Poi momento resistente assiale dell'intera sezione:

Sovratensione (sottotensione) nei punti pericolosi calcoliamo utilizzando la formula: Allora otteniamo sottotensione:

Ora controlliamo la forza del raggio in base a condizioni di resistenza per tensioni tangenziali. Secondo diagramma delle forze di taglio pericoloso sono sezioni nella sezione BC e nella sezione D. Come si può vedere dal diagramma, Qmax =48,9 kN.

Condizione di resistenza per tensioni tangenziali ha la forma:

Per il canale n. 20 a: momento statico della superficie S x 1 = 95,9 cm 3, momento d'inerzia della sezione I x 1 = 1670 cm 4, spessore della parete d 1 = 5,2 mm, spessore medio della flangia t 1 = 9,7 mm , altezza canale h 1 =20 cm, larghezza mensola b 1 =8 cm.

Per trasversale sezioni di due canali:

S x = 2 S x 1 = 2 95,9 = 191,8 cm 3,

I x =2I x 1 =2·1670=3340 cm 4,

b=2d 1 =2·0,52=1,04 cm.

Determinazione del valore massimo sforzo di taglio:

τmax =48,9 10 3 191,8 10 −6 /3340 10 −8 1,04 10 −2 =27 MPa.

Come visto, τmax<τ adm (27MPa<75МПа).

Quindi, la condizione di resistenza è soddisfatta.

Controlliamo la resistenza del raggio secondo il criterio energetico.

Dalla considerazione diagrammi Q e M segue quello la sezione C è pericolosa, in cui operano M C =M max =48,3 kNm e Q C =Q max =48,9 kN.

Eseguiamo analisi dello stato tensionale nei punti della sezione C

Definiamo sforzi normali e di taglio a più livelli (segnati sullo schema di sezione)

Livello 1-1: y 1-1 =h 1/2=20/2=10cm.

Normale e tangente voltaggio:

Principale voltaggio:

Livello 2−2: y 2-2 =h 1 /2−t 1 =20/2−0,97=9,03 cm.

Principali sollecitazioni:

Livello 3−3: y 3-3 =h 1 /2−t 1 =20/2−0,97=9,03 cm.

Tensioni normali e di taglio:

Principali sollecitazioni:

Sollecitazione di taglio estrema:

Livello 4−4: y 4-4 =0.

(al centro le tensioni normali sono zero, le tensioni tangenziali sono massime, sono state rilevate nella prova di resistenza utilizzando tensioni tangenziali)

Principali sollecitazioni:

Sollecitazione di taglio estrema:

Livello 5-5:

Tensioni normali e di taglio:

Principali sollecitazioni:

Sollecitazione di taglio estrema:

Livello 6-6:

Tensioni normali e di taglio:

Principali sollecitazioni:

Sollecitazione di taglio estrema:

Livello 7-7:

Tensioni normali e di taglio:

Principali sollecitazioni:

Sollecitazione di taglio estrema:

In conformità con i calcoli eseguiti diagrammi di sollecitazione σ, τ, σ 1, σ 3, τ max e τ min sono presentati in Fig.

Analisi questi il diagramma mostra, che è nella sezione della trave i punti pericolosi sono al livello 3-3 (o 5-5), in quale:

Utilizzando criterio energetico della forza, noi abbiamo

Dal confronto delle tensioni equivalenti e ammissibili risulta che anche la condizione di resistenza è soddisfatta

(135,3MPa<150 МПа).

La trave continua è caricata in tutte le campate. Costruisci i diagrammi Q e M per una trave continua.

1. Definire grado di indeterminazione statica travi secondo la formula:

n= Sop -3= 5-3 =2, Dove Sop – numero di reazioni sconosciute, 3 – numero di equazioni statiche. Per risolvere questo raggio è necessario due ulteriori equazioni.

2. Indichiamo numeri supporti da zero al fine ( 0,1,2,3 )

3. Indichiamo numeri di intervallo dal primo al fine ( N1, N2, N3)

4. Consideriamo ogni campata come trave semplice e costruisci diagrammi per ogni trave semplice Q e M. Ciò che riguarda trave semplice, indicheremo con indice "0", ciò a cui si riferisce continuo raggio, indicheremo senza questo indice. Quindi, sono la forza di taglio e il momento flettente per una trave semplice.

Consideriamo trave 1a campata

Definiamo reazioni fittizie per la trave della prima campata utilizzando formule tabellari (vedi tabella “Reazioni di supporto fittizie....»)

Trave 2a campata

Trave 3a campata

5. Componi Equazione di 3 momenti per due punti– supporti intermedi – supporto 1 e supporto 2. Questo è quello che saranno due equazioni mancanti per risolvere il problema.

L'equazione dei 3 momenti in forma generale:

Per il punto (supporto) 1 (n=1):

Per il punto (supporto) 2 (n=2):

Sostituiamo tutte le quantità note, tenendo conto di ciò il momento al supporto zero e al terzo supporto sono pari a zero, M 0 =0; M3 =0

Quindi otteniamo:

Dividiamo la prima equazione per il fattore 4 per M 2

Dividi la seconda equazione per il fattore 20 per M 2

Risolviamo questo sistema di equazioni:

Sottrai il secondo dalla prima equazione e otterrai:

Sostituiamo questo valore in una qualsiasi delle equazioni e troviamo M2